含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题
第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法•例1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0有两个不相等的正整数根.解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得6 12由于x i, X2是正整数，所以m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 .解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 ,只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5.经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值.分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.解因为a^O,所以(3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15)B = 2?(3a2 -8a) ±(a2+ 2a)= 2? ，所以3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3”—W --------------弘'-亦+ 5Sj=------ 否------ =l_；所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 .例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数.令△=(m-1) 2-4m = n2.其中n是非负整数，于是m2-6m+1= n 2,所以(m-3)2-n2=8 ,(m-3 + n )(m-3-n) = 8.由于m-3 + n >m-3-n ,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3 + n与m-3-n同奇偶，所以"m -3+ n = 4,m = 6,n = Is in= 1所以m = E遠时方程的两个根为》说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.解当a=0时，原方程变成-6x-2=0 ,无整数解.当a丸时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n 2，则n是正奇数，且详3(否则—0)・所以"弓由求根公式痔-- 3) ±2n 3 ±n吩=--------- H ------- =-"一所叹要使x i为整数，而n为正奇数，只能n=1 ,从而a=2 .要使X2为整数，即n-3 | 4, n可取 1 , 5, 7,从而a=2 , -4 , -10 .综上所述,a的值为2, -4 , -10 .说明本题是前面两种方法的综合”•既要用判别式是平方数，又要用直接求根•有时候，往往是几种方法一同使用•例5已知关于x的方程2x2+ (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为X1浓2,由韦达定理得衍+x2 - 6 - a,= a.从上面两式中消去a得X1X2+X 1+X 2= 6 ,所以（X1+ 1）（X2+1）=7 ,昕以所以a=X 1X2=0 或16 •而求解这个说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X1 , X2的不定方程对称的不定方程往往是容易入手的•例6求所有有理数r,使得方程的所有根是整数分析首先对r=0和r 丸进行讨论.r=0时，是关于x 的一次方程；r 丸时， 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做 不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r 消去.解当r=0时，原方程为x-仁0 ,所以x=1 .当r 丸 时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为 x i , X 2,且 则消去r 得X 1X 2-X 1-X 2 = 2 ,所以(X i -1)(X 2-1)=3 .综上所述.当2身，X 1时，方程的所有根都是整瓠rx 2+(r+1)x + (r-1)=0关于X ，均X 1 >X 2 ,所以所以例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+ 2(2a-1)x + 4(a-3)=0 至少有一个整数根，求a的值.解将原方程变形为(x + 2)2a= 2(x + 6).显然x+ 2工0,于是2(x + £)由于a是正整数，所以a >1,即(盟+ 2沪，所以X2+2X-8切,(x+ 4)(x-2) <0,所以-4 <x<2(x 左2).当x=-4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 时，得 a 的值为1, 6, 10, 3,14L 1.所％的値为1, X 6. 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4 , 2;当a=3 , 6,10时，方程只 有一个整数根.有时候，在关于x 的一元二次方程中，如果参数: 参数来求解.例8已知方程x 2+bx+c=0 与x 2+cx + b=0各有两个整数根⑵求证：b-1 <c 命+ 1 ;⑶求b , c 的所有可能的值.解⑴由X i X 2> 0知，x i 与X 2同号.若x i > 0 ,则X 2> 0 , 这3T -b=心+知〉山斯以bUD-与君盾.所以.K J CO R 益⑵由(1)知，x i v 0, X 2V 0,所以x i W -1 , X 2W -1 .由韦达定理c-(b-1)=x 1X 2 + X i + X 2+ 1=(x1 + 1)(x2+1) >0,所以c >b-1 .同理有b * (_v -1J 弓洗详)+孟］+ Xjj + 1=(xi +r)(虬 +1丿所以c Wb+1 , 所以b-1 w c 命+1 .⑶由(2)可知，b 与c 的关系有如下三种情况次的，可以先对这个(i)c=b + 1.由韦达定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(X1+ 1)(X2+ 1)=2 ,叫kj + ] =-2iXj + 1 = -2(z2+ 1~ -1.解得X1 + X2=-5 , X1X2=6 ,所以b=5 , c=6 .(ii)c=b .由韦达定理知X1X2=-(X 1+ X2),所以(X1 + 1)(X2 + 1)=1 ,所以X1=X2=-2 ,从而b=4 , c=4 .(iii)c=b-1.由韦达疋理知-(i| +s2) = * xj -l h 所以〔若;+1〕&；+ l) =解得篦;+誰；=5 £；爲=6,所以b = & t = 5-综上所述,共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4 , 4), (6, 5).。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后 代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为 整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,
一元二次方程整数解问题
一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”，我们首先一起来理解这个问题。
一元二次方程是数学中一种基础的方程形式，形如ax²+bx+c=0，其中a，b，c为已知数，x为未知数。
而整数解，则是指这个方程的解为整数。
给定一元二次方程ax²+bx+c=0，要求其整数解，我们需要先判断此方程是否有解。
这需要用到判别式Δ=b²-4ac。
如果Δ大于等于0，方程才有解。
得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。
然后我们需要判断这两个根是否为整数。
即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。
如果是，那么这两个解就为整数解。
例如，对于一元二次方程2x²-3x-2=0，首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25，然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。
可以看到这两个解都不是整数，所以这个方程没有整数解。
再例如，对于一元二次方程x²-5x+6=0，首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1，然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。
可以看到这两个解都是整数，所以这个方程的整数解为3和2。
通过以上的分析，你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。
若方程有解并且根为整数，则该方程有整数解；若没有解或者虽有解但解不为整数，则该方程没有整数解。
这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。
一元二次方程的整数整数解(含答案)
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -=．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于的一元二次方程.x ()0222=++-x m mx （1）证明:不论为何值,方程总有实数根;m （2）为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?m 分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明: ()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵≥0()22-m ∴△≥0∴不论为何值,方程总有实数根;m （2）解:()0222=++-x m mx()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴ mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++=∵为整数,为正整数m 21,x x ∴或1=m 2=m 由题意可知:,∴ 12≠m2≠m ∴.1=m点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx ∴或01=-x 02=-mx ∴. mx x 2,121==（2）若把题目改为“已知关于的方程.”结果又将如何? x ()0222=++-x m mx 例2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.x 05242=+--m x x （1） 求实数的取值范围;m （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数的值.m 分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即,建立关于参数的不等式0>∆m 求解;（2）这里对参数的要求比较苛刻,有三点:①的值是整数;②保证方程的两m m 个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的的值进行检验.m 解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:; 21>m （2）由题意可得: ⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得: 2521<<m ∵为整数m ∴或.1=m 2=m 当时,,解之得:,符合题意;1=m 0342=+-x x 3,121==x x当时,,解之得:,不符合题意,舍去. 2=m 0142=+-x x 32,3221-=+=x x 综上所述,整数的值为1.m 例3. 已知关于的一元二次方程.x ()01222=+++-k k x k x （1）求证:无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）如果方程的两个实数根为,且与都为整数,求所有可能的值. 21,x x k 21x x k 分析:（1）只需证明无论取何值,都有即可;k 0>∆（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为,共21,x x 有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明: ()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）解:()01222=+++-k k x k x 21122112±+=±+=k k x ∴或 k k x k k x =-+=+=++=2112,12112211,21+==k x k x 当时, k x k x =+=21,1k k k x x 11121+=+=∵与都为整数 k 21x x ∴或;1-=k 1=k 当时, 1,21+==k x k x 111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵与都为整数 k 21x x ∴或.0=k 2-=k综上所述,或或或.1-=k 1=k 0=k 2-=k 例4. 关于的一元二次方程.x ()01212=++--m mx x m （1）求出方程的根;（2）为何整数时,此方程的两个根都为正整数? m 解:（1）由题意可知:,.01≠-m 1≠m ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴; 111,1121=--=-+=m m x m m x （2）∵为整数,为正整数m 21,x x 121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴或11=-m 21=-m ∴或.2=m 3=m。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题数学思维的教育第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．例2 已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．解因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．例3 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．例4 关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．综上所述，a的值为2，-4，-10．说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．例5 已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得从上面两式中消去a得x1x2+x1+x2＝6，所以 (x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．例6 求所有有理数r，使得方程rx2+(r+1)x＋(r-1)=0的所有根是整数．分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则消去r得x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．例7 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0至少有一个整数根，求a的值．解将原方程变形为(x＋2)2a= 2(x＋6)．显然x＋2≠0，于是由于a是正整数，所以a≥1，即所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2(2)求证：b-1≤c≤b＋1；(3)求b，c的所有可能的值．解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．同理有所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：(i)c=b＋1．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．(ii)c=b．由韦达定理知x1x2=-(x1＋x2)，所以 (x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．(iii)c=b-1．由韦达定理知所以综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学思维的教育
第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问
题
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲
结合例题来讲解一些主要的方法．
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0
有两个不相等的正整数根．
解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得
由于x1，x2是正整数，所以
m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知
所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即
m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，
只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．
说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．
例2 已知关于x的方程
a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
分析“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．
解因为a≠0，所以
所以
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．
例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x＋1＝0
有有理根，求m的值．
解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
Δ=(m-1)2-4m＝n2，
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1=n2，
所以 (m-3)2-n2=8，
(m-3＋n)(m-3-n)＝8．
由于m-3＋n≥m-3-n，并且
(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
例4 关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，
要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．
综上所述，a的值为2，-4，-10．
说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
例5 已知关于x的方程
x2＋(a-6)x＋a=0
的两根都是整数，求a的值．
解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
x1x2+x1+x2＝6，
所以 (x1＋1)(x2+1)=7，
所以a=x1x2=0或16．
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
例6求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x 的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则
消去r得
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以-4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．。