全国高中数学联赛(1981-2019年)试题分类汇编讲解4---平面向量与解三角形 含答案解析
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：4平面向量与解三角形
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编平面向量与解三角形部分dd 呻」4 2442019A 3、平面直角坐标系中， e 是单位向量，向量 a 满足a e = 2，且a 兰5a+te 对任意实数t 恒成立，则 a 的取值范围为 __________________ 。
4 +y 2 3 兰5^(2 +t j +y 2 , 即 4 + y 2 兰5y , 解 得 1 勻yE4, 所 以2 2 2所以 cosB=J^ -♦答案:★解析: 不妨设e = 1,0 , a = x, y ，由 a ，e=2 得 x=2 , <5 a +te 等价于2019A 9、在.\ABC 中，BC =a,CA =b, AB =c ，若b 是a 与c 的等比中项，且 sin A 是 sin B-A 与sin C 的等差中项，求cosB 的值.★解析：因为b 是a 与c 的等比中项，故存在 q > 0，使得b = qa, c = q 2a ① 由 sin A 是 sin B-A 与 sinC 的等差中项，得 2si nA=si n B-A^s in C =2s in BcosA ,人2+2 _2结合正余弦定理得旦b c "abq 251q 4 1 -q 2 1 .5-12q 22ac2 2 2 4 2，即b c - a = 2ac ，将①代入得q = q 1，解得2bc2019B 2. 若平面向量a=(2m, —1)与b=(2m—1,2mH1)垂直，其中m为实数，则a的模♦答案：★解由条件得2m(2m—1 )+(—1 )2 2m=0，解得2m=3 ,所以a，= J32+(—1 )2 =析：2019B 3.设〉，「「0,二,cos [cos :是方程5X2-3X-1=0的两根，则sin〉si的值为______ .4♦答案：辽53i★解析： 由已知得 cos w ：；-cos , cos 〉cos，从而5 5sin ： sin ： $ = i 「cos? * [ 1 -cos 2 -2 2=1 COS ： COS. I I COS H -cos :2018A 7、设o 为 ABC 的外心，若 AB 2AC ，则sin. BAC 的值为 ___________________★解析：取 AC 的中点 D ，则 OD _ AC 。
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：5数列 Word版含答案
a ，而此时对任意正整数 n ，a + a + + a = na + n (n - 1) d = a + ⎢(n - 1)(k - 2)+ ⎥ d ，确实为 {a n }中的2 2 ⎣ ⎦★证明：由条件可知 k ≥ 4 ，且 d - dn n dd - dn2 = 22 11981 年~2019 年全国高中数学联赛试题分类汇编数列部分2019B 8. 设等差数列{a n}的各项均为整数，首项 a 1= 2019 ，且对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 a + a +12◆答案： 5+ a = a ．这样的数列{a }的个数为 ．n m n★解析：设 {a n}的公差为 d ．由条件知 a 1+ a = a （ k 是某个正整数）， 2 k则 2a + d = a + (k -1)d ，即 (k - 2)d = a ，因此必有 k ≠ 2 ，且 d = 1 1 1 n - 1这样就有 a = a + (n - 1)d = a +k - 2 1n 1 1a1 k - 2．⎡ n (n - 1)⎤ 1 2n11一项．因此，仅需考虑使 (k - 2)| a 成立的正整数 k 的个数．注意到 2019 = 3 ⨯ 673 ，易知1k - 2 可取 -1,1,3,673,2019 这 5 个值，对应得到 5 个满足条件的等差数列．2019B 二、（本题满分 40 分）求满足以下条件的所有正整数 n ：(1) n 至少有 4 个正约数；(2) 若 d < d << d 是 n 的所有正约数，则 d - d , d - d , ,d - d 1 2 k 2 1 3 2 kk -1 构成等比数列。
d - d3 2 = k k -1 d - d d - d21k -1k -2……………10 分易得 d = 1,d = n ， d 1kk -1 =d2， dk -2 n - n d - d d =，代入上式得 3 ，3 -d d2 3n即 (d - d32)2 = (d2- 1)2 d ，由此可知 d 是完全平方数．由于 d = p 是 n 的最小素因3 3 2子， d 是平方数，故只能 d = p 2 ． ………………30 分3 3从而序列 d - d , d - d , 2 132d , d , , d12k,d - d kk -1为 p - 1, p 2 - p , p 3 - p 2 , ,p k -1 - p k -2 ，即为1, p , p 2 , , p k -1 ，而此时相应的 n 为 p k -1 .1下面用 t 表示 b , b , b 中 2 的项数。
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(8)解析几何(含答案)
b
0 ），则 2a
4, a
a2 b2 2
3 ，可
知 a 2,b 1 ， EF 2 3 ,所以 PE PF 4 ，又 PE PF 2 ，
所以 PE 2 PF 2 PE PF 2 2 PE PF 12 EF 2 ，即 EPF 为直角，进而
PEF 得面积为 1 PE PF 1。 2
AF 3 , BF 2 ，求 AB 的所有可能的值。
★解析：不妨设平面直角坐标系中椭圆
的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ），并记
c a2 b2 ．由对称性，可设 F 为 的右焦点．知 F 到椭圆 的左顶点的距离为 a c ， 到椭圆 的右顶点的距离为 a c ，到上下顶点的距离均为 a ， ⑴A,B 分别为左、右顶点．此时 a c 3, a c 2 ，故 AB 2a 5 ；
圆
:
x2 a2
y2 b2
1（ a b 0 ）的左、右顶点与上、下顶点．设 P,Q 是椭圆上且位于第一
象限的两点，满足 OQ // AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭圆交于点 R .
证明：线段 OQ, OR, BC 能构成一个直角三角形。
★证明:设点 P 的坐标为 x0 , y0 ，由于 OQ // AP ，则 AP OP OA ，
综上 AB 的所有可能的值为 5, 7, 17 。
2018A 4、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的左右焦点分别是
F1, F2 ， 椭 圆 C 的 弦 ST 与 UV 分 别 平 行 于 x 轴 和 y 轴 ， 且 相 交 于 点 P ， 已 知 线 段 PU , PS, PV , PT 的长分别为1,2,3,6 ，则 PF1F2 的面积为
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(4)平面向量与解三角形(含答案)
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编平面向量与解三角形部分2019A 3、平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e ⋅=，且25a a te ≤+对任意实数t 恒成立，则a 的取值范围为 。
◆答案：★解析：不妨设()1,0e =，(),a x y =，由2a e ⋅=得2x =，25a a te ≤+等价于245y +≤，即245y y+≤，解得14y ≤≤，所以22a y =+。
2019A 9、在ABC ∆中，,,BC a CA b AB c ===，若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．★解析：因为b 是a 与c 的等比中项，故存在0q >，使得2,b qa c q a ==①由sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，得()2sin sin sin 2sin cos A B A C B A =-+=，结合正余弦定理得2222a b c a b bc +-=，即2222b c a ac +-=，将①代入得421q q =+，解得2q =，所以222422211cos 22a c b q q B ac q q +-+-====。
2019B 2. 若平面向量()2,1m a =-与()121,2m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为 ．★解析：由条件得()()2211220mmm -+-⋅=，解得23m =，所以(23a =+= 2019B 3. 设(),0,αβπ∈，cos ,cos αβ是方程25310x x --=的两根，则sin sin αβ的值为 ．◆答案：★解析：由已知得3cos cos 5αβ+=，1cos cos 5αβ=-，从而 2018A 7、设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为◆答案：410★解析：取AC 的中点D ，则AC OD ⊥。
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(2)函数与方程(Word版,含答案)
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019A1、已知正实数a 满足()89aaa a =，则()log 3a a 的值为 ．◆答案：916★解析：由条件知189a a =，故91639a a a a =⨯=，所以()9log 316a a =。
2019A 二、（本题满分 40 分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =≤≤≤= ． 记()()22212201913243520172019f a a a a a a a a a a a =+++-++++，求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数．★解析：由条件知()()2017222221220182019212i i i f a a aaaa +==++++-∑． ①由于12,a a 及2i i a a +-（1,2,2016i =）均为非负整数，故有221122,a a a a ≥≥且()222i i i i a a a a ++-≥-．于是()()()201620162221221222017201811i i i i i i aaaa a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑②………………10 分由①、②得()2222017201820192017201820192f a a a a a a ≥++-++，结合20192019a =及201820170a a ≥>，可知()()2222201720172017201712999949740074002f a a a a ⎡⎤≥+-++=-+≥⎣⎦ ．③ (20)分 另一方面，令1219201a a a ====，19202119202k k a a k +-+==（1,2,,49k =），201999a =此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30 分以下考虑③的取等条件．此时2018201749a a ==，且②中的不等式均取等， 即121a a ==，{}20,1i i a a +-∈（1,2,2016i =）。
1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：三角函数(含解析)
1981年-2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：三角函数（含解析）2019A 6、对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =，则a 的值为 ． 答案：56π或1312π 解析：若02a π<<，[][]0,,20sin 2a a a M a M ≤=≤,与条件不符，所以2a π>，此时[]0,1a M =，[],212a a M =，于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k ππππ+≤<≤+①，且①处至少有一处取到等号。
当0k =时，得56a π=或1326a π=，经检验得56a π=或1312a π=均满足条件；当1k ≥时，由于13522266k k ππππ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，故不存在满足①的a 。
综上56a π=或1312a π=。
2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为答案： 47-解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2017A 2、若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围为 答案： []13,1+-解析：由1cos 22=+y x 得[]3,1cos 212-∈-=y x ，得[]3,3-∈x ，21cos 2x y -=，所以()1121cos 2--=-x y x ，[]3,3-∈x 可求得其范围为[]13,1+-。
2016A 6、设函数10cos 10sin )(44kxkx k f +=，其中k 是一个正整数。
若对任意实数a ，均有{}{}R x x f a x a x f ∈=+<<|)(1|)(，则k 的最小值为 答案：16解析：由条件知，10cos 10sin 2)10cos 10(sin )(22222kxkx kx kx x f -+= 4352cos 415sin 12+=-=kx kx其中当且仅当)(5Z m km x ∈=π时，)(x f 取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点，从而15<k π，即π5>k ．反之，当π5>k 时，任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期，此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立．综上可知，正整数的最小值为161]5[=+π．2015A 2、若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 答案：2解析：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+2cos sin 22=-+=αα．2015A 7、设w 是正实数，若存在b a ,)2(ππ≤<≤b a ，使得2sin sin =+wb wa ，则w 的取值范围是答案：9513[,)[,)424w ∈+∞U解析：由2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,][,)424w ∈+∞U ．2015B 3、某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值为答案：解析：由辅助角公式：sin cos )T a t b t t ϕ=+=+，其中ϕ满足条件sin ϕϕ==则函数T 的值域是[，室内最大温差为10≤5≤．故a b +≤≤等号成立当且仅当a b ==2014A 10、（本题满分20分）数列{}n a 满足61π=a ，)arctan(sec 1n n a a =+，（*∈N n ）求正整数m ，使得1001sin sin sin 21=⋅⋅⋅m a a a Λ。
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：4平面向量与解三角形 Word版含答案
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编平面向量与解三角形部分2019A 3、平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e ⋅=，且25a a te ≤+对任意实数t 恒成立，则a 的取值范围为 。
◆答案：★解析：不妨设()1,0e =，(),a x y =，由2a e ⋅=得2x =，25a a te ≤+等价于24y +≤，即245y y+≤，解得14y ≤≤，所以22a y =+。
2019A 9、在ABC ∆中，,,BC a CA b AB c ===，若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．★解析：因为b 是a 与c 的等比中项，故存在0q >，使得2,b qa c q a ==①由sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项，得()2sin sin sin 2sin cos A B A C B A =-+=，结合正余弦定理得2222a b c a b bc +-=，即2222b c a ac +-=，将①代入得421q q =+，解得2q =，所以222422211cos 22a c b q q B ac q q +-+-====。
2019B 2. 若平面向量()2,1m a =-与()121,2m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为 ．★解析：由条件得()()2211220mm m -+-⋅=，解得23m =，所以(23a =+=2019B 3. 设(),0,αβπ∈，cos ,cos αβ是方程25310x x --=的两根，则sin sin αβ的值为 ．◆答案：★解析：由已知得3cos cos 5αβ+=，1cos cos 5αβ=-，从而 ()()()222sin sin 1cos 1cos αβαβ=--()()221cos cos cos cos αβαβ=+-+224375525⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2018A 7、设O 为ABC ∆的外心，若2+=，则BAC ∠sin 的值为 ◆答案：410 ★解析：取AC 的中点D ，则AC OD ⊥。
历年全国高中数学联赛(1981-2019)试题分类汇编： 14数论
1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编数论部分2019A 5、在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10---- 中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．◆答案：37100★解析：首先数组(),a b 有1010100⨯= 种等概率的选法． 考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．①若a 被 3 整除，则b 也被 3 整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(),a b 有339⨯=组．若a 不被 3 整除，则()21mod3a ≡，从而()1mod3b ≡-．此时a 有7 种选法，b 有4种选法，这样的(),a b 有7428⨯=组． 因此92837N =+=．于是所求概率为37100。
2019A 三、（本题满分 50 分）设m 为整数，2m ≥．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s , (2r s >≥ )使得1r s a a a ==，则r s m -≥．★解析：证明：不妨设12,a a 互素（否则，若()12,1a a d =>，则12,1a a d d ⎛⎫=⎪⎝⎭互素，并且用12,,a a d d代替12,,a a ，条件与结论均不改变）．由数列递推关系知()234mod a a a m ≡≡≡． ①以下证明：对任意整数3n ≥，有()()2123mod n a a a n a m m ≡-+-⎡⎤⎣⎦． ② ………10 分 事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有()212mod k ma ma m -≡，结合归纳假设知()()()21122221232mod k k k a a ma a k a m ma a a k a m +-≡-≡+--=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ≥均成立． ………………20 分注意，当12a a =时，②对2n =也成立． 设整数,r s , (2r s >≥ )，满足1r s a a a ==． 若12a a =，由②对2n ≥均成立，可知()()()221221233mod r s a a r a m a a a a s a m m -+-≡≡≡-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即()()()121233mod a r a a s a m +-≡+-，即 ()()20mod r s a m -≡． ③ 若12a a ≠，则12r s a a a a ==≠故3r s >≥．此时由于②对3n ≥均成立， 故类似可知③仍成立． ………………30 分 我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为23,,a a 的公因子，而12,a a 互素，故/|p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得()0mod r s m -≡．又r s >，所以r s m -≥． ………………50分2018A 四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 与∑=ni ia1互素，且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。
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等号成立当且仅当 a : b : c = 3 : 6 : 5 ．因此 sin C 的最大值是 7 ．……………16 分 3
2016B 10、（本题满分 20 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ⋅ AC + 2BA⋅ BC = 3CA⋅ CB （1）将 BC,CA, AB 的长分别记为 a,b, c ，证明： a2 + 2b2 = 3c2 ；
为
．
◆答案： 10
- 1 - / 15
r
( ) ★解析：由条件得 2m 2m −1 + (−1) 2 ⋅ 2m = 0 ，解得 2m = 3 ，所以 a = 32 + (−1)2 = 10 。
2019B 3. 设α , β ∈(0,π ) ， cosα, cos β 是方程 5x2 − 3x −1 = 0 的两根，则 sin α sin β 的值
的面积为 3 ，则 AM ⋅ AN 的最小值为 ◆答案： 3 + 1
- 2 - / 15
( ) ★解析：由条件知 AM = 1 AB + AC ， AN = 3 AB + 1 AC ，则
2
4
4
AM
⋅ AN
=
1 8
3
AB
2
+
AC
2
+ 4AB ⋅ AC ，
由
3 = S ∆ABC
=
1 2
AB
×
AC
sin A =
sin ( B − A) 与 sin C 的等差中项，求 cos B 的值．
★解析：因为 b 是 a 与 c 的等比中项，故存在 q > 0 ，使得 b = qa, c = q2a ①
由 sin A 是 sin ( B − A) 与 sin C 的等差中项，得 2sin A = sin ( B − A) + sin C = 2sin B cos A ，
为
．
7
◆答案： 5
★解析：由已知得 cosα + cos β = 3 ， cosα cos β = − 1 ，从而
5
5
(sinα sin β )2 = (1− cos2 α )(1− cos2 β )
= (1+ cosα cos β )2 − (cosα + cos β )2
=
4 5
2
−
3 5
2
=
7 25
2018A 7、设 O 为 ∆ABC 的外心，若 AO = AB + 2 AC ，则 sin ∠BAC 的值为
10
◆答案： 4
★解析：取 AC 的中点 D ，则 OD ⊥ AC 。由 AO = AB + 2 AC 得 AO − AB = 2AC = BO ，
知 OD ⊥ BO ，且 B, A 在直线 OD 同侧。不妨设圆 O 的半径为 2 ，则 AC = 1 OB = 1, 2
结合正余弦定理得 a = b2 + c2 − a2 ，即 b2 + c2 − a2 = 2ac ，将①代入得 q4 = q2 +1，解得
b
2bc
q2 =
5 +1 ，
2
所以 cos B
=
a2
+ c2 − b2 2ac
=
q4
+1− q2 2q2
=
1 q2
=
5 −1
。 2
( ) ( ) r
r
r
2019B 2. 若平面向量 a = 2m , −1 与 b = 2m −1, 2m+1 垂直，其中 m 为实数，则 a 的模
◆答案： − 2 4
★解析：由正弦定理知， a = sin A = 2 ，又 b2 = ac ，于是 a : b : c = 2 : 2 :1 ，从而由余 c sin C
弦定理得： cos A = b2 + c2 − a2 = (
2)2 +12 − 22 = −
2 .
2bc
2× 2 ×1
4
2016A 9、（本题满分 16 分）在 ∆ABC 中，已知 AB ⋅ AC + 2BA ⋅ BC = 3CA ⋅ CB ，求 sin C
( ) cos ∠BOC = cos 900 + ∠DOC = − sin ∠DOC = − MC = − 1 ，在 ∆BOC 中，有余弦定理得 OC 4
BC =
10 ,在 ∆ABC 中，由正弦定理得 sin ∠BAC = BC =
10 。
2R 4
2017A 7、在 ∆ABC 中， M 为边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点，若 ∠A = π ，∆ABC 3
★解析：不妨设
r e
=
(1, 0)
，
r a
=
( x,
y)
，由
r a
r ⋅e
=
2
得
x
=
2
，
r a
2
≤r te
等价于
r
4 + y2 ≤ 5 (2 + t )2 + y2 ，即 4 + y2 ≤ 5 y ，解得1 ≤ y ≤ 4 ，所以 a =
22 + y2 ∈ 5, 2 5 。
2019A 9、在 ∆ABC 中， BC = a, CA = b, AB = c ，若 b 是 a 与 c 的等比中项，且 sin A 是
3 AB × AC 得 AB × AC = 4 4
2
2
所以 AB ⋅ AC = 2 ，所以 3 AB + AC ≥ 8
3 ，当且仅当 AB =
2
, AC = 2 × 4 3 时取等。
43
则 AM
⋅ AN
=
1 8
3
AB
2
+
AC
2
+
4
AB
⋅
AC
≥
3 +1。
2017B 4、在 ∆ABC 中，若 sin A = 2sin C ，且三条边 a,b, c 成等比数列，则 cos A 的值为
即 a 2 + 2b2 = 3c 2 ．………………………………8 分
由余弦定理及基本不等式，得
- 3 - / 15
cos C
=
a2
+ b2
− c2
=
a2
+ b2
− 1 (a2 3
+ 2b2 )
2ab
2ab
= a + b ≥2 a • b = 2 3b 6a 3b 6a 3
所以 sin C = 1 − cos2 C ≤ 7 ．………………………………12 分 3
全国高中数学联赛（1981-2019 年）试题分类汇编讲解 4 平
面向量与解三角形部分
r
r rr
r2 r r
2019A 3、平面直角坐标系中， e 是单位向量，向量 a 满足 a ⋅ e = 2 ，且 a ≤ 5 a + te 对
r
任意实数 t 恒成立，则 a 的取值范围为
。
◆答案： 5, 2 5
的最大值。
★解析：由数量积的定义及余弦定理知， AB • AC = cb cos A = b2 + c 2 − a 2 ． 2
同理得， BA • BC = a 2 + c2 − b2 ， CA • CB = a 2 + b2 − c 2 ．故已知条件化为
2
2
b 2 + c 2 − a 2 + 2(a 2 + c 2 − b 2 ) = 3(a 2 + b 2 − c 2 )