含参数的一元二次方程的整数解问题
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。
这里经常要用到一些整除性质。
一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。
但其解法仍然是有章可循的。
一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3． 用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。
解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。
评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。
二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。
.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。
解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0∴ a x 321-= ax 512-= ∵ 原方程至少有一个整数根，∴ a 的值为3，或5，或1。
例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。
分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数，∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。
一元二次方程整数解问题
一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”，我们首先一起来理解这个问题。
一元二次方程是数学中一种基础的方程形式，形如ax²+bx+c=0，其中a，b，c为已知数，x为未知数。
而整数解，则是指这个方程的解为整数。
给定一元二次方程ax²+bx+c=0，要求其整数解，我们需要先判断此方程是否有解。
这需要用到判别式Δ=b²-4ac。
如果Δ大于等于0，方程才有解。
得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。
然后我们需要判断这两个根是否为整数。
即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。
如果是，那么这两个解就为整数解。
例如，对于一元二次方程2x²-3x-2=0，首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25，然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。
可以看到这两个解都不是整数，所以这个方程没有整数解。
再例如，对于一元二次方程x²-5x+6=0，首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1，然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。
可以看到这两个解都是整数，所以这个方程的整数解为3和2。
通过以上的分析，你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。
若方程有解并且根为整数，则该方程有整数解；若没有解或者虽有解但解不为整数，则该方程没有整数解。
这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。
一元二次方程整数根问题的解法技巧
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、 利用一元二次方程根与系数的关系求 解
・94・ 重庆
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期)
一元二次方程整数根问题的解法技巧
( 云南省曲靖市会泽县大井镇一中 654222) 朱家海
在近些年来的初中数学竞赛中, 经常出现含参数 的一个或几个一元二次方程有整数根的问题, 这类试 题或求整数根或求参数或求含参数的代数式的值, 其 类型繁多涉及的知识面广, 解法灵活多样且技巧性极 强. 本文试对这类问题的常用解法技巧系统归纳如下, 供读者参考.
x2 0 x2 0 bx 0 -
( 1) 判别式 ∃ = b2 - 4ac 为参数的一次式
① 结合已知, 利用 ∃ ≥ 0 求出参数的范围. 例 3 ( 1997 年江西省赣州地区初三数学竞赛题) k 为何整数时, 关于 x 的一元二次方程 kx 2 - 4x + 4 = 0 和 x 2 - 4kx + 4k 2 - 4k - 5 = 0 的根都是整数. 解析: 设两方程的判别式分别为 ∃ 1 , ∃ 2 , 则依题意, 有
- x ± 28 - 3x 2 , ∴ 当x 2 (x 2 - 7)
四、 方程中参数均为一次则分离参数求解
11 分离参数后, 依参数范围列不等式求解
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1. }2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2<0，∴不等式的解集为{x |2}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x a x a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
含参一元二次方程计算100题+详解
含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。
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第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问
题
对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性
质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法•
例1 m是什么整数时，方程
(m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0
有两个不相等的正整数根.
解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得
6 12
由于x i, X2是正整数，所以
m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12,
解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 .
解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知
m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 ,
只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5.
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根
说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.
例2已知关于x的方程
a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值.
分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.
解因为a^O,所以
(3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15)
B = 2?
(3a2 -8a) ±(a2+ 2a)
= 2? ，
所以
3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3
”—W --------------
弘'-亦+ 5
Sj=------ 否------ =l_；
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 .
例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程
mx2-(m-1)x + 1 = 0
有有理根，求m的值.
解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数.令
△=(m-1) 2-4m = n2.
其中n是非负整数，于是
m2-6m+1= n 2,
所以(m-3)2-n2=8 ,
(m-3 + n )(m-3-n) = 8.
由于m-3 + n >m-3-n ,并且
(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数，所以m-3 + n与m-3-n同奇偶，所以
"m -3+ n = 4,
m = 6,
n = Is in= 1
所以m = E遠时方程的两个根为》
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决•
例4关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0 ,无整数解.
当a丸时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
A=4(a-3) 2-4a(a-2) = 4(9-4a)
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n 2，则n是正奇数，
且详3(否则—0)・所以"弓由求根公式痔
-- 3) ±2n 3 ±n
吩=--------- H ------- =-"一
所叹
要使x i为整数，而n为正奇数，只能n=1 ,从而a=2 .要使X2为整数，即n-3 | 4, n
可取 1 , 5, 7,从而a=2 , -4 , -10 .
综上所述,a的值为2, -4 , -10 .
说明本题是前面两种方法的综合”•既要用判别式是平方数，又要用直接求根•有时候，往往是几种方法一同使用•
例5已知关于x的方程
2
x2+ (a-6)x + a=0
的两根都是整数，求a的值.
解设两个根为X1浓2,由韦达定理得
衍+x2 - 6 - a,
= a.
从上面两式中消去a得
X1X2+X 1+X 2= 6 ,
所以（X1+ 1）（X2+1）=7 ,
昕以
所以a=X 1X2=0 或16 •
而求解这个说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X1 , X2的不定方程对称的
不定方程往往是容易入手的•
例6求所有有理数r,使得方程
的所有根是整数
分析首先对r=0和r 丸进行讨论.r=0时，是关于x 的一次方程；r 丸时， 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做 不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r 消去.
解当r=0时，原方程为x-仁0 ,所以x=1 .
当r 丸 时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为 x i , X 2,且 则
消去r 得
X 1X 2-X 1-X 2 = 2 ,
所以(X i -1)(X 2-1)=3 .
综上所述.当2身，X 1时，方程的所有根都是整瓠
rx 2+(r+1)x + (r-1)=0
关于X ，均
X 1 >X 2 ,
所以
所以
例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2+ 2(2a-1)x + 4(a-3)=0 至少有一个整数根，求a的值.
解将原方程变形为
(x + 2)2a= 2(x + 6).
显然x+ 2工0,于是
2(x + £)
由于a是正整数，所以a >1,即
(盟+ 2沪，所以X2+2X-8切,
(x+ 4)(x-2) <0,所以-4 <x<2(x 左2).
当x=-4 , -3 , -1 , 0, 1 , 2 时，得 a 的值为1, 6, 10, 3,
14
L 1.所％的値为1, X 6. 10.
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4 , 2;当a=3 , 6,10时，方程只 有一个整数根.有时候，在关于x 的一元二次方程中，如果参数: 参数来求
解.
例8已知方程x 2+bx+c=0 与x 2+cx + b=0各有两个整数根
⑵求证：b-1 <c 命+ 1 ;
⑶求b , c 的所有可能的值.
解⑴由X i X 2> 0知，x i 与X 2同号.若x i > 0 ,则X 2> 0 , 这3T -b
=心+知〉山斯以bUD-与君盾.所以.K J CO R 益
⑵由(1)知，x i v 0, X 2V 0,所以x i W -1 , X 2W -1 .由韦达定理
c-(b-1)=x 1X 2 + X i + X 2+ 1
=(x1 + 1)(x2+1) >0,
所以c >b-1 .
同理有
b * (_v -1J 弓洗详)+孟］+ Xjj + 1
=(xi +r)(虬 +1丿
所以c Wb+1 , 所以b-1 w c 命+1 .
⑶由(2)可知，b 与c 的关系有如下三种情况
次的，可以先对这个
(i)c=b + 1.由韦达定理知
X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,
所以(X1+ 1)(X2+ 1)=2 ,
叫kj + ] =-2i
Xj + 1 = -2(z2+ 1~ -1.
解得X1 + X2=-5 , X1X2=6 ,所以b=5 , c=6 .
(ii)c=b .由韦达定理知
X1X2=-(X 1+ X2),
所以(X1 + 1)(X2 + 1)=1 ,
所以X1=X2=-2 ,从而b=4 , c=4 .
(iii)c=b-1.由韦达疋理知
-(i| +s2) = * xj -l h 所以
〔若;+1〕&；+ l) =
解得篦;+誰；=5 £；爲=6,所以b = & t = 5-
综上所述,共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4 , 4), (6, 5).。