山西省怀仁县20162017学年高一上学期期中考试数学试题
山西省怀仁县2016-2017学年高一数学下学期期中试题(普通班)
2016-2017学年第二学期高一年级期中考试数学Ⅱ试题时长：120分 分值：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin 150°的值等于( )． A ．21B ．－21 C ．232．已知＝(3，0)，那么等于( )． A ．2B ．3CD ．53．在0到234πA ．6πB ．3πC D ．34π 4．若cos ＞0，sin ＜0，则角 的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限．第四象限°的值等于( )． C ．21D ．43 ( )．D ．AD ＋＝7．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( )． A ．10B ．5C ．－25 D ．－108．若tan ＝3，tan ＝34，则tan(－)等于( )． (第6题A ．－3B ．3C ．－31D ．319．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若AB ⊥BC ，那么c 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．310.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为A ．）（322sin 2π+=x y B ．）（32sin π+=x y C ．）（32sinπ-=x yD ．）（654sin2π+=x y 11．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53，那么sin 2A 等于( )． A ．254B ．257．12 D ．2524 12.已知53)tan(=+βα，tan(-β)3πα+的值为．1775分，共20分，把正确答案填在题中横线上)的终边经过点4)，则cos的值为 ． tan ＝－∈)，那么的值等于 ．．已知向量a ＝(3＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．||=a ，则||b= 。
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知0＜＜2π，sin ＝54． (1)求tan的值；(2)求cos 2＋sin⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＋ α的值．18．(本小题满分12分)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝21． (1)求|b |； (2)当a ·b ＝21时，求向量a 与b 的夹角 的值．19．（本小题满分12分）已知函数f (x)=sin(2x-3π)+2，求： (Ⅰ)函数f (x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)函数f (x)的单调递增区间。
山西省朔州市怀仁一中2016-2017学年高一上学期第二次月考数学试卷 含解析
2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高一（上)第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知x5=﹣243，那么x=（）A．3 B．﹣3 C．﹣3或3 D．不存在2．函数y=lg(﹣1）的图象关于（)A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称 D．直线y=x对称3．若2lg（x﹣2y）=lgx+lgy（x，y∈R），则的值为（）A．4 B．1或C．1或4 D．4．函数y=log5x+2（x≥1)的值域是（）A．R B．[2，+∞）C．[3,+∞]D．（﹣∞，2）5．下列函数中是奇函数的有几个（）①；②；③y=ln|x﹣1|;④．A．1 B．2 C．3 D．46．函数的单调递减区间是（）A．(﹣∞，﹣6］B．［﹣6,+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[﹣1，+∞）7．若f（lnx)=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4 B．3lnx+4 C．3lnx D．3e x8．设函数f（x)=，则f（﹣2）+f(log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．129．如图,函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f（x)≥log2(x+1）的解集是（）A．｛x｜﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1｝C．{x｜﹣1＜x≤1}D．{x｜﹣1＜x≤2} 10．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x)，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1)上是减函数C．偶函数,且在(0，1)上是增函数D．偶函数,且在(0，1）上是减函数11．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m｜﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f （log25），c=f(2m），则a,b,c的大小关系为（)A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a12．设函数f（x）=ln（1+|x|)﹣，则使得f(x）＞f（2x﹣1）成立的取值范围是(）A．(﹣∞，）∪(1，+∞）B．(，1）C．() D．（﹣∞,﹣，)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数的定义域是．14．已知函数f（x）=a x+b(a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0],则a+b=．15．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R)满足f(1+x)=f（1﹣x）,且f（x）在[m，+∞）单调递增，则实数m的取值范围是．16．若函数f(x)=（a＞0且a≠1）的值域是［4，+∞），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．函数f（x)=ax2﹣x﹣1仅有一个零点，则实数a的取值范围．18．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间(﹣∞,0）上递增,且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），求a的取值范围．19．已知定义域为R的函数是奇函数．(Ⅰ）求a、b的值；(Ⅱ）解关于t的不等式f(t2﹣2t）+f（2t2﹣1）＜0．20．某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x）=其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数；(2）当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润．）21．已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x﹣1）=f（3﹣x)且方程f（x）=2x有等根．(1）求f(x)的解析式;(2）是否存在实数m，n(m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n］和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．22．定义：若函数f（x)对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点．已知函数f(x）=ax2+（b+1)x+b﹣1（a≠0）．（1）当a=1，b=﹣2时，求函数f（x）的不动点；(2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围;（3）在（2）的条件下,若y=f(x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上,求b的最小值．（参考公式：A(x1，y1)，B（x2,y2)的中点坐标为）2016—2017学年山西省朔州市怀仁一中高一（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
2017届高三上学期期中考试(文)数学考卷-答案
山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷答 案1~5．CBCCB 6~10．BACAA 11~12．CD 13．1 14．(1,)-+∞ 1516．（3）（4）17.（1）因为3,1,1()|21||1|2,1,213,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩且(1)(1)3f f =-=，所以()3f x <的解集为{|11}x x -<<.………………5分（2）|2||1||||1||||1|0|1|2222a a a ax a x x x x -++=-+++-≥++=+， 当且仅当(1)()02a x x +-≤且02ax -=时，取等号.所以|1|12a+=，解得4a =-或0.………………10分18．（1）如题图，在△ABC 中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅故由题设知，cos CAD ∠==.………………4分（2）如题图，设BAC a ∠=，则a BAD CAD =∠-∠.因为cos 7CAD ∠=，cos 14BAD ∠=所以sin CAD ∠=sin BAD ∠===. 于是sin sin()a BAD CAD =∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠()1471472=--⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC ACa CBA=∠.故sin 3sin AC a BC CBA ==∠.………………12分 19.（1）∵2112333+3,3…①n n na a a a -+++=∴113a =.212311333(2),3②n n n a a a a n -+-+++=≥L-1113(2),333①②，得n n n n a n --=-=≥化简得1(2)3n n a n =≥.显然113a =也满足上式，故1()3*N n n a n =∈.………………………6分（2）由（1）得3nn b n =⋅，于是231323333nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，③234131323333n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ，④③-④得231233333n n n S n +-=+++++⋅L ，即11332313n n n S n ++--=-⋅-，∴1213344n n n S +-=⋅+.………………12分 20.（1）由题意得2()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x πωωωωωω=+==-，由最小正周期为π，得1ω=，所以()2sin(2)3f x x π=-.函数的单调增区间为222,232-≤-≤+∈Z k x k k πππππ，整理得5,1212-≤≤+∈Z k x k k ππππ， 所以函数()f x 的单调增区间是5[,],1212-+∈Z k k k ππππ.………………6分 （2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位， 得到2sin 21y x =+的图像，所以()2sin 21g x x =+.令()0g x =，得712x k ππ=+或11()12=+∈Z x k k ππ. 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()y g x =在[0,]b 上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为115941212πππ+=.………………12分 21.（1）当1a =时，2()ln 1,f x x x x=++- 此时21212()1,(2)1124f x f x x ''=+-=+-=.又因为2(2)ln 221ln 22,2f =++-=+所以切线方程为2(ln 2)2,y x -+=-整理得ln 20.x y -+=…………………4分（2）2222111(1)(1)'()a ax x a ax x x f x a x x x x++--++-=+-==， 当0a =时，21'()x f x x-=.此时，在(0,1)上，'()0f x <，()f x 单调递减；在(1,)+∞上，'()0f x >，()f x 单调递增.当102a -≤<时，21()(1)'()a ax x a f x x++-=. 当11a a +-=，即12a =-时，22(1)'()2x f x x -=-在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减. 当102a -<<时，11a a +->，此时在(0,1)或1(,)aa +-+∞上，'()0f x <，()f x 单调递减； 在1(1,)aa+-上，'()0f x >，()f x 单调递增. 综上，当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当102a -<<时，()f x 在(0,1)或1(,)a a +-+∞上单调递减，在1(1,)aa+-上单调递增； 当12a =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递减.………………12分22.（1）由题意，得2()ln 20g x x x x ax =+++=在(0,)+∞上有实根，即2ln a x x x -=++在(0,)+∞上有实根. 令2()ln x x x xφ=++，则22221221'()1(2)(1)x x x x x x x x xφ+-=+-==+-.易知，()x φ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)3a x φφ-≥==，3a ≤-.故a 的最大值为3-.………………6分（2）∵0x ∀>，2()1f x x kx x≤--恒成立， ∴2ln 1x x kx ≤--，即21(1ln )k x x x≤--.令()1ln g x x x =--，0x >.11'()1x g x x x-=-=. 令'()0g x >，解得1x >，∴()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； 令'()0g x <，解得01x <<，∴()g x 在区间(0,1)上单调递减. ∴当1x =时，()g x 取得极小值，即最小值，∴()(1)0g x g ≥=， ∴0k ≤，即实数k 的取值范围是(,0]-∞.山西省怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷解 析1．2．试题分析：220x a a x -≤⇔≥,因为2[1,4)x ∈得4a ≥,故4a >是其的一个充分不必要条件.选B . 考点：充分条件；必要条件.3．试题分析：由3544(1)a a a =-得23444421114(1),2,8,2,2a a a a q q a a q a =-∴=∴==∴=∴==.故选C . 考点：等比数列的性质.4．试题分析：000sin35cos55sin35,sin35cos35b c ===>,所以a b c <<,故选C . 考点：正弦函数的单调性.5．6．试题分析：因为2221cos212sin ,12sin ,sin ,sin 2a x x a x x x -=-∴=-∴=∴=故选B . 考点：二倍角公式.7．试题分析：''()cos sin ,(0)1,4x x f x e x e x k f πα=-∴==∴=,故选A .8．9．试题分析：由22211sin ,21,2cos 25,522S ac B c b a c ac B b =∴=⨯∴==+-=∴=,故选A . 10．试题分析：|3||3|11y x x y y ≥-⎧-≤≤⇔⎨≤⎩其图形如图所示,221x y z z y x x y z +-=⇒=+-,由图形知2150,2123z z z -≤≤∴≥≥-,故选A .11．12．13．试题分析：由题知函数恒过点(1,1),可得1140m n +-=，114m n∴+=. 111111()4()()(2)(22)14444n m m n m n m n m n m n +=+⨯⨯=++=++≥⨯+=.14．试题分析：令''()()24,()()20g x f x x g x f x =--∴=->,所以()g x 在R 上增函数,且(1)(1)2(1)40g f -=--⨯--=，由()(1)g x g >-得1x >-,故不等式的解集为(1,)-+∞．考点：函数的单调性与导数；构造函数.15．16．17．考点：绝对值不等式的性质;分段函数解不等式. 18．19.20.21.考点：导数的几何意义；函数的单调性与导数.22.。
怀仁县第一中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题 含答案
（理科)数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.若集合{2016,3,4}M =,集合{|}N x x M =∈,则集合M 与N 的关系是( ） A ．M N = B ．M N ≠ C ．M N =∅ D ．N 是M 的真子集2.在ABC ∆中,“C B >”是“22cos cos C B <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3。
已知函数3()tan 4(,)f x a x bx a b R =+∈且3(lglog 10)5f =，则(lglg3)f =（）A ．—5B ．—3C ．3D ．随,a b 的值而定 4.正项等比数列{}na 中的14031a a 、是函数321()4633f x xx x =-+-的极值点，则20166log a =（）A ．1B ．2C 。
2D ．-15。
若非零向量,a b 满足22||3a =，||1b =，且()(32)a b a b -⊥+,则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C 。
34π D ．π6.若函数()sin 3cos ()f x x x x R ωω=∈，又()2f α=-,()0f β=，且||αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ )A ．13B ．32C. 43D ．237.设曲线1*()n y xn N -=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =,则1299a a a +++=(）A ．100B ．2 C. —100 D ．-2 8.已知分段函数21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则31(2)f x dx -⎰等于()A ．13e+ B ．2e - C 。
713e - D ．12e- 9。
山西省怀仁县高一数学下学期期中试题(普通班)
2016-2017学年第二学期高一年级期中考试数学Ⅱ试题时长：120分 分值：150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．sin 150°的值等于( )． A ．21B ．－21 C ．23 D ．－23 2．已知＝(3，0)，那么等于( )． A ．2B ．3C ．4D ．53．在0到234π终边相同的角是( )． A ．6πB ．3πC ．32π D ．34π 4．若cos ＞0，sin ＜0，则角 的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°的值等于( )． A ．41B ．23 C ．21D ．43 6．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是( )． A ．＝CDB ．AB －＝BDC ．＋AB ＝ACD ．AD ＋＝7．已知向量a ＝(4，－2)，向量b ＝(x ，5)，且a ∥b ，那么x 等于( )． A ．10B ．5C ．－25 D ．－108．若tan ＝3，tan ＝34，则tan(－)等于( )．(第6题A ．－3B ．3C ．－31D ．319．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，0)，B (1，2)，C (0，c )，若AB ⊥，那么c 的值是( )．A ．－1B ．1C ．－3D ．310.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为A ．）（322sin 2π+=x y B ．）（32sin π+=x y C ．）（32sinπ-=x yD ．）（654sin2π+=x y 11．已知0＜A ＜2π，且cos A ＝53，那么sin 2A 等于( )． A ．254B ．257 C ．2512 D ．2524 12.已知53)tan(=+βα，41)3tan(=-πβ，那么)3tan(πα+的值为 A ．183 B ．2313C ．237D ．177二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知角的终边经过点P (3，4)，则cos的值为 ． 14．已知tan ＝－1，且 ∈[0，)，那么的值等于 ．15．已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ．16．若1||||||=-==b a b a ，则||b a+= 。
2016-2017年第一学期高一数学上册期中试题(有答案)
2016-2017年第一学期高一数学上册期中试题（有答案）高一第一学期期中考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共1 0分，考试时间120分钟。
注意事项：答题前考生务必将考场、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。
选择题每题答案涂在答题卡上，非选择题每题答案写在答题纸上对应题目的答案空格里，答案不写在试卷上。
考试结束，将答题卡和答题纸交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A．{－1} B．{1} ．{－1,1} D．{－1,0,1}2．函数＝1lnx－1的定义域为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)．(1,2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪[3，＋∞)3．已知f(x)＝fx－，x≥0，lg2－x，x<0，则f(2 016)等于()A．－1 B．0 ．1 D．24、若α与β的终边关于x轴对称，则有()A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋•360°，∈Z．α＋β＝2•180°，∈Z D．α＋β＝180°＋•360°，∈Z、设1＝409，2＝8048，3＝(12)－1，则()A．3＞1＞2B．2＞1＞3．1＞2＞3D．1＞3＞26．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x－20－100100新标x b1 200300024011202398802则x，的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．＝a＋bxB．＝a＋bx．＝ax2＋bD．＝a＋bx7．定义运算a⊕b＝a，a≤b，b，a＞b则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()8、设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为()A．{x|x<－2，或x>4}B．{x|x<0，或x>4}．{x|x<0，或x>6} D．{x|x<－2，或x>2}9．函数＝lg12(x2－x＋3)在[1,2]上的值恒为正数，则的取值范围是()A．22<<23B．22<<72．3<<72D．3<<2310 已知1＋sinxsx＝－12，那么sxsinx－1的值是()A12 B．－12 ．2 D．－211．设∈R，f(x)＝x2 －x＋a(a＞0)，且f()＜0，则f(＋1)的值() A．大于0 B．小于0 ．等于0D．不确定12、已知函数f(x)＝1lnx＋1－x，则＝f(x)的图象大致为()第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题4小题，每小题分，共20分13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则＋n＝________14 函数f(x)＝x＋2x在区间[0,4]上的最大值与最小值N的和为__ 1．若一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有________个．16 已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则＝f(x)的值域为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题10分）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的值．18．(本小题满分12分)已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l(1)若α＝60°，R＝10 ，求扇形的弧长l(2)若扇形的周长是20 ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2 ，求扇形的弧所在的弓形的面积．19．（本小题满分12分）已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－)＜0恒成立，求的取值范围．20、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝4x＋•2x＋1有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点．21．（本小题满分12分）如图，建立平面直角坐标系x，x轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程＝x－120(1＋2)x2(＞0)表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为32千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1 )若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．高一数学期中测试卷参考答案1．解析：由题意知集合B的元素为1或－1或者B为空集，故a＝0或1或－1，选D答案：D2 解析由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1由此解得x>1且x≠2，即函数＝1lnx－1的定义域是(1,2)∪(2，＋∞)．答案3 解析f(2 016)＝f(1)＝f(1－)＝f(－4)＝lg24＝2答案 D4 解析：根据终边对称，将一个角用另一个角表示，然后再找两角关系．因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2•180°－α，∈Z，故选答案：解析：1＝409＝218，2＝8048＝2144，3＝(12)－1＝21由于指数函数f(x)＝2x在R上是增函数，且18＞1＞144，所以1＞3＞2，选D 答案：D6 解析：在坐标系中将点(－2,024)，(－1,01)，(0,1)，(1,202)，(2,398)，(3,802)画出，观察可以发现这些点大约在一个指数型函数的图象上，因此x与的函数关系与＝a＋bx最接近．答案：B7 解析：f(x)＝1⊕2x＝1，x≥0，2x，x＜0故选A答案：A8 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4>0，所以x>2又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)>0的解集为{x|x<－2，或x>2}．将函数＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数＝f(x－2)的图象，故f(x －2)>0的解集为{x|x<0，或x>4}．答案：B9 解析：∵lg12(x2－x＋3)>0在[1,2]上恒成立，∴0<x2－x＋3<1在[1, 2]上恒成立，∴<x＋3x>x＋2x在[1,2]上恒成立又当1≤x≤2时，＝x＋3x∈[23，4]，＝x＋2x∈[22，3]．∴3<<23答案：D10 解析：设sxsinx－1＝t，则1＋sinxsx•1t＝1＋sinxsx•sinx－1sx＝sin2x－1s2x＝－1，而1＋sinxsx＝－12，所以t＝12故选A答案：A11 解析：函数f(x)＝x2－x＋a的对称轴为x＝12，f(0)＝a，∵a＞0，∴f(0)＞0，由二次函数的对称性可知f(1)＝f(0)＞0∵抛物线的开口向上，∴由图象可知当x＞1时，恒有f(x)＞0∵f()＜0，∴0＜＜1∴＞0，∴＋1＞1，∴f(＋1)＞0答案：A12 解析：(特殊值检验法)当x＝0时，函数无意义，排除选项D中的图象，当x＝1e－1时，f(1e－1)＝1ln1e－1＋1－1e－1＝－e<0，排除选项A、中的图象，故只能是选项B中的图象．(注：这里选取特殊值x＝(1e－1)∈(－1,0)，这个值可以直接排除选项A、，这种取特值的技巧在解题中很有用处)答案：B13 答案0 解析由|x＋2|< 3，得－3<x＋2<3，即－<x<1又A∩B＝(－1，n)，则(x－)(x－2)<0时必有<x<2，从而A∩B＝(－1,1)，∴＝－1，n＝1，∴＋n＝014 解析：令t＝x，则t∈[0,2]，于是＝t2＋2t＝(t＋1)2－1，显然它在t∈[0,2]上是增函数，故t＝2时，＝8；t＝0时N＝0，∴＋N＝8答案：81 解析：值域为{1,4}，则定义域中必须至少含有1，－1中的一个且至少含有2，－2中的一个．当定义域含有两个元素时，可以为{－1，－2}，或{－1,2}，或{1，－2}，或{1,2}；当定义域中含有三个元素时，可以为{－1,1，－2}，或{－1，1,2}，或{1，－2,2}，或{－1，－2,2}；当定义域含有四个元素时，为{－1,1，－2,2}．所以同族函数共有9个．答案：916 解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，即a－1＝－2a，∴a＝13∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴f(x)＝13x2＋1，x∈[－23，23]，其值域为{|1≤≤3127}．答案：{|1≤≤3127}17 答案a＝2或a＝3解析A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或{1}或{2}或{1,2}．当B＝∅时，无解；当B＝{1}时，1＋1＝a，1×1＝a－1，得a＝2；当B＝{2}时，2＋2＝a，2×2＝a－1，无解；当B＝{1,2}时，1＋2＝a，1×2＝a－1，得a＝3综上：a＝2或a＝318 【解析】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－)2＋2所以当R＝时，S取得最大值2，此时l＝10，α＝2(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝2π3S弓＝S扇形－S三角形＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3) 2 【答案】(1)10π3 (2)α＝2时，S最大为2(3)2π3－3 219 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0ͤb＝1，所以f(x)＝1－2xa＋2x＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1ͤa＝2(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－)＝f(－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞－2t2，即对t∈R有：3t2－2t－＞0，从而Δ＝4＋12＜0ͤ＜－1320 解：∵f(x)＝4x＋•2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋•2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋t＋1＝0当Δ＝0时，即2－4＝0∴＝－2时，t＝1；＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即＞2或＜－2时，t2＋t＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知：＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝021 解：(1)令＝0，得x－120(1＋2)x2＝0，由实际意义和题设条知x＞0，＞0，故x＝201＋2＝20＋1≤202＝10，当且仅当＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在＞0，使32＝a－120(1＋2)a2成立⇔关于的方程a22－20a＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．22 答案(1) {x|x>1或x<－4}(2)－2解析∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴－1＝0，∴＝1(1)∵f(1)>0，∴a－1a>0又a>0且a≠1，∴a>1∵＝1，∴f(x)＝ax－a－x当a>1时，＝ax和＝－a－x在R上均为增函数，∴f(x)在R上为增函数．原不等式可化为f (x2＋2x)>f(4－x)，∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0∴x>1或x<－4∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)∵f(1)＝32，∴a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0∴a＝2或a＝－12(舍去)．∴g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2令t＝h(x)＝2x－2－x(x≥1)，则g(t)＝t2－4t＋2∵t＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，∴h(x)≥h(1)＝32，即t≥32∵g(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，t∈[32，＋∞)，∴当t＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x＝lg2(1＋2)．故当x＝lg2(1＋2)时，g(x)有最小值－2。
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2016届山西省怀仁县一中高三上学期期中考试数学(理)试题及解析一、选择题1．已知集合{}2120x x x A =-->，{}x x m B =≥．若{}4x x A B => ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,3-B ．[]3,4-C ．()3,4-D ．(],4-∞ 【答案】B【解析】试题分析：集合{}34x x x A =<->或， {}4x x A B => ，∴34m -≤≤，故选B ．【考点】集合的运算．2．设向量()6,a x = ，()2,2b =- ，且()a b b -⊥，则x 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2- 【答案】C【解析】试题分析：由()a b b -⊥ 得()0a b b -⋅=，即420x -=，解得2x =，故选C ．【考点】向量垂直的条件，向量数量积坐标运算公式．3．已知在等差数列{}n a 中，11a =-，公差2d =，115n a -=，则n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】D【解析】试题分析：()1122515n a a n d n -=+-=-=，得10n =，故选D ． 【考点】等差数列的通项公式．4．已知()cos 3mπθ-=（0m <），且2cos 12cos 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】B【解析】试题分析： ()cos 3mπθ-=（0m <），∴1co s 0θ-<<，由2c o s 12c o s 022πθθ⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得sincos 0θθ<，∴sin 0θ>，则θ是第二象限角，故选B ．【考点】诱导公式，倍角公式，根据角的三角函数值的符号判断角所属的象限． 5．若()3241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．4 【答案】C【解析】试题分析：由()222111322x a dx x ax a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰，3344011cos 2sin 222xdx x ππ==-⎰，所以3122a -=-，解得2a =，故选C ．【考点】定积分．6．在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则sin B 等于（ ） A．34 C．13【答案】A【解析】试题分析：若2c a =，1sin sin sin C 2b a a B -A =，则222122b a ac a =+=， ∴2222233cos 244a c b a ac a +-B ===，又()0,πB∈，则sin 4B =，故选A ． 【考点】正弦定理，余弦定理，已知三角函数值求角． 7．已知函数()2sin sin 3f x x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是奇函数，其中()0,ϕπ∈，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到【答案】C【解析】试题分析：由已知得函数()f x 为奇函数，又由()0,ϕπ∈得6πϕ=，∴()sin 2f x x =，()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则将函数()f x 的图象向左平移6π个单位可得函数()g x 的图象，故选C ．【考点】诱导公式，函数的奇偶性，函数图像的平移变换．8．已知命题:p []1,2x ∀∈-，函数()2f x x x =-的值大于0．若p q ∨是真命题，则命题q 可以是（ ） A ．()1,1x ∃∈-，使得1cos 2x <B ．“30m -<<”是“函数()2log f x x x m =++在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有零点”的必要不充分条件 C ．6x π=是曲线()2cos2f x x x =+的一条对称轴D ．若()0,2x ∈，则在曲线()()2xf x ex =-上任意一点处的切线的斜率不小于1e -【答案】C 【解析】试题分析：可判断命题p 是假命题，若p q ∨是真命题，则命题q 为真命题．A ，B ，D 均不正确．()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则6x π=是曲线()f x 的一条对称轴，故选C ．【考点】复合命题真值表，函数的综合问题．【方法点睛】该题考查的知识点比较多，首先根据题中所给的条件，判断出命题p 是假命题，再结合p q ∨是真命题从而断定命题q 是真命题，下边关于命题q 所涉及的知识点比较多，需要逐个去分析，A 项需要对余弦函数的性质要熟练掌握，B 项利用函数零点存在性定理即可解决，C 项将函数解析式化简，利用其性质求得，D 项利用导数的几何意义，求导函数的值域即可，所以对学生的要求标准比较高．9．设函数()11,1121,1x x f x x x ⎧+-≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式()()26f x f x ->的解集为（ ） A ．()3,1- B ．()3,2- C．(- D．()2 【答案】D【解析】试题分析：易证得函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．当1x <时，得261x ->⇒x <则1x <<；当1x ≥时，得26x x ->⇒32x -<<，则12x ≤<．综上得不等式的解集为()2，故选D ． 【考点】分段函数的有关问题．10．公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ⋅⋅⋅构成等比数列{}n k a ，且11k =，22k =，36k =，则下列项中是数列{}n k a 中的项是（ ）A ．86aB ．84aC ．24aD ．20a 【答案】A【解析】试题分析：设数列{}n a 的公差为d （0d ≠）， 1a ，2a ，6a 成等比数列，∴()()21115a a d a d +=+，得13d a =，∴11k a a =，214k a a =，则()11141n n k n a a a k d -=⋅=+-，即1324n n k --=．当4n =时，22n k =；当5n =时，86n k =．故选A ．【考点】等差等比数列．11．若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b = ，且当12t =-时，b ta - （R t ∈）c 满足()()c b c a -⊥- ，则当()c a b ⋅+ 取最大值时，c b - 等于（ ）A．．．52【答案】A【解析】试题分析： 向量a ，b 的夹角为钝角，∴当a 与b ta -垂直时，b ta -12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ． 2b =，12b a += ∴2a = ，a与b 夹角为120． ()()c a c b -⊥- ，∴c 的终点在如图所示的圆O 上，c =AO +OB，2a b +=AO ，∴当OB 与AO 共线时， ()c a b ⋅+取最大值，此时c b -==A ．【考点】数形结合思想的应用，向量垂直的条件，向量的模．【易错点睛】该题考查的是求向量模的大小的问题，属于高档题目，做起来较难，在解题的过程中，注意对题的条件的活用，一是两个向量垂直的条件的转换，注意其数量积等于零的应用，二是要注意什么情况下模取最值，取最小值时对应的是有关向量垂直，关于向量数量积在什么情况下取得最大值，从而得到相应的结果，注意对题中条件的等价转化．12．已知函数()()2ln x x b f x x +-=（R b ∈）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x x f x'+>，则实数b 的取值范围是（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞ D．(-∞ 【答案】B【解析】试题分析：()()0f x xf x '+>⇒()0xf x '>⎡⎤⎣⎦，设()()()2ln g x xf x x x b ==+-，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则函数()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在子区间使得()0g x '>成立，()()212212x bx g x x b x x -+'=+-=，设()2221h x x b x=-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即8410b -+>或1102b -+>，得94b <，故选B ．【考点】导数的应用．【思路点睛】该题考查的是与构造新函数有关的问题，属于较难题目，在解题的过程中，需要紧紧抓住导数的应用，相当于()0f x '>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，最后将问题转化为不等式22210x bx -+>在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设()2221h x x bx =-+，结合二次函数的性质，可知只要()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭即可，将2和12分别代入，求得结果，取并集得答案． 二、填空题13．若5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()22sin 2cos sin cos x x f x x x -=的最小值为 ． 【答案】1-【解析】试题分析： ()222sin 2cos tan 22tan sin cos tan tan x x x f x x x x x x--===-在5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当4x π=时，函数()f x 取最小值1-． 【考点】同角三角函数关系式，函数的单调性，函数的最值．14．在C ∆AB 中，点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，当Cx y AO =AB+A时，则x y -= ． 【答案】2-【解析】试题分析： 点O 在线段C B 的延长线上，且3C BO =O ，∴1C C 2O =B ，则C C AO =A +O()1113C C C C C 2222=A +B =A +A -AB =-AB +A，∴2x y -=-．【考点】平面向量基本定理．15．若不等式32l o g 0a x x x -≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，则实数a 的最小值为 ． 【答案】14【解析】试题分析：32log 0a x x x -≤，即()22l o ga x x x -≤，由题意得22log a x x ≤在0,2x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，即当0,2x ⎛∈ ⎝⎦时，函数2y x =的图象不在2log a y x =图象的上方，由图知01a <<且12log 2a≥，解得114a ≤<．【考点】数形结合思想的应用，恒成立问题的转化．【方法点睛】该题目考查的是有关恒成立问题，属于中档题目，在解题的过程中，首先将不等式32log 0a x x x -≤做等价变形，等价于22log a x x ≤在x ⎛∈ ⎝⎦恒成立，结合函数的图像，从而将参数的大体上的范围先确定，之后再找某个对应的边界值即可，最后找到结果12log 22a≥，结合大前提，从而求得答案． 16．数列{}log k n a 是首项为4，公差为2的等差数列，其中0k >，且1k ≠．设lg n n n c a a =，若{}n c 中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为 ．【答案】()1,⎛+∞ ⎝⎭【解析】试题分析：由题意得log 22k n a n =+，则22n n a k+=，∴()2122122n n n n a k k a k++++==，即数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．()22lg 22lg n n n n c a a n kk +==+⋅，要使1n n c c +<对一切n *∈N 恒成立，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立．当1k >时，lg 0k >()212n n k +<+对一切n *∈N 恒成立；当01k <<时，lg 0k <，()212n n k +>+对一切n *∈N 恒成立，只需2min12n k n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭，11122n n n +=-++单调递增，∴当1n =时，min 1223n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，∴223k <，且01k <<，∴0k <<．综上，()1,k ⎛∈+∞ ⎝⎭． 【考点】数列与函数的综合问题．【思路点睛】该题是以数列为载体，考查求参数的取值范围的问题，属于较难题目，在解题的过程中，首先需要根据题意，将数列{}log k n a 的通项公式求出，结合指对式的互化，求得22n n a k +=，进一步求得数列{}n c 的通项，由题意可知数列{}n c 是递减数列即可，即()()21lg 2lg n k n k k +<+⋅⋅对一切n *∈N 恒成立，下一步需要分1k >和01k <<两种情况，从而求得最后的结果．三、解答题17．在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin C c = （1）若24sin C sin c =B ，求C ∆AB 的面积；（2）若2C 4AB⋅B +AB = ，求a 的最小值．【答案】（1（2）【解析】试题分析：该题考查的是有关解三角形的问题，属于简单的题目，在解题的过程中，首先根据已知条件，利用正弦定理求得3πA =，第一问根据题中所给的条件，利用正弦定理，求得4bc =，利用三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问根据题中所给的条件，利用向量数量积的定义式，求得8bc =，结合余弦定理，利用基本不等式求得结果．试题解析：由条件结合正弦定理得：sin C sin c a==A，从而sin A =A ，tan A ， 0π<A <，∴3πA =．（1）由正弦定理得：24sin C sin c =B ⇒4bc =，∴C 1sin 2S bc ∆AB =A =（2）2C C cos604cb AB⋅B +AB =AB⋅A ==⇒8bc =．又2222cos6028a b c bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b c ==∴min a =【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积，向量数量积的定义式，基本不等式． 【思路点睛】该题属于三角和向量的综合题，属于较简单的题目，在解题的过程中，注意从大前提所给的条件中，利用正弦定理得出3πA =，第一问中根据正弦定理求得4bc =，结合三角形的面积公式，求得三角形的面积，第二问应用向量的数量积的定义式，求得8bc =，再结合3πA =利用余弦定理，再利用基本不等式求得结果，注意基本不等式中等号成立的条件就行．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-（n *∈N ）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列(){}9log 4n b -的前n 项和n T ． 【答案】（1）123n n a -=⋅ （2）()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【解析】试题分析：该题考查的是有关等比数列的问题，属于中档题目，在解题的过程中，第一问根据数列的项与和的关系，整理得出当2n ≥时，13n n a a -=， 从而得到数列是{}n a 等比数列，令1n =，求得数列的首项，从而得到数列的通项公式，第二问将第一问所求的通项公式代入，得到数列{}n b 的递推公式，利用累加法求得数列{}n b 的通项公式，得到134n n b -=+，从而有()91log 42n n b --=，利用等差数列的求和公式得到所求的结果．试题解析：（1）当1n =时，11312a a =-，∴12a =， 当2n ≥时， 312n n S a =-①，11312n n S a --=-②①-②得：1331122n n n a a a -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13n n a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，∴123n n a -=⋅．（2） 1n n n b b a +=+，∴当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅，则13223b b =+⋅，02123b b =+⋅，相加得()12111132333523413n n n n b b ----=+⋅+⋅⋅⋅++=+⋅=+-，当1n =时，111345b -+==，∴134n n b -=+．()91log 42n n b --=，∴()()1112124n n n n -T =++⋅⋅⋅+-=． 【考点】数列的项与和的关系，等比数列的通项公式，累加法求数列的通项公式，等差数列的求和公式． 19．某市政府欲在如图所示的矩形CD AB 的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形R OP E （线段EO 和R P 为两条底边），已知2AB =km ，C 6B =km ，F 4AE =B =km ，其中曲线F A 是以A 为顶点、D A 为对称轴的抛物线的一部分．（1）求曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积； （2）求该公园的最大面积．【答案】（1）283km（2）10427【解析】试题分析：第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程2y ax =（0a >），由已知可知()F 2,4在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得1a =，从而确定出抛物线的方程，再利用定积分求得对应图形的面积；第二问根据题意，确定好点E 和C 的坐标，从而确定出C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于x 的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果．试题解析：（1）以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设曲线FA 所在抛物线的方程为2y ax =（0a >），抛物线过()F 2,4，∴242a =⨯，得1a =，∴F A 所在抛物线的方程为2y x =，∴曲线F A 与AB ，F B 所围成区域的面积2223001833S x dx x ===⎰2km ．（2）又()0,4E ，()C 2,6，则C E 所在直线的方程为4y x =+，设()2,x x P （02x <<），则x PO =，24x OE =-，2R 4x x P =+-，∴公园的面积()22321144422S x x x x x x x =-++-⋅=-++（02x <<），∴234S x x '=-++，令0S '=，得43x =或1x =-（舍去负值），'当43x =时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427． 【考点】抛物线的方程的求解，定积分求面积，导数的应用．【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，利用定积分求得对应的图形的面积，第二问将图形的面积表示为关于x 的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果．20．已知数列{}n a ，12a =，当2n ≥时，11232n n n a a --=+⋅． （1）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭及数列{}n a 的通项公式； （2）令232n n n c a =-⋅，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 【答案】（1）()12231nn n n a b n -==-（2）()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-【解析】试题分析：第一问将题中所给的式子变形可以得到当2n ≥时，113222n n n n a a --=+，从而得到数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，利用等差数列的通项公式，求得结果，进一步求得数列{}n a 的通项公式，第二问将第一问的结果代入，求得数列{}n c 的通项公式，求得2322n n n c n +=⨯⨯-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式以及错位相减法，将结果求出．试题解析：（1） 当2n ≥时，113222n n n n a a --=+； 令2n n n a b =，则数列{}nb 是以首项11b =，公差为32的等差数列，312n n b -=； ∴()12231n n n n a b n -==-．（2） 2322n n n c n +=⨯⨯-∴()()223212224222n n n n T =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-++⋅⋅⋅+，记221222n n S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯①，则231221222n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯②， ①-②得：()21121222212n n n n S n n ++-=⨯++⋅⋅⋅+-⨯=--，∴()1212n n S n +=-+．故()()()11212321242371412n n n n n n ++-⎡⎤T =⨯-+-⋅=-+⎣⎦-．【考点】数列的递推公式，通项公式，求和方法．21．已知函数()()2sin 2f x x x=+-． （1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递增区间； （2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()()21124g x f x f x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的值域． 【答案】（1）0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：先将函数解析式展开，用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式得()2sin(2)6f x x π=+，再求出函数本身的单调增区间，再给k 赋上相应的值，结合题中所给的研究的区间，从而求得函数的增区间是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第二问将函数解析式确定，利用公式化简得213()2[cos(2)]622g x x π=-+++，根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得整体角52[,]666x πππ+∈-，根据余弦函数的性质，求得cos(2)[6x π+∈，利用二次函数的性质求得函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 试题解析：()22sin cos 3cos 2f x x x x x =++-2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ （1）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，解得222233k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，即36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()f x 的递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）()()22112sin 22cos 212466g x f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22cos 22cos 2166x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2132cos 2622x π⎡⎤⎛⎫=-+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则cos 26x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 当1cos 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()g x 取最大值32；当c o s 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()g x 取最小值3-．∴函数()g x 的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【考点】倍角公式，辅助角公式，函数在某个区间上的单调性，函数在某个区间上的值域．22．设函数()()ln 1f x m x m x =+-．（1）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围；（2）当1m =时，试问方程()2x x xf x e e -=-是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．【答案】（1）,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）方程()2x x xf x e e -=-没有实数根，理由见解析． 【解析】试题分析：第一问先确定函数的定义域，对函数求导，对参数m 的取值进行讨论，当函数在定义域上是单调函数时，函数没有最大值，当01m <<时，求得函数的单调增区间和减区间，从而确定好函数的最值点，将自变量代入函数解析式，求得函数值，令其大于零，解得1e m e>+，结合大前提，从而求得结果，第二问将1m =代入上式，变形可得2ln x x x x e e =-，利用导数研究函数的性质，可知1(ln )x x e≥-，21x x e e e -≤-恒成立，但是最值点不是同一个，从而得到相应的方程没有实根．试题解析：（1）()()ln 1f x m x m x =+-的定义域为()0,+∞，()()11m x m m f x m x x-+'=+-=． 当0m ≤或1m ≥时，()f x 在区间()0,+∞上单调，此时函数()f x 无最大值． 当01m <<时，()f x 在区间0,1m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭内单调递增，在区间,1m m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭内单调递减， 所以当01m <<时，函数()f x 有最大值． 最大值ln 11m m f m m m m ⎛⎫M ==- ⎪--⎝⎭． 因为0M >，所以有ln01m m m m ->-，解之得1e m e >+． 所以m 的取值范围是,11e e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭． （2）当1m =时，方程可化为2ln x x x x e e -=-，即2ln x x x x e e =-， 设()ln h x x x =，则()1ln h x x '=+， ∴10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，∴()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， ∴()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 设()2x x g x e e =-，则()1x x g x e-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()1,+∞上单调递减；∴()()max 11g x g e ==-． 11e≠，∴数形结合可得()()h x g x >在区间()1,+∞上恒成立， ∴方程()2x x xf x e e-=-没有实数根． 【考点】导数的综合应用．。
2016-2017年山西省朔州市怀仁一中高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A．a≥4 B．a＞4 C．a≥1 D．a＞13．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．（5分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx6．（5分）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则b等于（）A．B．5 C．41 D．10．（5分）若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为（）A．B．2 C．D．11．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．[2，8]C．[2，8） D．[2，7]12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3]D．[3，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+=；m+n的最小值为．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为．15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．16．（5分）对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1；③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤．其中正确命题的序号是．（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．19．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：全集A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={0，1}，B={y|y⊆A}中的元素为集合A的子集，故集合B中元素的个数为22=4；故选：C．2．（5分）命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）A．a≥4 B．a＞4 C．a≥1 D．a＞1【解答】解：对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，则对任意x∈[1，2]，x2≤a”，∵当x∈[1，2]，x2∈[1，4]，∴a≥4，则命题“对任意x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a ＞4，故选：B．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．4．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故选：C．5．（5分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx【解答】解：在y=x+lgx中，＞0，∴y=x+lgx是（0，+∞）上单调递增函数，∴A不成立；在y=x﹣lgx中，，当0＜x＜lge时，＜0，当x＞lge 时，＞0．∴y=x﹣lgx的增区间是（lge，+∞），减区间是（0，lge），∴B成立；在y=﹣x+lgx中，．当0＜x＜lge时，＞0，当x＞lge 时，＜0．∴y=﹣x+lgx的减区间是（lge，+∞），增区间是（0，lge），∴C不成立；在y=﹣x﹣lgx中，＜0，∴y=﹣x﹣lgx是（0，+∞）上单调递减函数，∴D不成立．故选：B．6．（5分）已知，cos2x=a，则sinx=（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos2x=a，∴1﹣2sin2x=a，可得sin2x=，又∵，可得sinx＜0，∴sinx=﹣．故选：B．7．（5分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线的倾斜角为（）A．0 B．1 C．D．【解答】解：由题意得，f′（x）=e x cosx﹣e x sinx，则f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，所以在点（0，f（0））处的切线的斜率k=1，又k=tanθ，则切线的倾斜角θ=，故选：C．8．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象．故选：C ．9．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则 b 等于（ ） A ．B ．5C ．41D ．【解答】解：在△ABC 中，a=1，B=45°，S △ABC =2， 可得2=，解得c=4． 由余弦定理可得：b===5．故选：B ．10．（5分）若实数x ，y 满足|x ﹣3|≤y ≤1，则z=的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【解答】解：依题意，得实数x ，y 满足，画出可行域如图所示，其中A （3，0），C （2，1），z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，则0≤k≤，则1≤k+1≤，≤≤1，故≤1+≤2，故z=的最小值为，故选：A．11．（5分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．[2，8]C．[2，8） D．[2，7]【解答】解：由4[x]2﹣36[x]+45＜0，得，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3]D．[3，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则+=4；m+n的最小值为1．【解答】解：当x=1时，y=log a1+1=1，∴函数y=log a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），∵点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，∴+=4．∴m+n=（+）（m+n）=（2+m+n），≥（2+2）=1，当且仅当m=n=时取等号．故答案是：4；1．14．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）15．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则∠A的值为，△ABC面积的最大值为．【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（a﹣b）=c（c﹣b），即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，则A=；在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得：4+bc=b2+c2≥2bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bc•sinA=×=，故答案为：，．16．（5分）对于函数f（x）=，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x=π+kπ（k∈Z）时，该函数取得最小值﹣1；③该函数的图象关于x=+2kπ（k∈Z）对称；④当且仅当2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤．其中正确命题的序号是③④．（请将所有正确命题的序号都填上）【解答】解：由题意函数f（x）=，画出f（x）在x∈[0，2π]上的图象．由图象知，函数f（x）的最小正周期为2π，在x=π+2kπ（k∈Z）和x=+2kπ（k∈Z）时，该函数都取得最小值﹣1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x=+2kπ（k∈Z）对称，在2kπ＜x＜+2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤，故③④正确．故答案为③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（4分）（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…（10分）18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=319．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=．②①﹣②，得3n﹣1a n=，所以（n≥2），在①中，令n=1，得也满足上式．∴．（2）∵，∴b n=n•3n．∴S n=3+2×32+3×33+…+n•3n．③∴3S n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④④﹣③，得2S n=n•3n+1﹣（3+32+33+…+3n），即2S n=n•3n+1﹣．∴．20．（12分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得f（x）==．∵函数的最小正周期为π，∴=π，解之得ω=1．由此可得函数的解析式为．令，解之得∴函数f（x）的单调增区间是．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，∵∴g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．令g（x）=0，得sin2x=﹣，可得2x=或2x=解之得或．∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性．【解答】解：（1）当a=1时，，此时，又，∴切线方程为：y﹣（ln2+2）=x﹣2，整理得：x﹣y+ln2=0；（2），当a=0时，，此时，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，，当，即时，在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；当时，，此时在（0，1），，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）在，f′（x）＞0单调递增；综上所述：当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增；当时，f（x）在单调递减，f（x）在单调递增；当时f（x）在（0，+∞）单调递减．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（I）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），则=．解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．∴﹣a≥3，解得a≤﹣3．∴实数a的最大值为﹣3．（II）∵∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，∴lnx≤x﹣1﹣kx2，即．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．=，令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，∴k≤0，即实数k的取值范围是（﹣∞，0]．。
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数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=U ，集合}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则=A C B U （ ） A ．}2{ B ．}4,3{ C ．}5,4,1{ D ．}5,4,3,2{2. 函数)2lg(x xy -=的定义域是（ ）A ．)2,0[B ．)2,1(C ．)2,1()1,0[D ．)1,0[3. 函数12-=x y 的定义域是)5,2[)1,( -∞，则其值域是（ ） A ．]2,21(]0,( -∞ B ．]2,(-∞ C ．),2[)21,(+∞-∞ D ．),0(+∞4. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1+=x y B ．3x y -= C ．xy 1-= D ．||x x y = 5. 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f 等于（ ）A ．4B ．41 C ．4- D ．41- 6. 已知y x ,为正实数，则（ ） A ．y x yx lg lg lg lg 222+=+ B ．y x y x lg lg )lg(222⋅=+ C ．y x yx lg lg lg lg 222+=⋅ D ．y x xy lg lg )lg(222⋅=7. 已知实数0≠a ，⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则实数a 的值是（ ） A ．43-B ．23-C ．43-和23-D ．238. 已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A．25)1(≥f B．25)1(=f C．25)1(≤f D．25)1(>f9. 设奇函数)(xf在),0(+∞上是增函数，且0)1(=f，则不等式0)()(<--xxfxf的解集为（）A．),1()0,1(+∞- B．)1,0()1,(--∞ C．),1()1,(+∞--∞D．)1,0()0,1(-10.若⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(xxaxaxfx是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（） A．),1(+∞ B．)8,4(C．)8,4[ D．)8,1(11. 若)(),(xgxϕ都是奇函数，2)()()(++=xbgxaxfϕ在),0(+∞上有最大值5，则)(xf在)0,(-∞上有（）A．最小值5- B．最大值5-C．最小值1- D．最大值3-12. 已知函数)(xfy=和)(xgy=在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程0)]([=xgf有且仅有6个根（2）方程0)]([=xfg有且仅有3个根（3）方程0)]([=xff有且仅有5个根（4）方程0)]([=xgg有且仅有4个根其中正确命题的个数是（）A．4个 B．3个C．2个 D．1个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若13log2=x，则xx93+的值为 .14. 设m b a ==52，且211=+b a ，则m 等于 . 15. 设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(xf x f +的定义域为 .16. 已知函数)1(13)(≠--=a a axx f ，若)(x f 在区间]1.0(上是减函数，则实数a 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++；（2）36231232⨯⨯. 18.已知函数1)(2++=x b ax x f 是定义在)1,1(-上是奇函数，且52)21(=f . （1）求函数)(x f 的解析式；（2）判断函数)(x f 的单调性，并用定义证明； （3）解关于x 的不等式0)()12(<+-x f x f . 19. 设函数122)(-+=xx ax f （a 为实数）. （1）当0=a 时，若函数)(x g y =为定义在R 上的奇函数，且在0>x 时，)()(x f x g =，求函数)(x g y =的解析式；（2）当0<a 时，求关于x 的方程0)(=x f 在实数集R 上的解.20. 某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+=Nt t t Nt t t p ,3025,100,250,20，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是),300(40N t t Q ∈<≤+-=.（1）求这种商品的日销售金额的解析式；（2）求日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天的第几天？ 21.已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f .（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间)2,1(-上的值域； （2）若函数)(x f 在区间]2,0[上有最小值3，求a 的值. 22.已知函数xtx y +=有如下性质：如果常数0>t ，那么该函数在],0(t 上是减函数，在),[+∞t 上是增函数.（1）已知123124)(2+--=x x x x f ，]1,0[∈x ，利用上述性质，求函数)(x f 的单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数)(x f 和函数a x x g 2)(--=，若对任意]1,0[1∈x ，总存在]1,0[2∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBDAADCCB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6； 14．10； 15．)4,1()1,4( --； 16．]3,1()0,( -∞ 三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）原式12.1lg 10lg 12lg 2.1lg 112lg 2lg 6.0lg 1)34lg(=+=+=++⨯=.（2）原式6323227272491227249122726666666=⨯==⨯=⨯⨯=⨯⨯=. 18．解：（1）由题意可知)()(x f x f -=-，∴2211x bax x b ax ++-=++-，∴0=b . ∴21)(x ax x f +=，∵52)21(=f ，∴1=a ，∴21)(x xx f +=.∴021<-x x ，∴0121>-x x ，01,012221>+>+x x ，∴01)1)((212121<+--x x x x x ，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <.∴)(x f 在)1,1(-上是增函数.（3）∵0)()12(<+-x f x f ，∴)()12(x f x f -<-，又)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，∴)()12(x f x f -<-，∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-xx x x 12111121，∴310<<x ，∴不等式0)()12(<+-x f x f 的解集为)31,0(.19. 解：（1）当0=a 时，12)(-=xx f ，由已知)()(x g x g -=-，则当0<x 时，1)21()12()()()(+-=--=--=--=-x x x f x g x g ，由于)(x g 为奇函数，故知0=x 时，0)(=x g ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=0,1)21(0,12)(x x x g xx .（2）0)(=x f ，即0122=-+xx a ，整理，得：02)2(2=+-a x x ，所以24112a x-±=，又0<a ，所以141>-a ，所以24112a x-+=，从而2411log 2ax -+=. 20．解：（1）设日销售金额为y （元），则Q p y ⋅=，∴⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈<<++-=⎩⎨⎧+-+-+-+=Nt t t t Nt t t t t t t t y ,3025,4000140,250,80020)40)(100()40)(20(22. （2）由（1）知⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤--∈<<+--=⎪⎩⎪⎨⎧+-++-=Nt t t Nt t t t t t t y ,3025,900)70(,250,900)10(4000140800202222，当N t t ∈<<,250，10=t 时，900max =y （元）；当N t t ∈≤≤,3025，25=t 时，1125max =y （元），由1125>900，知1125max =y ，且第25天日销售额最大.21．解：（1）)14,2[-.（2）∵22)2(4)(2+--=a a x x f ， ①当02≤a，即0≤a 时，函数)(x f 在]2,0[上是增函数. ∴22)0()(2min +-==a a f x f . 由3222=+-a a ，得21±=a .∵0≤a ，∴21-=a .②当220<<a ，即40<<a 时，22)2()(min +-==a af x f . 由322=+-a ，得)4,0(21∉-=a ，舍去.③当22≥a，即4≥a 时，函数)(x f 在]2,0[上是减函数.1810)2()(2min +-==a a f x f .由318102=+-a a ，得105±=a . ∵4≥a ，∴105+=a .综上所述，21-=a 或105+=a .22．解：（1）812412123124)(2-+++=+--==x x x x x x f y ， 设12+=x u ，]1,0[∈x ，31≤≤u ，则84-+=uu y ，]3,1[∈u . 由已知性质得，当21≤≤u ，即210≤≤x 时，)(x f 单调递减，所以减区间为]21,0[；当32≤≤u ，即121≤≤x 时，)(x f 单调递增，所以增区间为]1,21[；由3)0(-=f ，4)21(-=f ，311)1(-=f ，得)(x f 的值域为]3,4[--.（2）a x x g 2)(--=为减函数，故]2,21[)(a a x g ---∈，]1,0[∈x ， 由题意)(x f 的值域是)(x g 值域的子集，∴⎩⎨⎧-≥--≤--32421a a ，∴23=a .。