作业6

课时作业(六)
1．化简
1－sin 2
π
5
的结果是( ) A ．sin π
5
B ．－sin π
5
C ．cos π5
D ．－cos π
5
答案 C
2．若α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α＝( )
A.15 B ．－1
5
C.513 D ．－5
13
答案 D
解析 由α为第四象限角，设角α终边上一点P(x ，y)满足x ＝12，y ＝－5， 则r ＝x 2＋y 2＝122＋（－5）2＝13. 所以sin α＝y r ＝－5
13
.
3．已知cos α＝－3
5，α为第二象限角，那么tan α的值等于( )
A.43 B ．－43
C.34 D ．－34
答案 B
4．若sin α²sin 2α－cos α²cos 2α＝－1，且α≠k
2π(k ∈Z )，则α所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 D
解析 ∵sin α·sin 2α－cos α·cos 2α＝sin α·|sin α|－cos α·|cos α|， ∴若满足题意必须sin α<0且cos α>0，∴α为第四象限角． 5．若α满足sin α－2cos α
sin α＋3cos α＝2，则sin α²cos α的值等于( )
A.865 B ．－865
C ．±865
D ．以上都不对
答案 B 解析
sin α－2cos α
sin α＋3cos α
＝2，得sin α＝－8cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得64cos 2α＋cos 2
α＝1，解得cos α＝±
165，sin α＝∓865
，所以sin α·cos α＝－865.
6．已知sinx ²cosx ＝1
6，且π4<x<π2，则cosx －sinx 的值为( )
A.2
3 B.63
C ．±
63
D ．－
63
答案 D
解析 当π4<x<π
2时，cosx<sinx ，则cosx － sinx<0.
∴cosx －sinx ＝－（cosx －sinx ）2＝－1－2sinx ·cosx ＝－
6
3
. 7．(高考真题·课标全国Ⅰ)已知α∈(π，3π
2)，tan α＝2，则cos α＝________．
答案 －
55
8．若sin θ＝－4
5，tan θ>0，则cos θ＝________．
答案 －3
5
解析 ∵sin θ<0，tan θ>0，∴θ在第三象限内，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－3
5.
9．已知sin θ＝5
5
，则sin 4θ－cos 4θ的值为________． 答案 －3
5
解析 由sin θ＝
55，可得cos 2θ＝1－sin 2θ＝45，所以sin 4θ－cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 2θ－cos 2θ)＝sin 2θ－cos 2θ＝15－45＝－3
5
.
10．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1
tan 2α＝________．
答案
13
；7 解析 ∵tan α＋1
tan α＝3，∴sin αcos α＋cos αsin α
＝3，
即sin 2α＋cos 2αsin αcos α
＝3.∴sin αcos α＝13.
又tan 2α＋1tan 2α＝(tan α＋1tan α)2－2tan α1
tan α＝9－2＝7.
11．化简：
(1)1－sin 2440°＝________； (2)sin θ－cos θ
tan θ－1＝________．
答案 (1)cos80° (2)cos θ
解析 (1)原式＝1－sin 2（360°＋80°）＝1－sin 280° ＝cos 280°＝|cos80°|＝cos80°.
(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θ
sin θ－cos θ
cos θ
＝cos θ.
12．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，θ∈(π
2，π)，求m 的值．
解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2
＝1.
∴m ＝0或m ＝8.
又∵θ∈(π
2，π)，∴sin θ>0，cos θ<0.∴m ＝8.
13．已知x 是锐角，sinxcosx ＝23
7，求tanx 的值．
答案
32或233
解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧sinx ·cosx ＝237，sin 2x ＋cos 2x ＝1，得⎩⎨⎧sinx ＝27
7，
cosx ＝217
，
或⎩⎨⎧sinx ＝217
，cosx ＝27
7，
∴tanx ＝233或3
2.
解法二：∵(sinx ＋cosx)2＝1＋2sinxcosx ＝1＋43
7，
∴sin α＋cos α＝
7＋437＝2＋37
＝（2＋3）7
7. ∴sin α、cos α是方程x 2－（2＋3）77x ＋23
7
＝0的两根．
以下同解法一．
解法三：sinxcosx ＝sinxcosx sin 2x ＋cos 2x ＝tanx tan 2x ＋1＝23
7，即得tanx.
14．已知tan α＝－4
3，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值．
解析 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，cos α≠0，
原式＝2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1
＝2³（－43）2＋（－4
3）－3
1＋（－43
）2
＝－7
25
.
15．已知sinx ＋cosx ＝1
5，且x ∈(3π2，2π)．
(1)求sinx 、cosx 、tanx 的值； (2)求sin 4x －cos 4x 的值．
解析 (1)解法一：由sinx ＋cosx ＝15，得sinx ＝1
5－cosx.
代入sin 2x ＋cos 2x ＝1中得(5cosx －4)(5cosx ＋3)＝0， 即cosx ＝－35(舍去)或cosx ＝45(∵3π
2<x<2π)．
当cosx ＝45时，由已知得sinx ＝－3
5
.
因此，sinx ＝－35，cosx ＝45，tanx ＝sinx cosx ＝－3
4
.
解法二：因为(sinx ＋cosx)2＝sin 2x ＋2sinxcosx ＋cos 2x ＝1＋2sinxcosx ，所以1＋2sinxcosx ＝1
25，
2sinxcosx ＝－24
25
<0.
又因为3π
2<x<2π，所以sinx<0，得知cosx>0.因此
(sinx －cosx)2＝1－2sinxcosx ＝1＋2425＝49
25.
再由cosx －sinx>0，得sinx －cosx ＝－7
5
.
解方程组⎩⎨⎧sinx ＋cosx ＝1
5，
sinx －cosx ＝－7
5，
得⎩⎨⎧sinx ＝－3
5，
cosx ＝4
5.
所以tanx ＝－3
4.
(2)sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x)·(sin 2x －cos 2x)＝(sinx ＋cosx)·(sinx －cosx)＝15³(－75)＝－7
25
.
已知θ∈(－π2，π
2)，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0，1)，则关于tan θ的值，以下四个答
案，可能正确的是( ) A ．－3 B ．3或1
3
C ．－13
D ．－3或－1
3
答案 C
解析 ∵θ∈(－π2，π
2)，sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0，1)，
∴θ∈(－π
2，0)，
∴|sin θ|<|cos θ|. ∴tan θ>－1故选C.。