7东北师大附属中学高三第一轮复习导学案二次函数A
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 导数的应用学案 理
课题：导数的应用一、知识梳理: （阅读选修教材2-2第18页—第22页）1.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）. ②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.2.极值：极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .3.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.二、题型探究 【探究一】：讨论函数的单调性例1：设 函数 ，试讨论函数的单调性(解析:注意讨论K 的范围,注意函数的定义域) 时，单调递增；时，单调递减；（，1）单调递增。
东北师大附属中学高三第一轮复习导学案导数的概念及运算A
导数的概念与运算(教案)A一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率： 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim7.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；1(ln )x x'=；1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.二、题型探究：探究1：导数的概念题型1．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习二次函数(2)学案理
二次函数（2）[探究五] 二次函数综合应用题例7. 已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和函数bx a bx x g 21)(2+-=， （1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性；（2）若方程()g x x =有两个不等的实根，求证：函数)(x f 在(1,1)-上是单调函数. 解：（1）∵)(x f 为偶函数, ∴x R ∀∈,()()f x f x -=，即20bx =,∴0b =.∴21()g x a x=-. ∵()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞, 且 2211))()((a x a xg x g x -==-=--, ∴函数()g x 为奇函数.（2）由212bx x a x b-=+,得 2210a x bx ++=， 由△0422>-=a b ，且0≠a , 得12>ab,即1122b b a a -<-->或 ∴ 函数)(x f 在(1,1)-上是单调函数.练习1.已知二次函数()()y f x x R =∈的图像过点(0,3)-，且()0f x >得解集为(1,3)． （1）若()()F x f x mx =-在区间(0,1)上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）求函数()(sin )G x f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最值． 解：由已知设二次函数()(1)(3)f x a x x =--，其中0a <．将点(0,3)-带入，解得1a =-．∴2()43f x x x =-+-．（1）2()()(4)3F x f x mx x m x =-=-+--，要使()F x 在区间(0,1)上单调递增，只须412(1)m--≥⨯-，解得2m ≤；（2）由2()sin 4sin 3G x x x =-+-，得2()(sin 2)1G x x =--+．∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]sin 0,1x ∈．∴3()0G x -≤≤． ∴函数()(sin )G x f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为3-．例8设a 为实数,记函数21()([2,2])2f x ax x a x =+-∈的最大值为()g a ,求()g a . 解: (1) 若0=a ,则()([2,2])f x x x =∈, ∴()2g a =.(2) 若0a ≠,则2111()()([2,2])22f x a x a x a a =+--∈, ①当0>a 时，由10x a=-<知()f x 在[2,2]x ∈上单调递增，∴)(a g (2)f =2+=a ；②当0<a 时，若1a -(0,2)∈，即22a <-，则)(a g (2)2f ==， 若1a -[2,2]∈，即2122a -≤≤-，则)(a g 11()2f a a a =-=--， 若1a -),2(+∞∈，即102a -<<，则)(a g (2)f =2+=a .综上所述：)(a g =12,,2121,,22222,.2a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---≤≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩.思考： 设a 为实数，记函数2()111f x a x x x =-+++-的最大值为()g a ， 求()g a .分析: 令x x t -++=11，则22221t x =+-， ∴ 121122-=-t x . ∵函数()f x 的定义域为(1,1)-, ∴]2,2[∈t . ∴21((1)2))(m t a f t t x =-=+a t at -+=221，]2,2[∈t . 由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221，]2,2[∈t 的最大值，化归为例2求解. 或由函数()f x 的定义域为(1,1)-，可令cos x α=，[0,]απ∈，则sin 2(cos sin )22y a ααα=++，又令2(cos sin )22t αα=+，则21sin (1)2t α=-，∴212at y t a =+-，]2,2[∈t练习1. 设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值．解：（1）若(0)1f ≥，则20||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩（2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩综上22min 2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩例9.已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行,且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数xx g x f )()(=(1)若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值； (2) )(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点,并求出零点. 解：（1）设()2g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+； 又()g x '的图像与直线2y x =平行，22a ∴=．即1a =． 又()g x 在1x =-取最小值，∴12b-=- ，即2b =． ()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-，c m =；∴ ()()2g x mf x x x x==++． 设00(,)P x y ，则2222222200000200(2)()22222m m PQ x y x x x m m m x x =+-=++=++≥+．∴ 22222m m += ，解得21m =-或21m =--；（2）由()()120my f x kx k x x=-=-++=， 得 ()2120k x x m -++= ()*当1k =时，方程()*有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2m x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ⇔∆=-->，①若0m >，11k m>-， 函数()y f x kx =-有两个零点()()()2441111211m k m k x k k -±--±--==--；②若0m <，11k m<-， 函数()y f x kx =-有两个零点()()()2441111211m k m k x k k -±--±--==--；当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ⇔∆=--=, 11k m=-, 函数()y f x kx =-有一零点11x k =-练习1.已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．（1）若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求实数m 的取值范围；（2）若方程两根均在区间(0,1)内，求实数m 的取值范围．解:设二次方程22210x mx m +++=所对应的函数为2()221f x x mx m =+++．（1）要使方程的两根一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，由根的分布知识得(0)210,(1)20,(1)420,(2)650.f m f f m f m =+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩解得5162m -<<-；（2）要使方程两根均在区间(0,1)内，由根的分布知识得(0)210,(1)420,0,0 1.f m f m m =+>⎧⎪=+>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩解得1,21212,10.m m m m ⎧>-⎪⎪⎪≤-≥+⎨⎪-<<⎪⎪⎩或即1122m -<≤-．备用．己知2)(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2,10b a x f R x b≤≤∈>证明：都有时，若对任意当（2）时当1>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-；证明：（1）依题意，对任意R x ∈，都有ba b a x b x f x f 4)2()(.1)(22+--=≤ .20,0,14)2(2b a b a ba b a f ≤∴>>≤=∴（2）充分性：[]x x x b bx ax x b a b --≥-∈-≥>)(:,1,0,1,122可推出对任意[]可知对任意又即,1,0,2,1;1,12∈≤>-≥--≥-≥x b a b bx ax x1,1)1(12)2(222max 222≤-=⋅-⋅=-≤-≤-bx ax bb b b bx x b bx x b bx ax 即1)(1≤≤-∴x f必要性：对任意[]1)1(,1)(,1)(,1,0-≥∴-≥∴≤∈f x f x f xb a b b a b a 21,2,11≤≤-≤∴≤-故即[]b a b x f x 211)(,1,0,≤≤-≤∈的充要条件是对任意综上．三、方法提升：1、关于二次方程根的分布问题，主要采用连续函数零点存在性定理，并结合函数的单调性来解决问题，这与后面利用导数来解决根的个数问题方法一致；2、利用二次函数求最值是一种重要的方法，注意转化思想的应用；3、韦达定理的使用是为了从整体上解决问题，利用根与系数的关系，减小计算量；4、含有二次不等式的讨论问题原则有两个，一是讨论二次项系数的正负，二是讨论两个根的大小。
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习 导数的应用(2)教案 文
课题：导数的应用（2）五．课时作业 一、 选择题1.已知函数432()410f x x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]1,2上的根有.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个2.（06郑州一中等四校联考）若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，且常数,a b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是 .A ()()af a bf b > .B ()()af b bf a > .C ()()af a bf b < .D ()()af b bf a <3、（07届高三陕师大附中八模）如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上, 顶点坐标为(1,3)-, 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是.A 2(0,]3π .B 2[0,)[,)23πππU .C 2[0,][,)23πππU .D 2[,]23ππ4、（08届厦门双十中学高三月考）如图，是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，则2221x x +等于.A 98 .B 910 .C 916 .D 9285、（06天津）函数()f x 的定义域是开区间(),a b , 导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间内有极小值点.A 1个 .B 2个 .C 3个 .D 4个6、（08届高三哈尔滨第三中学第一次月考） 函数x bx ax x f 2)(23-+=的图象如图所示， 且021<+x x ，则有.A 0,0>>b a .B 0,0><b a .C 0,0<<b a .D 0,0<>b a二、 填空题7、（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数，则a 的范围是xyab()'y f x =O（2）使a ax x y ++=3为R 上增函数，则a 的范围是 （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上增函数，则a 的范围是三、解答题8、已知：1x >，证明不等式：()ln 1x x >+9、设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间14．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.15．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06 f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D.原式＝⎠⎛-60f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等．故选D.16．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确解析：选A.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin t ＋t 33＋2t |x-x ＝2sin x ＋2x 33＋4x ，为奇函数．17．一物体的下落速度为v (t )＝9.8t ＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是( )A ．249米B ．261.2米C ．310.3米D ．450米 解析：选B.所求路程为⎠⎛48(9.8t ＋6.5)dt＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(米)．18．由直线x＝12，x＝2，曲线y＝1x及x轴所围成图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D．2ln219．若a＝⎠⎛2x2d x，b＝⎠⎛2x3d x，c＝⎠⎛2sin x d x，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．c<a<b解析：选D.a＝⎠⎛2x2d x＝13x3|20＝83，b＝⎠⎛2x3d x＝14x4|204，c＝⎠⎛2sin x d x＝－cos x|20＝1－cos2，因为1<1－cos2<2，所以c<a<b.20．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1 (－1≤x<0)cos x (0≤x≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为A.32B．1 C．2 D.12解析：选 A.作出图象可知：S＝⎠⎛-10－1(x＋1)d x＋⎠⎜⎛π2cos x d x＝21．已知a∈[0，π2]，则当 d x取最大值时，a＝________.解析：⎠⎛a(cos x－sin x)d x＝(sin x＋cos x)|a0＝sina＋cos a－(sin0＋cos0)＝2sin(a＋π4)－1，当a＝π4时，⎠⎛a(cos x－sin x)d x取最大值2－1.答案：π422．⎠⎛-aa(2x－1)d x＝－8，则a＝________.解析：⎠⎛-aa (2x－1)d x＝(x2－x)|a-a ＝a2－a－[(－a)2－(－a)]＝a2－a－a2－a＝－2a＝－8，∴a＝4.23．如果⎠⎛1f(x)d x＝1，⎠⎛2f(x)d x＝－1，则⎠⎛12f(x)d x＝________.解析：∵⎠⎛2f(x)d x＝⎠⎛1f(x)d x＋⎠⎛12f(x)d x，∴⎠⎛12f(x)d x＝⎠⎛2f(x)d x－⎠⎛1f(x)d x＝－1－1＝－2.24．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标．解：设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x，y)，则⎠⎛x(kx－x2)d x＝⎠⎛x2(x2－kx)d x，即(12kx2－13x3)|x0＝(13x3－12kx2)|2x，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－12kx 2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．。
吉林省东北师范大学附属实验学校高中数学 222二次函数的图象与性质学案 新人教B版必修1
一.学习要点:二次函数的图象与性质及其简单应用二.学习过程:1.二次函数：2. 二次函数的性质:（1）定义域：（2）值域：（3）单调性：（4）奇偶性：3. 二次函数()2f x ax bx c =++的图象：（1） 开口方向与大小：(2) 对称性： (3) 截距：例1 研究二次函数6421)(2++=x x x f 的性质与图象。
例2 已知函数()2321f x x x =++．（1）若213f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，不直接计算函数值，求()0f 的值。
（2）不直接计算函数值，比较34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭与154f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小。
例3 求()222f x x ax =-+在[]2,4上的最小值。
解：课堂练习:1．函数()222m m y m m x +=+为二次函数，则m 的取值为（ ） A ．1m = B ．2m =-C ．2m =-或1m =D ．0m ≠且2m ≠-的所有实数。
2．若()()2123f x m x mx =-++是偶函数，则()f x 在区间()3,1-上（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增3．对于每一个实数x ，()f x 是22y x =-和y x =这两个函数中的较小者，则()f x 的最大值是（ ）A ．2-B ．3-C ．0D ．14．若抛物线()2f x x px q =++只通过第一、二象限，必须具备条件（ ）A ．0p >，0q <B ．0p <，0q >C ．240p q ->D ．240p q -<5．函数()223f x x mx =-+，当(],1x -∞-时是减函数，当()1,x-+∞时是增函数，则()2f =__6．设二次函数2y ax bx c =++ ()0a ≠，如果()()12f x f x =（其中12x x ≠），则122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．2b a - B ．b a- C ．c D ．244ac b a - 7．函数221218y x x =-+-的值域为8．m 为何值时，函数()()2221f x m x mx =+-+的图象与x 轴： （1）相交于两点；（2）相交于一点；（3）不相交。
13东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数模型及其综合应用A
例2：某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理厂，如下表：
一期2000年投入1亿元
兴建垃圾堆肥厂
年处理有机肥十多万吨
年综合收益
2千万元
二期2002年投入4亿元
兴建垃圾焚烧发电一厂
年发电量1.3亿kw/h
年综合收益
4千万元
三期2004年投入2亿元
兴建垃圾焚烧发电二厂
3、函数模型的应用：
一方面是利用已知的模型解决问题；另一方面是恰当建立函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，解函数应用题的一般步骤：
（1）、阅读，审题；深入理解关键字句，为便于数据的处理可用表格（或图形）外理数据，便于寻数据关系。
（2）、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
19．已知函数 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
f(x)
－3.51
1.02
2.37
1.56
－0.381.232 Nhomakorabea773.45
4.89
解:在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.
20．已知二次方程 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 的取值范围.
【答案】D
8.【2012高考全国文2】函数 的反函数为
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
9.【2012高考四川文4】函数 的图象可能是（）
【答案】Ｃ
10.【2012高考山东文10】函数 的图象大致为【答案】D
吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习函数的图象(1)教案文
函数的图象（1）一、知识梳理：函数的图象是函数的直观表达，形象地显示了函数的性质，借助函数的图象，我们可以方便地研究函数的性质，加深对函数性质的理解和认识，而且分析函数图象是运用“数形结合”思想解决一些综合问题的有力工具，它一方面能启发我们发现解题思路，另一方面能够简化解题过程。
（一）、作图象作函数的图象通常有以下两种办法：（1）、描点法：其步骤①、确定函数的定义域。
②、化简函数的表达式。
③、列表。
④、描点。
⑤、连线。
（2）、图象的变换：主要有以下四种形式：①、平移变化：(a)左右平移：(>0) 的图象可由的图象向左或向右平移a个单位得到；（b）上下平移：(>0) 的图象可由的图象向上或向下平移a个单位得到。
(c)的图象按向量②、对称变换：主要有：的图象与的图象关于轴对称；的图象与的图象关于轴对称；的图象与的图象关于对称。
③、伸缩变换：主要有：(a)、的图象可将的图象上每点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍而得到；(b)、的图象可将的图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍而得到；④、翻折变换：主要有：(a)、图象可将的图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折，x轴及其上方的图象保持不变；(b)、图象是先画出在y轴及右侧的图象再将y轴右侧的图象以y轴为对称轴翻折到左侧而得到左边的图象（右侧部分保持不动）；（二）、识图象对于给定的函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质；（三）、用图象函数的图象形象对显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题图径、获得问题结果的重要工具。
（四）、图象对称性的证明证明函数的图象的地称性，即证明图象上任意一点关于对称中心（或对称轴）对称点仍在图象上；有关对称问题有以下三个重要结论：(1)若=对于定义域内任意x都成立，则函数的图象关于直线x= 成轴对称图形；(2)若的图象关于直线x=m及x=n对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期；(3)若的图象关于点（m，0）（n，0）对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期。
4东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的概念及表示A
函数的概念与表示(教案)一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义： （2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。
4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1.(郑州模拟)函数0()A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x ≠-1}D.{x|x ≠0且x ≠-1,x ∈R} 解析:依题意有x+1≠0|x|-x>0,解得x<0且x ≠-1,故定义域是{x|x<0且x ≠-1}.答案:C2、若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数)的定义域为________.解析:∵f(x+1)的定义域是[1,2],∴f(x)的定义域为[2,3],对于函数)满足23,∴4≤x ≤9.∴的定义域为[4,9]. 答案:[4,9] 3、函数y=253x x --的值域是{y|y ≤0或y ≥4},则此函数的定义域为________. 解析:∵y ≤0或y ≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x ≤72. 答案:52≤x<3或3<x ≤72.探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311(f x x xx +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()(3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()(3()f x x x x x x x x+=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-． （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（4）12()()3f x f x x += ①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+=②，①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、 反思感悟五、课时作业课时训练 函数的解析式与定义域【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.（2010江苏南京一模，2）函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（ ）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 答案：D解析：⎩⎨⎧->-≤⇒⎩⎨⎧>+≥--,2,1,02,0322x x x x x 或x ≥3⇒-2<x ≤-1或x ≥3.2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（ ） A.2x B.x+21C.2-xD.21log x 答案：C3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x ≠0),则f(21)等于（ ）A.1B.3C.15D.30答案：C解析：令g(x)=21,则x=41,∴f(21)=22)41()41(1-=15. 4.设函数f(x)=lgx,g(x)=4x -2x+1-3,则函数f ［g(x)］的定义域是（ ） A.（-∞,2） B.(2,+∞) C.(log 23,+∞) D.(-∞,log 23) 答案：C解析：f ［g(x)］=lg ［g(x)］=lg(4x -2x+1-3),由4x -2x+1-3>0,得（2x +1）(2x -3)>0,又2x +1>0,∴2x >3,即x>log 23,故选C.把上表反映的数据关系，用一个函数来近似地表达出，其中数据最接近的一个是（ ） A.S=1+2t-3 B.S=23log 2t C.S=21(t 2-1) D.S=-2t+5.5 答案：B解析：分别取近似数对（2，1.5）,(3,2),(4,3),(8,4.5)代入验证即可选B. 6.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ）A.122+-x x B.1||22+-x x C.|x 2-1|D.x 2-2|x|+1 答案：B解析：C 、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A ，故选B. 7.（2010全国大联，8）已知函数y=f(2x )的定义域是［-1，1］，则函数y=f(log 2x)的定义域是（ ）A.（0,+∞）B.(0,1)C.［1，2］D.［2，4］ 答案：D解析：∵x ∈［-1，1］，∴2x ∈［21，2］，故log 2x ∈［21，2］，∴x ∈［2，4］. 二、填空题（每小题5分，共15分） 8.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 答案：［-1，2）∪（2，+∞） 解析：∵⎩⎨⎧≠-≥+.02,01x x ∴x ≥-1且x ≠2.9.已知f(x+1)的定义域是［1，2］，那么函数f(x )的定义域为___________________.答案：［4，9］解析：∵x ∈［1，2］，∴x+1∈［2，3］. ∴f(x )中的x 满足2≤x ≤3，即4≤x ≤9.10.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=____________;函数f ［g(x)］的定义域为_______________. 答案：2 -1<x<3解析：log a (2+2)-log a (2+1)=21⇒log a 2=21,a=2. 由g(4)=g(-2)=-5,知g(x)+5=-(x-4)(x+2),故⎩⎨⎧==.3,2c b∴f ［g(x)］=log 2(-x 2+2x+3),由-x 2+2x+3>0，得-1<x<3.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值. 解析：令x=0，f(a)=|-2|-|2|=0. ∴f ［f(a)］=f(0)=|-a-2|-|-a+2|=3. ∴|a+2|-|a-2|=3.当a>2时，有a+2-(a-2)=3无解； 当-2≤a ≤2时，有a+2+(a-2)=3⇒a=23； 当a ≤-2时，有-(a+2)+(a-2)=3无解. ∴a=23. 12.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.解析：当a=0时，函数定义域为R . 当a ≠0时，要使ax 2+4ax+3≠0对一切x ∈R 恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a 2-12a<0,∴0<a<43.因此a 的取值范围为［0，43）. 13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y=21πx 2+2x ·)26(26ππ+-=--x x l x 2+l x, 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->,026,0x x l x π解得0<x<π+6l .∴y=-(6+2π)x 2+lx(0<x<π+6l ).当x=π+12l 时y 有最大值.这时半圆的直径为π+122l ,大矩形的另一边长为π+123l.14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 解析：（1）函数f(x)的定义域为（-1，+∞），值域为R . （2）∵2x+t>0,x ∈［0，1］,∴t>0. （3）当0≤x ≤1时，f(x)≤g(x)⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔,21,02t x x t x t ≥1+x -2x(0≤x ≤1)⇔t ≥(1+x -2x)max . 设U=-+1x 2x,m=1+x ,则1≤m ≤2,x=m 2-1, ∴U=m-2(m 2-1)=-2m 2+m+2=-2(m-41)2+81+2. ∴当m=1(x=0)时，U max =1.∴t ≥1.附加题：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为(,0]-∞．2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为{|(1),}6k x x k k Z ππ≠+-∈． 3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．解：设每月用水量为x 3m ，支付费用为y 元，则有8,0(1)8(),(2)c x ay b x a c x a+≤≤⎧=⎨+-+>⎩由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153m ，223m 均大于最低限量a 3m ，于是就有198(15)338(22)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得2b =，从而219 (3)a c =+再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤． 从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =． 故10a =，2b =，1c =．4．（2010山东理）(11)函数y =2x-的图像大致是2x5．山东卷理)函数的图像大致为 ( ).答案 A解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.x xx xe e y e e--+=-0xxe e--≠{}0|≠x x 22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---0x >A。
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二次函数一、知识梳理二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延． 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法．1、二次函数解析式的三种形式一般式：()()02≠++=a c bx ax x f顶点式：()()2()0fx a x h k a =-+≠零点式：()()02≠++=a c bx ax x f 存在零点21,x x ， 则有()()12()()0fx a x x x x a =--≠2、二次函数的图象和性质（1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x ，都有 。
当a >0 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。
当a <0 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。
（2）、二次函数的图象与x 轴的位置关系：由判别式判定 3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系一般地，设二次函数f (x )=ax 2+bx +c ，二次方程ax 2+bx +c =0的根的差别式 ∆=b 2−4ac ，我们可以利用二次方程ax 2+bx +c =0的根求出不等式ax 2+bx +2二、题型探究[探究一]二次函数的最值问题例1：已知a ≥2,求函数f(x)=x 2+ax +3 (−1≤x ≤1)的最大值与最小值。
[探究二] 二次函数与一元二次方程例2．若函数2()24f x x ax a =+-+是偶函数，则函数()f x 的最小值为 ． 解：∵二次函数是偶函数，∴其图像关于y 轴对称．∴0a =．∴函数()f x 的最小值为4-．练习1. 若二次函数22()(1)(1)4f x a x a x =-+-+的图像的对称轴是y 轴，则实数a 的值是 ．解：由已知210,10.a a -≠⎧⎨-=⎩解得1a =-．[探究三] 二次函数与导数例3． 已知函数在R 上满足，则曲线在点处的切线方程是 . 解：由得， 即，∴∴()2f x x '=，∴切线方程为，即210.x y --=()f x 2()2(2)88f x f x x x =--+-()y f x =(1,(1))f 2()2(2)88f x f x x x =--+-2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--22()(2)44f x f x x x --=+-2()f x x =12(1)y x -=-例4.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ．解：由已知，而，∴ [探究四] 二次函数与恒成立问题例5.若函数2()ln(21)f x ax ax =++的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是 ．解：由已知2210ax ax ++>对一切实数x 恒成立． （1）当0a =时，满足题意；（2）当0a ≠时，只须20,440.a a a >⎧⎨-<⎩解得01a <<．由（1）、（2）得01a ≤<．练习：若函数2()21xe f x ax ax =+-的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是．解：由已知2210ax ax +-≠对一切实数x 恒成立．（1）当0a =时，满足题意；（2）当0a ≠时，只须2440a a +<．解得10a -<<． 由（1）、（2）得10a -<≤． [探究四] 二次函数综合应用题例5. 已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和函数bx a bx x g 21)(2+-=，（1）若)(x f 为偶函数，试判断)(x g 的奇偶性；（2）若方程()g x x =有两个不等的实根，求证：函数)(x f 在(1,1)-上是单调函数. 解：（1）∵)(x f 为偶函数, ∴x R ∀∈,()()f x f x -=，即20bx =,∴0b =.∴21()g x a x=-. ∵()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞, 2()()f x g x x =+()y g x =(1,(1))g 21y x =+()y f x =(1,(1))f (1)2g '=()()2f x g x x ''=+(1)(1)214f g ''=+⨯=且 2211))()((a x a xg x g x -==-=--, ∴函数()g x 为奇函数. （2）由212bx x a x b-=+,得 2210a x bx ++=， 由△0422>-=a b ，且0≠a , 得12>a b,即1122b b a a-<-->或 ∴ 函数)(x f 在(1,1)-上是单调函数.练习 1.已知二次函数()()y f x x R =∈的图像过点(0,3)-，且()0f x >得解集为(1,3)．（1）若()()F x f x mx =-在区间(0,1)上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）求函数()(sin )G x f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最值． 解：由已知设二次函数()(1)(3)f x a x x =--，其中0a <．将点(0,3)-带入，解得1a =-．∴2()43f x x x =-+-．（1）2()()(4)3F x f x mx x m x =-=-+--，要使()F x 在区间(0,1)上单调递增，只须412(1)m--≥⨯-，解得2m ≤；（2）由2()sin 4sin 3G x x x =-+-，得2()(sin 2)1G x x =--+．∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]sin 0,1x ∈．∴3()0G x -≤≤．∴函数()(sin )G x f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为3-．例 6 设a 为实数,记函数21()(2f x ax x a x =+-∈的最大值为()g a ,求()g a .解: (1) 若0=a ,则()(2])f x x x =∈, ∴()2g a =.(2) 若0a ≠,则2111()()(22f x a x a x a a=+--∈,①当0>a 时，由10x a=-<知()f x 在2]x ∈上单调递增， ∴)(a g (2)f =2+=a ； ②当0<a 时，若1a-∈，即2a <-，则)(ag f ==若1a-2]∈，即122a -≤≤-，则)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1a -),2(+∞∈，即102a -<<，则)(a g (2)f =2+=a .综上所述：)(a g=12,,211,,2222a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---≤≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩. 思考： 设a为实数，记函数()f x =()g a ， 求()g a .分析: 令x x t -++=11，则22t =+ ∴ 121122-=-t x .∵函数()f x 的定义域为(1,1)-, ∴]2,2[∈t . ∴21((1)2))(m t a f t t x =-=+a t at -+=221，]2,2[∈t . 由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221，]2,2[∈t 的最大值，化归为例2求解.或由函数()f x 的定义域为(1,1)-，可令cos x α=，[0,]απ∈，则sin sin )22y a ααα=++，又令sin )22t αα=+，则21sin (1)2t α=-， ∴212at y t a =+-，]2,2[∈t 练习1. 设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--．（1）若(0)1f ≥，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值．解：（1）若，则(0)1f ≥20||111a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩（2）当时， 当时，综上 例7.已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m －1(m ).设函数 (1)若曲线上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m 的值； (2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点. 解：（1）设，则；又的图像与直线平行，．即． 又在取最小值，∴ ，即． ，；∴ ． 设00(,)P x y ，则222222200000200(2)()222m m PQ x y x x x m m x x =+-=++=++≥．∴ 22m = ，解得1m =或1m =；x a ≥22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩x a ≤22()2,f x x ax a =+-2min2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩22min2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩)(x g y =2y x =)(x g y =x 0≠xx g x f )()(=)(x f y =2)(R k k ∈kx x f y -=)(()2g x ax bx c =++()2g x ax b '=+()g x '2y x =22a ∴=1a =()g x 1x =-12b-=-2b =()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-c m =()()2g x mf x x x x==++（2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，①若，， 函数有两个零点②若，， 函数有两个零点；当时，方程有一解, , 函数有一零点 练习1.已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．（1）若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求实数m 的取值范围；（2）若方程两根均在区间(0,1)内，求实数m 的取值范围．解:设二次方程22210x mx m +++=所对应的函数为2()221f x x mx m =+++． （1）要使方程的两根一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，()()120my f x kx k x x=-=-++=()2120k x x m -++=()*1k =()*2m x =-()y f x kx =-2mx =-1k ≠()*()4410m k ⇔∆=-->0m >11k m>-()y f x kx =-x =0m <11k m<-()y f x kx =-x =1k ≠()*()4410m k ⇔∆=--=11k m=-()y f x kx =-11x k =-由根的分布知识得(0)210,(1)20,(1)420,(2)650.f m f f m f m =+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩解得5162m -<<-；（2）要使方程两根均在区间(0,1)内，由根的分布知识得(0)210,(1)420,0,0 1.f m f m m =+>⎧⎪=+>⎪⎨∆≥⎪⎪<-<⎩解得1,21110.m m m m ⎧>-⎪⎪⎪≤-≥+⎨⎪-<<⎪⎪⎩即112m -<≤备用．己知2)(,0bx ax x f a -=>函数， （1）();2,10b a x fR x b ≤≤∈>证明：都有时，若对任意当（2）时当1>b ，证明：对任意]1,0[∈x ，1|)(|≤x f 的充要条件是b a b 21≤≤-； 证明：（1）依题意，对任意R x ∈，都有ba b a x b x f x f 4)2()(.1)(22+--=≤ （2）充分性：[]x x x b bx ax x b a b --≥-∈-≥>)(:,1,0,1,122可推出对任意必要性：对任意[]1)1(,1)(,1)(,1,0-≥∴-≥∴≤∈f x f x f x[]b a b x f x 211)(,1,0,≤≤-≤∈的充要条件是对任意综上．三、方法提升：1、关于二函数根的分布问题，主要采用连续函数根的存在性定理，并结合函数的单调性来解决问题，这与后面利用导数来解决根的个数问题方法一致。