高中数学北师大版必修4同步精练：2.2从位移的合成到向量的加法第2课时
高中数学 基础知识篇 2.2从位移的合成到向量的加法同步练测 北师大版必修4
§2 从位移的合成到向量的加法（数学北师版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.设AB u u u r =a ，AD u u u r=b ，BC uuu r =c ，则DC u u u r 等于（ ）A.a -b +cB.b -（a +c ）C.a +b +cD.b -（a -c ）2.在△ABC 中，BC uuu r =a ，CA u u u r =b ，则AB u u u r=（ ）A.a -bB.b -aC.a +bD.-a -b3.下列三个命题：①若a +b =0，b +c ＝0，则a =c ；②AB u u u r =CD uuur 的等价条件是点A 与点C 重合，点B与点D 重合；③若a +b =0且b =0，则-a =0.其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.04.已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA u u u r、OB uuu r 、OC uuu r 、OD uuu r 满足等式OA u u u r +OC uuu r =OB uuu r +OD uuu r ，则四边形是（ ）A.平行四边形B.菱形C.梯形D.等腰梯形 二、填空题（每小题5分，共10分）5.化简：（AB u u u r -CD uuu r ）-（AC uuu r -BD u u u r）＝ .6. 若向量a ,b 满足|a |=8,|b |=12，则｜a +b ｜的最小值为 ，|a -b |的最大值为 . 三、解答题(共70分)7.（15分）已知OA u u u r =a ，OB uuu r=b ,且|a |=|b |=2,∠AOB=π3,求|a +b |,|a -b |.8.（20分）已知a 、b 是两个非零向量，且|a |=|b |=|a -b |，求+-a ba b.9. （15分）已知非零向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，问表示a 、b 、c 的有向线段能否构成三角形？10. （20分）已知非零向量a、b满足|a，|b，且|a-b|=4，求|a+b|的值.§2 从位移的合成到向量的加法（数学北师版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.§2 从位移的合成到向量的加法（数学北师版必修4）答案一、选择题1.A 解析：利用封闭图形的向量关系，得AB u u u r +BC uuu r +CD uuu r =AD u u u r， ∴ DC u u u r =-CD uuu r =-［AD u u u r -（AB u u u r +BC uuu r ）］=AB u u u r +BC uuu r -AD u u u r =a +c -b .2.D 解析：∵ BC uuu r +CA u u u r =a +b =BA u u u r ，∴ AB u u u r=-a -b .3.B 解析：①中，∵ a +b =0，∴ a 、b 的长度相等且方向相反.又b +c =0，∴ b 、c 的长度相等且方向相反,∴ a 、c 的长度相等且方向相同，故a =c ，①正确.②中，当AB u u u r =CD uuu r 时，应有|AB u u u r|=|CD uuu r |及由A 到B 与由C 到D 的方向相同，但不一定要有点A 与点C 重合，点B 与点D 重合，故②错.③显然正确.4. A 解析：∵ OA u u u r -OB uuu r =BA u u u r ,OD uuur -OC uuu r =CD uuu r , 而OA u u u r +OC uuu r =OB uuu r +OD uuu r ，∴ OA u u u r -OB uuu r =OD uuu r -OC uuu r ，∴ BA u u u r =CD uuur ，即AB ∥CD 且AB=CD ，∴ 四边形ABCD 为平行四边形. 二、填空题5.0 解析1：（AB u u u r -CD uuu r ）-（AC uuu r -BD u u u r ）＝（AB u u u r +BD u u u r）+(DC u u u r +CA u u u r )＝AD u u u r +DA u u u r=0.解析2：（AB u u u r -CD uuu r ）-（AC uuu r -BD u u u r ）=AB u u u r -CD uuu r -AC uuu r +BD u u u r=(AB u u u r -AC uuu r )+（DC u u u r -DB u u u r）=CB u u u r +BC uuu r =0.解析3：设O 为平面内任意一点，则有（AB u u u r -CD uuu r ）-（AC uuu r -BD u u u r ）=AB u u u r -CD uuu r -AC uuu r +BD u u u r=(OB uuu r -OA u u u r )-(OD uuu r -OC uuu r )-( OC uuu r -OA u u u r )+(OD uuu r -OB uuu r ) =OB uuu r -OA u u u r -OD uuu r +OC uuu r -OC uuu r +OA u u u r +OD uuu r -OB uuu r=0. 6. 4 20 解析：设a =AB u u u r,b =AC uuu r ，则当a 与b 共线且同向时，|a +b |=|a |+|b |，|a -b |=||a |-|b ||. 当a 与b 共线且反向时，｜a +b ｜=||a |-|b ||,|a -b |=|a |+|b |.当a 与b 不共线时，||a |-|b ||＜|a +b |＜|a |+|b |,||a |-|b ||＜|a -b |＜|a |+|b |， 如图所示，因此当a 与b 共线且反向时，｜a +b |取最小值为12-8＝4； 当a 与b 共线且反向时，|a -b |取最大值为12+8=20. 三、解答题7.解：以OA 、OB 为邻边作如图所示的平行四边形OBCA ，C D ba+ ba- b由向量的三角形法则和平行四边形法则，可知a +b =OC uuu r ,a -b =BA u u u r.又|a |=|b |,可知该平行四边形OBCA 为菱形，∴ |a +b |=|OC uuu r |=2|OM u u u u r ,|a -b |=|BA u u u r|=2. 8.解：设OA u u u r =a ，OB uuu r =b ，则BA u u u r =OA u u ur -OB uuu r =a -b .∵ |a |=|b |=|a -b |,∴ BA=OA=OB.∴ △OAB 为正三角形.设其边长为1，则|a -b |=|BA u u u r |=1,|a +b |=2.∴ +-a b a b .9.解：（1）当a 、b 不共线时，在平面上任取一点A ，作AB u u u r=a ，再以B 为起点作BC uuu r =b ，则AC uuu r =a +b . ∵ a +b +c =0，∴ c =-（a +b ）=-AC uuu r =CA u u u r .∴ 当a +b +c =0时，表示a 、b 、c 的有向线段能构成三角形. （2）当a 、b 共线时，即使a +b +c =0成立，也不能构成三角形.综上所述，只有a 、b 、c 均不共线时，它们的有向线段才能构成三角形.10.解：设OA u u u r =a ，OB uuu r =b ，则|BA u u u r|=|a -b |.以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|OC uuu r |=|a +b |.∵ ）2+）2=42，∴ |OA u u u r |2+|OB uuu r |2=|BA u u u r |2.∴ OA ⊥OB.∴ 平行四边形OACB 是矩形.∵ 矩形的对角线相等，∴ |OC uuu r |=|BA u u u r|=4，即|a +b |=4.。
数学北师大版高中必修4第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法(二)教案
第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法（二）一、教学目标1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重难点：向量的减法转化为加法的运算.三.学法与教法学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.教学设想（一）、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++ . 解：=++=++ 提出课题：向量的减法 （二）、探究新知思考：已知a ，b ，怎样求作b a-？这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念. 1.用“相反向量”定义向量的减法①“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量；记作 -a②规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a + (-a ) = 0如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0③向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。
最新北师大版高中数学必修4《向量的加法》课时练习及解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法课时目标 1．理解向量加法的法则及其几何意义．2．能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则 (1)三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量______叫做a 与b 的和(或和向量)，记作________，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝______．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝____＋____＝____． (2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以____，____为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝______．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝__________．一、选择题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示( ) A ．向东南航行 2 km B ．向东南航行2 km C ．向东北航行2 km D ．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )A ．AB →＝CD →，BC →＝AD → B ．AD →＋OD →＝DA → C ．AO →＋OD →＝AC →＋CD → D ．AB →＋BC →＋CD →＝DA →3．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形 D ．四边形ABCD 一定是平行四边形4．已知a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反C ．a ＝bD ．a ，b 无论什么关系均可5．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )A ．BD →B ．DB →C ．BC →D ．CB →6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3二、填空题7．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________．8．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________． 9．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是____． 10．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE →＋EA →＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →＝________； (3)DE →＋CB →＋EC →＝________； (4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________．三、解答题11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．能力提升13．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______． 14．在水流速度为43 km/h 的河中，如果要船以12 km/h 的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法答案知识梳理1．(1)AC → a ＋b AC → 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC →2．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．A 2．C 3．D 4．A5．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →) ＝BC →＋0＝BC →．]6．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →| ＝|AD →|＝2．]7．0解析 注意DC →＋BA →＝0，BC →＋DA →＝0． 8．213解析 |AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213．9．8解析 ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8． ∴|a ＋b |的最大值为8．10．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC →11．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5 (km/h)． ∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53 (km/h)，|OC →|＝|OB →|sin 30°＝10 (km/h)，∴水流速度大小为53 km/h ，船实际速度为10 km/h ．12．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形． 13．0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →＝0． 14．解如图，设AB →表示水流速度，则AC →表示船航行的实际速度，作AD 綊BC ，则AD →即表示船航行的速度．因为|AB →|＝43，|AC →|＝12，∠CAB ＝90°，所以tan ∠ACB ＝4 312＝33，即∠ACB ＝30°，∠CAD ＝30°． 所以|AD →|＝83，∠BAD ＝120°．即船航行的速度大小为8 3 km/h ，方向与水流方向所成角为120°．。
高中数学第二章平面向量2.2从位移的合成到向量的加法2.2.1向量的加法课件1北师大版必修4
a
b
A
B
C
C
A
B
(3)规定(guīdìng)：
第八页，共25页。
探究点2 向量加法的平行四边形法则
问题(wèntí)2：类比位移的合成方法，作两向量的和还有
没有其他的方法呢？ a
B
C
作法：
b
A
D
作 AB a, AD b, 以AB，AD为邻边 作平行四边形，则 AC a + b
第九页，共25页。
B
第十九页，共25页。
第二十页，共25页。
１.如图，在正六边形ABCDEF中，
A． B． C． Ｄ．
D
E
F C
B
A
第二十一页，共25页。
（ ）Ｄ
2.下列(xiàliè)非零向量的运算结果为零向量的D 是( ) A. B. C. D.
第二十二页，共25页。
3.试用向量方法证明(zhèngmíng)：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形.
第五页，共25页。
探究点1 向量加法(jiāfǎ)的三角形 法则
既然向量的加法(jiāfǎ)可以类比位移的合成，想一想，求 两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？
如下图，已知向量 a, b,如何求这两向量的和？
a b
第六页，共25页。
B
b
C
a
A.
作法：1.在平面(píngmiàn)内任
取一点A.
第十六页，共25页。
例2 两个力 和 同时作用在一个物体上,其中 的大F1小 为40 N,方向向东, 的大小为30 N,方向向北,求它们(tā men)的合力
F2
. 解：如图， 表示(biǎoshì) ， 表示(biǎoshì) .以OA，OB为
高中数学 第二章 平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法 2.2.2 向量的减法优化训练 北师大版必修4
2.2.2 向量的减法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如图2-2-7所示，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，则DC 等于( )图2-2-7A.a -b +cB.b -（a +c ）C.a +b +cD.b -a +c 解析：由于a -b =AB -AD =DB ,DB +BC =DC ，所以a -b +c =DC . 答案：A2.化简AB -AC -BC 等于( )A.0B.2BCC.-2BCD.2AC 解析：因为AB -AC =CB ,CB -BC =CB +CB =2CB ， 所以AB -AC -BC =2CB =-2BC . 答案：C3.如图2-2-8，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA =a ，OB =b ，OC =c ，求OD .图2-2-8解：因为=, =-,=-, 所以OD -OD =OA -OB ,OD =OA -OB +OD . 所以OD =a -b +c .4.在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点.设AB =a ，AD =b ，求作a -b ，b a -21，a b 21+. 解：如图，a -b =-=，21a -b =AE -AD =DE ， b +21a =AD +DF =AF . 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在平行四边形ABCD 中，AB +CA +BD 等于( )A.ABB.BCC.CDD.BA 解析：依据向量的加法和减法法则进行化简.解法一：AB +CA +BD =(AB +BD )+CA =AD -AC =CD .解法二：在平行四边形ABCD 中，CA =-(AB +AD ),BD =AD -AB ，所以AB +CA +BD =AB -(AB +AD )+AD -AB =-AB =CD .答案：C2.化简（AB -CD ）+（BE -DE ）的结果为( )A.CAB.0C.ACD.AE解析：（AB -CD )+(BE -DE )=(AB +BE )-(CD +DE )=AE -CE =-EA +EC =AC . 答案：C3.已知向量a 与b 反向，则下列等式成立的是( )A.|a |+|b |=|a -b |B.|a |-|b |=|a -b |C.|a +b |=|a -b |D.|a |+|b |=|a +b | 解析：如下图，作AB =a ，BC =-b ，易知选A.答案：A4.平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA +OC =OB +OD ，则四边形ABCD 的形状是______________.解析：∵OA +OD =OB +OD ，∴OA -OB =OD -OD ，即BA =CD .由向量相等的定义知AB CD ，故四边形ABCD 为平行四边形. 答案：平行四边形5.如图2-2-9，ABCD 是一个梯形，AB∥CD 且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB =a ,AD =b ，试用a 、b 表示BC 和MN .图2-2-9解：连结CN ，N 是AB 的中点，∵AN DC ，∴四边形ANCD 是平行四边形CN =-AD =-b ，又CN +NB +BC =0， ∴BC =-NB -CN =b a +-21, MN =CN -CM =CN +21AN =41a -b .30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下面给出四个式子，其中值为0的是( )①AB +BC +CA ②OA +OC +BO +CO ③AB -AC +BD -CD ④NQ +QP +MN -MPA.①②B.①③C.①③④D.①②③ 解析：由向量加减法的几何意义可知①③④是正确的. 答案：C2.如图2-2-10，在平行四边形ABCD 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，则下列运算正确的是( )图2-2-10A.a +b +c +d =0B.a -b +c -d =0C.a +b -c -d =0D.a -b -c +d =0 解析：a -b =，c -d =DC ，+DC =-=0. 答案：B3.非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a +b |=1，则|a -b |=________________.解析：由向量加法的平行四边形法则作图，易知Y OACB 为菱形，故|AB |=3，即|a -b |=3.答案：34.向量a 、b 的大小分别为2、8，则|a +b |的大小的取值范围是_______________. 解析：（1）当a 、b 同向时，|a +b |=|a |+|b |=8+2=10； （2）当a 、b 反向时，|a +b |=|b |-|a |=8-2=6；（3）当a 、b 不共线时，由向量加法的三角形法则和三角形的三边关系，知|b |-|a |＜|a +b |＜|a |+|b |.故|a +b |∈［6，10］. 答案：［6,10］ 5.如图2-2-11在边长为1的正方形ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，AC =c ，求|a-b+c|.图2-2-11解：因为a -b =AB -AD =DB ，过B 作BM =AC =c ， 则DM =DB +BM =a -b +c .因为AC⊥BD，且|AC |=|DB |=2，所以DB⊥BM，|AC |=|BM |=2. 所以|DM |=2，即|a -b +c |=2.6.已知OA =a ，OB =b ，且|a |=|b |=4，∠AOB=60°. （1）求|a +b |、|a -b |；（2）求a +b 与a 的夹角及a -b 与a 的夹角.解：如下图，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB.∵|a |=|b |=4，∠AOB=60°，∴平行四边形OACB 为菱形. （1）a +b =+=,a -b =-=. ∴|a +b |=||=|2|=2×23×4=43，|a -b |=|BA |=4.（2）∵∠COA=21∠AOB=30°，a +b 与a 所成的角即∠COA=30°，a -b 与a 所成的角即BA 与OA 所成的角∠CBA=60°.7.如图，若ABCD 是一个等腰梯形，AB∥CD，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB =a ，AD =b ，DC =c ，试用a 、b 、c 表示BC 和MN .图2-2-12 解：作CE∥DA 交AB 于E ，作CF⊥AB 于F ∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形AECD 是平行四边形. ∴CE =-AD =-b .∵EB =AB -AE =AB -DC =a -c ， ∴BC =CE -EB =b +c -a .MN =CF =BF -BC =21（c -a )-b -c +a =21a -21c -b 8.如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点，AC =a ，求DE -FE +DF .图2-2-13解：-+=+EF +=DF +DF =2. ∵D、F 分别为BC 、AB 的中点, ∴|DF|=21|AC|.∴2==-a . ∴-+DF =-a .9.设在平面上有一任意四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL =NM . 证明：连结AC ，∵KL，MN 分别是△ABC，△ADC 的中位线， ∴∥，且||=21||. 同理NM ∥AC , 且|NM |=21||, ∴||=||. 又∵NM 与方向相同, ∴=.。
高中数学北师大版必修4同步精练：2.2从位移的合成到向量的加法第2课时
1．如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF DB -＝( )A ．FDB ．FC C ．FED ．DF2．下列等式中正确的个数是( )①a －0＝a ；②b ＋a ＝a ＋b ；③－(－a )＝a ；④a ＋(－a )＝0；⑤a ＋(－b )＝a －b .A ．2B ．3C ．4D ．53．两个不相等的向量a －b 与b －a 的( )A ．模相等，方向相反B ．模相等，方向相同C ．仅方向相反D ．仅模相等4．下列式子不能化简为AD 的是( )A ．()AB CD BC ++B ．()()AD MB BC CM +++C ．MB AD BM +-D ．DC DA CD -+5．已知O 是四边形ABCD 所在平面内的一点，且OA ，OB ，OC ，OD 满足等式=OA OC OB OD ++，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．等腰梯形6．若向量a ，b 满足|a|＝8，|b|＝12，则|a ＋b |的最小值为__________，|a －b |的最大值为__________．解析：当a 与b 共线且同向时，|a ＋b|＝|a|＋|b|，|a －b|＝||a|－|b||.当a 与b 共线且反向时，|a ＋b|＝||a|－|b||，|a －b|＝|a|＋|b|.当a 与b 不共线时，||a|－|b||＜|a ＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a －b|＜|a|＋|b|，因此当a 与b 共线且反向时，|a ＋b |取最小值为12－8＝4；当a 与b 共线且反向时，|a －b |取最大值为12＋8＝20.7．如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE 等于__________．8．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，AC ＝c ，则|a －b ＋c |＝__________.9．已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：=AB EF EF DC --.10．已知OA ＝a ，OB ＝b ，且|a |＝|b |＝2，∠AOB ＝π3，求|a ＋b|，|a －b|. 参考答案1．解析：==AF DB AF AD DF --.答案：D2．解析：①②③⑤正确．答案：C3．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，则a －b ＝OA －OB ＝BA ，b －a ＝OB －OA ＝AB ，显然BA 和AB 是一对相反向量．答案：A4．解析：()=()==AB CD BC AB BC CD AC CD AD +++++；()()=()AD MB BC CM AD MB BM AD +++++=；=2MB AD BM MB AD AD +-+≠；==DC DA CD DA AD -+-.答案：C5．解析：∵=OA OB BA -，=OD OC CD -，而=OA OC OB OD ++，∴=OA OB OD OC --，∴=BA CD ，即AB ∥CD ，且AB ＝CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：A6．4 207．解析：BE ＝12(BC ＋BD )＝12[b ＋(AD －AB )] ＝12(b ＋b －a )＝b －12a . 答案：b －12a 8．解析：因为a －b ＝=AB AD DB -，过B 作=BM AC ＝c ，连接CM ，则=DM DB BM +＝a －b ＋c.因为AC ⊥BD ，且||=||AC DB ＝2，所以DB ⊥BM ，||=||AC BM ＝2，所以||DM ＝2，即|a －b ＋c |＝2.答案：29．证明：如图所示，在四边形CDEF 中，=EF ED DC CF ++.①在四边形ABFE 中，=EF EA AB BF ++.②①＋②，得=EF EF CE DC ED BF AB EA ++++++＝()()()CF BF ED EA AB DC +++++．∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴=ED EA +0，=CF BF +0，∴=EF EF AB DC ++，即=AB EF EF DC --.10．解：以OA ，OB 为邻边作如图所示的平行四边形OBCA ，由向量的三角形法则和平行四边形法则，可得a ＋b ＝OC ，a －b ＝BA .又∵|a |＝|b |，∴平行四边形OBCA 为菱形，∴|a ＋b |＝||OC ＝2||OM ＝23，|a －b |＝||BA ＝2.。
2016-2017学年高一数学北师大版必修4学案：2.2 从位移的合成到向量的加法 Word版含解析
§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法 2．2 向量的减法1．掌握向量的加法、减法运算．(重点)2．理解向量加法与减法的几何意义及加法、减法的关系．(难点)[基础·初探]教材整理1 向量加法阅读教材P 76－P 77“例2”以上部分，完成下列问题． 向量求和法则及运算律判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量的和，可能是一个数量．( ) (2)两向量相加，就是两向量的模相加．( ) (3)CD →＋DE →＝CE →.( )(4)矩形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →.( )【解析】 (1)两向量之和，仍是向量，(1)错；(2)不共线两向量相加，遵循平行四边形法则；由向量加法的三角形法则可知(3)正确；由向量的平行四边形法则可知(4)正确．【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 教材整理2 向量减法阅读教材P 79～P 80“练习”以上部分，完成下列问题． 1．相反向量2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量．( ) (2)BA →＝OA →－OB →.( )(3)a －b 的相反向量是b －a .( ) (4)|a －b|＜|b ＋a|.( )【解析】 (1)正确．两个向量的差仍然是一个既有大小又有方向的量，是向量．(2)正确．根据向量减法的几何意义可知BA →＝OA →－OB →. (3)正确．(a －b )＋(b －a )＝0.(4)错误．|a ＋b|与|a －b|的大小关系不确定． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________[小组合作型](1)在平行四边形ABCD 中，AB ＋CB －DC 等于( ) A ．BC →B ．AC → C.DA →D ．BD →(2)化简：AB →＋DA →＋BD →－BC →－CA →＝________.(3)如图2－2－1，已知向量a ，b ，c ，求作向量a ＋b －c .图2－2－1【精彩点拨】 利用向量的三角形法则或平行四边形法则求解． 【自主解答】 (1)在▱ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， ∴AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →. (2)法一：原式＝AB →＋BD →＋DA →－(BC →＋CA →) ＝0－BA →＝AB →.法二：在平面内任取一点O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，则 原式＝(OB →－OA →)＋(OA →－OD →)＋(OD →－OB →)－(OC →－OB →)－(OA →－OC →) ＝OB →－OA →＋OA →－OD →＋OD →－OB →－OC →＋OB →－OA →＋OC →＝OB →－OA →＝AB →. 【答案】 (1)C (2)AB →(3)作法：①作OA →＝a ，AB →＝b ；②作OC →＝c ； ③连接CB ， 则CB →＝a ＋b －c .1．求解这类问题，要灵活应用向量加法、减法的三角形法则与平行四边形法则，并注意向量的起点和终点，当向量首尾相连且为和时，用加法；运用向量减法的三角形法则时，两向量起点一定相同．2．运用向量减法法则时，常考虑方法：(1)通过相反向量，把向量减法转化为加法；(2)引入点O ，将向量起点统一．3．运用向量加法、减法运算法则作图时，应注意是“首尾相连”还是“首首相连”等．[再练一题]1.(1)如图2－2－2，已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点，求作：图2－2－2①AO →＋AC →； ②DE →＋BA →.(2)如图2－2－3，已知向量a ，b ，c ，求作a ＋b ＋c .图2－2－3【解】 (1)①延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →即为所求． ②在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →即为所求．(2)在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作AB →＝c ，则OB →＝a ＋c ，然后再作BC →＝b ，连接OC ，于是向量OC →＝a ＋b ＋c 即为所求(如图所示)．在五边形ABCDE 中，设AB ＝a ，AE ＝b ，BC ＝c ，ED ＝d ，用a ，b ，c ，d 表示CD →.【精彩点拨】 先表示出向量AD →，然后用向量加法表示出CD →. 【自主解答】 因为AD →＝AE →＋ED →，AD →＝AB →＋BC →＋CD →， 所以AE →＋ED →＝AB →＋BC →＋CD →， 即b ＋d ＝a ＋c ＋CD →， 所以CD →＝b ＋d －a －c .1．用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义．2．用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果．[再练一题]2.如图2－2－4所示，已知O 为平行四边形ABCD 内的一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →可以用a ，b ，c 表示为________．图2－2－4【解析】 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，所以OB →－OA →＝OC →－OD →，所以OD →＝OA →－OB →＋OC →＝a －b ＋c .【答案】 a －b ＋c[探究共研型]探究1 【提示】 加法的逆运算．探究2 |a －b |与|a |，|b |之间的大小关系如何？【提示】 当a 与b 不共线时，有|||a |－|b |＜|a －b |＜|a ＋b |；当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有|a －b |＝|a |－|b |；当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有|a －b |＝|b |－|a |.已知▱ABCD 中，∠ABC ＝60°，设AB →＝a ，AD →＝b ，若|a |＝|a ＋b |＝2，求|a －b |的值．【精彩点拨】 根据题设条件结合向量的加法、减法运算求解． 【自主解答】 依题意，|AC →|＝|a ＋b |＝2，如图所示．而|AB →|＝|a |＝2. 因为∠ABC ＝60°， 所以△ABC 是等边三角形， 所以BC ＝AB .所以▱ABCD 为菱形，AC ⊥BD ， 所以|a |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|a ＋b |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|a －b |2，即4＝1＋|a －b |24， 所以|a －b |＝2 3.本题的解答是利用了向量加法与减法的几何意义，一般地，若a ，b 是两个不共线的向量，在平面内任取一点A 作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，那么AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .恰当地构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|a±b|的关系，灵活运用平面图形的性质是解答本题的关键．[再练一题]3．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b|＝4，求|a ＋b |的值.【导学号：66470041】【解】 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则|BA→|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC→|＝|a＋b|.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42，即|OA→|2＋|OB→|2＝|BA→|2，所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有|OC→|＝|BA→|＝4，即|a＋b|＝4.[构建·体系]1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →＋EO → C.EF →＝FO →＋OE →D ．EF →＝FO →＋EO →【解析】 由向量三角形法则知EF →＝EO →＋OF →. 【答案】 B2．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B ． 2 C ．3D ．2 2【解析】 ∵AB →＋AD →＝AC →，∴|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2，故选B. 【答案】 B3．设a 表示向东走4 km ，b 表示向南走3 km ，则|a ＋b |＝________km.【导学号：66470042】【解析】 |a ＋b |＝|a |2＋|b |2＝5.【答案】 5 4．化简：(1)PB →＋OP →－OB →＝________； (2)OB →－OA →－OC →－CO →＝________.【解析】 (1)PB →＋OP →－OB →＝PB →＋(OP →－OB →)＝PB →＋BP →＝0. (2)OB →－OA →－OC →－CO →＝(OB →－OA →)－(OC →＋CO →) ＝AB →－0＝AB →. 【答案】 0 AB →5.如图2－2－5，D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，试画出BC →＋AB →，DE →＋DF →，BC →＋EF →.【解】 如图，BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →，12 DE→＋DF→＝DA→，BC→＋EF→＝BC→＋CD→＝BD→.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章2.2从位移的合成到向量的加法(第2课时) 教案
2.2从位移的合成到向量的加法（第2课时）一、教学目标1.知识与技能（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用.2.过程与方法培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二、教材分析：向量减法运算是加法的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算。
通过向量减法运算的学习，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生应用意识。
三、教学重、难点教学重点：向量的减法转化为加法的运算；教学难点：对向量减法定义的理解．四、教学方法和手段教学方法采用引导探究式教学法。
五、教学过程：（一）问题情境问题在小船过河时，河水流动的速度为，小船欲实际沿垂直河岸的方向，以行驶速度过河，试求小船过河自身行驶速度的大小和方向．解：如图，设表示小船实际沿垂直于河岸方向行驶的速度，表示水流动的速度，以为一边，为对角线、作，则的邻边就表示小船过河自身行驶的速度和方向.（设计说明：从第一课时熟悉的“小船过河”实例出发，经过观察、研究，归纳出向量减法的概念，教学过程紧扣学生的思维，阐述自然.）（二）新知探究1、向量减法的定义相反向量把与向量长度相等，方向相反的向量，叫作向量的相反向量．记作，和互为相反向量．规定：（1）零向量的相反向量仍是零向量，即；（2）任一向量的相反向量的相反向量仍是该向量本身，即；注：由向量加法的定义可得，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即；反之两个向量的和为零向量，则这两个向量互为相反向量.2/v km hOA2/v km hOB1/v km hOB OAOBAC OB OCa aa-a a-00-=()a a--= ()0a a+-=2、向量的减法向量加上向量的相反向量，叫作与的差，即.求两个向量差的运算，叫作向量的减法．注：向量的减法，亦可定义为向量加法的逆运算，也就是说，若，则，即向量叫作向量与的差.3、求两个向量的差如图，已知向量，，作，，以，为邻边再作平行四边形，连接.图中，向量，表示向量与向量的和，即向量－，也即向量－．（三）学生活动猜想讨论问题向量求差的各种情况的讨论.讨论设计（1）两向量不共线：a b a b()a b a b-=+-b x a+=x a b=-x a ba b OA a=OB b=OA OBOACB BABA a b-a bBA OA OB=-=a bCBA（2）两向量共线：注：当两向量共线时，向量减法的三角形法则就不成立了.（3）其中有一个是零向量：.小结：（把向量与的）起点重合（在点处，那么从向量的终点）指向被减向量（）的终点（，得到的向量就是向量－）．（四）典例精析例4 已知向量，，，求作向量－＋．解：如图，在平面上任取一点，作，则.0,0a a a a-=-=-a b O b Ba A BA a ba b c a b cO,OA a OB b==BA a b=-再作，并以，为邻边再作平行四边形，连接BD，则.例5已知，且，求.解：如图，设，以，为邻边作平行四边形，则有在中，，，由勾股定理，得.∴.（五）课堂练习1.第80页练习第1、2题；2．判断正误：BC c=BA BC BADCBD BA BC a b c=+=-+||8,||6a b==||||a b a b+=-||a b-,AB a AD b==AB ADABCD||||||||AC a bDB a b AC DBABCD AB ADa b a bABCD⎫⎫=+⎪⎪⎪=-⇒=⎪⎬⇒⇒⊥⎬⎪+=-⎪⎪⎭⎪⎭为矩形Rt ABD∆||8AB=||6AD=2222||||||8610DB AB AD=+=+=||a b-10=D（1） ； （2） ； （3） ； （4） . （六）课堂小结① 向量的减法； ② 向量运算律. 六、课后作业与反思1、课后作业（1）教材习题 2—2第2、3、4、5题； （2）证明向量的“三角形不等式” ：.(提示：按不共线、共线（同向、反向）讨论证明.) （3）用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形. (提示：法一：； 法二：） 2、课后反思：这节课学生能积极思考，踊跃回答问题，课堂教学效果很好。
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1．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF DB
-
＝( )
A．FD B．FC C．FE D．DF
2．下列等式中正确的个数是( )
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b.
A．2 B．3 C．4 D．5
3．两个不相等的向量a－b与b－a的( )
A．模相等，方向相反
B．模相等，方向相同
C．仅方向相反
D．仅模相等
4．下列式子不能化简为AD的是( )
A．()
++
AB CD BC
B．()()
+++
AD MB BC CM
C．MB AD BM
+-
-+
D．DC DA CD
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且OA，OB，OC，OD满
足等式=OA OC OB OD ++，则四边形ABCD 是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．梯形
D ．等腰梯形
6．若向量a ，b 满足|a|＝8，|b|＝12，则|a ＋b|的最小值为__________，|a －b|的最大值为__________．
解析：当a 与b 共线且同向时，|a ＋b|＝|a|＋|b|，|a －b|＝||a|－|b||. 当a 与b 共线且反向时，|a ＋b|＝||a|－|b||，|a －b|＝|a|＋|b|.
当a 与b 不共线时，||a|－|b||＜|a ＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a －b|＜|a|＋|b|， 因此当a 与b 共线且反向时，|a ＋b|取最小值为12－8＝4；
当a 与b 共线且反向时，|a －b|取最大值为12＋8＝20.
7．如图，在ABCD 中，E 是CD 的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE 等于__________．
8．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，AC ＝c ，则|a －b ＋c|＝__________.
9．已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点， 求证：=AB EF EF DC --.
10．已知OA ＝a ，OB ＝b ，且|a|＝|b|＝2，∠AOB ＝π3
，求|a ＋b|，|a －b|.。