【全国百强校】江苏省如皋中学2015-2016学年高二4月阶段练习理数试题解析(解析版)

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.设集合{}0,2,3A =，{}21,4B x x =++，{}3A B =，则实数x 的值为 ．【答案】2 【解析】 试题分析：因{}3AB =,故}4,1{32++∈x x ,即2=x .考点：交集及运算．2.命题“若1a >，则2a >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 ． 【答案】2考点：命题的四种形式及真假的判断．3.若命题p ：R x ∀∈，21x >，则该命题的否定是 ． 【答案】x R ∃∈，21x ≤ 【解析】试题分析：依据全称命题的否定是存在性命题可得答案为x R ∃∈，21x ≤. 考点：含有一个量词的命题的否定及求法．【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与存在性命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是存在性命题”、“ 存在性命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是存在性命题，然后再依据上述结论加以判别求解写出答案.解答这类问题时，常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从造成解答上的错误.4.已知函数()f x =的定义域为M ，值域为N ，则M N = ．【答案】(0,1)考点：定义域、值域、交集．5.函数2cos y x x =+在[0,]2π上取最大值时，x 的值是 ．【答案】6π 【解析】试题分析：因x x f sin 21)(/-=,故当6π=x 时,函数取最大值.考点：导数在求函数的最值中的运用．【易错点晴】本题是一道典型的运用导数求函数最值的问题.求解时先对所给的函数进行求导,再找出导函数的零点,即函数的极值点,最后依据函数的单调求出极大值和极小值,进而依据实际情况求出其最大值和最小值,求解时可直接将极值点代入函数的解析式中,先算出函数的值再判断其是最大值或最小值,然后写出答案这样求解过程较为简便.6.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 ． 【答案】31y x =+ 【解析】试题分析：因2)1()(/++=xe x xf ,故切线的斜率为321=+=k ,所以切线方程为13+=x y .考点：导数的几何意义及运用． 7.函数12ln y x x =+的单调减区间为 ． 【答案】1(0,)2【解析】试题分析：由01221)(22/<-=+-=x x x x x f 可得210<<x . 考点：导数在研究函数的单调性中的运用．8.已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】(,3]-∞- 【解析】试题分析：由题设可知0163)(2/≤-+=x ax x f 在R 上恒成立,若0=a ,则016≤-x ,61≤x 不合题设;故0≠a ,所以由判别式01236≥+a 可得3-≤a . 考点：导数在函数的单调性中的运用．【易错点晴】本题考查的单调性与函数的导数的关系的一道典型的问题.这类问题解答思路是依据导函数值与单调性的关系建立不等式.导函数的值大于零等价于函数是增函数；导函数的值小于零等价于函数是减函数；反之,函数是增函数则导函数的值不小于零；函数是减函数则导函数的值不大于零.本题在解答时充分借助这一条件建立不等式,最后使本题获解.9.已知函数()x mf x e x=-在区间[]1,2上的最小值为1，则实数m 的值为 ． 【答案】1e -考点：导数在研究函数的最值中的运用．【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间[]1,2在有最小值1这一条件和信息,先对函数()x mf x e x=-进行求解,进而分类讨论参数m 的取值情形,分别求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数m 的值,从而写出符合题设条件的参数m 的值.10.已知函数()2ln 2a f x x x x x =--在定义域内为单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[,)e+∞考点：导数在函数的单调性中的运用．11.已知)(x f 为定义在),0(+∞上的可导函数且0)(>x f ，若)()(x f x x f '<恒成立，则不等式 0)()1(2>-x f xf x 的解集为 ．【答案】)1,0( 【解析】试题分析：构造函数x x f x F )()(=,则0)()()(2//>-=xx f x xf x F ,由于不等式0)()1(2>-x f x f x 等价于 x x f xx f )(1))1(>,即)()1(x F x F >,故借助函数x x f x F )()(=的单调性可得x x >1,解之得10<<x . 考点：导数在研究函数的单调性中的运用．12.若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】(0,3)e - 【解析】试题分析：当0<x 时,方程为k x e x =--|3|；当0>x 时,方程为k x e x =-|3|,令3)(-=x e x h x,画出函数3)(-=x e x h x的图象,从图象中可以看出当10<<x 时,函数单调递减,当1>x 时单调递增,所以当1=x 时取最小值03)1()(min <-==e h x h ,因此存在+∞<<<<2110x x ,函数|3|)(-=xe x h x在),1(),,0(21x x 单调减；在),(),1,(21+∞x x 增,而当0<x 时,函数|3|)(--=x e x g x恒在x 轴的下方,所以当e k -<<30时函数|3|)(-=xe x h x的图象与直线k y =有四个交点.考点：导数在研究函数的图象及函数的单调性中的运用．13.设曲线()1x y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1x y x e -=-在点()02,B x y 处的切线为2l ， 若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ．【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】考点：导数的几何意义及函数方程思想的运用．【易错点晴】本题考查的是函数方程思想在解决实际问题中的运用.解答本题的关键在于先要依据题设条件分别求出两条曲线在给定点处的切线的斜率0)1(01xe a ax k +-=和0)2(02x e x k --=,再利用其互相垂直这一条件和信息建立关于切点的横坐标为变量的方程,最后再将参数a 分离出来)1)(2(3000+--=x x x a ,将方程问题转化为0x 函数问题,最终通过换元转化借助函数的图象和单调性求出其值域,使问题获解.14.若函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象与直线l 交于两点3(,)A t t t -，232(23,)B t t t t ++，其中0t ≠且1t ≠-，则2(2)f t t '+的值为 ．【答案】12考点：导数及函数方程思想的灵活运用．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本题满分14分)已知集合()(){}2310A x x x a =---<，函数()()22lg 11a xy a x a -=≠-+的定义域为集合B ，若A B =，求实数a 的值． 【答案】1-． 【解析】试题分析：先将集合B A ,明确化,再借助B A =建立方程分类求解即可. 试题解析：由()2201a x x a ->-+且1a ≠得：221a x a <<+，即2(2,1)B a a =+. ------------3分 当312a +=即13a =时，A =∅，不满足A B =； ------------------------6分当312a +>即13a >时，(2,31)A a =+，由A B =得，222,131,a a a =⎧⎨+=+⎩此时无解；------9分当312a +<即13a <时，(31,2)A a =+，由A B =得，2231,12,a a a =+⎧⎨+=⎩解得1a =-.故所求实数a 的值为1-. -----------------------------------------14分 考点：集合相等的条件及运用． 16.(本题满分14分)命题p ：“关于x 的方程012=++ax x 有解”，命题q ：“R x ∈∀，022≥+-a ex e x 恒成立”，若“p ∧q ”为真，求实数a 的取值范围． 【答案】[0,)+∞． 【解析】试题分析：借助复合命题的真假建立不等式求解即可获解.考点：命题的真假及充分必要条件．【易错点晴】本题考查的是复合命题的真假为背景,真正考查函数的最值和解不等式的能力的一道试题.求解时要充分借助题设条件中要求“p ∧q ”为真”,该条件等价于“命题q p ,都是真命题”，从而将命题转化为不等式的形式，最后将问题转化为求两个不等式交集的问题,命题中含参数的取值范围问题一般有两条思路，其一是建立不等式求其解集，其二是建立函数求其值域. 17.(本题满分15分)已知函数)0(3)(3≠+-=a b ax x x f 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为8=y ． （1）求实数b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间； （3）求函数)(x f 的极值．【答案】(1)24,4==b a ；(2)增区间为)2,(--∞和),2(+∞,减区间为)2,2(-；(3)极大值40,极小值8． 【解析】试题分析：(1)借助切点既在切线上,又在曲线上建立方程求解；(2)解导函数大于和小于零的不等式即可获解；(3)依据极大小值的定义求解.试题解析：(1) 切点())2(,2f 在切线8=y 上，又b a f +-=62)2(3，∴862)2(3=+-=b a f ，得a b 6=， ① -------------------------------2分a x x f 33)(2-='，且)(x f y =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，∴0323)2(2=-⨯='a f ，② ---------------------------4分由①②得，4=a ，246==a b . ------------------------------5分 (2) 2412)(3+-=x x x f ， ∴123)(2-='x x f .令0)(='x f ，则2-=x 或2， -----------------------------8分故)(x f 的单调增区间为：)2,(--∞和),2(+∞单调减区间为：)2,2(-. ------------------------------------------------12分 (3) 由(2)得：当2-=x 时，)(x f 有极大值，为40，当2=x 时，)(x f 有极小值，为8． -----------------------------15分 考点：导数及在研究函数的单调性和极值中的运用． 18.(本题满分15分)如图，在半径为2，圆心角为变量的扇形OAB 内作一内切圆P ，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并 与圆P 外切的小圆Q ，设圆P 与圆Q 的半径之积为y ． （1）按下列要求写出函数关系式：①设202AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，将y 表示成θ的函数；②设圆P 的半径()01x x <<，将y 表示成x 的函数． （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求y 的最大值．【答案】(1) ①()()234sin 1sin (0)21sin y θθπθθ-=<<+；②()3201y x x x =-+<<；(2)max 427y =． 【解析】试题分析：(1)直接借助题设条件建立函数关系式；(2)选择其中一个函数利用导数工具求其最大值即可获解.②圆Q 的半径分别为r ，由222r x rx x--=-得2r x x =-， ()3201y r x x x x ∴=⋅=-+<<． ----------------------- 10分(2)选择②：由()3201y x x x =-+<< 得232(01)y x x x '=-+<<， 令0y '>，得203x <<； 令0y '<，得213x <<. ()3201y x x x ∴=-+<<在区间2(0,)3上是增函数，在区间2(,1)3上是减函数．∴当23x =时，max 427y =. ---------------------------------------15分 考点：导数在球最值中的运用及抽象概括能力和阅读理解能力. 19.(本题满分16分)已知函数21()34f x x x =-+-，()(1)ln mg x x m x x =-+- ，m R ∈．（1）求函数()g x 的极值；（2）若对任意12,[1,]x x e ∈ 12()()1f x g x -≤恒成立，求m 的取值范围．【答案】(1) 当0m ≤时，极小值为1m -，无极大值，当01m <<时，极小值为1m -，极大值为()1ln 1m m m -+-，当1m =时，无极值，当1m >时，极小值为()1ln 1m m m -+-，极大值为1m -；(2)(],0-∞． 【解析】③当1m =时，()f x 在区间()0,+∞是增函数，()f x ∴无极值． ----------------5分④当1m >时，()f x 在区间(0,1)上是增函数，在区间(1,)m 上是减函数，在区间(,)m +∞上是增函数， ()f x ∴极小值()(1)ln 1f m m m m ==-+-，()f x 极大值(1)1f m ==-．---------6分(2)23()()22f x x =--+，max 3()()22f x f ∴==．由题意，当[1,]x e ∈时，max min ()()1f x g x -≤即min ()1g x ≥． ---------------8分 ①当1m ≤时，min ()(1)1g x g m ==-，11m -≥，0m ∴≤． ---------------- 10分 ②当1m e <<时，min ()()(1)ln 1g x g m m m m ==-+-， 令()(1)ln 1(1)F m m m m m e =-+-<<，则1()10F m m'=--<， ()F m ∴是减函数，()(1)0F m F ∴<=，()0g m ∴<，不合题意．-----------------13分③当m e ≥时，min ()()(1)m g x g e e m e ==-+-，(1)1me m e-+-≥， 221e em e -∴≤+，这与m e ≥矛盾，舍去． -----------------------------15分综上，m 的取值范围是(,0]-∞． --------------------------------16分 考点：函数的导数的有关知识在实际解决问题中的运用．【易错点晴】本题考查的是函数的极值和在不等式恒成立的情形下参数的取值范围.求解过程中充分借助题设条件,运用分类整合的数学思想,对参数m 进行分类整合从而求出极值和不等式中参数m 的取值范围.对于问题(1)，因为()()()()210x m x g x x x--'=>,所以其中的参数m 要分类才能求出其极值,所以容易出错.对于问题(2)，由于两个函数都在变化,所以将问题转化为先求函数)(x f 的最大值,再求函数)(x g 的最小值,要使其差小于1,只要最大值域最小值的差小于1即可,从而使问题合得以合理的化归与转化. 20.(本题满分16分) 已知函数xx x f 1ln )(-=，b ax x g +=)(． （1）若函数)()()(x g x f x h -=在),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线b ax x g +=)(是函数xx x f 1ln )(-=图象的切线，求b a +的最小值； （3）当0=b 时，若)(x f 与)(x g 的图象有两个交点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：2122x x e ⋅>．（参考数据： e ≈7.2，2ln ≈7.0，2≈4.1）【答案】(1) 0≤a ；(2)1-；(3)证明见解析． 【解析】试题分析：(1)借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；(2)将参数b a ,用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值；(3)先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进行推证. 试题解析：(1) )()()(x g x f x h -=--=)1(ln x x b ax xx b ax ---=+1ln )(，∴a x x x h -+='211)(. )(x h 在),0(+∞上单调递增， ∴∀),0(+∞，011)(2≥-+='a x xx h 恒成立 即∀),0(+∞，min 211⎪⎭⎫⎝⎛+≤x x a 恒成立令41)211(11)(22-+=+=x xx x H ， 0>x ， ∴01>x ，∴0>x 时，0)(>x H ， ∴0≤a . ----------------------------------------4分(3) 证明：由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-②①2221111ln 1ln ax x x ax x x∴①＋②得：)()ln(21212121x x a x x x x x x +=+- ③①－②得：)(ln 12212112x x a x x x x x x -=--，即a x x x x x x =+-2112121ln④④代入③得： ))(1ln()ln(21211212212121x x x x x x x x x x x x x x ++-=+-， 即121221212121ln )(2)ln(x x x x x x x x x x x x -+=+-，不妨令210x x <<，记112>=x x t ， 令)1(1)1(2ln )(>+--=t t t t t F ，则0)1()1()(2>+-='t t t t F ， ∴1)1(2ln )(+--=t t t t F 在),1(+∞上单调递增，则0)1(1)1(2ln )(=>+--=F t t t t F ，∴1)1(2ln +->t t t ，故211212)(2ln x x x x x x +->，∴2ln )(2)ln(121221212121>-+=+-x x x x x x x x x x x x .又21212121212121214ln 24)ln()(2)ln(x x x x x x x x x x x x x x x x -=-<+-∴24ln22121>-x x x x ，即12ln 2121>-x x x x ，令x x x G 2ln )(-=，则0>x 时，021)(2>+='x x x G ，∴xx x G 2ln )(-=在),0(+∞上单调递增，又183.0212ln 21222ln <≈-+=-ee e ∴ee x x x x x x G 222ln 12ln )(212121->>-=，∴e x x 221>∴2122x x e ⋅> --------------------------------16分考点：导数及在研究函数的单调性最值中的应用．附加题21.(本题满分10分)长方体1111A B C D ABCD -中，2AB AD ==，1A A =，M 为棱1C C 的中点，1C D 与1D C 交于点N ，求 证：1AM A N ⊥．【答案】证明见解析． 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系运用向量推证即可．试题解析：以{}1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，M，1A，N ． --------------------4分AM ∴=，1(1,2,A N =， -------------------6分1A1B CA MBCDN1D12122(0AM A N ⋅=⨯+⨯=，1AM A N ∴⊥． -------------------------10分考点：空间向量的数量积公式． 22.(本题满分10分)已知2011A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2435B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且二阶矩阵M 满足AM B =． （1）求1A -； （2）求矩阵M ．【答案】(1) 1102112A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；(2)⎢⎣⎡41 ⎥⎦⎤72.考点：矩阵及逆矩阵的乘法运算． 23.(本题满分10分)设二阶矩阵M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换． （1）求直线4101x y -=在M 作用下的方程； （2）求M 的特征值与特征向量． （3）求523M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值．【答案】(1) 4210x y --=；(2) 11λ=,110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，25λ=,201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；(3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅5532． 【解析】试题分析：(1)借助矩阵变换的公式即可获解；(2)依据矩阵特征多项式和特征方程即可获解；(3)借助特征向量的特征值的求解方法求解. 试题解析：(1) 1005M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 设(,)x y ''是所求曲线上的任一点，则1005x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,5,x x y y '=⎧⎨'=⎩ 从而,1,5x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入4101x y -=得，4210x y ''--=，所以所求曲线的方程为4210x y --=. --------------------4分 (2)矩阵M 的特征多项式1()(1)(5)05f λλλλλ-==---, 由()0f λ=得，矩阵M 的特征值为11λ=，25λ=. (6分) 当11λ=时，对应的一个特征向量110α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；当25λ=时，对应的一个特征向量201α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. ------------------------8分(3) 122233αα⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，55552210213501335M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-----------------------10分考点：矩阵的乘法法则、特征向量和特征值． 24.(本题满分10分)如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且 (01)DE a λλ=<≤．（1）求证：对任意的(0,1]λ∈，都有AC BE ⊥； （2）若二面角C AE D --的大小为60︒，求λ的值．【答案】(1)证明见解析；(2)λ=．(2)显然(0,1,0)n =是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为(,,)m x y z =， (,,0)AC a a =-，(,0,)AE a a λ=-，∴0,0,m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,ax ay ax az λ-+=⎧⎨-+=⎩ ∴0,0,x y x z λ-=⎧⎨-=⎩取1z =，则x y λ==，∴(,,1)m λλ=， ∵二面角C AE D --的大小为60︒， ∴1cos ,21n m n m n m⋅〈〉===⋅+，∵(0,1]λ∈，∴λ=. ---------------------------------------10分考点：空间向量的有关知识及运用．：。