2021学年高中数学1.6.1垂直关系的判定学案含解析北师大版必修2.doc

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6.1垂直关系的判定-北师大版必修2教案

6.1 垂直关系的判定-北师大版必修2教案
教学目标
1.理解垂直的概念，掌握相交直线垂直的判断方法；
2.掌握平行线、垂直线、相交线的性质；
3.学会运用垂直关系的性质解决实际问题。

教学内容
1. 垂直的概念及相交直线垂直的判断方法
1.1 垂直的概念
垂直是指两个直线或线段在相交于一点时，以这个交点为中心，两个直线或线段互相垂直的状态。

1.2 相交直线垂直的判断方法
•角度法：两个直线或线段相交形成的角度为90度时，两条直线或线段垂直。

•斜率法：当两个直线或线段的斜率的乘积为-1时，两个直线或线段垂直。

•同名角法：在同一条直线上取一点，分别作一条直线与另一条直线相交，如果形成了同名角，则两个直线垂直。

2. 平行线、垂直线、相交线的性质
2.1 平行线的性质
•具有相同的斜率；
•不会相交；
•两个平行线之间的距离是恒定的。

2.2 垂直线的性质
•两个垂直线的斜率的乘积为-1；
•垂直线与其他直线的交角为90度。

2.3 相交线的性质
•相交线上的同名角和补角相等；
•相邻角互不相等；
•对顶角相等。

3. 运用垂直关系的性质解决实际问题
在生活中，我们经常需要运用垂直关系的性质来解决一些实际问题。

例如，建造房屋、摆放家具等。

4. 练习与应用
（1）判断下列直线是否垂直：
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高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.1垂直关系的判定》

《直线与平面垂直的判定》教学设计吉水二中谢志强1教材分析教学内容本节是北师大版高中数学必修2第一章直线与平面垂直的判定”，内容为直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用通过让学生观察实例引出直线和平面垂直的概念:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直而直线与平面垂直的判定定理是让学生通过折纸试验来感悟的:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直该定理把原来定义中要求与任意一条无限直线垂直转化为只要与两条有限相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定具有可操作性地位作用直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的轴心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一通过该内容的学习，进一步培养和发展学生空间想象能力、合情推理能力、一定的推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化2学情分析基础水平之前学生已经学习了两直线共面或异面互相垂直的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质，有了研究方法的体验，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识认知困难学生学习的困难之一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的因为学生直观感知中的形象和定义中“直线与平面内的任意一条直线都垂直”的内涵是有距离的教学中首先通过一些实例让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再利用“旗杆与变动的影子的关系”的情境，从中概括出定义，体会直线与平面垂直定义的合理性学生学习的另一个困难是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍教学中可充分利用“折纸”试验，引导学生进行操作、观察、思考与说理，挖掘“折纸”活动的数学内涵，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认3教学目标1知识与技能:借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义;通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题2过程与方法:在探索直线与平面垂直判定定理的过程中进一步培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体验和感悟转化的数学思想方法(3)情感态度与价值观:让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心4重点难点1教学重点:直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理2教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用5教法教具2教法:本课采用“引导一探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲教师引导学生通过观察、分析、实验、讨论、说理等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，通过对例题和练习的思考、板演、交流与说理，体验思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提髙课堂效率3教具:投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台）；学生自备学具:三角形纸片、笔表直线、课本表平面6教学过程直观感知直线与平面垂直的形象在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形问题1展示日常生活中具有直线与平面相交的四个例子，图三、图四与图一、图二的相交有何不同？意图:基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题问题2在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？意图:基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系抽象概括直线与平面垂直的定义问题3根据我们已有的经验，对于直线与平面垂直的位置关系，研究的内容、方法分别是什么？意图：明确研究的内容，通过对已有知识经验的回顾，引导学生用平面外直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形，体会知识形成的自然性问题4将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（红线处）与桌面的位置关系（如图1），此时书脊与每页书与桌面的交线的位置关系如何？问题5观察圆锥SO（图2），它给我们以轴垂直于底面的形象，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？意图:问题4旨在让学生发现书脊所在直线始终与书页和桌面交线垂直，问题5旨在引导学生根据异面直线所成角的概念，圆锥的轴与底面任意一条直线垂直问题6若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你认为该直线与此平面垂直吗？意图:通过观察、讨论与举例，引导学生认识定义的“充要性”与“合理性”，由此得出直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

2020-2021学年高中数学北师大版必修2课后练习：1.6.1 垂直关系的判定 Word版含解析

姓名，年级：时间：§6垂直关系6。

1垂直关系的判定课后篇巩固探究A组基础巩固1.下列结论正确的是（)A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b⫋平面β，则α⊥βB.若直线a⊥直线b，a⊥平面α,b⊥平面β，则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D。

过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析A选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直，也可能平行或相交,故A 错；C选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有无数个平面与已知平面垂直,故C错;过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故D错。

答案B2。

如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是()A。

平面ABCDB.平面PBCC.平面PADD。

平面PBCPA⊥平面ABCD得PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,从而有CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD。

故选C。

3。

如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形,且∠BAC=60°，下列说法错误的是（)A.AD⊥平面BDCB。

BD⊥平面ADCC。

DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABDAD⊥BD,AD⊥DC,∴AD⊥平面BDC.∵△ADB与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,∴AB=AC，AB.BD=DC=√22∵∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形，故BC=AB=√2BD，∴∠BDC=90°，即BD⊥DC.∴BD⊥平面ADC,同理DC⊥平面ABD。

∴A，B，C项均正确.4.如图所示,ABCD—A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的个数是()①BD∥平面CB1D 1 ;②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1。

A。

0 B.1 C.2 D.3BD∥B1D1，所以①正确;因为BD⊥AC，BD⊥CC1，所以BD⊥平面ACC1,所以BD⊥AC1,故②正确；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1，故①②③均正确。

高中数学(北师大版必修2)1.6.1垂直关系的判定

§6 垂直关系6．1 垂直关系的判定一、基础过关1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0B ．1C ．2D ．3 2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②3．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 4. 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且P A ＝AC ，则二面角P —BC —A 的大小为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°5. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC ，四面体P ABC 中有________个直角三角形．6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．7. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.二、能力提升9. 如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________.11.如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC.三、探究与拓展12.如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．答案1．B2．B3．B4．C5．四6．45°7．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF 平面B1BCC1，∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.8．证明(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF面ACD，AD 面ACD，∴EF∥面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC.∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD.9．510．90°11．证明(1)∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.又∵AQ 平面SAB，∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，∴AQ⊥平面SBC.(2)∵AQ⊥平面SBC，SC 平面SBC，∴AQ⊥SC.又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，∴SC⊥平面APQ.∵PQ 平面APQ，∴PQ⊥SC.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE 平面P AC，PE 平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。

2021高中数学北师大版必修二课时分层作业：1.6.1 垂直关系的判定含解析

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课时分层作业九垂直关系的判定一、选择题(每小题5分，共30分)1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④【解析】选A.由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 ( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】选C.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC.又MA平面AMC，所以MA ⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( )A.平面DD1C1CB.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1D.平面A1DB【解析】选B.因为易证BC1⊥B1C，且CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD=C，所以BC1⊥平面A1B1CD.5.如图所示，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有( )A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF【解析】选A.折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.6.已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的 ( )A. 外心B.内心C.垂心D.重心【解析】选C.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC，因为BC平面PBC，所以PA⊥BC.因为PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC.又PA∩PH=P，所以BC⊥平面PAH，所以BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，所以H为△ABC的垂心.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD 与平面PAC的位置关系是_________.【解析】因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD ⊥平面PAC.答案：垂直8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是_________.【解析】如图，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，平行四边形ABCD为菱形.答案：菱形三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求证：SD⊥平面SAB.【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1，所以底面ABCD为直角梯形，AD==.因为侧面SAB为等边三角形，所以SA=SB=AB=2.又SD=1，所以AD2=SA2+SD2，所以SD⊥SA.连接BD，则BD==，所以BD2=SD2+SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB=S，所以SD⊥平面SAB.10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.求证：平面ABM⊥平面A1B1M.【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1=2，M为CC1的中点，所以C1M=CM=1.在Rt△B 1C1M中，B1M==，同理BM==，又B1B=2，所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )A.a∥αB.aαC.a⊥αD.a是α的斜线【解析】选C.2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是( )A.4个B.6个C.7个D.8个【解析】选D.由图中△ABC，△APC，△ABP为直角三角形可以得△PBC为锐角三角形，所以图中有8个直角三角形.3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β=m，nαC.m∥n，n⊥β，mαD.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】选C.因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA=AC，则二面角P-BC-A的大小为( )A.60°B.30°C.45°D.90°【解析】选C.因为AB为直径，所以AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，又PA=AC，所以∠ACP=45°.5.在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中错误的是( )A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】选D.由题意，EG∥BC，FG∥PC，所以平面EFG∥平面PBC，A正确；由PC⊥BC，PC⊥AC，可得PC⊥平面ABC，又因为PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC，B正确；因为E，F分别为所在棱的中点，所以EF∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，C正确；因为AB与平面EFG不垂直，所以D错误.二、填空题(每小题5分，共20分)6.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=，则二面角B-AC-D的余弦值为_________.【解析】如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角.因为DO=OB=BD=，所以∠BOD=60°.答案：60°7.▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是_________.【解析】因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.因为AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：垂直8.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是_________.【解析】由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，故③正确.答案：①②③9.(2018·安康高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件__________________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).【解析】如图所示，连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一)三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD.求证：(1)AB∥EF.(2)平面BCF⊥平面CDEF.【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，CD平面CDEF，AB平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.又AB平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF.(2)因为DE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以DE⊥BC.因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF.又因为BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF.11.如图所示，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+，过点A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE ⊥EC.(1)求证：BC⊥平面CDE.(2)求证：FG∥平面BCD.【证明】(1)由已知得DE⊥AE，因为DE⊥EC，AE∩EC=E，所以DE⊥平面ABCE.又因为BC平面ABCE，所以DE⊥BC.又BC⊥CE，DE∩CE=E，所以BC⊥平面DCE.(2)取AB的中点H，连接GH，FH.则GH∥BD，FH∥BC，则易得GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD，所以GF∥平面BCD.关闭Word文档返回原板块- 11 -。

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定课程设计 (2)

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定课程设计课程设计目的本课程设计的主要目的是帮助高中数学学生理解并掌握垂直关系的定义和判定方法。

具体目标包括：•理解垂直关系的定义•掌握通过斜率、倾斜角和向量等方法判定垂直关系的技巧•能够灵活应用垂直关系的判定方法解决实际问题预备知识在进行本课程设计前，学生需要掌握以下知识：•直线的方程（一次函数）•向量的基本概念•向量的数量积和向量积课程设计过程第一步：定义垂直关系首先，引导学生回顾直线的一般方程式 y = kx + b（其中 k 为斜率，b 为截距）。

然后，引导学生了解两条直线之间的垂直关系应该满足什么条件，具体表现在两方面：•斜率的乘积为 -1。

即若直线 L1 的斜率为 k1，直线 L2 的斜率为k2，那么有k1×k2 = -1。

•两条直线的倾斜角之和为 90 度。

通过这样的定义，引导学生深入理解垂直关系的概念和本质，并让学生自己完成相关知识点的整理。

第二步：通过斜率判定垂直关系第二步的主要目的是让学生掌握在已知直线的一般方程式 y = kx + b 的情况下，如何通过斜率来判定两条直线之间的垂直关系。

对此，推荐使用下列思路：•了解斜率的性质和含义，培养对平行和垂直的感性认识。

•利用斜率的乘积为 -1 的性质来判定两条直线之间的垂直关系。

•通过具体例子，帮助学生掌握这一判定方法的具体运用。

第三步：通过倾斜角判定垂直关系第三步的主要目的是让学生掌握在已知两条直线的倾斜角度数的情况下，如何直接判定两条直线之间的垂直关系。

对此，推荐使用以下步骤：•在平面直角坐标系中画出两条直线，并且确定让角度的基准线（例如，横轴）。

•利用正弦定理和余弦定理计算出两条直线与基准线的夹角。

•判断两角之和是否等于 90 度，从而根据定义判断两条直线之间的垂直关系。

第四步：通过向量判定垂直关系第四步的主要目的是让学生掌握通过向量积来判定垂直关系的方法。

具体来说，可以使用以下思路：•通过向量的基本概念，让学生了解向量的含义和性质，培养学生对向量运算的感性认识。

2021年高中数学第一章1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2

6．2垂直关系的性质知识点一直线与平面垂直的性质定理[填一填]定理内容：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.图形语言：如图所示．作用：证明两直线平行．[答一答]1．两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面吗？提示：垂直．因为两条平行线中的一条垂直于这个平面，所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线，所以另一条直线也垂直于这两条相交直线，故另一条也垂直于这个平面．2．分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行？提示：平行．因为一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的平行平面，所以这两条直线垂直于同一个平面，所以这两条直线平行．3．垂直于同一条直线的两平面平行吗？提示：平行．如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b.∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′.∴a∥a′，b∥b′.又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β.∴垂直于同一条直线的两个平面平行．知识点二平面与平面垂直的性质定理[填一填]定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.图形语言：如图所示．作用：证明直线与平面垂直．[答一答]4．应用定理若分别去掉以下两个条件，探究定理是否成立．(1)将条件lβ去掉，结论是否成立？(2)将条件l⊥m去掉，结论是否成立？提示：(1)不一定成立，如图(1)让l⊥β，这时也有l⊥m，但l与α不垂直．(2)不成立，如图(2)直线lβ，但l与直线m不垂直，显然l与α不垂直．5．若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l.∴l∥β或lβ，即直线l与平面β平行或在平面β内．1．直线与平面垂直的性质定理的三点说明(1)性质定理的前提是直线与平面垂直．(2)性质定理的结论是线线平行．(3)性质定理的作用：主要用于证明线线平行．2．直线与平面垂直的常见性质(1)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．(3)垂直于同一直线的两个平面平行．3．平面与平面垂直的性质定理的关注点(1)性质定理成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线．(2)利用性质定理的关键点：一找，二证．即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．(3)定理的实质是由面面垂直得到线面垂直.类型一线面位置关系的判断【例1】已知直线m、n，平面α、β，下列说法正确的是()A．m⊥α，nβ，m⊥n，则α⊥βB．α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β【思路探究】线线、线面、面面位置关系的判断要充分利用有关的定义、性质和定理．【解析】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1 中，直线C1C⊥平面AC，直线D1C1平面A1B1C1D1，直线C1C⊥直线D1C1，但是平面AC与平面A1B1C1D1 平行，排除A 选项；平面AC⊥平面DC，直线C1C⊥平面AC，B1B∥平面D1C，但B1B∥C1C，排除B 项；平面AC⊥平1面A1B，平面AC∩平面A1B＝AB，AB⊥BC1，但是BC1 不垂直于平面A1B，排除D 项．【答案】 C规律方法本题是符号语言表达题，以选择题形式出现，常通过借助几何模型，利用排除法、淘汰错误的选项来解题．已知三条不重合的直线 m ，n ，l 和两个不重合的平面 α，β，有下列命题：①若 m ∥n ，n α，则 m ∥α；②若 l ⊥α，m ⊥β，且 l ⊥m ，则 α⊥β；③若 l ⊥n ，m ⊥n ，则 l ∥m ；④若 α⊥β，α∩β＝m ，n β，n ⊥m ，则 n ⊥α.其中正确的个数是( C )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①m ∥n ，n α，则 m ∥α 或 m α，因此不正确；②若 l ⊥α，m ⊥β 且 l ⊥m ，利用面面垂直的判定定理可得 α⊥β，因此正确；③若 l ⊥n ，m ⊥n ，则 l 与 m 平行、相交或异面，因此不正确；④若 α⊥β，α∩β＝m ，n β，n ⊥m ，利用面面垂直的性质定理即可得出 n ⊥α，因此正确．综上可知，只有②④正确．类型二线面垂直的性质定理的应用【例 2】如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为 A 1D 和 AC 上的点，EF与异面直线 AC ，A 1D 均垂直．求证：EF ∥BD 1.【思路探究】 BD 1 为正方体的体对角线，连接 AB 1，B 1C 后可证得 BD 1⊥平面 AB 1C ，只需证 EF ⊥平面 AB 1C 即可．【证明】连接 AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1.∵DD 1⊥平面 ABCD ，AC 平面 ABCD ，∴DD 1⊥AC .又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面 BDD 1B 1，∴AC ⊥BD 1.同理可证 BD 1⊥B 1C .∴BD 1⊥平面 AB 1C .又 EF 与异面直线 AC ，A 1D 均垂直，即 EF ⊥AC ，EF ⊥A 1D .又 A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C ，∴EF ⊥平面 AB 1C ，∴EF ∥BD 1.规律方法正方体、直棱柱、正棱锥、正四面体等特殊的几何体都有明显的几何特征，解题时，要充分挖掘这些几何体的线面关系．如直棱柱的侧棱垂直于底面等．如图，已知平面 α∩平面 β＝l ，EA ⊥α，垂足为 A ，EB ⊥β，垂足为 B ，直线 a β，a ⊥ AB .求证：a ∥l .证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.类型三面面垂直的性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.【思路探究】由题目可获取以下主要信息：①四边形ABCD是边长为a的菱形；②平面PAD⊥平面ABCD.解答本题可先由面垂直于面得线垂直于面，再进一步得出线垂直于线．【证明】(1)如图，连接PG，BD，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD平面PAD，PG平面PAD，且AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，又BG平面PBG，PG平面PBG，且BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．如图所示，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．提示：(1)由平面PAB⊥平面ABC，且交线为AB，则在平面ABC内与AB垂直的直线一定与PA垂直，同理，由平面PAC⊥平面ABC，在平面ABC内与AC垂直的直线也与PA垂直，可证(1)；(2)垂心为高的交点，可先证BA⊥平面PAC.证明：(1)∵平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，在平面ABC内过C作CM⊥AB于M(如图)，则CM⊥平面PAB.∴CM⊥PA.又平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，在平面ABC内过B作BN⊥AC交CM于点O，则BN⊥平面PAC，∴BN⊥PA.又CM∩BN＝O，∴PA⊥平面ABC.(2)∵E为△PBC的垂心，连接BE并延长交PC于点F，则BF⊥PC.又AE⊥平面PBC，则AE⊥PC.∴PC⊥平面ABE，则PC⊥AB.又由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，则AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC为直角三角形．类型四垂直关系的综合应用【例4】如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【思路探究】解答本题可先根据题意作出辅助线，再借助辅助线解答相关的各个问题．【证明】(1)如图，取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，1∵EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，2∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)如图，取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF.∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA.又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.规律方法(1)本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定定理，证明的关键是BN⊥平面ECA，在这里应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．(2)垂直关系的相互转化：判定定理判定定理直线与直直线与平面平面与平面垂直线垂直垂直定义及性质性质定理(1)求证：AE⊥DA1；Earlybird晨鸟教育(2)在线段AA1 上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．解：(1)证明：如图，连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)存在，所示G点即为A1 点，理由如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.——多维探究系列——有关垂直的探究问题【例5】如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【思路分析】(1)取PD的中点E，可证四边形ABME是平行四边形，因此，BM∥AE，从而BM∥平面PAD.(2)可作MN⊥BE，交AE于点N，N即为所求．【精解详析】晨鸟教育(1)取PD的中点E，连接EM、AE，如图所示．1 1∴EM綊CD，而AB綊CD，2 2∴EM綊AB.∴四边形ABME是平行四边形．∴BM∥AE.∵AE平面PAD，BM平面PAD.∴BM∥平面PAD.(2)存在．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.而AB⊥AD，PA∩AD＝A. ∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.∵PA＝AD，E是PD中点，∴PD⊥AE.∴PD⊥平面ABME.作MN⊥BE，交AE于点N.∴MN⊥平面PBD.易知△BME∽△MEN.1而BM＝AE＝2，EM＝CD＝1，2EN EM EM2 1 2∴＝，即EN＝＝＝.EM BM BM 2 22∴AN＝，即点N为AE的中点．2【解后反思】此题是对条件开放的，因此解决此类问题一般用分析法，即从结论入手，分析得到该结论所需的条件或其等价的条件．此题也考查了空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面ACF；EG(2)若AB＝2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EO 的值；若不存在，请说明理由．Earlybird解：(1)证明：如图，连接OF，由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，又F为BE的中点，∴OF∥DE，又OF平面ACF，D E⃘平面ACF，∴DE∥平面ACF；(2)假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.由于CG⊥平面BDE，则必有CG⊥OE，于是作CG⊥OE于点G，∵EC⊥底面ABCD，∴CE⊥BD，又底面是正方形，∴BD⊥AC，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面ACE，而CG平面ACE，∴BD⊥CG，又OE∩BD＝O，∴CG⊥平面BDE，2∵AB＝2CE，∴CO＝AB＝CE，2EG 1∴G为EO的中点，∴＝.EO 2故在线段EO上存在点G，且为中点，使CG⊥平面BDE.一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ(A)A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选项A 为平面与平面垂直的判定定理，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l∥β时，α，β可以相交；选项D 中，α∥β时，l，m也可以异面．故选A.2．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：(1)α∥β⇒l⊥m，(2)α⊥β⇒l∥m，(3)l∥m⇒α⊥β，(4)l⊥m⇒α⊥β，其中正确的是(D)A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．(2)(4) D．(1)(3)解析：Earlybird对于(1)，直线l⊥平面α，直线m平面β，α∥β，可得l⊥β⇒l⊥m，所以(1)正确；对于(2)，直线l⊥平面α，直线m平面β，α⊥β，可得l与m还可能异面或相交，所以(2)不正确；对于(3)，直线l⊥平面α，直线m平面β，l∥m⇒α⊥β，满足平面与平面垂直的判定，所以(3)正确；对于(4)，直线l⊥平面α，直线m平面β，l⊥m，如图：α⊥β，也可能平行，相交．所以(4)不正确．二、填空题3．若直线a⊥b，b⊥α，aα，则直线a与平面α的位置关系是a∥α.解析：∵b⊥α，设b∩α＝A，过A与a确定平面β，且β∩α＝c，此时a∥c，cα，a α，故a∥α.三、解答题4.如图所示，α⊥β，α∩β＝AB，CDβ，CD⊥AB，CE、EFα，∠FEC＝90°，求证：平面EFD⊥平面DCE.证明：∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EFα，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥平面DCE.又EF平面EFD，∴平面EFD⊥平面DCE.Earlybird。

高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2(2021学年)

2０１７-2018版高中数学第一章立体几何初步6.1 垂直关系的判定学案北师大版必修２编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(２017－2018版高中数学第一章立体几何初步 6．1 垂直关系的判定学案北师大版必修2)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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6．１垂直关系的判定学习目标1。

掌握直线与平面垂直的定义、判定定理。

2。

掌握平面与平面垂直的概念、判定定理。

3。

会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化，影子的位置在移动,在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化,为多少？梳理线面垂直的概念定义如果一条直线和一个平面内的_＿__＿＿________直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法有关概念直线l叫作平面α的__＿＿＿___，平面α叫作直线l的______＿_,它们唯一的公共点Ｐ叫作＿___＿___图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(ＢD,ＤC与桌面接触)．观察折痕ＡＤ与桌面的位置关系.思考１折痕AD与桌面一定垂直吗？思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？梳理判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的__＿____＿___＿__都垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言ｌ⊥a，l⊥b，aα，bα,ａ∩b=Ａ⇒l⊥α图形语言知识点三二面角思考１观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？思考2 平时，我们常说“把门开大一点"，在这里指的是哪个角大一点?梳理 (1）定义：从一条直线出发的____＿＿___＿＿___所组成的图形.（２)相关概念：①这条直线叫作二面角的＿_____＿＿.②两个半平面叫作二面角的_＿___＿＿_.（3)二面角的记法以直线AB为棱,半平面α，β为面的二面角,记作二面角α－AB-β。

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§6垂直关系
6．1垂直关系的判定
知识点一直线与平面垂直的定义
[填一填]
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．
[答一答]
1．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？
提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．
2．“任何直线”“所有直线”“无数条直线”表达的是同一意思吗？
提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分．
3．若l⊥α，a为平面α内的任一条直线，则l与a是否垂直？
提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法．
知识点二直线与平面垂直的判定定理
[填一填]
1．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．2．图形语言：如下图所示．
3．符号语言：aα，bα，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
[答一答]
4．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？
提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．
5．直线与平面垂直的判定定理的作用是什么？
提示：直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据，体现了相互转化的数学思想，在应用时，应该注意定理条件的完备性．
知识点三二面角及其平面角
[填一填]
二面角
(1)定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作这个二面角的平面角，其范围是[0，π]．二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是二面角的度数．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
(3)记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α－AB－β，如图所示．
[答一答]
6．确定二面角的平面角的方法有哪些？
提示：方法1：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图：
方法2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图：
注意：①在平面角的定义中，平面角的两边必须有共同的顶点且分别在两个半平面内；平面角的两边必须都与棱垂直．
②“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．
知识点四平面与平面垂直
[填一填]
1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如果平面α与平面β垂直，记作α⊥β.
2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．
3．判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
符号语言：l⊥α，lβ⇒α⊥β.
图形语言：如下图所示：。