2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1028数列的综合应用

g3.1028数列的综合应用一、知识回顾1. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念；2. 等差、等比数列的通项、前n 项和公式；3. 等差、等比数列的重要性质；4. 与数列知识相关的应用题；5. 数列与函数等相联系的综合问题。

二、基本训练1. 数列{}n a 中，12,a =12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩ 是奇是偶 ，则5a = 。

2. 等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1311,,a a a 恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。

3. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，若2110,m m m a a a -+-+=2138m S -=，则m= 。

4. 设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，且10b =，数列{}n c 的前三项依次是1,1,2，且n n n c a b =+，则数列{}n c 的前10项和为 。

5. 如果函数()f x 满足：对于任意的实数a b 、，都有()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则 (2)(5)(9)(14)(1274)(1)(3)(6)(10)(1225)f f f f f f f f f f +++++= 。

三、例题分析例1设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.例2 如图，64个正数排成8行8列方阵．符号(18,18,*)ij a i j i j N ≤≤≤≤∈、表示位于第i行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ．若1112a =，241a =，3214a =， （1）求{}ij a 的通项公式；（2）记第k 行各项和为k A ，求1A 的值及数列{}k A 的通项公式；（3）若1k A <，求k 的值。

例3 函数()f x 对任意x R ∈都有1()(1).2f x f x +-=（1）求1()2f 和11()() ()*n f f n N nn-+∈的值． （2）数列{}n a 满足：n a =(0)f +121()()()(1)n f f f f n n n-++++ ，数列{}n a 是等差数列吗？ （3）令2222123416,,3241n n n n n b T b b b b S a n==++++=-- ，试比较n T 与n S 的大小．例4. （05福建卷）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+na 1我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a（Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0； （Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(11+∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，111213182122232881828388a a a a a a a a a a a a都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围.四、作业 g3.1028数列的综合应用1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++的值为常数，则下列各数中也是常数的是（ ）A.7SB.8SC.13SD.15S2. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 各项都是正数，且112121,n n a b a b ++==，那么，一定有（ ） A .1111.n n n n a b B a b ++++≤≥ C .1111.n n n n a b D a b ++++><1. （05广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则 x 1等于 (B)（Ａ）32（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５3. 等差数列所有项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则项数为 。

4. 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为______，这个数列的前n 项和n S 的计算公式为 。

5. 三个实数6,3,1-排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和1-之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：①74；②3；③194；④7。

其中正确的序号是 。

6. 用数字0, 1, 2, 3, 5组成没有重复数字的五位偶数，把这些偶数从小到大排列起来，得到一个数列{}n a ，则25a = 。

7. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，数列{}n b 是等比数列，又1122441,,a b a b a b ====。

（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S （写成关于n 的表达式）。

8. 设有数列{}n a ，156a =，若以12,,,n a a a 为系数的一元二次方程2110n n a x a x --+=(*n N ∈，且2)n ≥都有根,αβ满足331ααββ-+=。

（1）求证：数列1{}2n a -是等比数列； （2）求n a ；（3）求{}n a 的前n 项和n S 。

9. 已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件：1121,()(2,3,4,...),n n a a a f a n a a -===≠， 11()()()(2,3,4,...),n n n n f a f a k a a n ---=-=其中a 为常数，k 为非零常数。

（1）令*1()n n n b a a n N +=-∈，证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。

答案： 基本训练1、202、43、104、9785、5022- 例题分析：例1、（1）4 （2）0n a =或1n a =或21n a n =- 例2、（1）*1()(1,8,,)2i ij a j i j i j N =⋅≤≤∈ （2）1*118()(18,)2k k A k k N -=⋅≤≤∈ （3）6,7，8 例3、（1）11()24f =，111()()2n f f n n -+= （2）14n n a +=为等差数列 （3）当1n =时，n n T S =；当2n ≥时，n n T S <例4.（I ）解法一：,11,11nn a a a a +==+2012高考数学第一轮总复习100讲 .0.11111.1111.1111,.}{.11,1,1:)(.032.32,11.21,11.1,011,0:.032.12231111211,1111111212123112111422233344342312=∴-==+=+=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-=-==-=-=∴+==∴+=-=∴=+∴==-=++=+=++=+=+=+=+=∴+----++n n n n n n nn n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当 故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n } 作业： 1、C 2、B 3、B 4、14 5、5(251(2n n n S n n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数）为奇数）6、○1，○47、321508、（1）143,(2)n n n a n b -=-=- （2）1(1)(2)n n S n =+-⋅-9、（1）略 （2）11()32n n a =+ （3）11223n nn S +=-⋅ 10、（1）略 （2）1(1)()(2)(1)(())(1)(1)1n n n f n n a k a f a a k a k k ----=⎧⎪=⎨--+≠⎪-⎩§3.7 数列的综合应用一、知识回顾1. 数列的概念，等差、等比数列的基本概念；2. 等差、等比数列的通项、前n 项和公式；3. 等差、等比数列的重要性质；4. 与数列知识相关的应用题；5. 数列与函数等相联系的综合问题。

二、课前预习 1. 数列{}n a 中，12,a =12,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩ 是奇是偶 ，则5a = 。

2. 等差数列{}n a 中，12a =，公差不为零，且1311,,a a a 恰为某等比数列的前3项，那么该等比数列的公比等于 。

3. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a ≠，若2110,m m m a a a -+-+=2138m S -=，则m = 。

4. 设{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，且10b =，数列{}n c 的前三项依次是1,1,2，且n n n c a b =+，则数列{}n c 的前10项和为 。

5. 如果函数()f x 满足：对于任意的实数a b 、，都有()()()f a b f a f b +=，且(1)2f =，则 (2)(5)(9)(14)(1274)(1)(3)(6)(10)(1225)f f f f f f f f f f +++++= 。

三、例题分析例1设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； （2）求所有的无穷等差数列{}na ，使得对于一切正整数k 都有2)(2kk S S =成立.2012高考数学第一轮总复习100讲。