河北省邢台外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

河北省邢台外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）某中学从已编号（1～60）的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）A．6，16，26，36，46，56 B．3，10，17，24，31，38C．4，11，18，25，32，39 D．5，14，23，32，41，502．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A．720 B．120 C．24 D．﹣1203．（5分）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方法从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A．两次都不中B．至多有一次中靶C．两次都中靶D．只有一次中靶5．（5分）已知a，b∈R，“a＞b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）下面程序执行后输出的结果是（）A．1，2，3 B．2，3，1 C．3，2，1 D．2，3，27．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0 B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0 D．∀x≤0，x2+x＞08．（5分）二进制数111011001001（2）对应的十进制数是（）A．3901 B．3902 C．3785 D．39049．（5分）已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p∨q”，“￢p”中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）在区间上任取两个数x、y，则满足的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，512．（5分）若b，c是从2，4，6，8中任取的两个不相等的数，则方程x2+bx+c=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是．14．（5分）命题“a＞b则ac2＞bc2”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有个．15．（5分）下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②A，B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；③若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1；④事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件．其中错误的是．16．（5分）设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0，若p真q假，则实数c的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15．（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？（3）已知y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．20．（12分）已知p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．（12分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名学生，测量他们的体重（单位：kg），获得体重数据的茎叶图如图：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均体重较重；（2）计算甲班的众数、极差和样本方差；（3）现从乙班这10名体重不低于64kg的学生中随机抽取两名，求体重为67kg的学生被抽取的概率．河北省邢台外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）某中学从已编号（1～60）的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）A．6，16，26，36，46，56 B．3，10，17，24，31，38C．4，11，18，25，32，39 D．5，14，23，32，41，50考点：系统抽样方法．专题：计算题；概率与统计．分析：将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量，若不能整除时，要先去掉几个个体．解答：解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚，采用系统抽样间隔应为=10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选：A．点评：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．2．（5分）执行如图的程序框图，那么输出的S=（）A．720 B．120 C．24 D．﹣120考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=6时，不满足条件k≤5，输出s的值为720．解答：解：执行程序框图，有k=1，s=1满足条件k≤5，k=2，s=2满足条件k≤5，k=3，s=6满足条件k≤5，k=4，s=24满足条件k≤5，k=5，s=120满足条件k≤5，k=6，s=720不满足条件k≤5，输出s的值为720．故选：A．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．3．（5分）一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方法从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：依据总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．解答：解：一个总体含有100个个体，某个个体被抽到的概率为，∴以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为×5=．故选：B．点评：不论用哪种抽样方法，不论是“逐个地抽取”，还是“一次性地抽取”，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，体现了抽样方法具有客观公平性．4．（5分）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A．两次都不中B．至多有一次中靶C．两次都中靶D．只有一次中靶考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：直接利用对立事件的概念写出结果即可．解答：解：“至少有一次中靶”的对立事件为：一次中靶一次不中靶或两次都中靶．故选A．点评：本题考查对立事件的概念的应用应用，基本知识的考查．5．（5分）已知a，b∈R，“a＞b”是“lga＞lgb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：根据对数函数y=lgx在定义域内单调递增可知a＞b＞0⇔lga＞lgb，从而可判断．解答：解：a＞b但a，b若不是正数，则lga，lgb没有意义，若lga＞lgb，则根据对数函数y=lgx在定义域内单调递增可知a＞b＞0，∴a＞b是lga＞lgb的必要不充分条件，故选B．点评：本题主要考查了对数函数的定义域及对数函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的定义域的限制，而本题a＞b不能推出lga＞lgb即是因为定义域的限制条件要求a＞b＞0．6．（5分）下面程序执行后输出的结果是（）A．1，2，3 B．2，3，1 C．3，2，1 D．2，3，2考点：伪代码．专题：图表型．分析：模拟程序的运行过程，分析每一行执行后变量的值，即可得到．解答：解：模拟程序的运行结果执行完前3行后：a=1，b=2，c=3，执行完第4行后：a=2，执行完第5行后：b=3执行完第6行后：c=2执行完第7行后：a=2，b=3，c=2故输出结果为2，3，2．故选D．点评：本题考查的知识点是赋值语句，其中正确理解变量存储数据的特点是解答本题的关键．7．（5分）命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x0＞0，x02+x0＞0 B．∃x0＞0，x02+x0≤0C．∀x＞0，x2+x≤0 D．∀x≤0，x2+x＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定为：∃x0＞0，x02+x0≤0．故选：B．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．8．（5分）二进制数111011001001（2）对应的十进制数是（）A．3901 B．3902 C．3785 D．3904考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：根据二进制和十进制之间的互化原则，需要用二进制的最后一位乘以2的0次方，以此类推，写出一个代数式，得到结果．解答：解：二进制数111011001001（2）对应的十进制数是：1×20+1×23+1×26+1×27+1×29+1×210+1×211=3785．故选C．点评：本题考查二进制和十进制之间的互化，本题解题的关键是理解两者之间的关系，不仅是这两种进位制之间的互化，既是还有其他的互化也可以用类似方法求解．9．（5分）已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p∨q”，“￢p”中，真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：复合命题的真假．专题：证明题．分析：由集合之间的关系判断出命题p、q的真假，再由复合命题的真假性原则进行判断即可．解答：解：由集合之间的关系得：命题p：∅⊆{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q真命题，命题p是假命题，故选A．点评：本题考查了集合之间的关系，以及复合命题真假性原则的应用．10．（5分）在区间上任取两个数x、y，则满足的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：在区间上任取两个数x、y，构成一个正方形区域，满足的x、y构成以原点为圆心，以为半径的圆面，用圆的面积除以正方形的面积即为所求．解答：解：在区间上任取两个数x、y，构成一个以原点为中心且4条边分别与坐标轴平行的正方形构成的区域，满足的x、y构成以原点为圆心，以为半径的圆面．故所求事件的概率等于=，故选A．点评：本题考查等可能事件的概率，几何概型，判断满足的x、y构成以原点为圆心，以为半径的圆面，是解题的关键．11．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（）A．6，6 B．5，6 C．5，5 D．6，5考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：把所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，结果有6次乘法运算，有6次加法运算，本题也可以不分解，直接从最高次项的次数直接得到结果．解答：解：∵f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1=（3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8）x+1=+1={{{x+6}x+7}x+8}x+1∴需要做6次加法运算，6次乘法运算，故选A．点评：本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算，不是求具体的运算值而是要我们观察乘法和加法的运算次数，本题是一个基础题．12．（5分）若b，c是从2，4，6，8中任取的两个不相等的数，则方程x2+bx+c=0有实数根的概率是（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从四个数字中取两个数字作为b，c共有A42种结果，满足条件的事件是使得分成有实根，即b2﹣4c≥0，列举出所有满足条件的事件，得到概率解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从四个数字中取两个数字作为b，c共有A42种结果，满足条件的事件是使得分成有实根，即b2﹣4c≥0，当b=2时，a没有合适的选择，当b=4时，a=2，当b=6时，a=2，4，8当b=8时，a=2，4，6一共有1+3+3=7种结果，∴要求的概率是P=故选B．点评：本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中应用列举法求出满足条件的事件数，列举时要按照从大到小的顺序，做到不不重不漏．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：由条件根据古典概型及其概率计算公式，求得从中任取一个恰为合格铁钉的概率．解答：解：盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率为=，故答案为：．点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．14．（5分）命题“a＞b则ac2＞bc2”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有2个．考点：四种命题的真假关系．专题：计算题．分析：根据命题的等价关系，可先判断原命题与逆命题的真假从而得出另两个命题的真假．解答：解：若a＞b，c2=0，则ac2=bc2．∴原命题为假；∵逆否命题与原命题等价∴逆否命题也为假若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b．∴逆命题为真；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真；综上，四个命题中，真命题的个数为2．故答案为：2．点评：本题主要考查：根据命题的等价关系，四个命题中，真（假）命题的个数必为偶数个．15．（5分）下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②A，B为两个事件，则P（A∪B）=P（A）+P（B）；③若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1；④事件A，B满足P（A）+P（B）=1，则A，B是对立事件．其中错误的是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用互斥事件与对立事件的关系判断①的正误；利用并事件的概率判断②的正误；互斥事件的概率和判断③的正误；对立事件与概率的关系判断④的正误．解答：解：对于①，有对立事件的定义，可知①正确；对于②，A、B不互斥时不成立；可知②不正确；对于③，事件A，B，C两两互斥，两两互斥，并不代表A∪B∪C是必然事件，可知③不正确；对于④，例如：设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P（A）=，P（B）=，满足P（A）+P（B）=1，但A、B不是对立事件．可知④不正确．故答案为：②③④．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，互斥事件与对立事件的关系，和事件的概率的求法，考查基本知识的考查．16．（5分）设命题p：c2＜c和命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0，若p真q假，则实数c的取值范围是．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据命题真假之间的关系进行求解即可．解答：解：命题p：c2＜c为真时：解得0＜c＜1，命题q：∀x∈R，x2+4cx+1＞0真时，则判别式△=16c2﹣4＜0，解得﹣＜c＜，则￢q：c≤﹣或c≥，由，解得，∴c的取值范围为，故答案为：点评：本题主要考查复合命题的应用，根据命题的真假求出对应的等价条件是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的概率是0.15．（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？（3）已知y≥185，z≥185，求第三车间中女工比男工少的概率．考点：分层抽样方法；等可能事件的概率．专题：常规题型．分析：（1）在抽样过程中每个个体被抽到的概率是一样的，抽到第二车间男工的概率是0.15，用x除以1000就得到0.15，算出x的值．（2）先做出第三车间的总人数，根据每个个体被抽到的概率，做出总人数．（3）由y+z=400，且y≥185，z≥185，得到满足条件的（y，z），列举出所有的情况，即总是件数，再看女工比男工少有几组，根据古典概型公式得到结果．解答：解：（1）由题意可知；（2）由题意可知第三车间共有工人数为1000﹣（173+177）﹣（100+150）=400名，则设应在第三车间级抽取m名工人，则．（3）由题意可知y+z=400，且y≥185，z≥185，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214）…（215，185）第一个数字是连续的整数，有215﹣185+1=31个整数因此共有31组．设事件A：第三车间中女工比男工少，即y＜z，满足条件的（y，z）有（185，215），（186，214）…（199，201），共有199﹣185+1=15组．故．点评：本题考查抽样和古典概型的概率，高考时这个知识点常以选择和填空形式出现，通过对现实生活中实际问题进行简单随机抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法．18．（12分）某校从参加2014-2015学年高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．考点：频率分布直方图．专题：计算题；图表型．分析：（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可．解答：解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71．点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A 包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案．解答：解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有=15种；设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，因此，P（A）=．（2）设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，从6件中抽取2道，有C62种情况，而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41•C21=8种情况，根据古典概型的计算，有P（B）=．点评：本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题．20．（12分）已知p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：通过p是q的充分不必要条件，列出关系式，即可求解m的范围．解答：解：因为p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），p是q的充分不必要条件，所以，所以m≥2．当m=2时，p是q的充要条件，又m＞0所以实数m的取值范围：（2，+∞）．点评：本题考查充要条件的应用，注意两个命题的端点值不能同时成立，这是易错点．21．（12分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．22．（12分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名学生，测量他们的体重（单位：kg），获得体重数据的茎叶图如图：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均体重较重；（2）计算甲班的众数、极差和样本方差；（3）现从乙班这10名体重不低于64kg的学生中随机抽取两名，求体重为67kg的学生被抽取的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（2）先求的平均数的值，再利用方差的定义求出甲班的样本方差．（3）乙班这10名体重不低于64kg的学生中随机抽取两名共有6种分法，抽取体重为67kg的同学的有3种，根据概率公式计算即可解答：解：（1）由茎叶图可知：乙班的平均体重较重（2）众数为51 极差为71﹣40=31=（40+50+3×51+60+61+62+63+71）=56，S2==71.8（3）从乙班这10名体重不低于64kg的学生中随机抽取两名共有以下6种不同的方法：（64，65），（64，67），（64，72），（65，67），（65，72），（67，72）设A表示随机事件“抽取体重为67kg的同学”则A中的基本事件有3个：（64，67），（65，67），（67，72）∴概率为P（A）=点评：本题主要考查茎叶图的应用、方差的定义和求法，概率公式，属于中档题．。