2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.3三角函数的图象与性质习题课件文
高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文
xcos
x＋1(x∈R)，当函数
y
取
最大值时，求自变量 x 的集合．
12/11/2021
【解】 (1)①因为 tanπ4＋α＝11－＋ttaann αα＝12，
(2)因为 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－ant（anα（－αβ－）β＋）ttaannββ
＝1＋12－12×17 17＝13>0，所以
π 0<α<2.
又因为 tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－2×31312＝34>0，
12/11/2021
所以 0<2α<π2， 所以 tan(2α－β)＝1t＋anta2nα－2αttaannββ＝1－34＋34×17 17＝1. 因为 tan β＝－17<0， 所以π2<β<π，－π<2α－β<0，所以 2α－β＝－34π.
所以 0<α＋β<π3或23π<α＋β<π；
又由 cos α＝17<12且 α 为锐角得π3<α<π2，
所以23π<α＋β<π，
于是 cos(α＋β)＝－1114，sin α＝4 7 3，故 cos β＝12.
12/11/2021
3．在△ABC 中，tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan A·tan B，则 C π
12/11/2021
2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是___3_____．
[解析] 原式＝2cos（30°－sin207°0°）－sin 20°
＝2（cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°）－sin
全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象和性质课件共50页
【变式训练 1】 (1)函数 y＝ 2sinx－1的定义域为 ()
A.π6，56π B.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) C.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) D.kπ＋6π，kπ＋56π(k∈Z)
解析
由
2sinx－1≥0， 得
sinx≥
1 2
，
所
以
2kπ
＋
π 6
≤x≤2kπ＋56π(k∈Z)．
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[必会结论] 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周 期为 T＝|2ωπ|，函数 y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝|ωπ|. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称 轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距 离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周 期． 3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asinωx 或 y＝ Atanωx 的形式，而偶函数一般可化为 y＝Acosωx＋b 的形式．
(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令 t＝sinx，或 t＝sinx±cosx)化为关于 t 的二次函数求值域(最 值)．
(3)换元法的应用：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化 为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所 换元的取值范围．
解析 对称中心的横坐标满足 2x＋π4＝kπ，解得 x＝－
π8＋k2π，k∈Z.当 k＝1 时，x＝38π，y＝1.故选 B.
5．[课本改编]函数 y＝tanπ4－x的定义域是(
2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。
2019届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质课件
即时应用
1．函数 y＝cos2x－2sin x 的最大值与最小值分别为( D )
A．3，－1
B．3，－2
C．2，－1
D．2，－2
y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令 t＝sin x，则 t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝ －(t＋1)2＋2，所以最大值为 2，最小值为－2.
方法技巧
(1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解． (2)化一法：把所给三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式， 由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把 sin x、cos x、sin xcos x 或 sin x±cos x 换成 t，转 化为二次函数.
[小题纠偏]
1．下列各点中，能作为函数 y＝tanx＋π5的一个对称中心的点 是( )
A．(0,0) C．(π，0)
B．π5，0 D．31π0，0
解析：由 x＋π5＝k2π(k∈Z)，得 x＝k2π－π5(k∈Z)，当 k＝1 时，x ＝31π0，所以函数 y＝tanx＋π5的一个对称中心的点是31π0，0， 故选 D. 答案：D
◆ 易错通关 ◆ 1．正切函数的图象是由直线 x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支 曲线组成，单调增区间是－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)，不能说它 在整个定义域内是增函数，如π4＜34π，但是 tan π4＞tan34π，正 切函数不存在减区间． 2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽 视“k∈Z”这一条件．
4．已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x) 是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2019版高考数学一轮复习第三章三角函数3.2三角函数的图象和性质讲义word版本
§3.2 三角函数的图象和性质考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.三角函数的图象及其变换1.由图象求参数2.由表达式确定图象B填空题解答题★★☆2.三角函数的性质及其应用1.判断三角函数的性质2.由性质求相关参数B填空题解答题★★☆分析解读三角函数的图象与性质是研究三角函数的基础,也是江苏高考的热点,考查重点在以下几个方面:函数解析式、函数图象及图象变换、两域(定义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性).五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标全国Ⅰ理改编,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是.①把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;②把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2;③把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2;④把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2.答案④2.(2016课标全国Ⅰ改编,6,5分)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为.答案y=2sin3.(2016四川理改编,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点向平移个单位长度.答案右;4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-co s x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案5.(2015湖南改编,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=.答案6.(2014辽宁改编,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间上单调递增.答案(k∈Z)7.(2013湖北理改编,4,5分)将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是.答案教师用书专用(8—9)8.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .π且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.所以令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点中心对称,所以令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.9.(2013福建理,20,14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;(2)是否存在x0∈,使得f(x0),g(x0), f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由;(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.解析(1)由函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π,ω>0,得ω==2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为,φ∈(0,π),故f=sin=0,得φ=,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得到y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos的图象,所以g(x)=sin x.(2)当x∈时,<sin x<,0<cos 2x<,所以sin x>cos 2x>sin xcos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解.设G(x)=sin x+sin xcos 2x-2cos 2x,x∈,则G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x∈,所以G'(x)>0,G(x)在内单调递增.又G=-<0,G=>0,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0,即存在唯一的x0∈满足题意.(3)依题意得,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a=-,x≠kπ(k∈Z).现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程a=-的解的情况.令h(x)=-,x∈(0,π)∪(π,2π),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况.h'(x)=,令h'(x)=0,得x=或x=.的变化情况如下表当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞,当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞,当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞,当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞.故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点.由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2 013个交点;又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.考点二三角函数的性质及其应用1.(2017课标全国Ⅲ文改编,6,5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为.答案2.(2016课标全国Ⅱ理改编,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为.答案x=+(k∈Z)3.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;(k∈Z)4.(2014安徽改编,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f=.答案5.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 解析(1)由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.教师用书专用(6)6.(2013湖南理,17,12分)已知函数f(x)=sin+cos,g(x)=2sin2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.解析f(x)=sin+cos=sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,g(x)=2sin2=1-cos x.(1)由f(α)=得sin α=.又α是第一象限角,所以cos α>0.从而g(α)=1-cos α=1-=1-=.(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1-cos x,即sin x+cos x≥1.于是sin≥.从而2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,即2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018江苏天一中学调研)将函数y=5sin的图象向左平移φ个单位后,所得函数图象关于直线x=对称,则φ=.答案2.(苏教必4,二,3,变式)函数y=sin x的图象和y=的图象交点的个数是.答案 33.(苏教必4,二,3,变式)定义在区间上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为.答案4.(2017江苏南京、盐城一模,9)将函数y=3sin的图象向右平移φ个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则φ=.答案考点二三角函数的性质及其应用5.(2018江苏徐州铜山中学期中)函数f(x)=2sin的最小正周期为.答案 66.(2018江苏南通中学高三阶段练习)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.答案7.(2018江苏常熟期中)函数y=sin(2x+φ)图象的一条对称轴是x=,则φ的值是.答案8.(2017江苏南京学情检测,4)若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f的值是.答案9.(2017江苏南通中学高三上学期期中,7)函数y=2sin的图象与y轴最近的对称轴方程是.答案x=-10.(苏教必4,二,3,变式)已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是.(只填序号)①函数f(x)的最小正周期为2π;②函数f(x)在区间上是增函数;③函数f(x)的图象关于直线x=0对称;④函数f(x)是奇函数.答案④11.(2016江苏如东期中,9)函数f(x)=sin x-cos x(-π≤x≤0)的单调增区间是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏常熟期中)已知函数f(x)=sin,若对任意的实数α∈,都存在实数β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是.答案2.(2018江苏扬州中学高三月考)已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为.答案3.(2017江苏徐州沛县中学质检,12)若函数y=sin x+mcos x图象的一条对称轴方程为x=,则实数m的值为.答案4.(2016江苏常州武进期中,9)已知函数f(x)=2sin,x∈的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1<x2<x3,那么x1+2x2+x3的值为.答案二、解答题(共15分)5.(2018江苏常熟期中)已知函数f(x)=-sin++b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.(1)求a,b的值;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.解析(1)∵f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为,∴f(x)的周期为,∴=,∵a>0,∴a=2,此时f(x)=-sin++b,又∵f(x)的图象与x轴相切,∴=,∵b>0,∴b=-.(2)由(1)可得f(x)=-sin+,∵x∈,∴4x+∈,∴当4x+=,即x=时,f(x)取得最大值;当4x+=,即x=时,f(x)取得最小值0.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角函数性质1.函数y=3tan的对称中心是.答案(k∈Z)2.函数y=-3sin2x+9sin x+的最大值为.答案方法2 利用三角函数性质求参数3.已知ω是正实数,函数f(x)=2sin ωx在上是增函数,则ω的取值范围为.答案4.是否存在实数k,使得当x∈时,k+tan的值总不大于零?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.解析假设存在实数k,符合题意,则k≤tan恒成立,∴k≤tan,而当x∈时,0≤2x-≤,0≤tan≤,∴k≤0,所以存在符合条件的实数k,其取值范围为(-∞,0].。
2019届高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形 第18讲 三角函数的图像与性质课件 理
ω≤12,故
k
最
大取 1,此时 4.5≤ω≤9,此时 ω 的最大值
为 9.
教学参考
2.[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,|φ|≤π2 ,x=-π4为 f(x)的零点,x=π4为 y=f(x)图像的对
称轴,且 f(x)在 1π8,53π6 单调,则 ω 的最大值为 (
T=3π,则 ω=23.由题意得23×58π+φ=π2+2kπ,k
∈Z,解得 φ=1π2+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴
φ=1π2.
教学参考
4.[2016·江苏卷] 定义在区间[0,3π]上的函数
y=sin 2x 的图像与 y=cos x 的图像的交点个数
是
.
[答案] 7
[解析] 方法一:令 sin 2x=cos x,即 2sin xcos x=cos x,解得 cos x=0 或 sin x=1,
3
的最小正
周期为 ( )
A.4π C.π
B.2π D.π2
[答案] C
[解析]
函数 f(x)=sin
2������ + π
3
的最小
正周期为 T=22π=π.
教学参考
2.[2016·全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)
ω>0,|φ|≤π2 ,x=-π4为 f(x)的零点,x=π4为 y=f(x)图像的对
f(x)=4tan
xsin
π 2
-x
cos x-π3 - 3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论 f(x)在区间 -π4,π4 上的单调性.
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.3三角函数的图象与性质课件文
方法技巧 1．若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝kπ＋π2(k∈Z)， 同时当 x＝0 时，f(x)取得最大或最小值．若 f(x)＝Asin(ωx＋ φ)为奇函数，则 φ＝kπ(k∈Z)，同时当 x＝0 时，f(x)＝0.见典 例 1.
2．解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称 轴、对称中心．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经 过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的 零点，因此在判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴 或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断．见典例 2.
经典题型冲关
题型 1 三角函数的定义域和值域 典例1 函数 f(x)＝ 64－x2＋log2(2sinx－1)的定义域是 ______－__1_16_π_，__－_7_6π__∪__6π_，__5_6π__∪__1_63_π_，__8______．
本题采用数形结合．
解析 由题意，得62s4i－nxx－2≥1>00，，①② 由①得－8≤x≤8，由②得 sinx>21，由正弦曲线得π6＋ 2kπ<x<56π＋2kπ(k∈Z)．
2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的方法 (1)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范 围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式 (组)求解．见典例 2. (2)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心 的距离不超过14周期列不等式(组)求解． 提醒：要注意求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时 ω 的 符号，若 ω<0，那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同 时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
所 以 不 等 式 组 的 解 集 为 －116π，－76π ∪ 6π，56π ∪ 163π，8.
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7．已知函数 y＝sinπ3x在区间[0，t]上至少取得 2 次最大 值，则正整数 t 的最小值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 由 y＝sinπ3x可得 T＝6，则由图象可知54T≤t，即125 ≤t，
∴tmin＝8.故选 C.
8．将函数 f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|<π2的图象向左平移π6个单
解析 由题意得 f38π＝sin2×38π＋φ＝0，则 2×38π＋φ ＝kπ，k∈Z，解得 φ＝－34π＋kπ，k∈Z，又因为 0<φ<π2，所 以 φ＝π4，则 f(x)＝sin2x＋π4，则由π2＋2kπ≤2x＋π4≤32π＋2kπ， k∈Z，得π8＋kπ≤x≤58π＋kπ，k∈Z，所以函数 f(x)＝sin2x＋π4 的单调递减区间为8π＋kπ，58π＋017·广 州 综 合 测 试 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ sin(2x ＋ φ)0<φ<π2的图象的一个对称中心为38π，0，则函数 f(x)的单 调递减区间是( )
A.2kπ－38π，2kπ＋π8(k∈Z) B.2kπ＋π8，2kπ＋58π(k∈Z) C.kπ－38π，kπ＋8π(k∈Z) D.kπ＋π8，kπ＋58π(k∈Z)
且π3ω≤π2，则 0<ω≤32.故选 C.
3．(2017·成都调研)函数 y＝2sin6πx－π3(0≤x≤9)的最大 值与最小值之和为( )
A．2－ 3 B．0 C．－1 D．－1－ 3 解析 因为 0≤x≤9，所以－π3≤π6x－π3≤76π， 所以 sin6πx－π3∈－ 23，1. 所以 y∈[－ 3，2]，所以 ymax＋ymin＝2－ 3.选 A.
位长度后关于原点对称，则函数 f(x)在0，2π上的最小值为
()
A．－
3 2
B．－12
1 C.2
3 D. 2
解析 将 f(x)＝sin(2x＋φ)的图象左移π6个单位长度得 y ＝sin2x＋π6＋φ＝sin2x＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对 称，即为奇函数，则π3＋φ＝kπ(k∈Z)，且|φ|<π2，所以 φ＝－ π3，即 f(x)＝sin2x－π3，当 x∈0，2π时，2x－π3∈－π3，23π， 所以当 2x－π3＝－π3，即 x＝0 时，f(x)取得最小值，最小值 为－ 23.选 A.
课后作业夯关 3．3 三角函数的图象与性质
[基础送分 提速狂刷练] 一、选择题
1．如果函数 y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点43π，0成中 心对称，那么|φ|的最小值为( )
ππππ A.6 B.4 C.3 D.2 解析 依题意得 3cos83π＋φ＝0，83π＋φ＝kπ＋π2，φ＝kπ －163π(k∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.故选 A.
2．(2017·长沙模拟)已知函数 y＝sinωx 在－π3，π3上是 增函数，则实数 ω 的取值范围是( )
A.－32，0 C.0，23
B．[－3,0) D．(0,3]
解析 由于 y＝sinx 在－π2，π2上是增函数，为保证 y ＝sinωx 在－π3，π3上是增函数，所以 ω>0，
∴g(x)的图象是由 f(x)的图象向左平移2πω即T4得到的． 由 b－a＝T2，可知，g(x)的图象由 f(x)的图象向左平移 b－2 a得到的． ∴得到 g(x)图象如图所示．选 C.
10．(2018·新疆质检)已知函数 f(x)＝|sinx|cosx，给出下 列五个结论：
9．若函数 f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增
函数，且 f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数 g(x)＝Mcos(ωx＋φ)
在[a，b]上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值 M D．可以取得最小值－M
解析 T＝2ωπ，g(x)＝Mcos(ωx＋φ)＝Msinωx＋φ＋π2＝ Msinωx＋2πω＋φ，
A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为 π C．y＝f(x)的图象关于直线 x＝π2对称 D．y＝f(x)的图象关于点－π2，0对称
解析 由题意知，f(x)＝cosx，所以它是偶函数，A 错 误；它的周期为 2π，B 错误；它的对称轴是直线 x＝kπ，k ∈Z，C 错误；它的对称中心是点kπ＋π2，0，k∈Z，D 正确．故 选 D.
解析 由条件，知 ω＝2. 因为 f(x)是偶函数，且|φ|<π2，所以 φ＝π4， 这时 f(x)＝ 2sin2x＋π2＝ 2cos2x. 因为当 x∈0，2π时，2x∈(0，π)， 所以 f(x)在0，2π内单调递减．故选 A.
5．将函数 y＝sinx 的图象向左平移π2个单位，得到函数 y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
①f20318π＝－ 43； ②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则 x1＝x2＋kπ(k∈Z)； ③f(x)在区间－π4，π4上单调递增； ④函数 f(x)的周期为 π；
4．设函数 f(x)＝ 2sinωx＋φ＋π4ω>0，|φ|<π2的最小正 周期为 π，且是偶函数，则( )
A．f(x)在0，2π内单调递减 B．f(x)在4π，34π内单调递减 C．f(x)在0，2π内单调递增 D．f(x)在4π，34π内单调递增