一类含参数的实二次型

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第六章实二次型(新)

第六章实二次型二次型的理论和方法在几何、多元函数的最值、控制理论等方面都有着很重要的应用．本章主要讨论在实数域上如何利用可逆线性变换及正交变换化二次型为标准型，并讨论了正定二次型和正定矩阵的性质．引例二次曲面的研究考虑二次方程：22244221x y z xy xz yz +++++=．（6.1）试问在空间直角坐标系下，（6.1）表示怎样的二次曲面．第一节实二次型及其标准型一、二次型的概念定义1 n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数12(,,,)n f x x x =222222111nnn x a x a x a +++ 121213131,1222n n n na x x a x x a x x --++++ （6.２）称为关于变量12,,,n x x x 的n 元二次型，若),,2,1,(n j i a ij =为实数，则（6.2）称为实二次型．本章若无特殊说明，所讨论的二次型都是指实二次型．令ji ij a a =，有2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+，于是（6.２）可表示成12(,,,)n f x x x ,1nij i j i j a x x ==∑．（6.３）定义 2 只含有完全平方项的二次型2221122n nf k x k x k x =+++ ，称为二次型的标准形．形如222211s s r f x x x x +=++--- 的二次型称为二次型的规范形．二、二次型的矩阵表示形式对实二次型（6.3），有12(,,,)n f x x x ()11121121222212412n n n n nn n a a a x aa a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则实二次型可表示为 T f X AX =，（6.4）其中A 为实对称矩阵，叫做二次型f的矩阵，也把f 叫做实对称矩阵A 的实二次型．总之，任给一个实二次型，可以唯一确定一个实对称矩阵；反之，任给一个实对称矩阵，也可以唯一确定一个实二次型，它们之间是一一对应关系．因此，我们把实对称矩阵A 的秩，称为二次型的秩．例1 写出二次型23322121242x x x x x x f +-+-=的矩阵及矩阵表示式，并求该二次型的秩．解二次型的矩阵为110102022A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则二次型的矩阵表示式()112323110102022T x f X AX x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．又20A =≠，所以()3R A =，则二次型f 的秩也等于３．思考题一1．对于矩阵124223433A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，112323633B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有T T f X AX X BX ==22212312132323486x x x x x x x x x =+++++，试问二次型的矩阵是A 还是矩阵B ？为什么？2．请思考怎样快速写出给定二次型的矩阵；请针对定义２中二次型的标准形和规范形，写出其二次型的矩阵．第二节化实二次型为标准型通常将二次型转化为标准型的方法有配方法，正交变换法和初等变换法，本节我们着重讲述前两种方法．一、线性变换变量12,,,n x x x 与变量12,,,m y y y 的关系式11111221221122221122,,,m m m mn n n nm m x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ （6.5）称为由变量12,,,n x x x 到变量12,,,m y y y 的线性变换，其中ij c 是实数．令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n nm n n m m y y y Y x x x X c c c c c c c c c C 2121212222111211,,，则矩阵C 称为由变量12,,,n x x x 到变量12,,,m y y y 的线性变换矩阵，且（6.5）可表示为CY X =．（6.6）若C 为可逆矩阵，则（6.6）称为可逆线性变换（或非退化的线性变换）．若C 为正交矩阵，则（6.6）称为正交变换．如果QY X =为正交变换，则Y Y Y QY Q Y X X X T T T T ====，即正交变换保持向量的长度不变．二、用配方法化二次型为标准形１、二次型中含有完全平方项情形例2 化二次型22212312132334226f x x x x x x x x x =-+-+-为标准形，并求所用的可逆线性变换．解 222112132323(22)346f x x x x x x x x x =-+-+- 2221232233()443x x x x x x x =-+--+2221232233()4()3x x x x x x x =-+-++ 2221232331()4()42x x x x x x =-+-++，令112322333,1,2,y x x x y x x y x =-+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213211002110111x x x y y y ，得可逆线性变换 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3213211321100211023111002110111y y y y y y x x x ，此时二次型的标准形22212344f y y y =-+． 2、二次型中不含有完全平方项情形例3 化二次型1213232f x x x x x x =++为标准形，并求所用的可逆线性变换．解令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x ，代入二次型，再配方得322231213y y y y y y f --+=23322223149)23(y y y y y y ---+= 232322312)21()23(y y y y y -+-+=．令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333223112123y z y y z y y z ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110021102301y y y z z z ，得二次型的标准型为2221232f z z z =--．所用的可逆线性变换为111122233331021101121110011112001001001x z z x z z x z z -⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭．三、用正交变换法化二次型为标准形对二次型Tf X AX =，作可逆线性变换X CY =，得()()()T T T f Cy A Cy y C AC y ==，就是说，若原二次型的矩阵为A ，那么新二次型的矩阵为TC AC ，其中C 是所用可逆线性变换的矩阵．其对应关系是：()()()()X CYT T T T T T Tf X X AXg Y f CY Y C AC Y Y BYA AC AC B B ==−−−−−→====−−−−−→==可逆线性变换定义３设,A B 均为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C ，使得TB C AC =，则称矩阵A 与B 合同．显然，矩阵合同满足下面性质：（1）如果A 为对称矩阵，则B 也为对称矩阵．（2）()()R A R B =．（3）如果A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同．对于给定二次型Tf X AX =，我们主要讨论的问题是找到可逆线性变换CY X =，使2221122n nf k y k y k y =+++ ，则得到了二次型的标准型．问题等价于，已知实对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得Λ=AC C T为对角矩阵．而对于实对称矩阵A ，存在正交矩阵Q ，使1TQ AQ Q A Q -==Λ，其中Λ是以A 的n 个特征值为主对角线元素的对角矩阵．因此我们有以下定理：定理1 对任意n 元实二次型Tf X AX =，总存在正交变换X QY =，将二次型化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ，其中12,,,n λλλ 是实二次型f 的矩阵A 的n 个特征值．例 4 求一个正交变换X QY =，把二次型22212312135524f x x x x x x x =+++-化为标准形．解二次型的矩阵112150205A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．A 的特征多项式112150(5)(6)205A E λλλλλλλ---=-=-----，得A 的特征值1230,5,6λλλ===．当10λ=时，解齐次线性方程组(0)0A E X -=，得基础解系1(5,1,2)T ξ=-，单位化得1512(,,)303030Tη=-．当25λ=时，解齐次线性方程组(5)0A E X -=，得基础解系2(0,2,1)T ξ=，单位化得221(0,,)55Tη=．当36λ=时，解齐次线性方程组(6)0A E X -=，得基础解系3(1,1,2)T ξ=-，单位化得3112(,,)666Tη=-．令正交矩阵()123510306121,,30562123056Q ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，于是正交变换X QY =，且得二次型的标准形222356f y y =+．例5 求一个正交变换X QY =，把二次型233222312121221221x x x x x x x x x f -+++-=化为标准形．解二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11112/12/112/12/1A ．A 的特征多项式 )2()1(11112121121212λλλλλλ+--=------=-E A ，得A 的特征值1,231,2λλ==-．当1,21λ=时，解齐次线性方程组)0A E X -=（，得基础解系 1112(1,1,0),(2,0,1)T T ξξ=-=，正交化得1(1,1,0)T β=-，2(1,1,1)T β=；再单位化得1211111(,,0),(,,)22333T T ηη=-=．当32λ=-时，解齐次线性方程组(2)0A E X +=，得基础解系21(1,1,2)T ξ=-，单位化得3112(,,)666Tη=-．令正交矩阵()123,,Q ηηη==11123611123612036⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，于是正交变换X QY =，且得二次型的标准形2221232f y y y =+-．思考题二1．利用配方法化二次型为标准形的步骤是什么？2．总结利用正交化方法化二次型为标准形的步骤，需要注意什么问题? 3．若矩阵B 与对称矩阵A 合同，矩阵B 一定是对称矩阵吗？第三节正定二次型定理2（惯性定理）设实二次型Tf X A X =的秩为r ，若有可逆变换X C Y =及X P Z =，使得22211220,1,,r r if k y k y k y k i r=+++≠= ，和 22211220,1,,r ri f z z z i r λλλλ=+++≠= ，则12,,r k k k 中正数的个数与12,,r λλλ 中正数的个数相等，负数个数也相等．其中正数的个数称为正惯性指数，记为p ；负数的个数称为负惯性指数，记为q ，且有p q r +=．定义4 实二次型T f X AX =称为正定二次型，如果对任何0X ≠，都有0f >．正定二次型的矩阵称为正定矩阵．实二次型T f X AX =称为负定二次型，如果对任何0X ≠，都有0f <．负定二次型的矩阵称为负定矩阵．定理 3 n 元实二次型T f X AX =正定的充分必要条件是：它的标准形的n 个系数全为正，即它的正惯性指数p n =．证存在可逆线性变换X CY =，使2221122()()n nf X f CY k y k y k y ==+++ ．充分性：设0i k >，1,2,,i n = ．任给向量0X ≠，因为C 可逆，所以10Y C X -=≠，故02222211>+++=n n y k y k y k f ，即二次型为正定的．必要性：用反证法．假设有0s k ≤．当s Y e =，即0s X Ce =≠时，f 0≤=s k ，其中s e 是第s 个分量为1其余分量都为0的n 维单位向量．与f 正定矛盾．推论实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为正．定理4 n 阶实对称矩阵()ij A a =为正定矩阵的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都为正值，即0,,0,01111222112112111>==∆>=∆>=∆nnn n n a a a a A a a a a a ． n 阶实对称矩阵()ij A a =为负定矩阵的充分必要条件是A 的奇数阶顺序主子式都为负值，偶数阶顺序主子式都为正值，即1111(1)(1)0,1,2,,k k k k k kka a k n a a -∆=->= ．例6 判别二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性．解 f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=402062225A ．各阶主子式080,0266225,05321<-==∆>=--=∆<-=∆A ，故f 是负定二次型．例7 设U 为可逆矩阵，U U A T=．证明二次型T f X AX =是正定二次型．证显然A 为实对称矩阵．任给0X ≠，因为U 可逆，则0UX ≠，且2()()0T T T T f X AX X U UX UX UX UX====>，所以AX X f T =是正定二次型．注例7表明：与单位矩阵合同的矩阵必是正定矩阵．思考题三1．给定n 元实二次型AX X f T=，其中12(,,,)T n X x x x = ．若n x x x ,,,21 全不为零时，有0>f ，则f 为正定二次型，对吗？2．正定矩阵一定是对称矩阵吗？3．若矩阵B 与正定矩阵A 合同，矩阵B 也是正定矩阵吗？4．若3元实二次型AX X f T=的标准形为22212y y f +=，请问该二次型是否为正定二次型？第四节应用举例一、引例解答令二次型222(,,)4422f x y z x y z xy xz yz =+++++，其矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411112121A ，A 的特征多形式)5)(2)(1(λλλλ--+-=-E A ，得A 的特征值5,2,1321==-=λλλ．5,2,1321==-=λλλ对应的正交单位化特征向量依次为T )0,21,21(1-=η，T )31,31,31(2--=η，T)62,61,61(3=η．则二次型f 在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u z y x 62310613121613121下的标准形 22252w v u f ++-=．因为152222=++-=w v u f 表示单叶双曲面，所以所讨论二次方程也表示一个单叶双曲面．二、二次曲线的研究例8 设二次曲线的方程为2211222451x x x x -+=，试确定其形状．解先用正交变换把二次型221122245f x x x x =-+化为标准形．二次型的矩阵 2225A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭．A 的特征值为1，6，且分别对应的正交单位化的特征向量为12115u ⎛⎫=⎪-⎝⎭，21125u ⎛⎫=⎪⎝⎭．则在正交变换1122211125x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，二次型的标准形22126f y y =+．对于二次型12(,)1f x x =可得图6，对于二次型12(,)1f y y =可得图7，并在图7中叠加了图6的坐标．因为正交变换不改变向量的长度，也就是在直角坐标系下不改变图形的形状，所以两个曲线图形是同一椭圆，所不同的是方向的变化．现在分析这一变化产生的原因，针对正交变换X QY =，可以看成是图示中的第一组单位正交向量,i j 到第二组单位正交向量12,u u 下的旋转变换（如图6到图7的变化所示），我们通常称1Ty y Λ=这样的方程为标准方程，有利于我们对曲线或曲面进行分类或者刻划曲线的属性．三、多元函数的最值例9 求函数123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-+在条件1X =下的最小值．解该函数为实二次型，对其作正交变换QY X =，将其化为标准形，然后在条件1Y X ==下讨论函数的最小值．该二次型的矩阵011101110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其特征多项式2)1)(2(λλλ-+-=-E A ，其特征值为12,32,1λλ=-=．对应于特征值12,32,1λλ=-=的正交单位化特征向量依次为11(1,1,1)3T η=-，2311112(,,0),(,,)22666T T ηη==-．则二次型f 在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132162031612131612131y y y x x x 下的标准形 2221232f y y y =-++，（6.7）相应地，条件1X =化为1Y =，即2221231y y y ++=．（6.8）则问题归结为求（6.7）式确定的函数在条件（6.8）下的最小值．此时，显然有22222212312322()2f y y y y y y =-++≥-++=-．当123(,,)(1,0,0)T T Y y y y ==±时2-=f ，所以f 在1(1,0,0)T Y =和2(1,0,0)T Y =-处取得最小值2-=f ．当1(1,0,0)T Y =时，11111(,,)333T X QY ==-；图6在,i j 下的图形图7 正交变换后在12,u u 下的图形当2(1,0,0)T Y =-时，22111(,,)333T X QY ==--．所以函数在111(,,)333T X =±-处取得最小值2-=f ．习题六（A ）1．写出下列二次型的矩阵．（1）222123123121323(,,)22454f x x x x x x x x x x x x =++++-；（2）212341213234(,,,)452f x x x x x x x x x x x =--+；（3）542125111(,,,)2i i i i i f x x x xx x +===+∑∑ ；（4）()112312323124(,,)124123x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．2．已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2，求a ．3．用配方法将下列二次型化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．（1）222123123121323(,,)342210f x x x x x x x x x x x x =-+-+-；（2）123121323(,,)f x x x x x x x x x =++；（3）2221231231213(,,)5424f x x x x x x x x x x =+-+-；（4）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++．4．用正交变换法化二次型为标准形，并写出所用的正交变换．（1）222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =-+-+-；（2）2221231231223(,,)2344f x x x x x x x x x x =++--；（3）222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =++---；（4）123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++．5．判断下列二次型的正定性．（1）222123123121323(,,)255448f x x x x x x x x x x x x =+++--；（2）2221231231213(,,)26422f x x x x x x x x x x =--+++．6．求a 的取值范围，使二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型。

考研数学真题近十年考题路线分析

考研数学真题近十年考题路线分析以下给出了《高等数学》每章近10年（2021-2021）的具体考题题型，能够使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。

高等数学（①10年考题总数：117题②总分值：764分③占三部分题量之比重：53%④占三部分分值之比重：60%）第一章函数、极限、连续（①10年考题总数：15题②总分值：69分③占第一部分题量之比重：12%④占第一部分分值之比重：9%）题型1 求1∞型极限（一（1），2021）题型2 求0/0型极限（一（1），2021；一（1），2021）题型3 求∞-∞型极限（一（1），2021）题型4 求分段函数的极限（二（2），2021；三，2021）题型5 函数性质（奇偶性，周期性，单调性，有界性）的判定（二（1），2021；二（8），2021）题型6 无穷小的比较或确定无穷小的阶（二（7），2021）题型7 数列极限的判定或求解（二（2），2021；六（1），2021；四，2021；三（16），2021）题型8 求n项和的数列极限（七，2021）题型9 函数在某点连续性的判定（含分段函数）（二（2），2021）第二章一元函数微分学（①10年考题总数：26题②总分值：136分③占第一部分题量之比重：22%④占第一部分分值之比重：17%）题型1 与函数导数或微分概念和性质相关的命题（二（7），2021）题型2 函数可导性及导函数的连续性的判定（五，2021；二（3），20 21；二（7），2021）题型3 求函数或复合函数的导数（七（1），2021）题型4 求反函数的导数（七（1），2021）题型5 求隐函数的导数（一（2），2021）题型6 函数极值点、拐点的判定或求解（二（7），2021）题型7 函数与其导函数的图形关系或其他性质的判定（二（1），2021；二（3），2021）题型8 函数在某点可导的判定（含分段函数在分段点的可导性的判定）（二（2），2021）题型9 求一元函数在一点的切线方程或法线方程（一（3），2021；四，2021；一（1），2021）题型10 函数单调性的判定或讨论（八（1），2021；二（8），2021）题型11不等式的证明或判定（二（2），2021；九，2021；六，2021；二（1），2021；八（2），2021；三（15），2021）题型12在某一区间至少存在一个点或两个不同的点使某个式子成立的证明（九，2021；七（1），2021；三（18），2021）题型13 方程根的判定或唯独性证明（三（18），2021）题型14 曲线的渐近线的求解或判定（一（1），2021）第三章一元函数积分学（①10年考题总数：12题②总分值：67分③占第一部分题量之比重：10%④占第一部分分值之比重：8%）题型1 求不定积分或原函数（三，2021；一（2），2021）题型2 函数与其原函数性质的比较（二（8），2021）题型3 求函数的定积分（二（3），2021；一（1），2021；三（17），2 021）题型4 求变上限积分的导数（一（2），2021；二（10），2021）题型5 求广义积分（一（1），2021）题型6 定积分的应用（曲线的弧长，面积，旋转体的体积，变力做功等）（七，2021；三，2021；六，2021）第四章向量代数和空间解析几何（①10年考题总数：3题②总分值：15分③占第一部分题量之比重：2%④占第一部分分值之比重：1%）题型1 求直线方程或直线方程中的参数（四（1），2021）题型2求点到平面的距离（一（4），2021）题型3 求直线在平面上的投影直线方程（三，2021）题型4 求直线绕坐标轴的旋转曲面方程（三，2021）第五章多元函数微分学（①10年考题总数：19题②总分值：98分③占第一部分题量之比重：16%④占第一部分分值之比重：12%）题型1多元函数或多元复合函数的偏导的存在的判定或求解（二（1），2021；一（2），2021；四，2021；四，2021；二（9），2021；三（18（Ⅰ）），2021）题型2 多元隐函数的导数或偏导的求解或判定（三，2021；三（19），2021；二（10），2021）题型3 多元函数连续、可导与可微的关系（二（2），2021；二（1），2021）题型4 求曲面的切平面或法线方程（一（2），2021；一（2），2021）题型5 多元函数极值的判定或求解（八（2），2021；二（3），2021；三（19），2021；二（10），2021）题型6 求函数的方向导数或梯度或相关问题（八（1），2021；一（3），2021）题型7 已知一二元函数的梯度，求二元函数表达式（四，2021）第六章多元函数积分学（①10年考题总数：27题②总分值：170分③占第一部分题量之比重：23%④占第一部分分值之比重：22%）题型1 求二重积分（五，2021；三（15），2021；三（15），2021）题型2 交换二重积分的积分次序（一（3），2021；二（10），2021；二（8），2021）题型3 求三重积分（三（1），2021）题型4 求对弧长的曲线积分（一（3），2021）题型5求对坐标的曲线积分（三（2），2021；六，2021；四，2021；五，2021；六，2021；六（2），2021；一（3），2021；三（19），2021）题型6 求对面积的曲面积分（八，2021）题型7 求对坐标的曲面积分（三（17），2021；一（4），2021；一（3），2021）题型8 曲面积分的比较（二（2），2021）题型9 与曲线积分相关的判定或证明（六（1），2021；五，2021；三（19（Ⅰ）），2021）题型10 已知曲线积分的值，求曲线积分中被积函数中的未知函数的表达式（六，2021；三（19（Ⅱ）），2021题型11 求函数的梯度、散度或旋度（一（2），2021）题型12 重积分的物理应用题（转动惯量，重心等）（八，2021）第七章无穷级数（①10年考题总数：20题②总分值：129分③占第一部分题量之比重：17%④占第一部分分值之比重：16%）题型1无穷级数敛散性的判定（六，2021；八，2021；九（2），2021；二（3），2021；二（2），2021；二（9），2021；三（18），2021；二（9），2021）题型2 求无穷级数的和（九（1），2021；五，2021；七（2），2021；四，2021；三（16），2021）题型3求函数的幂级数展开或收敛域或判定其在端点的敛散性（一（2），2021；七，2021；五，2021；四，2021；三（16），2021；三（17），2021）题型4 求函数的傅里叶系数或函数在某点的展开的傅里叶级数的值（二（3），2021；一（3）；2021）第八章常微分方程（①10年考题总数：15题②总分值：80分③占第一部分题量之比重：1%④占第一部分分值之比重：10%）题型1求一阶线性微分方程的通解或特解（六，2021；一（2），2021；一（2），2021；三（18（Ⅱ）），2021）题型2 二阶可降阶微分方程的求解（一（3），2021；一（3），2021）题型3 求二阶齐次或非齐次线性微分方程的通解或特解（一（3），20 21）题型4 已知二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解，反求微分方程（一（1），2021）题型5 求欧拉方程的通解或特解（一（4），2021）题型6 常微分方程的物理应用（三（3），2021；五，2021；八，2021；三（16），2021）题型7 通过求导建立微分方程求解函数表达式或曲线方程（四（2），2021；五，2021）考研数学真题近十年考题路线分析(线代部分)以下给出了《线性代数》每章近10年（2021-2021）的具体考题题型，能够使考生清晰地了解和把握各章出题的方式、命题的频率及其分值比重，在全面复习的过程中，也不失对重点知识的明确和强化。

实二次型及其标准型

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二、合同变换
1. 矩阵合同
定义对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合同.
返回
A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
返回
t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
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将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
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四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
返回
x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为

自考-线性代数-第六章-实二次型

§6.1 实二次型及其标准形
例 2阶方阵
1 0
0
0
对应
例 2阶方阵
cos sin
sin
cos
y
x1 y1
x, 0.
0
投影变换
P(x, y)
P1( x1 , y1 )
x
对应
x
y
x1 x1
cos sin
y1 sin , y1 cos .
y
P(x, y)
以原点为中心逆时针
旋转角的旋转变换
k1
( y1 ,
y2 ,L
,
yn
)
k2 O
y1
y2
M
kn yn
问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵,
（把对称阵合同对角化）．
定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A−1 = AT，则称矩阵A 为正交矩阵，简称正交阵．定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得
•
成立，则称
xn f (x1, x2 ) xT Ax
称为二次型．
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
f ( x1 , x2 ,L , xn ) a11 x12 a22 x22 L ann xn2 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 L 2an1,n xn1 xn a11 x12 a12 x1 x2 L a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn L an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值,

实二次型

7 实二次型7.1 内容提要7.1.1 二次型 1．二次型的定义含n 个变量12,,,n x x x 的齐次函数2121111212221122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =+++++++称为二次型2．二次型的矩阵及秩利用矩阵，二次型可表为111121212222121212(,,,)(,,,)n n n n n n nn n x a a a aa a x f x x x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭是对称矩阵，称为二次型f 的矩阵，A 的秩称为二次型f 的秩。

3．二次型的标准形只含平方项2221122n nf x x x λλλ=+++ 的二次型称为二次型的标准形。

4．二次型的规范形标准形的系数为1，-1，0的二次型称为f 的规范形。

5．化二次型为标准形的方法（1）配方法；（2）正次变换法。

6．正定二次型（1）定义：若二次型T f X AX =对任何0X ≠都有0f >（<0），则称f 为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定（负定）矩阵。

若对0x ≠，均有0f ≥（0≤）则称二次f 为半正定（半负定）二次型，相应地称矩阵A 为半正定（半负定）矩阵。

（2）惯性定理设实二次型T f X AX =，它的秩为γ，若有两个实可逆变换X CY =及X P =Z ，使22222112211r r r r f y y y k z k z λλλ=+++=++ (0,0)i i k λ≠≠则12,,γλλλ 中正数的个数与12,,k k k γ 中正数的个数相等。

7.1.2 合同变换与矩阵的合同1．定义：A 、B 都是n 阶矩阵，若存在可逆阵C ，使得T B C AC =，则称A 与B 合同，记为A B ，称X CY =为合同变换。

实二次型及其标准形

A与B等价：PAQ = B, 与等价等价：
P, Q 可逆；可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆；与相似相似：请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数；正惯性指数； r - p: 负正惯性指数；负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆，），（满秩若C可逆，则称为非退化（可逆），（满秩）线性变换。可逆则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。正交，若C正交，则称为正交线性变换。正交则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证：由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆，设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆矩阵的合同：矩阵的合同：矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。所以，通过非退化线性变换，所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.

实二次型的分类正定二次型

a11 Ak a21 M ak 1 a12 a22 M ak 2 L L L a1k a2 k M akk ( k=1, 2,L , n)
称为A的k阶顺序主子式.
定理4.5 实二次型f(x)=xTAx正定的充分必要条件是A 的所有顺次主子式全大于零. 例4.1 判别实二次型
f ( x1 , x2 , x3 )=x1 + 3x2 + 3x3 - 2 x1 x2
教学时间：2学时.
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结束§4 实二次型的分类定二次型4.1实二次型的分类
定义4.1 对于实二次型f(x)=xTAx,
ⅰ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x)>0，则称f为正定二次型； ⅱ）如果对任何的非零实向量x，都有f(x) ＜0，则称f 为负定二次型； ⅲ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ≥0，则称f为半正定二次型； ⅳ）如果对任何的实向量x，都有f(x) ＜0，则称f为半负定二次型； ⅴ）如果存在实向量x1及x2，使f(x1) ＞0，f(x2)＜0，则称f为不定二次型.
机动目录上页下页返回结束实二次型的分类正定二次型实二次型的分类正定二次型41实二次型的分类定义41对于实二次型fxxax如果对任何的非零实向量x都有fx0则称f为正定二次型
线性代数
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§4 实二次型的分类正定二次型
教学目的：通过本节的教学使学生理解二次型正定性概念,掌握二次型正定性的判别方法. 教学要求：理解二次型正定性概念,掌握二次型正定性的判定定理，会判定二次型的正定性. 教学重点：二次型正定性概念和二次型正定性的判定定理. 教学难点：二次型正定性的证明.

第六章实二次型

（2）求正交矩阵 Q。
2 2 y2 2 y3 的矩阵为解（1）因标准形
0 1 2
且 Q是正交矩阵，故
0 T 1 Q AQ Q AQ 1 2
所以 A有特征值 0，1，2，即
| I A | ( 1)( 2)
2 2 y2 2 n yn
[ y1

2 1 y1
定理对于任意一个n元实二次型
f x1 , x2 , , xn X T AX
一定存在正交替换 X QY (Q为n阶正交矩阵)，使得
X AX＝Y （Q AQ )Y
2 2 2 ＝1 y1＋2 y2＋＋n yn
( 4)
称为二次型。取 aij= aji, 则2aijxixj=aijxixj+ ajixixj, 于是(1)可写成
上页下页返回
2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n
a 21 x 2 x1 a 22 x a 2 n x 2 x n
是n阶实对称矩阵。于是，存在 n阶正交矩阵Q，使
1 QT AQ Q 1 AQ
2
n
X QY ，这里 Y [ y1 y2 yn ]T ，取线性替换
则
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y 1 y1 2 y2 y2 yn ] n yn
2 3 5 4 3 5 5 3 5
1 3 2 3 2 3
则 Q是正交矩阵且
1 1 Q AQ 1 10
取正交替换 X QY ，其中

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第１列，得
一
２１
一
１
ＯＯ
：
●
…
０
ｆ（ｘｌ，Ｘ２， …，Ｘ，）
一
—
…
０
Ｏ
：
●
Ａ５一Ｏ
：
●
∑ ∑
＋汁）五ｘｊ
…
’
的秩等于２，正、负惯性指标都等于１，从而符
号差等于Ｏ，均与参数无关．推论１对任何参数，（ ≥２）元实二次
…，）的秩为ｒ，正惯性指标为Ｐ．则ｆ（Ｘｌ，Ｘｚ， …，ｚ）是不定的当且仅当Ｏ＜＜ｒ．定理１对任何参数，（ ≥２）元实二次
型
一
—１
Ｏ
一
２ … 一（一１）
００
●
１
・・・・・・
３＋４６＋５
… 琅＋（Ｄ … ２ｒａ＋（，２）
中都有应用．由于二次型的重要性，在高等代
数中通常是把二次型从多项式部分抽出来用
瓠＋４
瓯＋５
瓤＋６
…
＋（ｌ３）
Ｄ
；
，ｎ＋（ｔｒＨ）
；
；
７：
００
●
Ａ２＝
一
２
Ｏ
（ｎ一１）
Ｏ
Ｏ
…
Ｏ
依次把Ａ第２行的丢＋２），一２，一３， … ，
ｆ（ｘｌ，Ｘ２， …，Ｘ）
：
一
（ｎ－１）倍加到第１，３，４， …，行上，得
一
（一１）倍加到第１，３，４， …，萝０上，得
０
—
一
１
Ｏ
０
：
●
…
Ｏ０
１
…
Ａ４ — Ｏ
：
●
・
・・
０
：
●
Ｏ
Ｏ
…
０
由于Ａ与最后一个矩阵Ａ合同，所以ｚ可见
把Ａ的第２行加到第１行，再把第２列加到二次型ｆ（ｘ，ｚ。， …，Ｘ，）的典范形式是ｚ；一
ＩＩ
１ＯＯ
；
Ｏ
Ｏ
一
０
＋ｊ）ｘａｘｊ
一
２Ｏ
Ｏ０Ｏ；
Ｏ
Ｏ
…
总是不定的．证明由定理１，对任何参数，咒（ ≥２）元实二次型
ｆ（ｘｌ，Ｘ．２，，・・・，ｘｎ）
—
１
０
０
０
Ｏ
Ｏ
Ｏ
５４
数学教学研究
第３２卷第２期
２ｏ１３年２月
依次把Ａ。第２列的吉（＋２），一２，一３， … ，接着对第２行乘彦厶，第２列乘彦厶得
第３２卷第２期
２０１３年２月
数学教学研究
５３
一
类含参数的实二次型
朱敏燕，李旭东
７３００３０；
（１．兰州市第二中学，甘肃兰州
２．兰州城市学院数学学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：讨论一类含参数的７ｌ（ ≥ ２）元实二次型∑ ， ∑ （＋ｉ＋ｊ）ｘｌｘｉ，证明其秩等于２，
…
，３， …，行上，得定义１Ｅ在秩等于ｒ的实二次型（ｚ，到第２
城一＋（ｎ＋１）
；
ｉ＋ｚ２＋…＋；一１一…一中，正平方项的个数Ｐ叫做ｆ（ｘｌ，ｚ， …，）
的正惯性指标，负平方项的个数ｒ — 叫做厂（ｚ，。， …，五。）的负惯性指标，正、负惯性指
正、负惯性指标都等于１，符号差等于Ｏ，均与参数无关，从而证明这类二次型是不定的．
关键词：实二次型；秩；惯性指标；符号差；不定二次型
中图分类号：０１５１．２
二次型的理论在数学和物理的许多分支
＋２２＋３
２＋３蛾— ＿４
ｉ
矩阵作为工具专门研究的．本文讨论一类含参数的实二次型的秩、惯性指标、符号差．
ｚ ’ ．．・，Ｘ）的典范形式
＋（ ” ＋２）轨＋（３） …
＾＋（，曲
依次把Ａ的第１行的一２，一３， …，倍加＿．一
…
一
２ｎ
…
一
（ｎ一１）
依次把Ａ的第１列的一２，一３， …，一倍加到第２，３， …，７／＂列上，得
＋２
—
标的差叫做ｆ（ｘ１，２－－＇）的符号差．引理ｌ［。］设他元实二次型，（ｌ ’ ２，
Ｏ
Ｏ
Ａ
８
…
０
把Ａｓ第１行的一号倍加到第２行，再把第１型ｆ（ｘｌ，２， …，Ｘ＂）～列的一号倍加到第２列，得 ∑ ∑ｎ一（
— －．．．．．．．．．．．．，．．．，．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【
Ａ＋２
２
—
—
∑ ∑：；（＋＋）．ＴｉＸ
Ａ３一
１ —２０
０
的秩等于２，正、负惯性指标都等于１，从而符号差等于０，均与参数无关．
证明二次型ｆ（ｘ，２， …，Ｘ）的矩阵
是
收稿日期：２０１３－０１ — １０