第7-8-9-10次课图

5、各种离散化方法比较（表5 -1） 各种离散化方法比较（ 从系统设计时需要考虑的：稳定性、稳态增益、频率特性、 从系统设计时需要考虑的：稳定性、稳态增益、频率特性、时 域响应、串联计算的方便性比较。 域响应、串联计算的方便性比较。 结论： 结论： 一阶差分方法简单，精度不高，向前差分可能导致不稳定， ① 一阶差分方法简单，精度不高，向前差分可能导致不稳定，向后差分 用的多； 用的多； 双线性精度高，稳定性不变，应用最普遍，预修正可用于高精度； ② 双线性精度高，稳定性不变，应用最普遍，预修正可用于高精度； 零极点用于高精度，使用不方便； ③零极点用于高精度，使用不方便； 变换和带Z0H Z0H的 变换（脉冲不变，阶跃不变）很少使用； ④Z变换和带Z0H的Z变换（脉冲不变，阶跃不变）很少使用； 采样频率的提高（T↓），可以改善各种等效变化的性能。 ），可以改善各种等效变化的性能 ⑤采样频率的提高（T↓），可以改善各种等效变化的性能。 *思考：如何多角度的灵活应用这些方法？区分各方法之间的区别？ 思考：如何多角度的灵活应用这些方法？区分各方法之间的区别？
*
2）计算机
D(e jωT )或D( z )
3）D/A环节 D/A环节
ZOH
ω s >> ωb
G ( jω ) = T sin
ωT
2
ωT
2
e
− j
ωT
2
= Te
− j
ωT
2
4）数字环节的等效
−j 1 jωT De ( jω ) = ⋅ D (e )T ⋅ e T
ωT
2
= D ( z )e
−
sT 2
第五章 计算机控制系统的经典设计方法
⊙连续域-离散域设计方法（间接设计法）
1、思路
2、分析
D/A
1）A/D环节 A/D环节
1 R (s) = T
* K =0
∑ R(s + jnω )
s
∞
ω s ≥ (4 ~ 10)ωb
1 R * ( jω ) 1 = R ( jω ) = R ( jω
[Z]
*频率映射关系如何？ 频率映射关系如何？
（4）频率畸变
T ωT ωT 2 s j 1− ( 1+ ) + jωT 2 σ =0 2 = 2 z= = e jθ T T ωT ωT 2 1− s 1− j 1+ ( ) 2 2 2 1+
Z平面幅角θT = arctan 1− (
s=
2 z −1 T z +1
ω
* 1
)进行双线形变换： ( z ) = D ( s D
ω
* 1
)
s=
2 z −1 T z +1
e)按照稳态增益相等的原则确定D( z )的增益。 ( s ) s =0 = D( z ) z =1 D
例：5-1,试用突斯汀变换法对 1,试用突斯汀变换法对
1 D( s) = s +1
离散化，采样周期T=1s， 离散化，采样周期T=1s，比 T=1s D(s)，D(z)的频率响应 的频率响应。 较D(s)，D(z)的频率响应。
6、设计举例 已知位置随动系统如图所示，其中被控对象电机的传递函数为： 已知位置随动系统如图所示，其中被控对象电机的传递函数为： 4 G ( s) = s( s + 2) 用连续域-离散化的方法设计一个计算机控制系统，品质指标为： 用连续域-离散化的方法设计一个计算机控制系统，品质指标为： 静态速度误差系数： 静态速度误差系数： K v ≥ 10 调节时间： 调节时间： t s < 1.5s, ∆ = ±5% 峰值时间： 峰值时间： t p < 1.2 s 超调量： 超调量： σ < 10%
n
⇒ D( z ) =
K z π ( z − e − ziT )
m
π ( z − e− p T )
i
n
( z + 1) n − m
为匹配因子，防止频率出现混叠。 为匹配因子，防止频率出现混叠。
z =1
1
的确定： * K z 的确定： i）按稳态增益不变 D( s) s =0 = D( z )
ii） ii）按特点频率点的幅值相等 D ( jw1 ) = D (e jw T ) （3）特点： 特点： i）需分解零极点，且稳态增益变化需匹配； 需分解零极点，且稳态增益变化需匹配； 稳定， 稳定； ii ） D (s ) 稳定，D (z ) 稳定； 分子比分母多（ z+1）因子。 iii ）分子比分母多（n-m）个（z+1）因子。
例：5-3，已知结构滤波器的连续传递函数为： 已知结构滤波器的连续传递函数为：
s 2 + 2 × 0.05 × 62.8s + 62.82 D( s) = 2 s + 2 × 0.6 × 62.8s + 62.82
ω = 2πf = 62.8rad / s 处陷波， 其将在频率 处陷波，试用突斯汀变换和 零极点匹配法离散化，并分析它们的保真度，T=0.025s。 零极点匹配法离散化，并分析它们的保真度，T=0.025s。
D( s) = 1 C ( s) 1 c( k ) − c(k − 1) ɺ ⇒ = ⇒ c(t ) = r (t ) ⇒ = r (k ) s R( s) s T
⇒ C ( z ) − z −1C ( z ) = TR ( z ) ⇒ D( z ) = C ( z) = R( z ) 1 z −1 Tz
例：5-2，对连续传递函数
D( s) =
1 s 2 + 0.2s + 1
极性突斯汀变换， 极性突斯汀变换，保证离散后 在自然频率点
ωn = 1rad / s
处有相同的幅值响应， 处有相同的幅值响应，T=1s
（6）特点： 特点： i）一一映射，有畸变，无频率混叠； 一一映射，有畸变，无频率混叠； ii） 稳定， 一定稳定； ii）D(s) 稳定，D(z) 一定稳定； iii）具有串联特性； iii）具有串联特性； iv）稳态增益不变（不修正）； iv）稳态增益不变（不修正）； v）变换后的分子分母的阶次相同； 变换后的分子分母的阶次相同；
1 1 ∴ Z平面上的单位圆对应S平面上以（ − ， 0）为圆心，半径为 的圆。 T T
（4）特点： 特点： 稳定，D(z)不一定稳定 不一定稳定； i）D(s) 稳定，D(z)不一定稳定； ii）具有串联特性； ii）具有串联特性； iii）稳态增益不变； iii）稳态增益不变； iv） 较大时，等效精度差； iv）T较大时，等效精度差； 4）向后差分法 （1）原则：利用一阶向后差分对微分方程进行离散（面积相等） 原则：利用一阶向后差分对微分方程进行离散（面积相等）
ωT ωT
= 2 arctan )2
ωT
2
2 θ 2 ωT Z 域角频率 Ω T = T = arctan T T 2
π
T =
ωS
2
（5）频率修正
修正：
2 Ω* T ω = arctan T T 2
* 1
Ω* = ω1 T
A C B
2 ω1T ω = arctan T 2
* 1
ΩT 1
Ω* T
i）修正原则 保证特殊频率点的幅值在离散后不变。 保证特殊频率点的幅值在离散后不变。 ii） ii）步骤
3）向前差分法 （1）原则：利用一阶向前差分对微分方程进行离散（面积相等） 原则：利用一阶向前差分对微分方程进行离散（面积相等）
D( s) = 1 C (s) 1 c(k + 1) − c(k ) ɺ ⇒ = ⇒ c(t ) = r (t ) ⇒ = r (k ) T s R( s ) s
令n = k + 1, 则c(n) = Tr (n − 1) + c(n − 1) ⇒ C ( z ) = Tz −1 R ( z ) + z −1C ( z ) ⇒ D( z ) = 1 z −1 T
（2）公式： 公式： （3）映射关系： 映射关系：
D ( z ) = D( s ) s = z −1
T
z = sT + 1, 令s = σ + jω , 则z = (1 + σT ) + jωT ⇒ z = (1 + σT ) 2 + (ωT ) 2
2
令 z = 1 ⇒ (σ +
2
1 2 1 ) + ω 2 = ( )2 T T
2）阶跃响应不变法 （1）原则：离散环节的阶跃响应=连续环节的阶跃响应的采样 原则：离散环节的阶跃响应=
（2）公式： 公式： （3）特点： 特点：
1 − e − sT D( z ) = Z [ D( s )] s
i）ZOH具有低通特性，降低了频率混叠现象； ZOH具有低通特性，降低了频率混叠现象； 具有低通特性 ii） 稳定，D(z)稳定 稳定； ii）D(s) 稳定，D(z)稳定； iii）无串联特性； iii）无串联特性； iv）稳态增益不变； iv）稳态增益不变；
a )选择特殊频率点，使离 散后该点的幅值不变： ( jω1 ) = D (e jω1T ) D
b)计算预修正频率：ω1* = Ω T ωT 2 2 arctan T ，要求Ω T = ω1 ，即ω1* = arctan 1 T 2 T 2
c )将D ( s )修正为D( s
ω1*
)
d ) 对D ( s
5）双线性变换法 （1）原则：用梯形面积进行积分项近似。 原则：用梯形面积进行积分项近似。
1 c(k ) − c(k − 1) = ⋅ T ⋅ [r (k ) − r (k − 1)] 2 1 −1 ⇒ C ( z ) − z C ( z ) = T [ R( z ) − z −1 R( z )] 2 C ( z) T z + 1 ⇒ D( z ) = = R( z ) 2 z − 1