解含参数的一元二次方程
含参数的一元二次不等式例题
含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。
解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。
当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。
例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。
解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。
当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。
若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。
当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
含参数的一元二次不等式的解法
02
形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的不等式，其中$a \neq 0$。
通常表示为$ax^{2} + bx + c > 0$，其中$a \neq 0$，当$a < 0$时，不等式表示的为开口向下的抛物线在$x$轴上方（或下方）的部分。
研究意义
研究目的和意义
在国内外学者的研究中，一元二次不等式的解法已经得到了广泛的研究。对于不含参数的一元二次不等式，学者们已经提出了多种求解方法，如公式法、图解法等。而对于含参数的一元二次不等式，由于参数的出现使得问题变得更为复杂，因此相关的研究相对较少。目前，已有的研究主要集中在求解含参数的一元二次不等式的解集上，而对其求解方法、参数对解的影响等方面的研究尚不充分。因此，本文将深入研究含参数的一元二次不等式的解法，探讨参数对不等式解的影响，并总结出一套有效的求解策略。
未来，我们将进一步深入研究含参数的一元二次不等式问题，探讨更加高效的解法，并尝试将其应用于更广泛的领域。
我们计划利用现代数学方法和技术，对含参数的一元二次不等式问题进行深入研究，以期取得更加系统和全面的研究成果。
同时，我们也希望通过进一步的研究，能够为解决其他相关数学问题提供思路和方法上的借鉴。
工作展望
利用数轴法求解
方法比较和实例分析
04
直接求解法
直接根据一元二次不等式的解法公式，将参数代入公式进行计算。优点是简单易懂，但计算量较大，容易出现计算错误。
方法比较
分解因式法
将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式，再分别求解。优点是计算量较小，但需要一定的观察能力和分解因式技巧。
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。
这里经常要用到一些整除性质。
一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。
但其解法仍然是有章可循的。
一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3． 用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。
解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。
评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。
二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。
.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。
解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0∴ a x 321-= ax 512-= ∵ 原方程至少有一个整数根，∴ a 的值为3，或5，或1。
例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。
分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数，∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。
含参数一元二次不等式
(2)若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集 为R，
2 a a 2 1 0 3 1 0 a 1 必须 0 2 2 5 (a 1) 4(a 1)(1) 0
3 ∴实数a的取值范围是 a | a 1 5
例题讲解
例2．解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 解 原不等式可化为（x+3)(x-4)(x+a)>0 (ⅰ)当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及 4 -3 -a x 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3<x<4或x>-a}. (ⅱ)当-3<-a<4，即-4<a<3时，各根在数轴上的分 x -a 布及穿线如下： -3 4 ∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a或x>4}. (ⅲ)当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及 穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3或x>4}.
y=ax2+bx+c
y
的图象
x1 o
y
x2 x
{x∣x＜x1 {x∣x1＜x＜x2 } 或 x ＞ x2 }
{ x∣x≠x0}
o x0 y x
Փ Փ
R
o x
例题讲解
例1解关于x的不等式
解 k 8k k (k 8) 2 （1）当 0,即k 8或k 0时, 方程2 x kx k 0 有两个不相等的实根 2 所以不等式 2x kx k 0的解集是 .
2 x 2 2kx k 解： 4 x 2 6 x 3 1 2 x 2 2(k 3) x 3 k 0 2 4x 6x 3
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
如何解含参一元二次方程
如何解含参一元二次方程介绍：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的解法可以通过一系列的代数运算得到。
本文将介绍如何解含参一元二次方程，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、什么是含参一元二次方程含参一元二次方程是指在一元二次方程的基础上引入参数，参数是一个常数，可以是任意实数。
含参一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，x为未知数。
二、解含参一元二次方程的基本步骤解含参一元二次方程的基本步骤如下：步骤一：将含参一元二次方程的公式写出来。
例如，我们考虑一个含参一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0。
步骤二：根据一元二次方程的求解公式，计算方程的判别式Δ。
一元二次方程的判别式Δ = b^2 - 4ac。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
根的公式为：x1 = (-b + √Δ)/(2a)，x2 = (-b - √Δ)/(2a)。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
根的公式为：x1 = x2 = -b/(2a)。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
步骤四：将参数代入根的公式，求解方程的根。
三、实例演示为了更好地理解和应用解含参一元二次方程的方法，我们通过一个实例进行演示。
假设我们要解方程：3x^2 + 2x + k = 0，其中k为参数。
步骤一：根据方程的形式，我们得到含参一元二次方程为：3x^2 + 2x + k = 0。
步骤二：计算方程的判别式Δ。
根据公式，Δ = 2^2 - 4*3*k = 4 - 12k。
步骤三：根据判别式的值，判断方程的根的情况。
1. 当Δ> 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，我们可以根据根的公式求解方程的根。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，我们也可以根据根的公式求解方程的根。
3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，但可以有复数根。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”