清远市南阳中学2017届高三下学期第一次模拟考试(文数)

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广东省清远市2017届高三数学第一次模拟考试试题文

梓琛中学2017届高三第一次模拟考试数学（文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.若集合{}3,2,1,0=A ，{}4,2,1=B则集合A B = （）A. {}4,3,2,1,0B. {}4,3,2,1C. {}2,1D. {}02.在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D.第四象限 3.如果函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，则ω的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4 4．已知向量()1,2a = ，(),1b x =，且a b ⊥ ，则x 等于( )A ．2-B ．12C ．2D ．12-5．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（）A ．8B ．12C ．88-或D ．1212-或 6.设条件:0p a >；条件2:0q a a +≥，那么p 是q 的（）条件 .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7.已知直线1:210l ax y ++=与直线2:(3)0l a x y a --+=，若12//l l ，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．6D ．1或28.已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()lg(1)lg(1)g x x x =--+，则（） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数,()g x 为奇函数图29．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（）A ．22B ．16C ．15D ．11 10．下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行11.已知函数1()()sin 2xf x x =-，则()f x 在[0,2]π的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y = B ．2y x =±C．3y x =± D ． 32y x=± 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年广东省清远市清新一中高三文科一模数学试卷

2017年广东省清远市清新一中高三文科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 等差数列中，已知，那么A. B. C. D.2. 若方程（是常数）则下列结论正确的是A. ，方程表示椭圆B. ，方程表示双曲线C. ，方程表示椭圆D. ，方程表示抛物线3. 中，，，，则等于A. B. 或 C. 或 D.4. 抛物线的准线方程是A. B. C. D.5. 下列各函数中，最小值为的是A. B. ，C. D.6. 已知是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率是A. B. C. D.7. 设，，为平面上的动点，若当时，的轨迹为A. 双曲线的一支B. 一条线段C. 一条射线D. 两条射线8. 函数，的最大值是A. B. C. D.9. 函数在点处的切线方程是A. B. C. D.10. 函数有极值的充要条件是A. B. C. D.11. 曲线，曲线．若与有相同的焦点，，且同在，上，则A. B. C. D.12. 已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 在空间直角坐标系中，点，，则，两点间的距离为______．14. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则 ______， ______；高校相关人数抽取人数若从高校B，C抽取的人中选人作专题发言，则这人都来自高校C的概率 ______．15. 将某选手的个得分去掉个最高分，去掉一个最低分，个剩余分数的平均分为．现场作的个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则个剩余分数的方差为______．16. 已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则______； ______．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知直线是曲线在点处的切线．（1）求的方程；（2）求直线与轴、直线所围成的三角形的面积．18. 设是一个公差为的等差数列，它的前项和且，，成等比数列．（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式．19. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率，若命题，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围?20. 已知，，分别是的三个内角，，的对边．（1）若面积，，，求，的值；（2）若，且，试判断的形状．21. 设函数．（1）求函数的单调区间．（2）若的图象与轴有三个交点，求实数的取值范围．22. 已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为求直线的方程．答案第一部分1. D2. B3. B4. C5. A6. C7. C8. D9. C 10. C11. B 12. D第二部分13.14. ；；15.16. ；第三部分17. （1）的导数为，则曲线在点处的切线斜率为，即有曲线在点处的切线方程为，即．（2）时，；时，，所以直线与轴、直线所围成的三角形的面积为．18. （1）因，，成等比数列，故，而是等差数列，有，．于是，即，化简得．（2）由条件和，得到．由（1），，代入上式得．故，，因此，数列的通项公式为．19. 若命题：方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题；则，解得，则命题为假命题时，，或，若命题：双曲线的离心率为真命题；则，即，即，则命题为假命题时，，或，因为命题，中有且只有一个为真命题，当真假时，，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：或．20. （1）因为，所以，得，由余弦定理得：，所以（2）由余弦定理得：，所以，所以；在中，，所以，所以是等腰直角三角形．21. （1），令得，解得或，令得，解得．所以的增区间为，，减区间为．（2）由（1）知当时，取得极大值；当时，取得极小值．因为的图象与轴有三个交点．所以解得：．22. （1）法一：依题意，由，得双曲线方程为 \（\[\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{{4 - {a^2}}} = 1 \left（0 < {a^2} < 4 \right），\]\） 将点代入上式，得 \（\[\dfrac{9}{a^2} - \dfrac{7}{{4 -{a^2}}} = 1，\]\） 解得 \（\[{a^2} = 18 \left（舍去\right）或 \ {a^2} = 2，\]\） 故所求双曲线方程为 \（\[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{y^2}{2} = 1.\]\） 法二：依题意得，双曲线的半焦距．所以 \（\[\begin{split}2a &= \left| {P{F_1}} \right| - \left| {P{F_2}} \right| \\& = \sqrt {{{\left（3 + 2\right）}^2} + {{\left（\sqrt 7 \right）}^2}} - \sqrt {{{\left（3 - 2\right）}^2} + {{\left（\sqrt 7 \right）}^2}} \\& = 2\sqrt 2 ，\end{split}\]\） 所以，．所以双曲线的方程为．（2）法一：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得 \（\[\left（ {1 - {k^2}} \right）{x^2} - 4kx - 6 = 0. \quad \cdots \cdots ① \]\） 因为直线与双曲线相交于不同的两点，，所以 \（\[\begin{cases}1 - {k^2} \ne 0 ，\\\Delta = {\left（ - 4k\right）^2} + 4 \times 6{\left（1 - k\right）^2}>0， \\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}k \ne \pm 1， \\- \sqrt 3 <k<\sqrt 3 ，\\\end{cases} \quad \cdots \cdots ②\]\） 所以．设，，则由式得 \（\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{4k}{{1 - {k^2}}} ， {x_1}{x_2} = \dfrac{ - 6}{{1 - {k^2}}}， \]\） 于是 \（\[\begin{split}\left| {EF} \right| & = \sqrt {1 + {k^2}} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \\& = \sqrt {1 + {k^2}} \cdot \dfrac{\sqrt \Delta }{\left| a \right|}\\& = \sqrt {1 + {k^2}} \cdot \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} . \end{split}\]\） 而原点到直线的距离，所以 \（\[\begin{split}{S_{\triangle OEF}} &= \dfrac{1}{2}d \cdot |EF| \\&= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} \cdot \sqrt {1 + {k^2}} \cdot \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} \\& = \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} .\end{split} \]\） 若，即 \（\[\dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {k^4} - {k^2} - 2 = 0，\]\） 解得，满足．故满足条件的直线有两条，其方程分别为 \（\[y = \sqrt 2 x + 2\ 和 \ y = - \sqrt 2 x + 2.\]\） 法二：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得 \（\[\left（1 -{k^2}\right）{x^2} - 4kx - 6 = 0. \quad \cdots \cdots ① \]\） 因为直线与双曲线相交于不同的两点，所以 \（\[\begin{cases}1 - {k^2} \ne 0， \\\Delta = {\left（ - 4k\right）^2} + 4 \times 6\left（1 - {k^2}\right）>0 ，\\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}k \ne \pm 1， \\- \sqrt 3 <k<\sqrt 3 ，\\\end{cases} \quad \cdots \cdots ②\]\） 所以．设，则由式得 \（\[\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left（{x_1} +{x_2}\right）}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \dfrac{\sqrt \Delta }{{|1 - {k^2}|}} = \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 -{k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}}， \quad \cdots \cdots ③\]\） 当，在同一支上时（如图1所示）， \（\[\begin{split}{S_{\triangle OEF}} &= \left| {{S_{\triangle OQF}} - {S_{\triangle OQE}}} \right| \\&=\dfrac{1}{2}|OQ| \cdot \left| {|{x_1}| - |{x_2}|} \right| \\&= \dfrac{1}{2}|OQ| \cdot |{x_1} - {x_2}|；\end{split}\]\） 当，在不同支上时（如图2所示）， \（\[\begin{split} {S_{\triangle OEF}} & = {S_{\triangle OQF}} + {S_{\triangle OQE}} \\& = \dfrac{1}{2}|OQ| \cdot \left（|{x_1}| + |{x_2}|\right）\\& = \dfrac{1}{2}|OQ| \cdot |{x_1} - {x_2}|. \end{split}\]\） 综上得，于是由及③式，得 \（\[{S_{\triangle OEF}} = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}}.\]\） 若，即 \（\[\dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 -{k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {k^4} - {k^2} - 2 = 0，\]\） 解得，满足．故满足条件的直线有两条，其方程分别为 \（\[y = \sqrt 2 x + 2\ 和 \ y = - \sqrt 2 x + 2.\]\） 。

广东省清远市华侨中学2017届高三第一次模拟考试数学(文)试题(附答案)

广东省清远市清城区一中高三第一次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}30 103x A x B x x x ⎧+⎫=≤=-≥⎨⎬-⎩⎭，，则A B 为（）A.[]1 3，B.[)1 3，C.[)3 -∞，D.(]3 3-，2．在区间[]1 3-，内任取一个实数x 满足()2log 10x ->的概率是（） A.13B.12C.14D.343．已知复数11z i i=++，则z 在复平面内对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4．已知函数()f x 的定义域为R ，M 为常数.若p ：对x R ∀∈，都有()f x M ≥；q ：M 是函数()f x 的最小值，则p 是q 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知直角坐标系中点()0 1A ，，向量()()4 3 7 4AB BC =--=--，，，，则点C 的坐标为（）A.()11 8，B.()3 2，C.()11 6--，D.()3 0-，6．已知24cos 0352παπα⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，，则sin sin 3παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭等于（）A. B.7．已知12132111log log 332a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则（） A.c b a >> B. b c a >> C.b a c >> D.a b c >>8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如下表所示：若根据表中数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中a 的值为（） A.3 B.3.15 C.3.5 D.4.59．将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()f x ，则函数()f x 的单调递增区间（）A.()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，B.()511 1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， C.()57 2424k kk Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， D.()719 2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 10．设()(32log f x x x =+，则对任意实数 a b ，，若0a b +≥，则（） A.()()0f a f b +≤ B.()()0f a f b +≥ C.()()0f a f b -≤ D.()()0f a f b -≥11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod4=.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的n 等于（）A.20B.21C.22D.2312．设函数()g x 是R 上的偶函数，当0x <时，()()ln 1g x x =-，函数()()3 0 0x x f x g x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，满足()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围是（）A.()() 1 2 -∞+∞ ，，B.()() 2 1 -∞-+∞ ，，C.()1 2，D.()2 1-，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A D 与'AB 所成角的大小是．14．若x ，y 满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则z x y =-的取值范围是．15．设数列{}n a 是首项为1公比为2的等比数列前n 项和n S ，若4log (1)4k S +=，则k=．16．已知函数21()21xf xx+=-，则122016()()()201720172017f f f+++=…．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求cosA的值；（2）若a=4，求c的值．18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率．下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19．在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD、E、F，分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若AB=2，求三棱锥E﹣DFC的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．21．已知函数．（1）设G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的单调递增区间；（2）证明：当x＞0时，f（x+1）＞g（x）；（3）证明：k＜1时，存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．答案：一、BCABC ACDAB CD 二、13、3π14、[2,2]- 15、8 16、2016 三、17、解：（1）由，得，…3分由知C 为锐角，故A 也为锐角，所以：cosA=，…6分（2）由cosA=，可得：sinA=，由，可得sinC=，…9分由正弦定理，可得：c==6，所以：c=6．…18．解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人…其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：…（2）因为…所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1，2，任取2名学生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c，2）、（1，2），共10种…其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a，1）、（a，2）、（b，1）、（c，1）、（c，2），共6种…所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为…19．证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，…所以，在△PAC中，EF∥PA…又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD…所以EF∥平面PAD…解：（2）AB=2，则，因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥PA，由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA，所以PA⊥平面PDC…又因为EF∥PA，且，所以EF⊥平面EDC…由CD⊥平面PAD得CD⊥PD，所以…从而…20．解：（1）由题意可得，…解得：，…故椭圆的标准方程为；…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），…由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理可知：，…又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R．则，…令，则t≥1，则，令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有，所以，即当t=1，即m=0时，最大，最大值为3．…21．解：（1）由题意知，…从而…令G'（x）＞0得0＜x＜2…所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）…（2）令…从而…因为x＞0，所以H'（x）＞0，故H（x）在（0，+∞）上单调递增…所以，当x＞0时，H（x）＞H（0）=0，即f（x+1）＞g（x）…（3）当k＜1时，令…则有…由F'（x）=0得﹣x2+（1﹣k）x+1=0，解之得，，…从而存在x0=x2＞1，当x∈（1，x0）时，F'（x）＞0，故F（x）在[1，x0）上单调递增，从而当x∈（1，x0）时，F（x）＞F（1）=0，即…22．解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y ﹣1）2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；（2）点P到直线l的距离d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为，点P的直角坐标（1+，1﹣）．23．解：（1）…得或或，解之得或x∈ϕ或x≥8，所以不等式的解集为…（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…由于2（m+n）﹣（mn+4）=2m﹣mn+2n﹣4=（m﹣2）（2﹣n）…且m≥3，n≥3，所以m﹣2＞0，2﹣n＜0，即（m﹣2）（2﹣n）＜0，所以2（m+n）＜mn+4…。

广东省清远市第一中学实验学校高三第一次模拟考试——

广东省清远市第一中学实验学校2017届高三第一次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“,”的否定为：（）A．, B．,C．, D．,2．复数的共轭．．复数是( )A B C D3．在长为3的线段上任取一点,则点与线段两端点的距离都大于1的概率等于（）A． B． C． D．4.经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A．或B．，C．，或D．，或，或5．某产品的广告费用与销售额的不完整统计数据如下表：若已知回归直线方程为,则表中的值为A． B．39 C．38 D．376．已知约束条件340210380x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，若目标函数在且只在点处取得最大值，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．已知直线mx＋4y－2＝0和2x－5y＋n＝0互相垂直，且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值是( )A．24 B．20 C．0 D．－48．如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内不能填入( ).A. i ≤2017?B.i<2018?C. i ≤2015?D.i ≤2016?9．“m =1”是“直线与直线平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．11．若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）．A ．若m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线；B ．若m ，n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；C ．已知α，β互相平行，m ，n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；D ．若m ，n 在平面α内的投影互相平行，则m ，n 互相平行．12.在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L 距离”定义为：||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L 距离”之和等于定值(大于||F 1F 2||)的点的轨迹可以是()A B C D第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.设，则虚数的实部为． 14.如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为．15.若满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪>-⎩，则的范围是．16.“开心辞典”中有这样个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：，它的第8个数可以是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I ）求直方图中的a 值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.18.（本小题12分）已知命题：，不等式恒成立，命题：椭圆的焦点在轴上．若命题p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围19.(本小题满分12分)的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c（I ）求C ；（II ）若的面积为，求的周长20. (本小题满分l2分)如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I ）证明平面；（II ）求四面体的体积.21．(本小题满分l2分) 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是（1）求的值（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为（i ）记“”为事件,求事件的概率；（ii ）在区间内任取2个实数，求事件“恒成立”的概率22．(本小题满分12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M(-a ,b )、N(a ,b )、F 2和F 1组成了一个高为，面积为的等腰梯形.（1）求椭圆的方程;（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求F 2AB 面积的最大值.答案：一、1.B 2．D 3． D 4． D 5． A 6． A 7． B 8．C 9．C 10 ．B 11． B 12． A 二、13.0 14. 15. 16.三、17.（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．【解析】（Ⅰ）由高×组距=频率，计算每组中的频率，因为所有频率之和为1，计算出a 的值；（Ⅱ）利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本总数=频数，计算所求人数；（Ⅲ）将前5组的频率之和与前4组的频率之和进行比较，得出2≤x <2.5，再进行计算.18.试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月用水量在的频率为0.08×0.5=0.04.（1分）同理，在，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06，0.04，0.02.（3分）由1–(0.04+0.08+0.21+.025+0.06+0.04+0.02)=0.5×a +0.5×a ，（4分）解得a =0.30.（5分）18. ．解：p 真：0623422<-=⨯-=∆m m ， ∴ ……3分 q 真： ∴ ……6分若p ∨q 为假命题，则363266≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-≤m m m m m m 或或或 ……11分∴ 实数m 的取值范围是 ……12分19(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵，∴∴，∵∴⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅1sin 2S ab C =⋅== ∴∴∴周长为20【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. ....9分取的中点，连结.由得，522=-=BE AB AE . 由得到的距离为，故525421=⨯⨯=∆BCM S ，所以四面体的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . .....12分 21.解：（1）依题意，得. ……3分（2）（i ）记标号为0的小球为，标号为1的小球为，标号为2的小球为，则取出2个小球的可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)s t s k s h t s t k t h k s k t k h h s h t h k ，共12种，其中满足“”的有4种；，∴ 所求概率为 …… 7分（ii ）记“恒成立”为事件B ，则事件B “恒成立”…8分则全部结果所构成的区域为＝{}(,)|02,02,,x y x y x y ≤≤≤≤∈R , ……9分而事件B 构成区域{}22(,)|4,(,)B x y x y x y =+>∈Ω，∴ 所求的概率为 ……12分22解：（1）由条件，得b=，且，所以a+c=3. ……………2分又，解得a=2，c=1.所以椭圆的方程. ………4分（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x=my -1，直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得, 096)43(22=--+my y m ，因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交..439,436221221+-=+=+∴m y y m m y y …………………6分 =21212121y y y y F F -=-………………8分 22222221221)311(14)43(1124)(+++=++=-+=m m m m y y y y ,)1(913211422++++=m m ……10分令,设,易知时,函数单调递减,函数单调递增，所以当t==1即m=0时，取最大值3.…………………12分。

2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

2017届高三数学一模试卷(文科)Word版含解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x 2+x ﹣12≤0}，N={y|y=3x ，x ≤1}，则集合{x|x ∈M 且x ∉N}为（） A ．（0，3] B ．[﹣4，3]C ．[﹣4，0）D ．[﹣4，0]2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R ），则=（）A ．2B ．4C ．D ．3．已知，则f[f （1﹣i ）]等于（）A ．3B ．1C ．2﹣iD ．3+i4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，28，则输出的a=（）A ．0B ．2C ．4D ．145．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A．13πB．16πC．25πD．27π7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．310．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a 13恰为等比数列{bn}的前三项（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn 是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．2017届高三数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x∉N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x∉N}=[﹣4，0）．故选：C．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣，因此，则=4故选：B．3．已知，则f[f（1﹣i）]等于（）A．3 B．1 C．2﹣i D．3+i【考点】函数的值．【分析】根据f（x）中的范围带值计算即可．【解答】解：∵1﹣i∉R∴f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2．那么：f[f（1﹣i）]=f（2）=1+2=3．故选A．4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b ＜a ，则a 变为16﹣12=4，由a ＜b ，则，b=12﹣4=8，由a ＜b ，则，b=8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：C ．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，（q ≠0）由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D6．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：对于选项A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂α；故B 错误；对于选项C，若α∥β，m⊥α，则由面面平行的性质定理可得m⊥β；故C正确；对于选项D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解答】解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B10．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2=﹣ac，由余弦定理可得cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，∵=，可得： =，整理可得：c2+a2﹣b2=﹣ac，∴由余弦定理可得：cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=．故选：B．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选 D12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数g（x）=，函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x﹣1=0解得x=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2015=2m，则m=2015．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是[﹣，5）．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线x=﹣1的距离是5，则点P到x轴的距离是4，∴△PFO的面积为=2，故答案为：2．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用函数y=sinπx的对称性得出∠OAB=2∠OAC，结合二倍角公式求出tan∠OAB的值．【解答】解：如图所示；O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点，∴AB过点D，且∠OAB=2∠OAC；又A（，1），∴tan∠OAC=，∴tan∠OAB===．故答案为：．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是[﹣，2e] ．【考点】函数的图象．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣lnx，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f （x ）与g （x ）的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y=e 对称， ∴设M （x ，kx ），则N （x ，2e ﹣kx ），∴2e ﹣kx=2lnx+2e ，∴k=﹣lnx ，k′=，由k′=0，得x=e ，∵≤x ≤e 2，∴x ∈[，e ）时，k′＜0，k=﹣lnx 是减函数；x ∈（e ，e 2]时，k′＞0，k=﹣lnx 是增函数，∴x=e 时，k=﹣lne=﹣；x=e 2时，k=﹣lne 2=﹣；x=时，k=﹣ln =2e ，∴k min =﹣，k max =2e ．∴实数k 的取值范围是[﹣，2e]．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出；（II ）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），∴，解得a 1=3，d=2， ∵b 1=a 1=3，b 2=a 4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a=3+2（n﹣1）=2n+1．n，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先检测的3个人的编号．（2）由，能求出a、b的值．（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，满足条件的（a，b）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．…（2）由，得a=14，…∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17．…（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同．…．…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．…∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD ⊥BF ，由直径的性质得BF ⊥AF ，故得出BF ⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；（2）V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ，设AD=a ，则可用a 表示出V 1，V 2．从而得出体积比．【解答】证明：（1）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ， ∴AD ⊥BF ，∵AB 是圆O 的直径，∴BF ⊥AF ，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF=A ， ∴BF ⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面DAF ⊥平面CBF ．（2）．连结OE ，OF ，则OE=OF=EF=1， ∴△AOF ，△OEF ，△BOE 是等边三角形，过F 作FM ⊥AB 于M ，则FM=，FM ⊥平面ABCD ，设AD=BC=a ，则V 1=V F ﹣ABCD ==．V 2=V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ===．∴V 1：V 2=：=4：1．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a ≥t 2﹣t+对t ∈[，2]恒成立或2a ≤t 2﹣t 对t ∈[，2]恒成立，令g （t ）=t 2﹣t+，则g′（t ）=，令g′（t ）=0，解得：t=1，而2t 2+t+1＞0恒成立，∴≤t ＜1时，g′（t ）＜0，g （t ）递减，1＜t ≤2时，g′（t ）＞0，g （t ）递增，∴g （t ）的最大值是max{g （），g （2）}，而g （）=＜g （2）=，∴g （t ）在[，2]的最大值是g （2）=，又t 2﹣t ∈[﹣，2]，∴2a ≥或2a ≤﹣，解得：a ≥或a ≤﹣，故a 的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN 的斜率存在和不存在，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I ）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F （﹣c ，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c ），由直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a 2﹣b 2=c 2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=﹣y 2，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，即有•=0，即有b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，即x 12﹣4y 12=0，又（x 1，y 1）在椭圆上，x 12+4y 12=4，可得x 12=2，|y 1|=，S △OMN =|x 1|•|y 1﹣y 2|=••=1；（2）当MN 的斜率存在，设MN 的方程为y=kx+t ，代入椭圆方程（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0， △=64k 2t 2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣4）=4k 2﹣t 2+1＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又•=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，（1+k 2）x 1x 2+4kt （x 1+x 2）+4t 2=0，代入整理，可得2t 2=1+4k 2，即有|MN|=•=•=•，又O 到直线的距离为d=，S △OMN =d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON 的面积为定值1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先分别求出普通方程，再写出极坐标方程；（2）利用极径的意义，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x ﹣2）2+y 2=4，x 2+（y ﹣1）2=1，极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=2sin θ；（2）设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α， ∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）利用柯西不等式，结合对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，∵关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集∴|a﹣3|≥3，∴a≥6或a≤0；（Ⅱ）由柯西不等式可得（+）（8x+6y）≥（）2，∴≤，∵对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，∴k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）．。

广东省清远市南阳中学2016-2017学年高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年广东省清远市南阳中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（60分，每题5分）1．设a ∈R ，则“a=﹣2”是“直线l 1：ax +2y ﹣1=0与直线l 2：x +（a +1）y +4=0平行”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y 2=2px （p ＞o ）的准线被圆x 2+y 2+2x ﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A ．（） B ．（2，0） C ．（） D ．（）4．命题P ：“若a ＜b ，则a +c ＜b +c”，则命题P 的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（） A ．0B ．2C ．3D ．45．下列否定不正确的是（）A ．“∀x ∈R ，x 2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02≤0”B ．“∃x 0∈R ，x 02＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜0”C ．“∃θ0∈R ，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R ，sinθ+cosθ≥1”D ．“∀θ∈R ，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R ，sinθ0＞16．已知F 1、F 2是椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且⊥．若△PF 1F 2的面积为9，则b=（）A ．3B ．6C ．3D ．27．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17 B．（x﹣2）2+y2=13 C．（x﹣1）2+y2=20 D．（x+1）2+y2=409．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（）A．或B．C．D．或10．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆11．x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或﹣1 D．2或112．抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m，交直线l于点A，交圆M于不同的两点O、B，且|AO|=|BO|=2，若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3二、填空题（20分，每题5分）13．10101（2）转化为十进制数是．14．已知f（x）=2sinx+1，则f′（）=．15．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为．（结果用数值表示）16．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为．三、解答题17．在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前10项和．18．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A 的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，（1）求证：B﹣C=（2）若a=，求△ABC的面积．21．若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，又有点M（1，1），的面积（结果用k表示）；求S△ABM的最大值．（3）求出（2）中S△ABM22．已知函数f（x）=lnx﹣x．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）若不等式xf（x）+x2﹣kx+k＞0对∀x∈（2，+∞）恒成立，求实数k的最大值；（3）若数列{a n}的通项公式为，试结合（1）中有关结论证明：a1•a2•a3…a n＜e（e为自然对数的底数）．2016-2017学年广东省清远市南阳中学高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．设a∈R，则“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a=﹣2时，两直线方程分别为l1：﹣2x+2y﹣1=0与直线l2：x﹣y+4=0满足，两直线平行，充分性成立．当a=1时，满足直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0平行，∴必要性不成立，∴“a=﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A．2．抛物线y2=2px（p＞o）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】圆x2+y2+2x﹣3=0化为（x+1）2+y2=4，得圆心C（﹣1，0），半径r=2，抛物线y2=2px（p＞0）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，可得圆心在准线上，即可得出p．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣3=0化为（x+1）2+y2=4，得圆心C（﹣1，0），半径r=2由抛物线y2=2px（p＞0）得准线l方程为x=﹣．∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线被圆x2+y2+2x﹣3=0所截得的线段长为4，∴圆心在准线上，∴=1∴p=2．故选：B．3．已知双曲线﹣=1的一条渐近线过点（，1），则此双曲线的一个焦点坐标是（）A．（）B．（2，0） C．（）D．（）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线过点（，1），建立方程求出a的值，结合a，b，c 的关系求出c的值即可得到结论．【解答】解：不妨设a＞0，则双曲线的渐近线方程为y=±x，∵渐近线过点（，1），∴点（，1）在y=x，上，代入得1=×=，得a=2，则c2=a2+2=4+2=6，即c=，则双曲线的焦点坐标为（±，0），故选：C．4．命题P：“若a＜b，则a+c＜b+c”，则命题P的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别判断原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，得到答案．【解答】解：根据不等式的基本性质，可得原命题：“若a＜b，则a+c＜b+c”为真命题，故其逆否命题也为真命题；其逆命题：“若a+c＜b+c，则a＜b”为真命题，故其否命题也为真命题；故选：D5．下列否定不正确的是（）A．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”B．“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2＜0”C．“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”D．“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题和特称命题否定的方法，写出各个命题的否定，可得结论．【解答】解：“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x02≤0”，故A正确；“∃x0∈R，x02＜0”的否定是“∀x∈R，x2≥0”，故B错误；“∃θ0∈R，sinθ0+cosθ0＜1”的否定是“∀θ∈R，sinθ+cosθ≥1”，故C正确；“∀θ∈R，sinθ≤1”的否定是∃θ0∈R，sinθ0＞1，故D正确；故选：B6．已知F1、F2是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥．若△PF1F2的面积为9，则b=（）A．3 B．6 C．3 D．2【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用⊥及△PF1F2的面积为9列式求得|PF1||PF2|=18．再由勾股定理及椭圆定义即可求得b．【解答】解：如图，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，又△PF1F2的面积为9，∴，得|PF1||PF2|=18．在Rt△PF1F2中，由勾股定理得：，∴，即2（a2﹣c2）=|PF1||PF2|=18，得b2=a2﹣c2=9，∴b=3．故选：A．7．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．8．已知圆C的圆心在x轴上，且经过A（5，2），B（﹣1，4）两点，则圆C的方程是（）A．（x+2）2+y2=17 B．（x﹣2）2+y2=13 C．（x﹣1）2+y2=20 D．（x+1）2+y2=40【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心为M（a，0），由|MA|=|MB|求得a的值，可得圆心坐标以及半径的值，从而求得圆的方程．【解答】解：∵圆C的圆心在x轴上，设圆心为M（a，0），由圆过点A（5，2），B（﹣1，4），由|MA|=|MB|可得MA2=MB2，即（a﹣5）2+4=（a+1）2+16，求得a=1，可得圆心为M（1，0），半径为|MA|=，故圆的方程为（x﹣1）2+y2=20，故选C．9．已知m是两个正数2，8的等比中项，则圆锥曲线x+=1的离心率为（）A．或B．C．D．或【考点】椭圆的简单性质；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的定义，求出m的值，再分类讨论，当m=4时，圆锥曲线为椭圆，当m=﹣4时，圆锥曲线为双曲线，最后根据离心率的定义求出即可【解答】解：∵m是两个正数2，8的等比中项，∴m2=2×8=16，即m=4或m=﹣4，当m=4时，圆锥曲线x+=1为椭圆，∴a=2，b=1，c=，∴e==，当m=﹣4时，圆锥曲线x﹣=1为双曲线，∴a=1，b=2，c=，∴e==，故选：D10．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【考点】椭圆的定义．【分析】根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|=|PF|，进而可知|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|=|PF|，∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选A11．x ，y 满足约束条件，若z=y ﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A ．或﹣1B ．2或C ．2或﹣1D ．2或1 【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y ﹣ax 化为y=ax +z ，z 相当于直线y=ax +z 的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y ﹣ax 化为y=ax +z ，z 相当于直线y=ax +z 的纵截距，由题意可得，y=ax +z 与y=2x +2或与y=2﹣x 平行，故a=2或﹣1；故选：C ．12．抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为的直线m ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |=|BO |=2，若P 为抛物线C 上的动点，则的最小值为（）A．﹣2 B．2 C．D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程，表示出，然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；【解答】解：因为=OA•cos=2×=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x，设⊙M的半径为r，则=2，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2故选：B二、填空题（20分，每题5分）13．10101（2）转化为十进制数是21．【考点】进位制．【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到结果．=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21，【解答】解：10101（2）故答案为：21．14．已知f（x）=2sinx+1，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】求出函数的导数，计算f′（）的值即可．【解答】解：∵f（x）=2sinx+1，∴f′（x）=2cosx，则f′（）=2•cos=，故答案为：．15．在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为0.7．（结果用数值表示）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数为n==10，剩下两个数字至少有一个是偶数的对立事件是剩下两个数字都是奇数，由此利用对立事件概率计算公式能求出剩下两个数字至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在五个数字1，2，3，4，5中，随机取出三个数字，基本事件总数为n==10，剩下两个数字至少有一个是偶数的对立事件是剩下两个数字都是奇数，∴剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为：p=1﹣=0.7．故答案为：0.7．16．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】当直线的斜率不存在时，即和x轴垂直时，面积最小，代值计算即可．【解答】解：抛物线焦点为（，0），当直线的斜率不存在时，即和x轴垂直时，面积最小，将x=代入y2=3x，解得y=±，=××2×=．故S△OAB故答案为：三、解答题17．在等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2+n，求数列{b n}的前10项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程即可得到所求；（2）求得b n=2+n=2n+n，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=4，a4+a7=15．得a1+d=4，（a1+3d）+（a1+6d）=15，解得a1=3，d=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=3+n﹣1=n+2；（2）由（1）可得b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+…+=（2+22+23+...+210）+（1+2+3+ (10)=+=+55=211+53=2101．18．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．19．如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A 的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△ABC中利用三角形内角和求得∠BCA和∠BAC，则BC可求得，最后利用正弦定理求得AC．【解答】解：在△ABC中，∠ABC=155°﹣125°=30°，∠BCA=180°﹣155°+80°=105°，∠BAC=180°﹣30°﹣105°=45°，BC=×50=25，由正弦定理，得∴AC==（浬）答：船与灯塔间的距离为浬．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）﹣csin（+B）=a，（1）求证：B﹣C=（2）若a=，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）通过正弦定理以及两角和与差的三角函数化简已知表达式，推出B﹣C的正弦函数值，然后说明B﹣C=．（2）利用a=，通过正弦定理求出b，c，然后利用三角形的面积公式求△ABC 的面积．【解答】解：（1）证明：由bsin（+C）﹣csin（）=a，由正弦定理可得sinBsin（+C）﹣sinCsin（）=sinA．sinB（）﹣sinC（）=．整理得sinBcosC﹣cosBsinC=1，即sin（B﹣C）=1，由于0＜B，C，从而B﹣C=．（2）解：B+C=π﹣A=，因此B=，C=，由a=，A=，得b==2sin，c==2sin，所以三角形的面积S==cos sin=．21．若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，又有点M（1，1），求S的面积（结果用k表示）；△ABM的最大值．（3）求出（2）中S△ABM【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），将Q的坐标代入，结合椭圆的离心率公式及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由等差数列的中项性质，化简整理可得m=0，将直线y=kx代入椭圆方程，求得A，B的坐标和弦长，求得M到直线AB的距离，运用三角形的面积公式可得S△的面积；ABM的面积的平方的最（3）令f（k）=，求出导数和单调区间，可得S△ABM大值，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由点在椭圆C上，知+=1 ①又e===②联立①②解得，a=2，b=1，所以椭圆方程为+y2=1；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线n的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2=﹣，因为直线OA，AB，OB的斜率依次成等差数列，所以+=2k，即x1y2+x2y1=2kx1x2，又y=kx+m，所以kx1x2+mx2+kx1x2+mx1=2kx1x2，即为m（x1+x2）=0，即m=0，联立易得A（，），B（﹣，﹣），弦AB的长为，又点M到直线y=kx的距离d=，=••=；所以S△ABM（3）令f（k）=，则f′（k）=，易知f（k）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减．又f（﹣）=5，且x→+∞时，f（k）→1．所以当k=﹣时，f（k）取最大值5，的面积取最大值．此时，S△ABM22．已知函数f（x）=lnx﹣x．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）若不等式xf（x）+x2﹣kx+k＞0对∀x∈（2，+∞）恒成立，求实数k的最大值；（3）若数列{a n}的通项公式为，试结合（1）中有关结论证明：a1•a2•a3…a n＜e（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据题意先求函数的导函数f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求出满足条件的范围，即可求出函数的单调区间；（2）求出g（x）的导数，令h（x）=x﹣ln x﹣1，根据函数的单调性求出k的最大值即可；（3）由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）＜x．由an=1+（n ∈N+），令k=1，2，3，…，n，累加后，利用放缩法可得答案．【解答】（1）解因f（x）=ln x﹣x，所以f′（x）=﹣1=．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（2）解：令g（x）==，则g′（x）=，令h（x）=x﹣ln x﹣1，则h′（x）=1﹣，x＞2时h′（x）＞0，故h（x）在（2，+∞）上单调递增，而h（x）＞h（2）=1﹣ln 2＞0，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（2，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（2）==2ln 2．由题意有k≤2ln 2，所以k的最大值是2ln 2．（3）证明：由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（1）=﹣1，即ln x＜x﹣1．因为a n=1+（n∈N*），所以ln a n=ln（1+）＜．令k=1，2，3，…+，n，这n个式子相加得：ln a1+ln a2+…+ln a n＜+++…=1﹣＜1．即ln （a1a2a3…+a n）＜1，所以a1a2a3…a n＜e．2017年4月2日。

广东省清远市南阳中学高三下学期第一次模拟考试——数

广东省清远市南阳中学 2017届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{}中，已知，那么（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 122．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A ）（B ）（C ）（D ）3．如果命题是真命题，命题是假命题，那么( )A. 命题p 一定是假命题B. 命题q 一定是假命题C. 命题q 一定是真命题D. 命题q 是真命题或假命题 4．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为 ( )．A.14B.35C ．4 D.535．在ΔABC 中，，则ΔABC 是 ( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 6．“a ≠1或b ≠2”是“a+b ≠3”的( )A ．必要不充分条件B ．既不充分也不必要条件C ．充要条件D ．充分不必要条件 7．设是等差数列的前n 项和，若，则的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 8．若A ，B ，C ，则△ABC 的形状是（） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条10. 已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量的夹角为( ) A. B. C. D.11．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 12已知，，其中是常数且，若的最小值是，满足条件的点是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是. 14．已知数列满足()*+∈+=N n x x n n lg 1lg 1，且123101x x x x ++++=K ，则101102l g ()x xx +++=K .15．已知，则展开式中的常数项为.16．设满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在中，角所对的边分别为，且满足. （Ⅰ）判断的形状；（Ⅱ）求的取值范围. 18．设数列各项为正数，且，. （Ⅰ）证明：数列为等比数列；（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使成立时的最小值.19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．如图，在正方形中，点，分别是，的中点，将分别沿，折起，使两点重合于.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.21．已知直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求这个定点的坐标.22．设，函数()32113f x x ax bx =+++，（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若在区间内恒成立，求的取值范围.答案：一、CDDBD AABBD DD 二 13、14、 15、16、三、17.（Ⅰ）等腰三角形（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角，即，再根据三角形内角范围得，因此结合正弦函数性质得（Ⅱ）先根据二倍角公式、配角公式将解析式化为基本三角函数，再根据三角形内角范围及正弦函数性质得取值范围试题解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理，得，即，在中，有，所以，即，所以是等腰三角形.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ），，则12cos2cos212A A A ⎫=+--⎪⎪⎝⎭12cos212A A --.因为，所以，则，所以，则，所以的取值范围是.…………10分18.（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】试题分析：（Ⅰ）证明数列为等比数列的基本方法为定义法，即求证数列相邻两项的比值为同一个不为零的常数：()()()23133log 1log 12log 1n n n a a a ++=+=+，其中需要说明及（Ⅱ）由于()221321log 124n n n n b a ---=+==为一个等比数列，所以根据等比数列求和公式得，因此不等式转化为，解得试题解析：（Ⅰ）由已知，，则，因为数列各项为正数，所以，由已知，，得()()313log 12log 1n n a a ++=+.又，所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列.……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，()221321log 124n n n n b a ---=+==，则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-…….不等式即为，所以，于是成立时的最小值为6.……………12分19.（Ⅰ）（Ⅱ）希望顾客参加抽奖.（Ⅲ）400【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从装有10个球的箱子中任摸一球的结果有10种，其中摸到红球的结果有4种，因此根据古典概型概率求法得（Ⅱ）比较与3次抽奖的数学期望的大小，由于3次抽奖是相互独立，所以可视为独立重复试验，其变量服从二项分布，由此可得数学期望为()30.4 1.2E X np ==⨯=，即三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元.（Ⅲ）求概率最大时对应的奖金：由于变量服从二项分布，所以作商得()()()21113P Y k k P Y k k=⨯-==-，，因此最大，即获得400元的现金试题解析：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是 .……2分（Ⅱ）设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则，所以()30.4 1.2E X np ==⨯=.由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元.由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.……………7分（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为. 由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则. 于是，恰好次中奖的概率为()10100.40.6kk kP Y k C -==⨯⨯，.从而()()()21113P Y k k P Y k k=⨯-==-，，当时，；当时，，则最大.所以，最有可能获得的现金奖励为元.于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.………………12分20.（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定与性质定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的寻找与论证往往需结合平几知识进行：连接交于，则根据等腰三角形性质得，（Ⅱ）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：（Ⅰ）证明：连接交于，连接.在正方形中，点是中点，点是中点，所以，所以，所以在等腰中，是的中点，且，因此在等腰中，，从而，又，所以平面，即平面.…………………6分（Ⅱ）方法一：在正方形中，连接，交于，设正方形的边长为2，由于点是中点，点是中点，所以，于是，从而90ADG DAG EAG DAG ∠+∠=∠+∠=︒，所以，于是，在翻折后的几何体中，为二面角的平面角，在正方形中，解得，，所以，在中，，，，由余弦定理得2222cos 23PG GF PF PGF PG GF +-∠==⋅，所以，二面角的余弦值为.………………………………12分方法二：由题知两两互相垂直，故以为原点，向量方向分别为，，轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系. 设正方形边长为2，则，，，. 所以，.设为平面的一个法向量，由得，令，得，又由题知是平面的一个法向量，所以2cos 3⋅<>==⋅m n m n m n ，.所以，二面角的余弦值为.………………………………12分21.（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）到直线距离最小的点，可根据点到直线距离公式，取最小值时的点；也可根据几何意义得为与直线平行且与抛物线相切的切点：如根据点到直线的距离d===≥得当且仅当时取最小值，（Ⅱ）解析几何中定点问题的解决方法，为以算代证，即先求出直线AB方程，根据恒等关系求定点.先设点，求出直线AP方程，与直线方程联立，解出点纵坐标为.即得点的坐标为()()21121142822y yyy⎛⎫--⎪⎪--⎝⎭，，再根据两点式求出直线AB方程()()()21124280y y x y x y---+-=，最后根据方程对应恒成立得定点试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为，则，所以，点到直线的距离d===≥.当且仅当时等号成立，此时点坐标为.………………………………4分（Ⅱ）设点的坐标为，显然.当时，点坐标为，直线的方程为；当时，直线的方程为()12122114yy xy--=--，化简得；综上，直线的方程为.与直线的方程联立，可得点的纵坐标为.因为，轴，所以点的纵坐标为.因此，点的坐标为()()21121142822y yyy⎛⎫--⎪ ⎪--⎝⎭，.当，即时，直线的斜率()()111122211121282488442yyy ykyyyy----==----.所以直线的方程为2111214884y yy y xy⎛⎫--=-⎪-⎝⎭，整理得()()()21124280y y x y x y---+-=.当，时，上式对任意恒成立，此时，直线恒过定点，当时，直线的方程为，仍过定点，故符合题意的直线恒过定点.……………………………………12分22.（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得，分别求导得（Ⅱ）由于，所以根据导函数是否变号进行讨论：当时，，在定义域内单调递增，当时，先增后减再增（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即的最小值大于零，先利用导数研究函数单调性：时，在区间内单调递减，满足条件；时，存在使得，且在时，单调递减，不满足条件试题解析：（Ⅰ）()()2'2'xf x x ax bg x e=++=，，由，得.……………………………………2分（Ⅱ）()()222 '211f x x ax x a a=++=++-，当时，即时，，从而函数在定义域内单调递增，当时，()('f x x a x a=+++-，此时若(x a∈-∞-，，，则函数单调递增；若(x a a∈--，，，则函数单调递减；若()x a∈-++∞，时，，则函数单调递增.……………………6分（Ⅲ）令()()()2''21xh x g x f x e x ax=-=---，则.，令()()'22xu x h x e x a==--，则.当时，，从而单调递减，令()()0'0120u h a==-=，得.先考虑的情况，此时，；又当时，单调递减，所以；故当时，单调递增；又因为，故当时，，从而函数在区间内单调递减；又因为，所以在区间恒成立.接下来考虑的情况，此时，，令，则.由零点存在定理，存在使得，当时，由单调递减可知，所以单调递减，又因为，故当时.从而函数在区间单调递增；又因为，所以当，.综上所述，若在区间恒成立，则的取值范围是.…………12分。

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清远市南阳中学2017届高三下学期第一次模拟考试数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限； ③若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗生产情况，采用分层抽样方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（） A ．30 B ．25 C ．20 D ．153.用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是（） A ．72 B ．36 C ．24 D ．25204.下面使用类比推理正确的是（）A ．“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =”B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()0a b a bc c c c+=+≠” D ．“若()nn n ab a b =”类推出“()nn n a b a b +=+”5.已知圆()2214x y -+=内一点()2,1P ，则过P 点的直径所在的直线方程是（）A ．10x y --=B ．30x y +-=C ．30x y ++=D ．2x = 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（）A ．[]62--，B ．[]51--，C ．[]4,5-D ．[]3,6- 7.当下面的程序段输出结果是41，则横线处应填（） A ．4i > B ．4i >= C ．4i < D ．4i <=8.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某处运动，得到如下的列联表：由卡方公式算得：27.8K ≈ 附表：参照附表：得到的正确的结论是（）A ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关”9.已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上的一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线(C 为圆心)，,A B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为（）A ．3BC ．D ．2 10.设某大学的女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n = ，用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(),x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高增加170cm ，则可断定其体重必为58.79kg11.半径为r 的圆的面积公式为2s r π=，当5r =时，则计算面积的流程图为（）12.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为（） A ．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]0,1 C ．121,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．120,5⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知6,,,48a b 成等差数列，6,,,48c d 成等比数列，则a b c d +++的值为____.14．命题“.01,200<-∈∃x R x ”的否定为．15．12:,A x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b B x x a+=-, 则A 是B 的条件。

16.函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）答案：17. （本小题满分12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为,,a b c . （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字,,a b c 不完全相同”的概率. 18. （本小题满分12分）已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦最短时m 的值以及最短长度.19. （本小题满分12分）某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[]50,6060,7070,8080,9090,100、、、、.（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数；（3）若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示，求数学成绩在[)50,90之外的人数.（分数可以不为整数） 20. （本小题满分12分）已知()f x ()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 21. （本小题满分12分）已知圆()()22:344C x y -+-=，直线l 过定点()1,0A .（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 相交于,P Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.（其中点是圆的圆心） 22. （本小题满分10分）由经验得知，在某大商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：（1）不多于6个人排队的概率；（2）至少8个人排队的概率.数学（文科）参考答案一、1-5: ACACA 6-10:DDCDD 11、12：DA二、13． 90 14．01,2≥-∈∀x R x 15. 充分不必要条件 16.(0，1) 三17.解：（1）由题意，随机有放回的抽取3次，基本事情（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1， 2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3）……（3，3，3）共有27个又c b a =+包含三个基本事件：（1，1，2），（1，2，3），2，1，3）对应的概率31279p == （2）“c b a ,,不完全相同”的对立事件是“c b a ,,完全相同”， “c b a ,,完全相同”包含三个基本事件：“3,2,1=========c b a c b a c b a ” 所以381279p =-= 18.（1）证明：由047)1()12(=--+++m y m x m 可得：04)72(=-++-+y x y x m ，设定点为),(00y x ，则有：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=-+1304072000000y x y x y x 故直线l 恒过定点)1,3(（2）由（1）知，直线l 恒过定点)1,3(P ，直线l 被圆C 截得的弦最长时，直线l 过圆心)2,1(C ；直线l 被圆C 截得的弦最短时，直线l 与直线PC 垂直直线l 与直线PC 垂直时，211321-=--=PC k ，从而可得直线l 的斜率2=k 由047)1()12(=--+++m y m x m 可得：432112-=⇒=++-=m m m k此时514=+=PC ，弦长为545252=-19.解：（1）由概率和为1可得：005.01204.03.02.0=⇒=+++a a（2）区间]70,50的概率和为45.04.005.0=+，则区间]80,70[中还需拿出概率05.0的区域才到达概率为5.0，即区间]80,70[要拿出61的区域，故中位数为3271106170=⨯+ （3）根据上表知：)90,50[外的人数为：10)2540205(100=+++- 20.解由f(x)= 13x+ 3 得 f(0)+f(1)= 130+ 3 + 131+ 3= 33f(-1)+f(2)= 13-1+ 3 + 132+ 3= 33f(-2)+f(3)=13-2+ 3 + 133+ 3= 33归纳猜想一般性结论为f(-x)+f(1+x) =33证明: f(-x)+f(1+x)= 13-x + 3 + 131+x + 3 = 3x 1+ 3 ·3x + 13x+1+ 3= 3 ·3x 3x+1+ 3 + 13x+1+ 3 = 3 ·3x +13x+1+ 3 = 3 ·3x +13 ( 3 ·3x +1)= 3 321.解：（1）直线l 无斜率时，直线l 的方程为1=x ，此时直线l 和圆C 相切直线l 有斜率时，设方程为0)1(=--⇒-=k y kx x k y ，利用圆心到直线的距离等于半径得：4321k 432=⇒=+--=k k k d ，直线方程为4343-=x y （2）CPQ ∆面积最大时，090=∠PCQ ，22221=⨯⨯=S ，即CPQ ∆是等腰直角三角形，由半径2=r 得：圆心到直线的距离为2设直线l 的方程为：0)1(=--⇒-=k y kx x k y ，1721422或=⇒=+-=k k k d直线方程为：77-=x y ，1-=x y 22.解：（1）0.10.160.26P =+= （2)0.30.10.040.44P =++=。