金山区2007学年第一学期期末高三数学理科测试试题
金山区2007学年第一学期期末考试高三数学理科测试试题满分150分，完卷时间为120分钟，答案请写在答题纸上一、填空题(每小题4分，共44分)1、已知集合P ={x |x 2–9<0}，Q ={y |y=2x ，x ∈Z }，则P ∩Q = 。
2、若复数i iaz ++=1为实数，则实数=a 。
3、函数f (x )=1+log 2 x (x ≥2)的反函数f –1(x ) = 。
4、函数xx y 4+=，x ∈[4,6]的最小值 。
5、若方程16422=++-ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围是 。
6、方程sin x+cos x = –1在[0,π]内的解为 。
7、向量→a 与→b 的夹角为150，3||=→a ，4||=→b ，则=+→→|2|b a 。
8、直线3x +y –23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角的大小为 。
9、在实数等比数列{a n }中a 1+a 2+a 3=2，a 4+a 5+a 6=16，则a 7+a 8+a 9= 。
10、定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (2+x ) = f (2–x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )=24x -，则f (2008)= 。
11、正数数列{a n }中，对于任意n ∈N *，a n 是方程(n 2+n )x 2+(n 2+n –1)x –1=0的根，S n 是正数数列{a n }的前n 项和，则=∞→n n S lim 。
二、选择题(每小题4分，共16分) 12、在复平面内，复数z =i-21对应的点位于 ( )(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 13、命题：“对任意的R x ∈，0322≤--x x ”的否定是 ( )(A )不存在R x ∈，0322≤--x x ； (B )存在R x ∈，0322≤--x x ； (C )存在R x ∈，0322>--x x ； (D )对任意的R x ∈，0322>--x x .14、已知A (1,0)、B (7,8)，若点A 和点B 到直线l 的距离都为5，且满足上述条件的直线l 共有n 条，则n 的值是 ( ) (A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 415、 已知直线l ：(m+1)x –my +2m –2=0与圆C ：x 2+y 2=2相切，且满足上述条件的直线l 共有n 条，则n 的值为 ( ) (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 以上答案都不对 三、解答题(本大题满分90分) 16、(本大题12分)设函数f (x )=)2sin()42cos(21ππ+-+x x ，(1)化简f (x )的表达式，求f (x )的定义域，并求出f (x )的最大值和最小值；(2)若锐角α满足cos α=54，求f (α)的值。
17、(本大题12分)复数2)2321(i z -=是一元二次方程ax 2+bx+1=0(a 、b ∈R )的根， (1)求a 和b 的值；(2)若z u u bi a =++)()(C u ∈，求u 。
18、(本大题14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足ca bC B +-=2cos cos ， (1)求角B 的度数；(2)若b=19，a+c =5，求a 和c 的值。
19、(本大题16分)设a 为实数，函数f (x )=x |x –a |，其中x ∈R 。
(1)判断函数f (x )的奇偶性，并加以证明；(2)写出函数f (x )的单调区间。
20、(本大题18分)阅读下面所给材料：已知数列{a n }，a 1=2，a n =3a n –1+2，求数列的通项a n 。
解：令a n =a n –1=x ，则有x=3x +2，所以x = –1，故原递推式a n =3a n –1+2可转化为： a n +1=3(a n –1+1)，因此数列{a n +1}是首项为a 1+1，公比为3的等比数列。
根据上述材料所给出提示，解答下列问题： 已知数列{a n }，a 1=1，a n =3a n –1+4，(1)求数列的通项a n ；并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理； (2)若记S n =∑=+++nk k k a a 11)2lg()2lg(1，求∞→n lim S n ； (3)若数列{b n }满足：b 1=10，b n+i =1003n b ，利用所学过的知识，把问题转化为可以用阅读材料的提示，求出解数列{b n }的通项公式b n 。
21、(本大题18分)(1)已知平面上两定点)0,2(-A 、)0,2(B ，且动点M 的坐标满足MB MA ⋅=0，求动点M 的轨迹方程；(2)若把(1)的M 的轨迹图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线x+ky –3=0 相切，试求实数k 的值；(3)如图1，l 是经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是两个焦点，点P ∈l ，P 不与A 重合。
若α=∠EPF ，证明：bcarctan0≤<α。
类比此结论到双曲线12222=-by a x ，l 是经过焦点F 且与实轴垂直的直线，B A 、是两个顶点，点P ∈l ，P 不与F 重合(如图2)第21题图1第21题图22007学年度第一学期高三数学期末考试试题答案(理)2008年1月一、填空题：1、{–2, 0, 2} 2、2 3、2x –1 (x ≥2) 4、5 5、–6<k <4且k ≠–1 6、π 7、2 8、60o 9、128 10、2 11、1 二、选择题：12、A 13、C 14、C 15、B 三、解答题：16、(1)函数f (x )= =x x x cos 2sin 2cos 1++=xxx x cos cos sin 2cos 22+=2sin x +2cos x ……5分f (x )的定义域为{x |x ≠kπ+2π，k ∈Z }，……………………………………………………6分 又f (x )=22sin(x +4π)……………………………………………………………………7分 f (x )max =22，f (x )min = –22……………………………………………………………9分 (2)若锐角α满足cos α=54，则sin α=53…………………………………………………10分 f (α)=514…………………………………………………………………………………12分 17、(1)由题得i Z 2321--=，…………………………………………………………2分方程ax 2+bx +1=0是实系数一元二次方程，故它的另一个根为i 2321+-…………4分 由韦达定理知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+----=+-+--ai i a bi i 1)2321)(2321()2321()2321(，得⎩⎨⎧==11b a ……………………6分(2)由(1)知i u u i 2321)1(--=++，设 ),(R y x yi x u ∈+=……………………7分 则：i yi x yi x i 2321)())(1(--=++-+，得i xi y x 2321)2(--=++……8分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+2132323212y x x y x ，所以i u 213223-+-=……………………12分18、(1)由题c a b C B +-=2cos cos ，由正弦定理得：CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=，……2分 C B A B C B sin cos sin cos 2cos sin +=-……………………………………………3分 0sin cos 2sin cos cos sin =++A B C B C Bsin(B+C )+ 2cos B sin A =0 …………………………………………………………………4分 sin A +2cos B sin A =0……………………………………………(只要写出本行，给5分)5分 因为0sin ≠A ，所以cos B = –21，所以B =120o ………………………………………7分 (2)由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，………………………………………9分 19=(a+c )2–2ac –2ac cos120o ，所以ac=6…………………………………………………11分 由⎩⎨⎧==+65ac c a ，得⎩⎨⎧==32c a 或⎩⎨⎧==23c a ………………………………(缺一解，扣1分)14分19、(1)当a =0时，f (x )=x |x |，所以f (x )为奇函数…………………………………………1分 因为定义域为R 关于原点对称，且f (–x )=–x |–x |=–f (x )，所以f (x )为奇函数。
……3分当a ≠0时，f (x )=x |x –a |为非奇非偶函数，………………………………………4分 f (a )=0，f (–a )= –a |2a |，所以f (–a ) ≠ f (a )，f (–a ) ≠ – f (a )所以f (x )是非奇非偶函数。
……………………………………………………………6分(2)当a =0时，⎩⎨⎧<-≥=0)(22x xx x x f ，)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞；……8分 当a >0时，⎩⎨⎧<+-≥-=ax ax x ax ax x x f 22)( f (x )的单调递增区间为)2,(a -∞和),(+∞a ；……………………………………10分 f (x )的单调递减区间为),2(a a ；……………………………………………………12分当a <0时，⎩⎨⎧<+-≥-=a x ax x ax ax x x f 22)( f (x )的单调递增区间为),(a -∞和),2(+∞a；……………………………………14分 f (x )的单调递减区间为)2,(a a ………………………………………………………16分20、(1) 令a n =a n –1=x ，则有x=3x +4，所以x = –2，故原递推式a n =3a n –1+4可转化为：a n +2=3(a n –1+2)，因此数列{a n +2}是首项为a 1+2，公比为3的等比数列。
所以a n +2=(a 1+2)⨯3n –1，所以a n =3n –2；…………………………………………2分 对于a n =3a n –1+4，可以看成把直线y=3x +4的方程改写成点斜式方程，该点就是它与直线y=x 的交点。
2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)[精选多篇][修改版]
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第一篇：2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)城镇环境综合整治给镇区居民的一封信尊敬的居民朋友：为改善我镇镇区环境面貌，提高城镇环境卫生质量，营造一个干净、舒适、整洁、优美的人居环境，塑造“清洁家园、宜居城镇、生态蒋场”的良好形象，奋力推进全镇经济社会和谐发展，根据全市新型城镇建设会议和全市“双创”工作会议要求，镇委镇政府决定从4月份开始，在镇区范围内开展城镇环境综合整治活动。
城镇环境综合整改是建设社会主义新农村、构建和谐社会的根本要求，是贯彻落实市委市政府加快推进新型小城镇建设的重要举措，是跟上时代发展步伐、服务工作大局、塑造蒋场新面貌新形象的内在需要，是改善人居环境、提高人民群众生活质量的有效手段，是优化投资环境、提升城镇文明程度、增强城镇竞争力的重要途径，是保障交通通畅、清除安全隐患、巩固发展成果、维护广大人民群众生命财产安全的具体体现，也是全镇广干部群众的强烈愿望。
建设一个卫生整洁、环境优美的新型城镇是全体蒋场人民的共同心愿，关系到全镇人民的切身利益。
全民参与，身体力行，全镇居民都要为创建“环境卫生乡镇”和“环境卫生小区”献计献策，积极参与到环境综合整治中来，自觉维护公共卫生，养成良好的卫生生活习惯，做到不乱扔垃圾，不乱停车辆，不乱摆摊点，不乱搭乱建，不乱贴乱画，不破坏公共卫生设施，不破坏绿化，用实际行动支持环境整治工作。
镇区经营户和居民户朋友们，从现在开始，都应积极主动拆除乱搭乱建的违章建筑，流动摊点归店入市，彻底改变店外经营、店外加工、店外维修的现状；自觉服从城管人员的引导，改变乱堆乱放、乱吊乱挂、乱搭乱建的不良行为习惯；自觉规范户外广告、跨街横幅、霓虹灯、店招牌匾等设置，保持镇容环境整洁；自觉遵守交通规则，杜绝侵占公路、破坏公路设施和在公路上打草晒粮等现象，创造便捷高效、规范安全的交通环境，客运车辆一律实行车进站、人归点，禁止滞留街道、站外上下。
上述整治任务完成后，镇委镇政府将争取市交通运输局、市住房和建设委员会的支持，对镇区主干道全面实施刷黑改造和配套升级，我们相信，镇区环境综合整治必将带来城镇面貌的大改观和全镇经济社会的大发展。
2007年高考数学卷(上海.理)含答案
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ．3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -•-=的解是 ．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y •的最大值是 ． 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ． 11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ， 为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b < 14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形 ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立CB1C 1B1AAＣ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01m m m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围； （3的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x 且 2． 32-3．）（11≠-x x x4．7log 3 5．161 6． π 7． 3.0 8． )3(122+=x y 9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）题 号 1213 1415答 案ACB D三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan． 解法二： 由题意，可得 体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与n 的夹角为ϕ， 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥． 解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数， xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，；② 2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm ．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm ．21． 解：（1） ()()012(0)00F c F F -，，，，，021211F F b F F ∴=====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤． （2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是梦想不会辜负一个努力的人all`试题11P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩，得 122222=+⎪⎭⎫⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
2007年高考数学上海市理科(详细解答)
（3）设“果圆”的方程为，． 记平行弦的斜率为． 当时，直线与半椭圆的交点是 ，与半椭圆的交点是． 的中点满足 得． ，．
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．
由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在
某一椭圆上． 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满 分7分．
已知函数，常数． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满 分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其 为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”．
①；②；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是
．
10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知 是两个
相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是 直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异
面直线的充分条件：
．
11．已 知 为 圆 上 任 意
共轭复数，b=2，a=－1，那么p==－4，q==5，∴ 选A。
13．设是非零实数，若，取a=－2，b=1，则选项A不成立，取a=1，
b=2，则选项B与D不成立，所以选C。实际上已知，则，∴ ，选项C成
立。
14．直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形
中，若，若∠A是直角，则，k=－6，若∠B是直角，则，，得k=－1，
金山区学年第一学期期末考试
金山区学年第一学期期末考试高三数学试卷（满分：分，完卷时间：分钟）（答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分分）本大题共有题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
.计算：=+ii -31（i 为虚数单位）。
.若)π2,2π3(∈α，34-αtan =，则=αsin 。
.设集合{A =，集合{}b a B ，=，若{}2∩=B A ，则=B A ∪。
.不等式：1≤1-11xx +的解集是 。
.若函数)(x f y =的反函数为1-21-x y =，则=)(x f 。
.若关于x 的实系数一元二次方程02=++q px x 有一个根为i 4-3（i 是虚数单位），则实数p 与q 的乘积=pq 。
.二项式72)1-(x x 的展开式中含2x 的项的系数是。
.在等差数列{}n a 中，31=a ，公差不等于零，且942a a a 、、恰好是某一个等比数列的前三项，那么该等比数列的公比的值等于。
.容器中有个小球，除颜色外，其他“性状”完全相同，其中个是红色球，个是蓝色球，若从中任意选取个，则所选的个小球都是蓝色球的概率是（结果用数值表示）。
.从一堆苹果中任取只，称得它们的质量（单位：克）分别是：，则该堆苹果的总体标准差的点估计值是（结果精确到）。
.设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和为n S ，若2lim ∞→=n n S ，则此等比数列的首项1a 的取值范围是。
.已知偶函数)∈)((R x x f y =满足：)()2(x f x f =+，并且当[]10∈，x 时，x x f =)(，函数))((R x x f y ∈=与函数x y 3l o g =的交点个数是。
.如图，已知直线063-4:=+y x l ，抛物线x y C 4:2=图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是。
.如图，在三棱锥ABC P -中PC PB PA 、、两两垂直，且3=PA ，2=PB ，1=PC 。
2007年上海市高考数学试卷(理科)及解析
2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）函数的定义域为．2．（4分）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．3．（4分）函数的反函数f﹣1（x）=4．（4分）方程9x﹣6•3x﹣7=0的解是．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．6．（4分）函数的最小正周期是T=7．（4分）有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为8．（4分）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为9．（4分）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=|b|，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是．10．（4分）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件．11．（4分）已知圆的方程x2+（y﹣1）2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f（θ）的图象大致为．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（）A．p=﹣4，q=5 B．p=﹣4，q=3 C．p=4，q=5 D．p=4，q=313．（4分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．14．（4分）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（4分）已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立三、解答题（共6小题，满分90分）16．（15分）体积为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角．17．（15分）在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．18．（15分）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%．在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）19．（15分）已知函数f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．20．（15分）若有穷数列a1，a2…a n（n是正整数），满足a1=a n，a2=a n﹣1…a n=a1即a i=a n﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．（1）已知数列{b n}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{b n}的每一项（2）已知{c n}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且c k，c k+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{c n}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22…2m﹣1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．21．（15分）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．2007年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2007•上海）函数的定义域为{x|x＜4且x≠3} ．【分析】欲求此函数的定义域一定要满足：4﹣x＞0，x﹣3≠0，进而求出x的取值范围，得到答案．【解答】解：由，解得：x＜4且x≠3故答案为：{x|x＜4且x≠3}2．（4分）（2007•上海）已知l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．【分析】两直线平行，则方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，接解出m的值．【解答】解：∵两直线平行，∴，故答案为﹣．3．（4分）（2007•上海）函数的反函数f﹣1（x）=【分析】本题考查反函数相关概念、求反函数的方法等相关知识．将函数的解析式看做方程，解出x，然后利用与函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由解得：即：∴函数的反函数答案：4．（4分）（2007•上海）方程9x﹣6•3x﹣7=0的解是x=log37．【分析】把3x看做一个整体，得到关于它的一元二次方程求出解，利用对数定义得到x的解．【解答】解：把3x看做一个整体，（3x）2﹣6•3x﹣7=0；可得3x=7或3x=﹣1（舍去），∴x=log37．故答案为x=log375．（4分）（2007•上海）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．【分析】变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．6．（4分）（2007•上海）函数的最小正周期是T=π【分析】利用三角函数的和角公式，将原函数式化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，再结合三角函数的周期公式求出周期即可．【解答】解：==∴T=π．故填：π．7．（4分）（2007•上海）有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为0.3【分析】从五个数字中任取三个数字有C53种取法，剩下的两个数字为奇数有C22C31种取法，两个求比值，得到要求的概率．【解答】解：由题意知，故答案为：0.38．（4分）（2007•上海）已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为y2=12（x+3）【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的中心和焦点，进而求得抛物线中的p，得到抛物线方程．【解答】解：双曲线的中心坐标为（0，0），该双曲线的左焦点为F（﹣3，0）则抛物线的顶点为（﹣3，0），焦点为（0，0），所以p=6，故答案为y2=12（x+3）．9．（4分）（2007•上海）对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①；②（a+b）2=a2+2ab+b2；③若|a|=|b|，则a=±b；④若a2=ab，则a=b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是②④．【分析】要熟悉复数的概念和性质及其基本运算．【解答】解：对于①：解方程得a=i，所以非零复数a=i使得，①不成立；②：显然成立；③：在复数集C中，|1|=|i|，则|a|=|b|，所以当a=i，b=1时，i=1不成立，所以③不成立；④：显然成立．则对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的所有序号是②④所以应填上②④．10．（4分）（2007•上海）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件s1∥s2，并且t1与t2相交（t1∥t2，并且s1与s2相交）．【分析】当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，这两条直线一定是异面直线．【解答】解：两个相交平面α，β，当两直线在平面α内的射影是两条平行线，在平面β内的射影是两条相交直线时，这两直线是异面直线．当两直线在平面α内的射影是两条相交直线，在平面β内的射影是两条平行线时，这两直线也是异面直线．故“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“s1∥s2，并且t1与t2相交”或“t1∥t2，并且s1与s2相交”．故答案为：s1∥s2，并且t1与t2相交，或t1∥t2，并且s1与s2相交．11．（4分）（2007•上海）已知圆的方程x2+（y﹣1）2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f（θ）的图象大致为．【分析】由图形可以看出，可以在OP与直径围成的三角形中通过解三角形求出d与θ的函数关系，再根据函数表达式作出图象即可．【解答】解：在直角三角形中，因直径的长度为2，其所邻的角为故故函数图象为故应填：二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2007•上海）已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（）A．p=﹣4，q=5 B．p=﹣4，q=3 C．p=4，q=5 D．p=4，q=3【分析】把根代入方程，利用复数相等列出方程组，可解出结果．【解答】解：分别将2+ai，b+i代入方程得：（2+ai）2+p（2+ai）+q=0①（b+i）2+p（b+i）+q=0②对①②整理得：；解得：p=﹣4，q=5．本题也可以用“韦达定理”求解：2+ai+b+i=﹣p③，（2+ai）（b+i）=q④对③④整理得：⇒故选A．13．（4分）（2007•上海）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．ab2＜a2b C．D．【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．14．（4分）（2007•上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．【解答】解：∵（1）若A为直角，则；（2）若B为直角，则；（3）若C为直角，则．∴k的可能值个数是2，故选B15．（4分）（2007•上海）已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立，下列命题成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则对于任意k≥1，均有f（k）≥k2成立；B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）＜k2成立；C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；D．若f（4）=25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立【分析】由题意对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成立，反之不成立．【解答】解：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，应有f（k）≥k2成立；对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k ＜7，均有f（k）＜k2成立；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选D三、解答题（共6小题，满分90分）16．（15分）（2007•上海）体积为1的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角．【分析】根据体积先求出AA1=CC1的长，连接BC1，易证∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角，在直角三角形A1BC1中求出此角即可．【解答】解：由题意，可得体积，∴AA1=CC1=2．连接BC1．∵A1C1⊥B1C1，A1C1⊥CC1，∴A1C1⊥平面BB1C1C，∴∠A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．，∴，则∠A1BC1=；即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为．17．（15分）（2007•上海）在三角形ABC中，，求三角形ABC的面积S．【分析】先根据cosB求出sinB的值，再由两角和与差的正弦公式求出sinA的值，由余弦定理求出c的值，最后根据三角形的面积公式求得最后答案．【解答】解：由题意，得为锐角，，，由正弦定理得，∴．18．（15分）（2007•上海）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%．在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）（1）求2006年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）【分析】（1）根据年增长率可直接算出．（2）设平均增长率为x，根据题意可得安装量和生产量的比值，进而解不等式即可．【解答】解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%，38%，40%，42%．则2006年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8（兆瓦）．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则．解得x≥0.615．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%．19．（15分）（2007•上海）已知函数f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）x2为偶函数，欲判函数f（x）=x2+的奇偶性，只需判定的奇偶性，讨论a判定就可．（2）处理函数的单调性问题通常采用定义法好用．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x2对任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），有f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），∴f（x）为偶函数．当a≠0时，f（x）=x2+（x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（﹣1）+f（1）=2≠0，f（﹣1）﹣f（1）=﹣2a≠0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），f（﹣1）≠f（1）．∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（2）设2≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）==[x1x2（x1+x2）﹣a]，要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，必须f（x1）﹣f（x2）＜0恒成立．∵x1﹣x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x2）＞16，∴a的取值范围是（﹣∞，16]．20．（15分）（2007•上海）若有穷数列a1，a2…a n（n是正整数），满足a1=a n，a2=a n …a n=a1即a i=a n﹣i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．﹣1（1）已知数列{b n}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{b n}的每一项（2）已知{c n}是项数为2k﹣1（k≥1）的对称数列，且c k，c k+1…c2k﹣1构成首项为50，公差为﹣4的等差数列，数列{c n}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，则当k为何值时，S2k﹣1取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，22…2m﹣1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008．【分析】（1）设{b n}的公差为d，由b1，b2，b3，b4成等差数列求解d从而求得数列{b n}，=﹣4（k﹣13）2+4×132﹣50，用二次函数求解，（2）先得到S2k﹣1（3）按照1，2，22…2m﹣1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可．【解答】解：（1）设{b n}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，∴数列{b n}为2，5，8，11，8，5，2．=c1+c2+…+c k﹣1+c k+c k+1+…+c2k﹣1=2（c k+c k+1+…+c2k﹣1）﹣c k，（2）S2k﹣1S2k﹣1=﹣4（k﹣13）2+4×132﹣50，取得最大值．S2k﹣1的最大值为626．∴当k=13时，S2k﹣1（3）所有可能的“对称数列”是：①1，2，22，2m﹣2，2m﹣1，2m﹣2，22，2，1；②1，2，22，2m﹣2，2m﹣1，2m﹣1，2m﹣2，22，2，1；③2m﹣1，2m﹣2，22，2，1，2，22，2m﹣2，2m﹣1；④2m﹣1，2m﹣2，22，2，1，1，2，22，2m﹣2，2m﹣1．对于①，当m≥2008时，S2008=1+2+22+…+22007=22008﹣1．当1500＜m≤2007时，S2008=1+2+…+2m﹣2+2m﹣1+2m﹣2+…+22m﹣2009=2m﹣1+2m﹣1﹣22m ﹣2009=2m+2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1．对于②，当m≥2008时，S2008=22008﹣1．当1500＜m≤2007时，S2008=2m+1﹣22m﹣2008﹣1．对于③，当m≥2008时，S2008=2m﹣2m﹣2008．当1500＜m≤2007时，S2008=2m+22009﹣m﹣3．对于④，当m≥2008时，S2008=2m﹣2m﹣2008．当1500＜m≤2007时，S2008=2m+22008﹣m﹣2．21．（15分）（2007•上海）已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若|A1A|＞|B1B|，求的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）因为，所以，由此可知“果圆”方程为，．（2）由题意，得，所以a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．再由可知的取值范围．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．【解答】解：（1）∵，∴，于是，所求“果圆”方程为，（2）由题意，得a+c＞2b，即．∵（2b）2＞b2+c2=a2，∴a2﹣b2＞（2b﹣a）2，得．又b2＞c2=a2﹣b2，∴．∴．（3）设“果圆”C的方程为，．记平行弦的斜率为k．当k=0时，直线y=t（﹣b≤t≤b）与半椭圆的交点是P，与半椭圆的交点是Q．∴P，Q的中点M（x，y）满足得．∵a＜2b，∴．综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆的交点是．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点为，轨迹在直线上，即不在某一椭圆上．当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
2007年上海市高考数学试卷(理科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】
2007年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1. 函数f(x)=lg(4−x)x−3的定义域为________．2. 已知l1:2x+my+1=0与l2:y=3x−1，若两直线平行，则m的值为________．3. 函数f(x)=xx−1的反函数f−1(x)=________4. 方程9x−6⋅3x−7＝0的解是________．5. 已知x，y∈R+，且x+4y＝1，则xy的最大值为________．6. 函数f(x)=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是T=________7. 有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为________8. 已知双曲线x 24−y25=1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为________9. 对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：①a+1a≠0；②(a+b)2＝a2+2ab+b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b．那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．10. 平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件________．11. 已知圆的方程x2+(y−1)2=1，P为圆上任意一点（不包括原点）．直线OP的倾斜角为θ弧度，|OP|=d，则d=f(θ)的图象大致为________．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12. 已知a，b∈R，且2+ai，b+i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根，那么p，q的值分别是（）A.p=−4，q=5B.p=−4，q=3C.p=4，q=5D.p=4，q=313. 设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是（）A.a2<b2B.ab2<a2bC.1ab2<1a2bD.ba<ab14. 在直角坐标系xOy中，i,→j→分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB→=2i→+j→，AC→=3i→+k j→，则k的可能值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个15. 已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k+1)≥(k+1)2成立，下列命题成立的是（）A.若f(3)≥9成立，则对于任意k≥1，均有f(k)≥k2成立；B.若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)<k2成立；C.若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)<k2成立；D.若f(4)=25成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立三、解答题（共6小题，满分90分）16. 体积为1的直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角．1 / 6。
第一学期期末高三数学理科测试试题
第一学期期末高三数学理科测试试题金山区_学年第一学期期末考试高三数学理科测试试题满分150分,完卷时间为120分钟,答案请写在答题纸上一.填空题(每小题4分,共44分)1.已知集合P={__2–9_lt;0},Q={yy=2_,__Icirc;Z},则P∩Q =.2.若复数为实数,则实数.3.函数f(_)=1+log2 _(_≥2)的反函数f –1(_) = .4.函数,__Icirc;[4,6]的最小值.5.若方程表示椭圆,则的取值范围是.6.方程sin_+cos_= –1在[0,π]内的解为.7.向量与的夹角为,,,则.8.直线_+y–2=0截圆_2+y2=4得的劣弧所对的圆心角的大小为.9.在实数等比数列{an}中a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=16,则a7+a8+a9= .10.定义在R上的偶函数f(_),满足f(2+_) = f(2–_),且当__Icirc;[0,2]时,f(_)=,则f(_)= .11.正数数列{an}中,对于任意n_Icirc;N_,an是方程(n2+n)_2+(n2+n–1)_–1=0的根,Sn是正数数列{an}的前n项和,则.二.选择题(每小题4分,共16分)12.在复平面内,复数z=对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限13.命题:〝对任意的,〞的否定是( )(A)不存在,; (B)存在,;(C)存在,; (D)对任意的,.14.已知A(1,0).B(7,8),若点和点到直线l的距离都为5,且满足上述条件的直线l 共有n条,则n的值是( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 415.已知直线l:(m+1)_–my+2m–=0与圆C:_2+y2=2相切,且满足上述条件的直线l 共有n条,则n的值为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 以上答案都不对三.解答题(本大题满分90分)16.(本大题12分)设函数f(_)= ,(1)化简f(_)的表达式,求f(_)的定义域,并求出f(_)的最大值和最小值;(2)若锐角a满足cosa=,求f(a)的值.17.(本大题12分)复数是一元二次方程a_2+b_+1=0(a.b_Icirc;R)的根,(1)求a和b的值;(2)若,求u.18.(本大题14分)在△ABC中,a.b.c分别是角A.B.C的对边,且满足,(1)求角B的度数;(2)若b=,a+c=5,求a和c的值.19.(本大题16分)设为实数,函数f(_)=__–a,其中__Icirc;R.(1)判断函数f(_)的奇偶性,并加以证明;(2)写出函数f(_)的单调区间.20.(本大题18分)阅读下面所给材料:已知数列{an},a1=2,an=3an–1+2,求数列的通项an.解:令an=an–1=_,则有_=3_+2,所以_= –1,故原递推式an=3an–1+2可转化为:an+1=3(an–1+1),因此数列{an+1}是首项为a1+1,公比为3的等比数列.根据上述材料所给出提示,解答下列问题:已知数列{an},a1=1,an=3an–1+4,(1)求数列的通项an;并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理;(2)若记Sn=,求Sn;(3)若数列{bn}满足:b1=10,bn+i=100,利用所学过的知识,把问题转化为可以用阅读材料的提示,求出解数列{bn}的通项公式bn.21.(本大题18分)(1)已知平面上两定点.,且动点M的坐标满足=0,求动点的轨迹方程;(2)若把(1)的M的轨迹图像向右平移一个单位,再向下平移一个单位,恰与直线_+ky–3=0 相切,试求实数k的值;(3)如图1,l是经过椭圆长轴顶点A且与长轴垂直的直线,E.F是两个焦点,点P_Icirc;l,P不与A重合.若,证明:.类比此结论到双曲线,是经过焦点且与实轴垂直的直线,是两个顶点,点P_Icirc;l,P不与重合(如图2).若,试求角的取值范围._学年度第一学期高三数学期末考试试题答案(理)_年1月一.填空题:1.{–2,0, 2} 2.2 3.2_–1 (_≥2) 4.5 5.–6_lt;k_lt;4且k_sup1;–16.π7.28.60o9.128 10.2 11.1二.选择题:12.A 13.C 14.C 15.B三.解答题:16.(1)函数f(_)= ===2sin_+2cos_ ……5分f(_)的定义域为{___sup1;kπ+,k_Icirc;Z},……………………………………………………6分又f(_)=2sin(_+)……………………………………………………………………7分f(_)ma_=2,f(_)min=–2……………………………………………………………9分(2)若锐角a满足cosa=,则sina=…………………………………………………10分f(a)= (12)分17.(1)由题得,…………………………………………………………2分方程a_2+b_+1=0是实系数一元二次方程,故它的另一个根为…………4分由韦达定理知:,得……………………6分(2)由(1)知,设……………………7分则:,得……8分,所以……………………12分18.(1)由题,由正弦定理得:,……2分……………………………………………3分sin(B+C)+ 2cosB sinA=0 …………………………………………………………………4分sinA+2cosB sinA=0……………………………………………(只要写出本行,给5分)5分因为 ,所以cosB= –,所以B=120o………………………………………7分(2)由余弦定理得:,………………………………………9分19=(a+c)2–2ac–2accos120o,所以ac=6…………………………………………………11分由,得或………………………………(缺一解,扣1分)14分19.(1)当a=0时,f(_)=__,所以f(_)为奇函数…………………………………………1分因为定义域为R关于原点对称,且f(–_)=–_–_=–f(_),所以f(_)为奇函数.……3分当a_sup1;0时,f(_)=__–a为非奇非偶函数, (4)分f(a)=0,f(–a)=–a2a,所以f(–a)_sup1; f(a),f(–a) _sup1; – f(a)所以f(_)是非奇非偶函数 (6)分(2)当a=0时,,的单调递增区间为;……8分当a_gt;0时,f(_)的单调递增区间为和;……………………………………10分f(_)的单调递减区间为;……………………………………………………12分当a_lt;0时,f(_)的单调递增区间为和;……………………………………14分f(_)的单调递减区间为………………………………………………………16分20.(1) 令an=an–1=_,则有_=3_+4,所以_= –2,故原递推式an=3an–1+4可转化为:an+2=3(an–1+2),因此数列{an+2}是首项为a1+2,公比为3的等比数列.所以an+2=(a1+2)_acute;3n–1,所以an=3n–2;…………………………………………2分对于an=3an–1+4,可以看成把直线y=3_+4的方程改写成点斜式方程,该点就是它与直线y=_的交点.……………………………………………………4分(2)令dk===()2=()2(–)……………………………………………7分Sn==d1+d2+……+dn=()2[()+()+()+……+()]=()2[]………………………………………………………………10分Sn=()2……………………………………………………………………12分(3)数列{bn}满足:b1=10,bn+i=100,所以bn_gt;0,lg bn+i=lg(100)令cn=lgbn,则cn+1=3cn+2,………………………………………………………14分所以cn+2=3(cn–1+2),因此数列{cn+2}是首项为c1+2,公比为3的等比数列.所以cn+2=(c1+2)_acute;3n–1,所以cn=3n–2,…………………………………………16分lgbn=cn=3n–2;bn=…………………………………………………………18分21.(1)设,由得,此即点的轨迹方程.…3分(2)将_2+y2=4向右平移一个单位,再向下平移一个单位后,得到圆(_–1)2+(y+1)2=4…………………………………………………………………5分依题意有,得k=0或……………………………………………8分(3)(ⅰ)证明:不妨设点P在A的上方,并设, 则………………………………………10分所以……………12分所以.显然a为锐角,即:……………………14分(ⅱ)不妨设点在的上方,并设,则,所以由于且,a为锐角,故.……………18分。
2007年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数 学 (理 科) 全解全析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1、函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____【答案】{}34≠<x x x 且【解析】 4030x x ->⎧⎨-≠⎩⇒ {}34≠<x x x 且2、已知1:210l x m y ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 _____ 【答案】32-【解析】2123113m m =≠⇒=---3、函数()1x f x x =-的反函数()1_____fx -=【答案】）（11≠-x x x【解析】由(1)11x y y x y x y =⇒=≠⇒--()111xfx x x -=≠-（） 4、方程96370xx-⋅-=的解是_____ 【答案】3log 7x =【解析】 2(3)63703731x x x x-⋅-=⇒==-或（舍去），3log 7x ∴=。
5、已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____ 【答案】161【解析】 211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x =4y=12时取等号. 6、函数()sin sin 32f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是_____T = 【答案】π【解析】sin()sin()(sin coscos sin)cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos cos sin 222422xx x x x +=+=+1sin(2)423x π=++T π∴=。
7、有数字12345、、、、，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____ 【答案】3.0 【解析】212335310C C C =8、已知双曲线22145xy-=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____【答案】)3(122+=x y【解析】双曲线22145xy-=的中心为O （0,0），该双曲线的左焦点为F （－3,0）则抛物线的顶点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212(3)y x =+ 9、若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =±④若2a ab =，则a b =。
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-上海卷
2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．2．若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -∙-=的解是 ．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是 ． 6．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ．7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ．11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意 一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =． 在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形为二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（ ） Ａ．45p q =-=， Ｂ．43p q =-=， Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b a a b < 14．直角坐标系xOy 中，i j，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立CB1C 1B1AAＣ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 17．（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n = ，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mm m mC C C ，，，就是“对称数列”． （1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ， 114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +- ，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m - ，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围； （3的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． {}34≠<x x x 且 2． 32-3．）（11≠-x x x4．7log 3 5．161 6． π 7． 3.0 8． )3(122+=x y 9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题） 16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ==== △，∴ 211==CC AA ．连接1BC ． 1111111AC B C AC CC ⊥⊥ ，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51t a n 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． CB1B1A A1C即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan． 解法二： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆==== ，21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，B A 1与n 的夹角为ϕ，则11cos A B n A B n ϕ==66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ， 即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯= ．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥． 解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞ ，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立． 121204x x x x -<> ，，即)(2121x x x x a +<恒成立． 又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，． 解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数． 当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数， xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，． （2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ， 50134)13(42212-⨯+--=-k S k ， ∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626． （3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m --- ，，，，，，，，，，；② 2211221222222221m m m m ---- ，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ---- ，，，，，，，，，，；④ 1222212222112222m m m m ---- ，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ． 当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ． 当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm．21． 解：（1） ()()012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤． （2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 2a c x y t ⎧-⎪=⎨⎪=⎩ ，得 122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭ ． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b+=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x ka b y 22-=上，即不在某一椭圆上． 当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。
2007届高三第一次考试数学试题(理科)
2007届高三第一次考试数学试题（理科）一．选择题（每小题5分，12个小题共60分）1．函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-≥x xD ．}1|{≥x x2．已知全集,U R =集合{{,.M x R y N y R y =∈==∈=则UNM =（ ）A ．∅ B.{}01x x ≤< C.{}01x x ≤≤ D. {}11x x -≤< 3.若函数f(x) =x + 2x + log 2x 的值域是 {3, 32 2 －1, 5 + 2 , 20}，则其定义域是( )A. {0，1，2，4}B. {12，1，2，4}C. {12 ，2，4}D. {12，1，2，4，8}4.函数()312f x kx k =+-在（－1，1）上存在0x ，使0)(0=x f ，则k 的取值范围是（ ）A ．1(1,)5-B ．(,1)-∞-C ．1(,1)(,)5-∞-+∞ D ．1(,)5+∞ 5.已知数集{}{},,,,0,A B m m αβγ==-,f 是从A 到B 的映射, 则满足()()()0f f f αβγ++=的映射共有 ( )A.6个B.7个C.9个D.27个 6．过曲线331x y =上点)38,2(的切线方程是 （ ） A ．016312=--y x B ．016312=+-y xC ．016312=--x yD ．016312=+-x y7．已知函数)2()2()0(|1|log )(2x f x f a ax x f --=+-≠-=满足，则实数a 值是（ ）A ．1B ．21-C ．41 D ．－18.设函数f(x)是定义域为R 且以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)=a ，则( )A.a>2B.a>-1C.a>1D.a<-19.某牧场的100头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染,已知疯牛病发病的概率为0.03.若发病的牛数为ξ,则Dξ等于 ( )A. 2.19B.0.291C.3.00D.2.91 10.如果随机变量ξ~N (21,σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，则P （1≥ξ）等于（ ） A.0.1B. 0.2C. 0.3D.0.411．3a >，则方程3210x ax -+=在（0，2）上恰好有 （ ） A ． 0 个根 B ． 1个根 C ．2个根 D ． 3个根12. 已知函数)R x ()x (f ∈ 的图象如图所示, 则函数)1x 1x (f )x (g -+= 的单调递减区间是 ( ) A. ),1(],0,(∞+-∞ B. ),3[],0,(∞+-∞ C. ),1(,)1,(∞+-∞ D. )1,1[ -二．填空题（每小题4分，4个小题共16分） 13．已知1(2)2x f x x ++=+，则1(2)f x -+= 14.函数3ln y x x =+的单调递增区间为15．已知)(x f 是R 上的增函数，如果点A （－1，1）、B （1，3）在它的图象上，)(1x f -是它的反函数，那么不等式1|)(log |21<-x f的解集为16．设()f x 是R 上以2为周期的奇函数，已知当(0,1)x ∈时，2()log ,f x x =那么()f x 在(1,2) 上的解析式是 .2007届高三第一次考试数学试卷（理科）一．选择题（每小题5分，12个小题共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 89101112答案二．填空题（每小题4分，4个小题共16分）13. 14.15. 16.三．解答题（第17－21小题每小题12分，第22题14分，6个小题共74分）17． 已知全集为R ，125|log (2)3,|1,2A x x B x x ⎧⎫⎪⎪⎧⎫=+>-=≥⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎪⎪⎩⎭求RA B18. 已知4()14xxa f x +=-为奇函数.(1) 求实常数a 的值; (2) 求()f x 的值域; (3)求证方程()f x =.19．设0a >且1,a ≠()f x log (a x =(1).x ≥(1).求()f x 的反函数1()fx -和反函数的定义域；(2).若,133()()2n nf n n N --*+<∈, 求a 的取值范围.20.美国蓝球职业联赛(NBA)某赛季的总决赛在湖人队与活塞队之间进行, 比赛采取七局四胜制, 即若有一队胜四场,则此队获胜且比赛结束. 因两队实力非常接近,在每场比赛中每队获胜是等可能的.据资料统计, 每场比赛组织者可获门票收入100万美元. 求在这次总决赛过程中,比赛组织者获得门票收入ξ(万美元)的概率分布及数学期望E ξ.21．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->（1）若)(x f 在[1,)+∞上是增函数, 求a 的取值范围； （2）若0()ln(22)3lim.4x f x a x →--=-求a 的值, 并求)(x f 的最小值.22.已知函数2()ln(1)(1),()(1)(ln )xf x a e a xg x x a x f x =+-+=---(,a R ∈ 2.71828e =) 且()g x 在x=1处取得极值．(1)求a 的值和()g x 的极小值；(2) 判断()f x 在其定义域上的单调性, 并予以证明；(3)已知△ ABC 的三个顶点A 、B 、C 都在函数y=f (x)的图象上，且横坐标依次 成等差数列，求证：△ABC 是钝角三角形， 但不可能是等腰三角形．高三第一次考试数学（理科）参考答案一.选择题 1B 2B 3B 4C 5B 6A 7B 8D 9D 10A 11B 12B二.填空题 13.11x -+ 14.（1,e+∞） 15.}82|{<<x x 16．2log (2)y x =-- 三.解答题17.解：由已知1122log (2)log 8.x +> 所以02826x x <+<⇒-<<所以{|26}A x x =-<<.由02,0)3)(2(,125≠+≤-+≥+x x x x 且得 解得32≤<-x . 所以}32|{≤<-=x x B 于是{|23}R B x x x =≤->或 故{|36}R A B x x =<<18. 解:(1) ()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.又()f x 为奇函数,(1)(1)1f f a ∴-=-⇒=(2) 由(1) 知14()14x xf x +=-,令141401114x xx y y y y +-=⇒=>⇒<-+-或1y > 所以()f x 的值域是(,1)(1,)-∞-+∞(3) 令()g x =()0()1g x g x =⇒≤≤即()g x 的值域是[0,1].由此可知{}{}()()y y f x y y g x ===∅,所以方程()()f x g x =没有实数解, 即方程()f x =.19. 解:(1) 令log (a y x =+则yx a=①由①可得yx a-=② ①+②得1().22y y x x a a a a x f x ---++=⇒=令()(1),g x x x =≥显然()g x 在[1,)+∞上是增函数,()(1) 1.g x g ∴≥=因此, 当1a >时,1()f x - 的定义域是[0,)+∞ 当1a >时,1()f x - 的定义域是(,0]-∞(2).,n N *∈ 由(1) 知1a >133()()2n n f n n N --*+<∈2n n a a -+⇔332n n -+<(3)(13)0.130,30,n n n n n n n n a a a a ⇔--<-<∴->11()3 3.1,1 3.33n n n a a a a ∴<<⇒<<>∴<<20.解: 由题意, 每场比赛两队获胜的概率均为21. 设比赛场数为η,则η的可能值为4,5,6,7. 比之对应的ξ的值为400,500,600,700.(400)(4)P P ξμ∴====4112().28⋅=3341111(500)(5)2()2224P P C ξμ====⨯⨯=(600)(6)P P ξμ====1652521)21()21(C 242335==⨯⨯ (700)(7)P P ξμ====16521)21()21(C 23336=⨯⨯⋅ ∴的概率分布为E ξ=581.25(万美元)21. 解：（1）22()020222x af x x a a x x ax a -'=>⇔->⇔<-+-在[1,)x ∈+∞上恒成立, 22, 2.x a ≥∴<又当2a =时, 仅当1x =时,()0f x '=. 又0,0 2.a a >∴<≤令222()22()22,1,()0(1)10.242a a ax x ax a x a x a ϕϕϕ=-+-=--+-≤∴>⇔=-> 1.a ∴>综上，1 2.a <≤（2）(0)ln(22),(0).22af a f a'=-=- 由已知00()ln(22)()(0)3lim lim (0).224x x f x a f x f a f x x a →→---'====--解之得 3.a =这时，2()ln(34).f x x x =-+其定义域为(,)-∞+∞ 令2233()0.234x f x x x x -'==⇒=-+且在32x =附近，()f x '左负右正，∴在32x =处， )(x f 取得极小值，)(x f 在定义域内连续，且)(x f 为单峰函数，∴min ()f x =)(x f 极小=37()ln .24f =22.解：(1)g (x)=x 2- (a-1)x-aln(1+x)+(a+1)lnx (x>0) )0(11)1(2)(>+++---='x xa x a a x x g 依题设，有g ′(1)=0,∴a=8 ∴g (x )=x 2-7x -8ln(1+x )+9ln x ∴)0()1()32)(3)(1(91872)(>++--=++--='x x x x x x x x x x g由g ′(x)=0,得x=1或x=3当1<x<3时，g ′(x)<0当0<x<1时g ′(x)>0, 当x>3时s ′(x)>0∴x=3时,s(x)极小=9ln3-8ln4-12 （2）f(x)=8ln(1+e x )-9x, (,)x ∈-∞+∞89()9011x xx xe ef x e e --'=-=<++恒成立, 所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调减函数. (3)设A (x 1,f (x 1))、B (x 2,f (x 2))、C (x 3,f (x 3))且x 1<x 2<x 3, 则f (x 1)>f (x 2)>f (x 3), x 2=231x x +121232321232123212321232(,()()),(,()())()()[()()][()()]0,0,()()0,()()00,.BA x x f x f x BC x x f x f x BA BC x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x BA BC B ABC ∴=+-=--∴⋅=--+-⋅--<->->-<∴⋅<∆故为钝角，为钝角三角形若ABC ∆为等腰三角形，则只能是BA BC =所以上式等号不成立.这与()*式矛盾. 所以ABC ∆不能为等腰三角形.212222221212323222213212321223132132()[()()]()[()()][()()][()()]()()()())()()16ln(1)188[ln(1)(1)]9()16ln(1)188[x x x x x x f x f x x x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x e x e e x x e x -+-=-+--=-∴-=-∴-=-∴=+⇔+-=++-+⇔+-=2即：2f(x 13121313212212132212221223213123122222ln(1)]182ln(1)ln(1)(1)1222.()2,.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e x e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e +++++++-⇔+=+++⇔+=+++⇔+=++⇔+=++⇔=+*+≥===<。