二次型
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
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二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
二次型表达式
二次型表达式二次型是线性代数中的重要概念，它在数学和工程中都有广泛的应用。
二次型是由平方项组成的多项式函数，通常用于描述二次曲线、锥面以及正负定矩阵等问题。
设A是n阶矩阵，x是n维列向量，则称函数f(x)=x^T A x为一个二次型。
其中x^T表示x的转置，A是一个对称矩阵，也可以是一个复数域上的矩阵。
二次型可以表示为矩阵乘法的形式，即f(x)=x^T A x=x_1 a_{11} x_1+x_2a_{22} x_2+\cdots+x_n a_{nn} x_n+2x_1 a_{12} x_2+2x_1 a_{13}x_3+\cdots+2x_{n-1} a_{n-1,n} x_n，其中a_{ij}表示矩阵A的第i行第j列的元素。
我们可以对二次型进行一些简化与分类。
首先，我们可以通过矩阵A的特征值来判断一个二次型的性质。
若所有特征值都为正，则称该二次型为正定二次型；若所有特征值都为负，则称该二次型为负定二次型；若存在正特征值和负特征值，则称该二次型为不定二次型。
正定二次型的图像是一个椭圆，负定二次型的图像是一个竖直方向打开的椭圆，不定二次型的图像是一个双曲线。
其次，我们可以通过矩阵A的秩来判断一个二次型的性质。
若矩阵A的秩为n，则称该二次型为非退化二次型；若矩阵A的秩小于n，则称该二次型为退化二次型。
非退化二次型的图像是一个在空间中没有截平面的曲面，退化二次型的图像是一个在空间中有截平面的曲面。
对于一个二次型，我们还可以通过配方法将其化为标准型。
配方法是通过坐标变换来将二次型的主元素系数化为标准形式，即所有非主对角的元素为0。
这里的坐标变换是通过引入新的变量来改变原有的变量，从而将二次型化为标准型。
综上所述，二次型是由平方项组成的多项式函数，可以用矩阵乘法的形式表示。
我们可以通过矩阵A的特征值、秩以及配方法来判断二次型的性质和将其化为标准型。
二次型在数学和工程中都有广泛的应用，例如在图像处理、机器学习和最优化等领域中常常使用二次型来建模和优化问题。
6.1二次型及其标准形
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
线性代数-二次型
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
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在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
二次型及其规范型
二次型及其规范型二次型是数学中重要的概念，广泛应用于代数、线性代数以及物理学等领域。
本文将介绍二次型的基本定义、性质以及规范型的概念和应用。
一、二次型的定义和性质在线性代数中，我们称一个关于n个变量的多项式函数为一个二次型。
一个二次型可以表示为如下形式：$Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j$其中，$a_{ij}$是一个常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$是n个变量。
二次型具有以下性质：1. 对称性：如果$a_{ij} = a_{ji}$，则二次型称为对称二次型；2. 非负定性：当二次型对于所有的非零向量$x$都有$Q(x) > 0$时，称其为正定二次型；当$Q(x) \geq 0$，但存在非零向量$x_0$使得$Q(x_0) = 0$时，称其为半正定二次型；3. 定性：二次型的正负定性与其矩阵的特征值有关，正定二次型对应的特征值全为正数，半正定二次型对应的特征值非负。
二、规范型的定义和性质在研究二次型时，我们常常希望将其化为一个标准的形式，这就是规范型。
规范型的特点是尽可能简单且易于研究。
对于任意的n维实二次型，我们可以通过合同变换将其化为规范型。
合同变换是指对矩阵进行相似变换，即通过矩阵的乘积将一矩阵转化成与之相似的另一矩阵。
具体而言，对于对称矩阵$A$，存在可逆矩阵$P$，使得$P^TAP = \Lambda$，其中$\Lambda$为对角矩阵，对角线上的元素为$A$的特征值。
规范型的具体形式取决于原始二次型的特征值分布。
根据特征值的正负，规范型可以分为以下几种情况：1. 正定二次型的规范型为$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$；2. 负定二次型的规范型为$-x_1^2 - x_2^2 - \cdots - x_n^2$；3. 除了以上两种情况外，还有其他特征值组合形式的规范型。
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第4章相似矩阵及二次型第一节相似矩阵例1求一个是对称矩阵的相似标准型。
输入：>>A = [ 4 0 0 ; 0 2 2; 0 2 2][V D] = eig(A)输出：V =0 0 1.0000-0.7071 0.7071 00.7071 0.7071 0D =0 0 00 4 00 0 4输入：inv(V)*A*V输出：0 0 00 4 00 0 4实对称矩阵A正交相似于对角矩阵D例2 判断方阵4 6 03 5 03 6 1A⎛⎫⎪=--⎪⎪--⎝⎭是否可对角化。
建立.m文件用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0. 程序：function f=trigle(A)f=0;[m,n]=size(A);if m==n[V,D]=eig(A);if rank(V')==mf=1;endend在命令窗口中输入：>>A=[4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1];>>s=trigle(A)结果：s=1所以，方阵 4 6 03 5 03 6 1A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭可对角化。
例 3 将矩阵A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]对角化。
在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列:>> A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5];>> [V D]=eig(A)>>V ’*V %验证V 是否正交结果：V =-0.2981 0.8944 0.3333-0.5963 -0.4472 0.6667-0.7454 0 -0.6667D =1.0000 0 00 1.0000 00 0 10.0000ans =1.0000 -0.0000 0.0000-0.0000 1.0000 00.0000 0 1.0000第二节 矩阵的二次型例 1 将二次型323121232221844141417 x x x x x x x x x f ---++=通过正交变换Py =x 化成标准形输入：A = [17 -2 -2; -2 14 -4;-2 -4 14]；[V D] = eig(A)输出：V =0.3333 -0.2981 0.89440.6667 -0.5963 -0.44720.6667 0.7454 0.0000D =9 0 00 18 00 0 18输入：syms y1 y2 y3;g= [y1 y2 y3]*D*[y1 y2 y3].'%D=inv(V)*A*V'%此时V 为正交矩阵故[y1 y2 y3]=V*[x1 x2 x3],即令P=inv （V ）=V ’得所求正交变换输出：g =9*y1^2+18*y2^2+18*y3^2例 2 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2,λ2=-2,λ3=1对应的特征向量依次为123(0,1,1),(1,1,1),(1,1,0),.T T T p p p A ===求令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 111011110111111110011011200110111020111110001011P A P P ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=Λ=-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭>> a1=[0 1 1; 1 1 1; 1 1 0];>> a2=[2 0 0 ; 0 -2 0; 0 0 1];>> a3=[-1 1 0; 1 -1 1; 0 1 -1];>> a=a1*a2*a3a =-2 3 -3-4 5 -3-4 4 -2例3 判定二次型的正定性()312322213216732,,x x x x x x x x f -++=输入:A = [2 0 -3; 0 3 0;-3 0 7];eig(A)输出：ans =0.59493.00008.4051二次型为正定的等价于它的特征值均大于0，故此时f 正定例 4 正交矩阵：设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=73-1-13-711-1-173-11-3-7A ，求正交矩阵T ，使得T ’AT 。
>> A=[7 -3 -1 1; -3 7 1 -1; -1 1 7 -3; 1 -1 -3 7];>> T=orth(A)T =-0.5000 0.5000 0 -0.70710.5000 -0.5000 -0.0000 -0.70710.5000 0.5000 0.7071 0.0000-0.5000 -0.5000 0.7071 -0.0000例 5 下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由。
1112311(1)1;2211132⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 184999814(2);999447999⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ >> A=[1 -1/2 1/3; -1/2 1 1/2;1/3 1/2 -1];>> A*A'ans =1.3611 -0.8333 -0.2500-0.8333 1.5000 -0.1667-0.2500 -0.1667 1.3611>> B=[1/9 -8/9 -4/9; -8/9 1/9 -4/9; -4/9 -4/9 7/9];>> B*B'ans =1 0 00 1 00 0 1可知，（1）不是正交矩阵，（2）是正交矩阵。
例6求一个正交变换，将二次型22221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+化成标准形.该二次型所对应的矩阵为：1 1 0 11 1 1 00 1 1 11 0 1 1A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦程序：>>A=[1 1 0 -1;1 1 -1 0;0 -1 1 1;-1 0 1 1];>>[P,T]=schur(A)结果：P =-0.5000 0.7071 0.0000 0.50000.5000 -0.0000 0.7071 0.50000.5000 0.7071 0.0000 -0.5000-0.5000 0 0.7071 -0.5000T =-1.0000 0 0 00 1.0000 0 00 0 1.0000 00 0 0 3.0000答：所作的正交变换为：X=PY二次型的标准型为：22221234''''3f x Ax y P APy y Tyy y y y====-+++ 例7 设矩阵122212221A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求正交矩阵P 和B ，使得P -1AP=B 。
>>A=[1 2 2;2 1 2;2 2 1];[P,B]=eig(A)%相似矩阵为B ，P 为由对应特征值的特征向量所组成的矩阵运行结果：P =0.620602439855266 0.530583903178712 0.5773502691896260.149197919064235 -0.802749430154621 0.577350269189626-0.769800358919501 0.272165526975909 0.577350269189626运行结果: B =-1 0 00 -1 00 0 5例 8 将向量组a 1=(1,2,-1),a 2=(-1,3,1),a 3=(4,-1,0) 规范正交化。
程序如下：>> A=[1,-1,4; 2,3,-1;-1,1,0] ;>>[Q,R]=qr(A);>>Q %矩阵Q 的列向量组就是所求的规范正交化向量组运行结果如下：>>Q =-0.4082 0.5774 0.7071-0.8165 -0.5774 0.00000.4082 -0.5774 0.7071例 9 已知矩阵A=[1 -2 0;-2 2 -2;0 -2 3],用正交线性替换将二次型化为标准形。
在MatLab 的命令窗口输入如下命令序列:>>A=[1 -2 0;-2 2 -2;0 -2 3];>>[V D]=eig(A) %验证V是否正交阵>>V’*V>>inv(V)*A*V %验证V^-1A V-=D>>syms y1 y2 y3>>y=[y1 y2 y3];>>X=V*y’%作正交线性替换X=Vy >>f=y*D*y’%二次型的标准形结果：V =-0.6667 -0.6667 0.3333-0.6667 0.3333 -0.6667-0.3333 0.6667 0.6667D =-1.0000 0 00 2.0000 00 0 5.0000ans =1.0000 -0.0000 -0.0000-0.0000 1.0000 -0.0000-0.0000 -0.0000 1.0000ans =-1.0000 0 -0.0000-0.0000 2.0000 0.0000-0.0000 0.0000 5.0000X =conj(y3)/3 - (2*conj(y2))/3 - (2*conj(y1))/3 conj(y2)/3 - (2*conj(y1))/3 - (2*conj(y3))/3 (2*conj(y2))/3 - conj(y1)/3 + (2*conj(y3))/32*y2*conj(y2) - y1*conj(y1) + 5*y3*conj(y3)例 10 已知（α1，α2，α3，α4）=（x1,x2,x3,x4）A,(β1,β2,β3,β4)=(x1,x2,x3,x4)B,其中A=[1 1 -1 -1;2 -1 2 -1;-1 1 1 0;0 1 1 1],B=[2 0 -2 1;1 1 1 3;0 2 1 1;1 2 2 2]求坐标变换公式。
>>A=[1 1 -1 -1;2 -1 2 -1;-1 1 1 0;0 1 1 1]>>B=[2 0 -2 1;1 1 1 3;0 2 1 1;1 2 2 2]>>C=inv(B)*A %inv表示求逆矩阵结果：A =1 1 -1 -12 -1 2 -1-1 1 1 00 1 1 1B =2 0 -2 11 1 1 30 2 1 11 2 2 2C =0 1.0000 -1.0000 1.0000-1.0000 1.0000 -0.0000 00 0 0 1.00001.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000依题意知：(β1,β2,β3,β4)=（α1，α2，α3，α4）*A^-1*B所以坐标变换公式为：[y1;y2;y3;y4]=B^-1*A*[x1;x2;x3;x4]故所求坐标变换公式为：[y1;y2;y3;y4]=C*[x1;x2;x3;x4]。