数学选修一第二章 章末检测(B)
高中数学人教B版选修1-2学业分层测评 章末综合测评2 Word版含答案
章末综合测评(二) 推理与证明(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.).数列，，，，，，…中的等于( )－＝，故＝＋×＝.【解析】观察知数列{}满足：＝，＋【答案】.用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( ).方程＋＋＝没有实根.方程＋＋＝至多有一个实根.方程＋＋＝至多有两个实根.方程＋＋＝恰好有两个实根【解析】方程＋＋＝至少有一个实根的反面是方程＋＋＝没有实根，故应选.【答案】.下列推理过程是类比推理的是( ).人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼.通过检测溶液的值得出溶液的酸碱性.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】为归纳推理，，均为演绎推理，为类比推理.【答案】.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是°归纳出所有三角形的内角和都是°；③由()＝，满足(－)＝－()，∈，推出()＝是奇函数；④三角形内角和是°，四边形内角和是°，五边形内角和是°，由此得凸多边形内角和是(－)·°..①③④.①②.②④.①②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理.【答案】.设＝＋，＝，则，的大小关系是( )>＝>(＋)<【解析】因为＝＋>＝>，故>.【答案】.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④·＝；⑤由·＝·(≠)，可得＝.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是( )个个个个【解析】①③正确；②④⑤错误.【答案】.证明命题：“()＝＋在(，＋∞)上是增函数”.现给出的证法如下：因为()＝＋，所以′()＝－.因为>，所以>，<<.所以－>，即′()>.所以()在(，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )【导学号：】.综合法.分析法.反证法.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.。
人教版B数学选修1-2：第二章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，sin A sin C>cos A cos C，则△ABC一定是（)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选D.由sin A sin C>cos A cos C，可得cos(A＋C)<0，即cos B>0,所以B为锐角，但并不能判断A，C，故选D.2。
如果两个数的和为正数，则这两个数（)A．一个是正数,一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个是正数D．两个都是负数解析：选C。
两个数的和为正数，则有三种情况：(1）一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；（2)一个是正数，一个是零；（3）两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．3.用反证法证明命题:“a，b∈N，ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为（）A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析:选B.“至少有一个"的否定是“一个也没有",即“a，b都不能被5整除"．4.“所有是9的倍数的数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（）A．完全正确B．推理形式不正确C．错误，因为大小前提不一致D．错误,因为大前提错误解析:选A。
大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．5.观察式子：1＋错误!〈错误!，1＋错误!＋错误!〈错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!〈错误!，…，则可归纳出一般式子为（）A．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!（n≥2)B．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n≥2)C．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈错误!(n≥2）D．1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!（n≥2）解析：选C。
人教A版高中数学选修一第二章B卷答案
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）答案部分 B11、解析：12222PF PF a +==，∴2221PF =-，故选D 。
2、解析：6,10c a ==，∴21003664b =-=，焦点在y 轴上，故选C 。
3、解析：此题没有交代焦点的位置，所以一定有两解，故选C 。
4、解析：点(),x y 关于x 轴的对称点为(),x y -，关于y 轴的对称点为(),x y -，把两个对称点代入后检验可知，此题选C 。
5、解析：设椭圆的另一个焦点为2F ，则2MF x⊥轴，故x c =代入椭圆方程可得2b y a=±=33223±=±。
故选B 。
6、解析：D 。
18AC BC AB ++=，10CA BC AB +=>，则C 点的轨迹是以,A B为焦点的椭圆，则方程为()2210259x y y +=≠，故选D 。
7、解析：D 。
设()00,P x y ，得[]0,x a a ∈-，由焦半径公式得：10PF a ex =+，20PF a ex =-，222120,PF PF a e x =-∴00x =时为最大，22x a =时最小。
选D 。
8、解析：221610x y +=。
利用待定系数法设椭圆方程为22221x y b a +=，依题意得：222229251442b b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，∴1062a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆的方程是221610x y +=。
9、解析：01K <<10、解析：5a =。
椭圆的方程可以化为：22162x y a+=，而焦点的坐标为()0,2，所以264a -=，∴5a =。
11、解析：最大值是4。
由条件得：31,2c b e a ==≤，∴223,4c a ≤∴()22413a a -≤，∴24a ≤。
∴02a <≤。
12、解析：2211216x y +=，椭圆。
设(),P x y ，由题意得：()222182x y y ++=+，化简可得：2211216x y +=。
人教A版高中数学选修一第2章章末检测(B)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）第2章 推理与证明(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．2．数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x 值为________．3．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.4．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为________．5．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是__________(请填写相应的序号)．①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致；④“两个整数”概念不一致．6．观察下列等式：C 15＋C 55＝23－2，C 19＋C 59＋C 99＝27＋23，C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25，C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝______________.7．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________________”．8．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，如果f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，则f (2 010)＝__________.9．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．第1行 1 1第2行1 0 1第3行1 1 1 1第4行1 0 0 0 1第5行1 1 0 0 1 1…………10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的反设应该是______________________________．11．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为_________________________． 12．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．14．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为_____________________________________________________________________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知a 、b 、c 是互不相等的正数，且abc ＝1， 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.16．(14分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．17．(14分)已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.18．(16分)在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.19．(16分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．20．(16分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．第2章 推理与证明(B)答案1．2解析 只有①②对，其余错误．2．5解析 每相邻两数相加等于后面的数．3．512解析 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳，∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)2＝28， ∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57.∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝8×(57＋71)2＝512. 4．p ≤q解析 q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .5．①解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．6．24n －1＋(－1)n 22n －17．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s解析 由类比推理可得．8．－1解析 由f (1)＝lg 32＝lg 15－1，f (2)＝lg 15， f (3)＝f (2)－f (1)＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15，f (5)＝f (4)－f (3)＝－lg 15，f (6)＝f (5)－f (4)＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝lg 15－1，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 15，…，可以猜想到，从f (7)开始，又重复了上述数值，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (2 010)＝f (335×6)＝f (6)＝－1.9．2n －1 32解析 (1)第一次全行的数都是1的是第1行，第二次全行的数都是1的是第3行，第三次全行的数都是1的是第7行，第n 次全行的数都是1的是第2n －1行．(2)1 1 0 0 ... 0 0 1 1 (61)1 0 1 0 ... 0 1 0 1 (62)1 1 1 1 ... 1 1 1 1 (63)由图可知第61行的数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个数为1，所以在第61行的62个数中有32个1.10．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12” 11．332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， 所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 12．－2≤a <32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n， 而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32. 当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，∴a ≥－2. 综上可得－2≤a <32. 13．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．14．v 1<v 2解析 设甲地到乙地的距离为S ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v (v 2>v >0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t ＝S v 2＋v ＋S v 2－v ＝2v 2S v 22－v2，平均速度v 1＝2S t ＝v 22－v 2v 2. ∵v 1－v 2＝v 22－v 2v 2－v 2＝－v 2v 2<0， ∴v 1<v 2.15．证明 ∵a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.16．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4 ≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．18．证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角，∵B >A ≥60°，C >A ≥60°， ∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°.19．(1)证明 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋tan x 1－tan x； (2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下：∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数．20．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b }中存在三项b 、b 、b (p 、q 、r ∈N *且互不相等)成等比数列，则b 2＝b b ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p 、q 、r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。
人教A版高中数学选修一第二章B卷.docx
第二章B 卷B1 椭圆 （课外提升训练）【理解整合】1. ★★椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）A ．1B ．3C 1D ．12.★★焦点坐标为()()0,6,0,6-，10a =，则此椭圆的标准方程为（ ）A ．22110064x y +=B ．22110036x y +=C ．22110064y x +=D ．22110036y x += 3.★★若椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值为（ ） A ．5B ．8C ．53或D ．204.★★★下列方程所表示的曲线中，关于x 轴、y 轴都对称的是（ ）A ．2220x xy y ++=B ．2250x x y -+=C ．24981x y +=D ．224x y =5.★★椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么M 点的纵坐标是（ ）A ．．±．4±D ．34± 6．★★若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．221259x y +=B ．()2210259y x y +=≠C ．()2210169x y y +=≠D ． ()2210259x y y +=≠ 7．★★★P 是长轴在x 轴上的椭圆22221x y a b+=上的点，12,F F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差一定是（ ）A ．1B ．2aC ．2bD ．2c8.★★★两焦点坐标分别为()0,2-，()0,2且经过点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 。
9.★★★如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围。
10.★★★如果椭圆22360ax y a +-=的一个焦点坐标为()0,2，求a 的值。
人教A版高中数学选修一第二章B卷答案
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作答案部分 B11、解析：12222PF PF a +==，∴2221PF =-，故选D 。
2、解析：6,10c a ==，∴21003664b =-=，焦点在y 轴上，故选C 。
3、解析：此题没有交代焦点的位置，所以一定有两解，故选C 。
4、解析：点(),x y 关于x 轴的对称点为(),x y -，关于y 轴的对称点为(),x y -，把两个对称点代入后检验可知，此题选C 。
5、解析：设椭圆的另一个焦点为2F ，则2MF x⊥轴，故x c =代入椭圆方程可得2b y a=±=33223±=±。
故选B 。
6、解析：D 。
18AC BC AB ++=，10CA BC AB +=>，则C 点的轨迹是以,A B为焦点的椭圆，则方程为()2210259x y y +=≠，故选D 。
7、解析：D 。
设()00,P x y ，得[]0,x a a ∈-，由焦半径公式得：10PF a ex =+，20PF a ex =-，222120,PF PF a e x =-∴00x =时为最大，22x a =时最小。
选D 。
8、解析：221610x y +=。
利用待定系数法设椭圆方程为22221x y b a +=，依题意得：222229251442b b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，∴1062a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆的方程是221610x y +=。
9、解析：01K <<10、解析：5a =。
椭圆的方程可以化为：22162x y a+=，而焦点的坐标为()0,2，所以264a -=，∴5a =。
11、解析：最大值是4。
由条件得：31,2c b e a ==≤，∴223,4c a ≤∴()22413a a -≤，∴24a ≤。
∴02a <≤。
12、解析：2211216x y +=，椭圆。
设(),P x y ，由题意得：()222182x y y ++=+，化简可得：2211216x y +=。
高中数学选修一第二章 直线和圆的方程 章末测试(解析版)
第二章 直线和圆的方程章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1C ．-1D ．1或-1【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ）A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=，故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]【答案】A【解析】作出曲线y 的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。
【优化方案】高中人教A数学选修1-2同步测试卷：高中同步测试卷(二)(含答案解析)
高中同步测试卷(二) 章末检测 统计案例(B)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个散点图中点的分布状态，可以直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是( )A ．①②B ．③C ．②③D ．②③④ 2．下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为(A ．94，96 B ．52，50 C ．52，54 D ．54，523．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归分析的方法得到回归直线方程l 1和l 2，两人计算得x －相同，y －也相同，则l 1与l 2的关系为( )A ．一定重合B ．一定平行C ．一定相交于(x －，y －) D ．无法判断4．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表：由K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得K 2≈9.967.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：( ) A ．0.001 B ．0.025 C ．0.05 D ．0.016．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝12x ＋88 D.y ^＝1767．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：则至少有A ．95% B ．99% C ．99.5% D ．99.9%8．在2015年1月1日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表：由散点图可知，y ^＝－3.2 x ＋a ^(参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，a ^＝y －b ^x －)，则a ^＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．409．已知一系列样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，3，…，n)的回归直线方程为y ^＝2x ＋a ，若样本点(r，1)与(1，s)的残差相同，则有()A．r＝s B．s＝2r C．s＝3－2r D．s＝2r＋110．在某次独立性检验中，得到如下列联表：) A．200 B．720 C．100 D．18011．某电脑公司有3名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：6年，则估计他的年推销金额数为()A．20万元B．30万元C．33万元D．35万元12．某工厂进行节能降耗技术改造，在四个月的过程中，其煤炭消耗量(单位：吨)的情况如下表：显然煤炭消耗量则其线性回归方程为()A．y＝0.7x＋5.25 B．y＝－0.6x＋5.25 C．y＝－0.7x＋6.25 D．y＝－0.7x＋5.2513．若两个分类变量X与Y的列联表为：则“X与Y之间有关系”14．一般来说，一个人脚越长，他的身高越高．现对10名成年人的脚长x(单位：cm)与身高y(单位：cm)进行测量，得如下数据：作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：x ＝24.5，y ＝171.5，∑10i ＝1(x i －x －)(y i －y －)＝577.5，∑10i ＝1(x i －x －)2＝82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm ，请你估计案发嫌疑人的身高为________cm.15．某车间为了规定工时定额．需要确定加工零件所需时间，为此进行了5次试验，收集到如下数据，由最小二乘法求得回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9.16．利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查．经过计算得K 2≈3.855，那么，在犯错误的概率不超过________的前提下认为用电脑时间与视力下降有关系.步骤)17．(本小题满分10分)一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.(1)(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？18．(本小题满分12分)在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中，共调查了160人，其中女生85人，男生75人．女生中有60人选修排球，其余的人选修篮球；男生中有20人选修排球，其余的人选修篮球．(每人必须选一项，且只能选一项)(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与体育选修项目有关？参考公式及数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.19．(本小题满分12分)假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：若由资料可知y对(1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？(3)求相关指数R2.20．(本小题满分12分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”． 参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.21．(本小题满分12分)下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：(1)(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．22．(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：组数据用于回归方程检验．(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为14 ℃时的发芽数．参考答案与解析1．[导学号28910007] 【解析】选B.当散点图中的点分布一条直线的附近时，两个变量就具有线性相关关系．2．【解析】选C.a ＝73－21＝52，b ＝100－46＝54，故选C. 3．C4．[导学号28910008] 【解析】选C.由于K 2≈9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区老年人是否需要帮助与性别有关．5．【解析】选A.由所给的数据可得K 2的观测值 k ＝168×（68×38－20×42）2110×58×88×80≈11.377>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系． 6．[导学号28910009] 【解析】选C. x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，因为回归直线经过样本点的中心(176，176)，故选C.7．[导学号28910010] 【解析】选C.K 2＝50×（20×15－10×5）225×25×30×20≈8.33，根据参考表K 2≈8.33>7.879，因此，应该在犯错的概率不超过0.005的情况下，即有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关，故选C.8．【解析】选D.由所给数据 x －＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，y －＝11＋10＋8＋6＋55＝8.则a ^＝y －－b ^x －＝8－(－3.2)×10＝40.9．[导学号28910011] 【解析】选C.由残差的定义可得， 1－(2r ＋a)＝s －(2＋a)， 化简得s ＝3－2r.10．【解析】选B.由于A 和B 没有任何关系，根据列联表可知2001 000和180180＋a 基本相等，检验可知，B 满足条件．故选B.11．[导学号28910012] 【解析】选B. x －＝13×(3＋5＋10)＝6，y －＝13×(20＋30＋40)＝30.b ＝＝2.69，a ＝y －bx ＝13.86，所以y ＝2.69x ＋13.86，当x ＝6时，y ＝2.69×6＋13.86＝30.12．【解析】选D.由题意可知，煤炭消耗量y 与技术改造的月份x 之间为负相关，所以可排除A ，技术改造的月份的平均数x －＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，煤炭消耗量的平均数为y －＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，即直线应该过样本点的中心(2.5，3.5)，代入验证可知线性回归方程为y ＝－0.7x ＋5.25.13．【解析】由列联表数据，可求得随机变量K 2的观测值 k ＝81×（10×16－40×15）225×56×50×31≈7.227>6.635.因为P(K 2≥6.635)≈0.01，所以“X 与Y 之间有关系”出错的概率为0.01. 【答案】0.0114．【解析】由已知得b ^＝∑10i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑10i ＝1（x i －x －）2＝577.582.5＝7， a ^＝y －－b ^x －＝171.5－7×24.5＝0， 于是得线性回归方程为y ^＝7x ， y ^＝7×26.5＝185.5 cm. 【答案】185.515．【解析】因为回归直线经过样本点的中心(x －，y －)， x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，所以y －＝0.67×30＋54.9＝75， 所以62＋y 2＋75＋81＋895＝75，解得y 2＝68. 【答案】6816．【解析】因为K 2≈3.855>3.841，根据参考值表可知在犯错的概率不超过0.05的前提下，认为用电脑时间与视力下降有关系．【答案】0.0517．【解】(1)画出散点图，如图．(2) x －＝16＋14＋12＋84＝12.5，y －＝11＋9＋8＋54＝8.25，∑4i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)＝25.5， ∑4i ＝1(x i －x －)2＝35， b ^＝∑4i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑4i ＝1 （x i －x －）2＝25.535≈0.728 6， a ^＝y －b ^x ＝8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5， 所以线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)当y ^＝10时，由10＝0.728 6×x －0.857 5，得x≈15， 所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．18．【解】(1)根据题中数据，建立一个2×2列联表如下：(2)K 2＝160×（60×55－20×25）80×80×85×75≈30.75>10.828，所以能在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为性别与体育选修项目有关． 19．【解】(1)列表如下：于是b ^＝∑i ＝1x i y i－5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23，a ^＝y －－b ^x －＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．(3)R 2＝1－∑5i ＝1（y i －y ^i ）2∑5i ＝1（y i －y －）2＝1－0.65115.78≈0.959，说明模型拟合较好．20．【解】(1)(2)K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．21．【解】(1)假设H 0：传染病与饮用水无关，把表中数据代入公式得 K 2＝830×（52×218－466×94）2146×684×518×312≈54.21，∵54.21＞10.828，所以拒绝H 0.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得2×2列联表：此时，K 2的观测值k ＝86×（5×22－50×9）214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但①中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性．②中我们只有97.5%的把握肯定．22．【解】(1)由数据，求得x －＝12，y －＝27，∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3i ＝1x 2i ＝434， 由公式，求得b ^＝52，a ^＝y －－b ^x －＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3，(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.因此得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ^＝52×14－3＝35－3＝32，所以预测温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 圆锥曲线与方程(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 245＝1D.x 281＋y 236＝1 2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( )A.（a 2，0） B ．(0, 12a) C. （a 4，0） D ．(0, 14a) 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)6．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22B.12C.2－12D.34 7．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125B.65 C ．2 D.559．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或210．从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△PFM 的面积为( )A ．5 6B ．6 5C ．10 2D ．5 211．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1±512．设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左右焦点。
若P 点在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→＋PF 2→|等于( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．14．已知抛物线C ，y 2＝2P x （P>0），过焦点F 且斜率为k （k >0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若A F →＝3FB →，则k ＝________.15．已知抛物线y 2＝2P x （P>0），过点M （p ，0）的直线与抛物线于A 、B 两点，OA →·OB→＝________.16．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18．(12分)已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．19.(12分)已知两个定点A (－1,0)、B (2,0)，求使∠MBA ＝2∠MAB 的点M 的轨迹方程．20.（12分）已知点A （0，－2），B （0，4），动点P （x ，y ）满足P A →·PB →＝y 2－8.（1）求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)．21.(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．22．(12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255. (1)求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若MA →＝mF A →，MB →＝nFB →，求m ＋n 的值．第二章 圆锥曲线与方程(B) 答案1．A [2a ＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴2c ＝13×2a ＝6，∴a ＝9，c ＝3， b 2＝a 2－c 2＝72，故椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.] 2．B [点P 在线段AB 上时|P A |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.]3．D4．D [P 在以MN 为直径的圆上．]5．A6．B [2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2，又∵c ＝m 2－(m 2－1)＝1，∴离心率e ＝c a ＝12.] 7．B [∵A ，B 在双曲线的右支上，∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a ，|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m ，∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .]8．A[如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.] 9．B [由题意B 为抛物线的焦点．令A 的横坐标为x 0，则|AB |＝x 0＋1＝1，∴x 0＝0.]10．A11．C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2 y 2＝8x消去y 得， k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，故Δ＝[－4(k ＋2)]2－4k 2×4＝64(1＋k )>0，解得k >－1，由x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2＝4， 解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2.]12．B [因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，则 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝36， 故|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝36，所以|PF 1→＋PF 2→|＝6.故选B.] 13.22或2－1 解析 设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c ＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m (1＋2)m＝2－1. 14. 3解析 设直线l 为抛物线的准线，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 1为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，则|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|，由AF →＝3FB →，∴cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12， ∴∠BAE ＝60°，∴tan ∠BAE ＝ 3.即k ＝ 3.15．－p 216．2解析 设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F (1,0)，|AF |＝x 1＋1＝2， x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，故|BF |＝|AF |＝2.17．解 由椭圆方程为x 29＋y 24＝1，知长半轴长a 1＝3，短半轴长b 1＝2，焦距的一半 c 1＝a 21－b 21＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝5 c 2＝a 2＋b 2c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， 故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 18．解 设A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由椭圆的方程知a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴F (3，0)．直线l 的方程为y ＝x － 3. ①将①代入x 24＋y 2＝1，化简整理得 5x 2－83x ＋8＝0，∴x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋1⎝⎛⎭⎫8352－4×85＝85. 19．解 设动点M 的坐标为(x ，y )．设∠MAB ＝β，∠MBA ＝α，即α＝2β，∴tan α＝tan 2β，则tan α＝2tan β1－tan 2β. ① (1)如图(1)，当点M 在x 轴上方时，tan β＝y x ＋1，tan α＝y 2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y >0)；(2)如图(2)，当点M 在x 轴的下方时，tan β＝－y x ＋1，tan α＝－y 2－x， 将其代入①式并整理得3x 2－y 2＝3 (x >0，y <0)；(3)当点M 在x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段AB 上运动(端点A 、B 除外)，只能有α＝β＝0.综上所述，可知点M 的轨迹方程为3x 2－y 2＝3(右支)或y ＝0 (－1<x <2)．20．(1)解 ∵A (0，－2)，B (0,4)，∴ P A →＝(－x ，－2－y )，PB →＝(－x ，4－y )．则 P A →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x,4－y )＝x 2＋y 2－2y －8.∴y 2－8＝x 2＋y 2－2y －8，∴x 2＝2y .(2)证明 将y ＝x ＋2代入x 2＝2y ，得x 2＝2(x ＋2)，即x 2－2x －4＝0，且Δ＝4＋16>0，设C 、D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.而y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，∴y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4，∴k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝－1， ∴OC ⊥OD .21．解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ， y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. 另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)，则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1.由e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝255.得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1. (2)易求出椭圆C 的右焦点F (2,0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x 25＋y 2＝1， 得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0.∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2. 又 MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)， F A →＝(x 1－2，y 1)，FB →＝(x 2－2，y 2)．∵ MA →＝mF A →＝m ， MB →＝nFB →，∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2， 又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k 2＝－101＋5k 2， 4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k 2， ∴m ＋n ＝10.。