(指对幂函数)专题复习

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幂、指、对数的大小比较-高考数学复习

B.a<c0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<cm>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a

指数对数幂函数知识点汇总

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。

高三复习专题：指对幂函数及函数与方程)

指对幂函数及函数与方程知识点1指数幂与对数1、根式与分数指数幂（1）根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N 。

n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）根式的性质（1n >，且n *∈N ）：n a =；,,,.na n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（3）分数指数幂的表示正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N 负分数指数幂：规定：1m nm naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、指数幂的运算性质（1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．（2）指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、对数与对数运算（1）对数的概念：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底数N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，log a N 叫做对数式。

（2）对数的性质对数式与指数式的互化：a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)；①log a 1＝0，②log a a ＝1，③a log a N ＝N ，④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1).指数式与对数式的关系（3）对数的的运算法则与换底公式：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0运算法则：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ②log a MN＝log a M －log a N③log a M n ＝n log a M (n ∈R )换底公式：①log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)，选用换底公式时，一般选用e 或10作为底数。

幂指对复习函数

指、对数函数复习导学案一、知识梳理：（一）、指数式与对数式 1、指数幂的运算法则： =βαa a ()=βαa()=αab2、对数的概念（1）定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作，其中a 称对数的底，N 称真数。

①指对互化②以10为底的对数称常用对数，记作N lg ；③以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，记作N ln ；（2）基本性质：① ；② ；③ ；对数恒等式：。

（3）运算法则：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 ①=)(log MN a ；②=NMa log ；③=n a M log （4）换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a结论①=⋅a b b a log log ；②=na b m log ③=+5lg 2lg(二)基本初等函数1、指数函数：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，2、对数函数：函数)1,0(log ≠>=a a x y 且称对数函数，典例一指对幂化简计算：（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+ （2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+2．（1）已知11223x x-+=，求32122-+-+--x x x x 的值。

（2）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）典例二、指对函数定义以及图象的应用3.（1）函数2()3x f x a -=-的图象恒过定点______（2）函数1)2(log --=x y a ，()1,0≠>a a 恒过点______ 典例三、指对函数的定义域和值域4.（1）函数x y ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域是________,值域________. （2）函数)23(log )(21-=x x f 的定义域是（3）已知函数)(x f 的定义域为[0,1]，求函数))34((log 3-x f 的定义域典例四、指对幂函数性质的综合应用5.已知函数xx xx e e e e x f --+-=)(，判断()f x 的奇偶性和单调性。

第6章幂函数、指数函数和对数函数【压轴题型专项训练】(解析版)

2021-2022学年高一数学单元复习过过过【压轴题型专项训练】第6章幂函数、指数函数和对数函数一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•迎泽区月考）若函数()log (2)(0a f x ax a =->，1)a ≠在区间(1,3)内单调递增，则a 的取值范围是A ．2[3，1)B ．(0，2]3C ．3(1,)2D ．3[,)2+∞【答案】B【解析】令log a y t =，2t ax =-，0a > 2t ax ∴=-在(1,3)上单调递减()log (2)(0a f x ax a =-> ，1)a ≠在区间(1,3)内单调递增∴函数log a y t =是减函数，且()0t x >在(1,3)上成立∴01(3)230a t a <<⎧⎨=-⎩ 203a ∴<故选B ．2．（2020•扬州模拟）设方程22|log |1xx = 的两根为1x ，212()x x x <，则A ．10x <，20x >B ．101x <<，22x >C ．121x x >D ．1201x x <<【答案】D【解析】若22|log |1x x = 即21|log |2xx =在同一坐标系中同时坐出函数12xy =与2|log |y x =的图象如下图所示由图象可得1213122x x <<<<故答案A ，B 错误且11121log 2xx =⋯①，2221221log log 2x x x ==-⋯②①-②得12112211log ()022xx x x -=> 故1201x x <<故选D ．3．（2020•陆良县一模）已知函数2()(||1)1f x ln x x =+++，则使得()(21)f x f x >-的x 的取值范围是A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．(1,)+∞D ．1(,)3-∞【答案】A【解析】函数2()(||1)1f x ln x x =+++为定义域R 上的偶函数，且在0x 时，函数单调递增，()(21)f x f x ∴>-等价为(||)(|21|)f x f x >-，即|||21|x x >-，两边平方得22(21)x x >-，即23410x x -+<，解得113x <<；∴使得()(21)f x f x >-的x 的取值范围是1(3，1)．故选A ．4．（2020•沈阳模拟）已知1x 是方程23xx ⋅=的根，2x 是方程2log 3x x =的根，则12x x 的值为A ．2B ．3C ．6D ．10【答案】B【解析】方程23x x ⋅=可变形为方程32x x =，方程2log 3x x =可变形为方程23log x x=，1x 是方程23x x ⋅=的根，2x 是方程2log 3x x =的根，1x ∴是函数2x y =与函数3y x =的交点横坐标，2x 是函数2log y x ==与函数3y x=的交点横坐标，函数2x y =与函数2log y x =互为反函数，∴函数2log y x =与函数3y x =的交点横坐标是函数2x y =与函数3y x=的交点纵坐标．又3y x=图象上点的横纵坐标之积为3，123x x ∴=故选B ．5．（2020•遂川县模拟）已知函数212()log ()f x x ax a =--的值域为R ，且()f x 在(3,1--上是增函数，则a 的取值范围是A ．02aB ．942a -- C ．40a -<<D ．0a <【答案】A【解析】当0a >时，△240a a =+ ，解得0a 或4a - ，()f x 在(3,1--上是增函数，∴内层函数2x ax a --在(3,1-上是减函数12a21()|0x x ax a =-- ．即2a - ，且2a 综上知实数a 的取值范围是02a 故选A ．6．（2020•大连模拟）若()||,0,()()2()2a bf x lgx a b f a f b f +=<<==，则b 的值所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】01()||01lgxlgx lgx x f x lgx lgxlgx lgx x >>⎧⎧===⎨⎨-<-<⎩⎩故()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，且()0f x >．由0a b <<，f （a ）f =（b ）得01a <<，1b >，故lga lgb -=，即0lga lgb lgab +==，1ab =．∴12a b+>=，∴02a b lg +>由()2(2a b f b f +=得22(22a b a b lgb lg lg ++==，所以2(2a b b +=由1ab =得214()b b b =+，令g （b ）214()b b b=-+，则g （3）0>，g （4）0<，故(3,4)b ∈故选C ．7．（2020春•秦州区期末）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -< 时，3()f x x =．若函数()()log ||a g x f x x =-恰有6个不同零点，则a 的取值范围是A ．1(7，1](55⋃，7]B ．1(5，1](53⋃，7]C ．1(5，1](33⋃，5]D ．1(7，1](35⋃，5]【答案】A【解析】首先将函数()()log ||a g x f x x =-恰有6个零点，这个问题转化成()log ||a f x x =的交点来解决．数形结合：如图，(2)()f x f x +=，知道周期为2，当11x -< 时，3()f x x =图象可以画出来，同理左右平移各2个单位，得到在(7,7)-上面的图象，以下分两种情况：（1）当1a >时，log ||a x 如图所示，左侧有4个交点，右侧2个，此时应满足log 51log 7a a < ，即log 5log log 7a a a a < ，所以57a < ．（2）当01a <<时，log ||a x 与()f x 交点，左侧有2个交点，右侧4个，此时应满足log 51a - ，log 71a <-，即log 5log log 7a a a a -> ，所以157a -< ，解得：1175a < ，综上所述，a 的取值范围是：57a < 或1175a < ，故选A ．8．（2020•齐齐哈尔三模）设函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[a ，]b D ⊆使()f x 在[a ，b]上的值域为[a ，b]，那么就称()y f x =为“成功函数”．若函数2()log ()(0xa g x a t a =+>，1)a ≠是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．1[0,4D ．1(0,)4【答案】D【解析】依题意，函数2()log ()(0x a g x a t a =+>，1)a ≠在定义域上为单调函数，当0t =时，()2g x x =不满足条件②，当20.()x a t log a t x >+=有两个不相等的实数根，即2log ()log x x a a a t a +=，则2x x a t a +=，令x a m =-，则20m m t -+=，△140t =->，解得14t <，∴结合题意，得：104t <<，故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2021秋•岳麓区月考）已知互不相等的三个实数a ，b ，c 都大于1，且满足a alga lglgc lg c b⋅=⋅，则a ，b ，c 的大小关系可能是A ．a b c <，0lgb >，0lgc >；且a a lga lglgc lg c b⋅=⋅，对于A 选项，若a b c <<，则01a c <<，01a b <<，所以0a lg c <，0alg b<，能满足题意；对于B 选项，若b c a <<，则1a c >，1a b >，所以0a lg c >，0alg b >，能满足题意；对于C 选项，若a c b <<，则01a c <<，01a b <<，所以0a lg c <，0alg b <，能满足题意；对于D 选项，若b a c <<，则01a c <<，1a b >，所以0a lg c <，0alg b>，不能满足题意．故选ABC ．10．（2021•湖南模拟）已知lgxa x=，lgyb y=，lgyc x=，lgxd y=，且1x ≠，1y ≠，则A ．x ∃，(0,)y ∈+∞，使得a b c d <<<B ．x ∀，(0,)y ∈+∞，都有c d=C ．x ∃，(0,)y ∈+∞，且x y ≠，使得a b c d ===D ．a ，b ，c ，d 中至少有两个大于1【答案】BD【解析】由题意得，2lga lg x =，2lgb lg y =，lgc lgx lgy =⋅，lgd lgx lgy =⋅，x ，(0,)y ∈+∞，都有c d =，B 正确．A ，C 错误；假设a ，b ，c ，d 中最多一个大于1，若10x >，10y >，则a a >，1b >，1c >，1d >，假设不成立，故D 正确．故选BD ．11．（2021秋•江苏月考）已知函数()(1)xf x a a =>，()()()g x f x f x =--，若12x x ≠，则A ．1212()()()f x f x f x x =+B ．1212()()()f x f x f x x +=C ．11221221()()()()xg x x g x x g x x g x +>+D ．1212()()()22x x g x g x g ++【答案】AC【解析】因为函数()(1)x f x a a =>是单调增函数，所以1()()()()x x x x g x f x f x a a a a-=--=-=-为单调增函数，所以121212()()()x x f x f x a f x x +⋅==+，选项A 正确；又12121212()()()x x x x f x f x a a a f x x ⋅+=+≠=，选项B 错误；因为11122122[()()][()()]x g x x g x x g x x g x ---112212[()()][()()]x g x g x x g x g x =---1212()[()()]x x g x g x =--，12x x ≠，所以12x x >时，12()()g x g x >，11122122[()()][()()]0x g x x g x x g x x g x --->，所以11221221()()()()x g x x g x x g x x g x +>+，选项C 正确；因为函数()x x g x a a -=-为R 上的单调增函数，且图象关于原点对称，以2a =为例，画出函数()22x x g x -=-的图象，如图所示：所以不满足1212()()(22x x g x g x g ++，选项D 错误．故选AC ．12．（2020秋•绍兴期末）已知函数()log (1)(0a f x x a =->，且11)()(||)a g x f x ≠=，2()|()|g x f x =，3()|(||)|g x f x =A ．函数1()g x ，2()g x ，3()g x 都是偶函数B ．若111212()()()g x g x a x x ==<，则214x x ->C ．若212212()()()g x g x a x x ==<，则12111x x +=D ．若313233341234()()()()()g x g x g x g x x x x x ===<<<，则123411110x x x x +++=【答案】CD【解析】选项A ：因为2()|log (1)|a g x x =-的定义域为(1,)+∞，不关于原点对称，所以不是偶函数，故A 错误，选项B ：因为1()log |1|a g x x =-，当1x >时，由111212()()()g x g x a x x ==<可得：21a x a =+，同理可得11a x a =--，所以2122a x x a -=+，当12a =时，2124x x -+<，故B 错误，选项C ：当|()|f x a =时，有()f x a =或a -，则11a x a -=+，21a x a =+，(0)a >，所以121212111121(1)(1)2a a a a a a a a x x a a a a x x x x a a a a ----+++++++====++++，故C 正确，选项D ：由313233341234()()()()()g x g x g x g x x x x x ===<<<，设31()1g x =，则11x a =--，211x a =--，311x a=+，41x a =+，所以1231111,,111a ax a x a x a =-=-=+++，4111x a =+，所以则123411110x x x x +++=，故D 正确，故选CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021春•乌海期末）已知函数2()|log |f x x =，若f （a ）f =（b ）且a b <，则21a b+的取值范围为．【答案】(3,)+∞【解析】函数2()|log |f x x =，且f （a ）f =（b ），22log log a b ∴=-，即22log log 0a b +=，即1ab =，又a b < ，01a ∴<<，212a ab a+=+，2y a a=+ 在(0,1)上单调递减，∴2213a a+>+=，故答案为：(3,)+∞．14．（2020•贾汪区模拟）若直角坐标平面内的两个不同点M 、N 满足条件：①M 、N 都在函数()y f x =的图象上；②M 、N 关于原点对称．则称点对[M ，]N 为函数()y f x =的一对“友好点对”．（注：点对[M ，]N 与[N ，]M 为同一“友好点对”)，已知函数32log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧=⎨--⎩，此函数的“友好点对”有．【答案】2对【解析】根据题意：当0x >时，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+，则函数24(0)y x x x =-- 的图象关于原点对称的函数是24(0)y x x x =- 由题意知，作出函数24(0)y x x x =- 的图象及函数3()log (0)f x x x =>的图象如下图所示由图可得两个函数图象共有两个交点即()f x 的“友好点对”有：2个．故答案为：215．（2020•衡水二模）如图，已知过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 作y 轴的平行线与函数2log y x =图象交于C ，D 两点，若//BC x 轴，则四边形ABCD 的面积为．23【解析】设点A 、B 的横坐标分别为1x 、2x 由题设知，11x >，21x >．则点A 、B 纵坐标分别为81log x 、82log x ．因为A 、B 在过点O 的直线上，所以818212log x log x x x =，点C 、D 坐标分别为1(x ，21log )x ，2(x ，22log )x．由于BC 平行于x 轴知2182log log x x =，即得21221log log 3x x =，321x x ∴=．代入281182log log x x x x =得3181181log 3log x x x x =．由于11x >知81log 0x ≠，3113x x ∴=．考虑11x >解得1x ．于是点A的坐标为，log即A ，162log3)B ∴21log 3)2，C 21log 3)2，D 23log 3)2．∴梯形ABCD 的面积为11()(22S AC BD BC =+⨯=2221log 3log 3)333+⨯=．故答案为：2log 33．16．（2020•沈河区模拟）设函数2()(1)f x lg x ax a =+--，给出下列命题：（1）()f x 有最小值；（2）当0a =时，()f x 的值域为R ；（3）当0a >时，()f x 在区间[2，)+∞上有单调性；（4）若()f x 在区间[2，)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4a - ．则其中正确的命题是．（写上所有正确命题的序号）．【答案】（2）（3）【解析】21u x ax a =+-- 的最小值为21(44)04a a -++ ∴函数()f x 的值域为R 为真命题，故（2）正确；但函数()f x 无最小值，故（1）错误；若()f x 在区间[2，)+∞上单调递增，则2,42102a a a -+-->且解得3a >-，故（3）正确，（4）错误；故答案为：（2）（3）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2020秋•宁县期末）已知函数4()1(0,1)2xf x a a a a =->≠+且(0)0f =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若函数()(21)()x g x f x k =+⋅+有零点，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >⋅-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）对于函数4()1(0,1)2x f x a a a a =->≠+，由4(0)102f a =-=+，求得2a =，故42()1122221x x f x =-=-⋅++．（Ⅱ）若函数()(21)()21221x x x g x f x k k k =+⋅+=+-+=-+有零点，则函数2x y =的图象和直线1y k =-有交点，10k ∴->，求得1k <．（Ⅲ）当(0,1)x ∈时，()22x f x m >⋅-恒成立，即212221x x m ->⋅-+恒成立．令2x t =，则(1,2)t ∈，且323112(1)(1)1t m t t t t t t t +<-==++++．由于121t t ++在(1,2)t ∈上单调递减，∴1212712216t t +>+=++，76m ∴ ．18．（2020秋•越秀区期末）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠．（1）若120x x <<，试比较12(2x x f +与12()()2f x f x +的大小，并说明理由；（2）若1a >，且(A t ，())f t ，(2B t +，(2))f t +，(4C t +，(4))(2)f t t + 三点在函数()y f x =的图象上，记ABC ∆的面积为S ，求()Sg t =的表达式，并求()g t 的值域．【答案】设12121212()()()()2222a a a log x log x x x f x f x x x K f log ++++=-=-12()2a a x x log log log +=-=1>，12(0)x x <<．（1）对a 进行讨论：当1a >时，0K >，1212()()()22x x f x f x f ++>；当01a <<时，0K <，1212()()()22x x f x f x f ++<；（2）分别过A 、B 、C 作x 轴垂线交x 轴于M 、N 、P ，所以S 等于两梯形面积和与大梯形面积之差，2111(2)4()(()(2))2((2)(4))2(()(4))42log (2)log ()l og (4)()(1)222(4)(4)a a a a a t S g t f t f t f t f t f t f t t t t log log t t t t +==++⋅++++⋅-++⋅=+--+==+++，(2)t ；()g t 的值域为4(0,())3a log．19．（2020秋•西湖区期中）已知函数2()log (1)(01a f x a x =->+且1)a ≠．（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）当01a <<时，判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明；（Ⅲ）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由2101x ->+，可得1x <-或1x >，()f x ∴的定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞；(21()log (1log )11a a x f x x x -=-=++ ，且(111()log log (log ()()111a a a x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+；()f x ∴在定义域上为奇函数．（2）当01a <<时，()f x 在(1,)+∞单调递减，任取1x ，2x 且121x x <<，12121211211(1)(1)()()()()log ()121(1)(1)a a a x x x x f x f x log log x x x x ---+-=-=+++-；由121212(1)(1)(1)(1)2()0x x x x x x -+-+-=-<，1212(1)(1)01(1)(1)x x x x -+∴<<+-，又01a <<，1212(1)(1)log ()0(1)(1)a x x x x -+∴>+-则12()()f x f x >，()f x ∴在(1,)+∞单调递减；（3）假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +；由0m n <<，又log 1log 1a a n m +<+，即log log a a n m <，01a ∴<<．由（2）知：()f x 在(1,)+∞单调递减，()f x ∴在(,)m n 单调递减，∴1()()111()()11a a a a m f m log log m m n f n log log n n -⎧==+⎪⎪+⎨-⎪==+⎪+⎩，即m ，n 是方程1log log 11a a x x x -=++的两个实根，即11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根；于是问题转化为关于x 的方程2(1)10ax a x +-+=在(1,)+∞上有两个不同的实数根，令2()(1)1g x ax a x =+-+，则有2(1)40112(1)0a a a a g ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-故存在实数(0,3a ∈-，使得当()f x 的定义域为[m ，]n 时，值域为[1log a n +，1log ]a m +．20．（2020秋•南昌期末）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ，都有|()|f x M 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[0，)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----，即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．（2）由（1）得：121()log 1x g x x +=-，而112212()log log (111x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增，所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3-，1]-，所以|()|3g x ，故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3，)+∞．（3）由题意知，|()|5f x 在[0，)+∞上恒成立，5()5f x - ，1116(()4()424x x x a --- ．∴1162(42()22x x x x a -⋅-⋅- 在[0，)+∞上恒成立．∴11[62()][42()]22x x x x max min a -⋅-⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t=-，由[0x ∈，)+∞，得1t ．易知()P t 在[1，)+∞上递增，设121t t < ，21121212()(61)()()0t t t t h t f t t t ---=>，所以()h t 在[1，)+∞上递减，()h t 在[1，)+∞上的最大值为h （1）7=-，()p t 在[1，)+∞上的最小值为p （1）3=，所以实数a 的取值范围为[7-，3]．21．（2021秋•金山区期中）已知函数2()32log f x x =-，2()log g x x=（1）如果[1x ∈，2]，求函数()[()1]()h x f x g x =+的值域；（2）求函数()()|()()|()2f xg x f x g x M x +--=的最大值．（3）如果对任意[1x ∈，2]，不等式2()()f x f k g x > 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）令2log t x =，则()3f x t =-，()g x t =，222()(42log )log 2(1)2h x x x t =-=--+ ．[1x ∈ ，2]，[0t ∴∈，1]，故当1t =时，()h x 取得最大值为2，当2t =时，函数取得最小值为0，()h x ∴的值域为[0，2]．（2）函数(),()()()()|()()|()(),()()2g x f x g x f x g x f x g x M x f x f x g x ⎧+--==⎨<⎩，2()()3(1log )f x g x x -=- ，∴当(0x ∈，2]时，()()f x g x 2()log M x x =．当(2,)x ∈+∞时，()()f x g x <2()32log M x x =-．即22log ,02()32log ,2x x M x x x <⎧=⎨->⎩ ．当02x < 时，()M x 最大值为1；当2x >时，()1M x <．综上：当2x =时，()M x 取到最大值为1．（3）对任意[1x ∈，2]，不等式2()()f x f k g x > 恒成立，即222(34log )(3log )log x x k x -->．[1x ∈ ，2]，[0t ∴∈，1]，(34)(3)t t kt ∴-->对一切[0t ∈，1]恒成立．①当0t =时，k R ∈．②当(0t ∈，1]，9415k t t <+-，9()415h t t t=+- 在(0，1]上是减函数，()2min h t ∴=-，(1t =时），2k ∴<-．综述，k 的取值范围为(,2)-∞-．22．（2020秋•东湖区期中）已知函数()f x为对数函数，并且它的图象经过点3)2，函数2()[()]2()3g x f x bf x =-+在区间上的最小值为h （b ），其中b R ∈．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()y g x =的最小值h （b ）的表达式；（3）是否存在实数m 、n 同时满足以下条件：①4m n >>；②当h （b ）的定义域为[n ，]m 时，值域为2[n ，2]m ．若存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）()f x的图象经过点32，∴32f =，即3log 2a =∴33222a ==，即22()log (0)a f x x x =∴=>（2）设2()log t f x x ==，16x ，∴22log log 16x ∴1()42f x ，即142t 则222()23()3y g t t bt t b b ==-+=-+-，1(4)2t ，对称轴为t b =①当12b <时，()y g t =在1[,4]2上是增函数，113(24min y h b ==-②当142b 时，()y g t =在1[,]2b 上是减函数，在(b ，4]上是增函数，2()3min y h b b ==-③当4b >时，()y g t =在1[,4]2上是减函数，min y h =（4）198b =-综上所述，2131,4213,42198,4minb b y b b b b ⎧-<⎪⎪⎪=-⎨⎪->⎪⎪⎩ （3）4m n >> ，[b n ∈，]m ，h ∴（b ）198b =-．h （b ）的定义域为[n ，]m ，值域为2[n ，2]m ，且h （b ）为减函数，∴22198198m n n m⎧-=⎨-=⎩两式相减得8()()()m n m n m n -=-+，m n > ，0m n ∴-≠，得8m n +=，但这与“4m n >>”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在.。

期末复习讲义指数函数、幂函数

3．函数f(x)＝ax－b 的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是( D ) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0 【解析】由图象特征可知f(x)为减函数，则0＜a＜1，又h(x)＝ax的图象向左平移可得已知图象，故－b＞0， ∴b＜0.故选D.
1
(1)(2011陕西)函数y＝x
3
的图象是(
B)
1 1 2．幂函数 y＝f(x)的图象经过点(4， )，则 f( )的值 2 4 为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
1 【解析】设f(x)＝x ，则4 ＝， 2 1 1 n －n ∴f( )＝( ) ＝4 ＝2，故选B. 4 4
n n
R (0，＋∞) (0,1) 增函数减函数
5.幂函数 (1)一般地，形如
y＝xα 的函数叫做幂函数，其中x
是自变量，α是常数． (2)在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝x ，y＝x－1的图象的比较如下．
2
1
熟记α＝1,2,3，，－1时幂函数的图象是解决有关幂函数问题的基础．
2
1
(3)幂函数的性质如下：
一般地，当α>0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图象都通过点(0,0)、(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x的增大而增大； ③在第一象限内，过(1,1)点后，图象向右上方无限伸展．
当α<0时，幂函数y＝xα有下列性质：
①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，图象向上与y轴无限地接
x
a· －1－a 2 变式．若函数 y＝为奇函数． x 2 －1 (1)求 a 的值； (2)求函数的定义域； (3)讨论函数的单调性．

高一数学指对幂函数高频考点知识梳理

(每日一练)高一数学指对幂函数高频考点知识梳理单选题1、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）A ．a 45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a 4，可得c >45. 综上所述，a <b <c .故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.2、一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g2=0.301，1g3=0.4771，答案采取四舍五入精确到0.1h）A．2.3小时B．3.5小时C．5.6小时D．8.8小时答案：A解析：药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解．设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则2500×0.8x=1500，0.8x=0.6，lg0.8x=lg0.6，xlg0.8=lg0.6，x=lg0.6lg0.8=lg610lg810=lg2+lg3−13lg2−1=0.301+0.4771−13×0.301−1≈2.3．故选：A．3、若a=2√3,b=log2√3, c=log√32，则实数a,b,c之间的大小关系为（）A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>a>c答案：A解析：利用中间1和2进行比较可得答案.因为2√3>21=2，log2√3<log22=1，log√3√3<log√32<log√33=2;所以a>c>b.故选：A.小提示：本题主要考查比较指数式和对数式的大小，一般是利用函数的单调性结合中间值进行比较，侧重考查数学抽象的核心素养.4、下列函数中为偶函数的是（）A ．y =cosxB ．y =sinxC ．y =x 3D ．y =2x答案：A解析：对四个选项一一验证：对于A ：利用奇偶性的定义进行证明；对于B ：取特殊值f (π2),f (−π2)否定结论；对于C ：取特殊值f (1),f (−1)否定结论；对于D ：取特殊值f (1),f (−1)否定结论.对于A ：y =cosx 的定义域为R.因为f (−x )=cos (−x )=cosx =f (x )，所以y =cosx 为偶函数.故A 正确；对于B ：对于y =sinx ，f (π2)=sin π2=1,f (−π2)=sin (−π2)=−1，不满足f (−x )=f (x )，故y =sinx 不是偶函数.故B 错误；对于C ：对于y =x 3，f (1)=13=1,f (−1)=(−1)3=−1，不满足f (−x )=f (x )，故y =x 3不是偶函数.故C 错误；对于D ：对于y =2x ，f (1)=21=2,f (−1)=2−1=12，不满足f (−x )=f (x )，故y =2x 不是偶函数.故D 错误；故选：A.5、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（）A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B解析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值. 因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12，故选：B.。

4、高三一轮复习：幂指对函数

k < 1幂函数【知识要点】一、幂函数的定义：形如k x y =（k 为常数，∈k Q ）的函数叫做幂函数。

二、幂函数在第一象限的图像：【注】掌握幂函数在第一象限的图像，并据此结合定义域和奇偶性即可画出幂函数的图像。

三、幂函数的性质：1、幂函数在第一象限必有图像，在第四象限没有图像；2、幂函数恒过定点)1,1(；当0>k 时，幂函数还过定点)0,0(；3、当0>k 时，幂函数在),0[∞+单调递增；当0<k 时，幂函数在),0(∞+单调递减；反之亦然。

【例题解析】1、画出下列幂函数的大致图像：（1）21x y =；（2）4x y =；（3）31x y =；（4）3-=x y ；（5）32x y =；（6）2-=x y ；（7）21-=x y ；（8）23x y =；（9）3x y =。

2、判断下列命题的真假：（1）幂函数0x y =的图像是一条直线；（×）（2）幂函数的图像与坐标轴至多一个交点；（√）（3）幂函数要么是奇函数，要么是偶函数；（×）（4）若一个幂函数是奇函数，则它必经过原点；（×）（5）若一个幂函数是奇函数，则它在定义域内单调递增；（×）（6）如果一个幂函数的图像不经过)1,1(-，则它一定不是偶函数；（√）（7）如果两个幂函数的图像有三个公共点，那么这两个函数一定相同；（8）任何两个不同的幂函数的图像最多有三个交点。

（√）3、已知函数a x y =（∈a Q ）的图像当10<<x 时在直线x y =的上方，当1>x 时在直线x y =的下方，则a 的取值范围是}1|{Q ∈<a a a 且。

4、已知幂函数)237(3251)1(t t x t t y -+⋅+-=（∈t Z ）是偶函数，且在区间),0[∞+单调递增，求整数t 的值。

【解】由题意得：113=+-t t ，解得：0=t 或1=t 或1-=t ；当0=t 时，57x y =不是偶函数，所以0=t 不满足题意；当1=t 时，58x y =是偶函数，所以1=t 满足题意；当1-=t 时，52x y =是偶函数，所以1-=t 满足题意。

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(指对幂函数)专题复
习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
指对幂函数
一、指对数运算【知识点】 1、
指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0
_____=⋅s r a a _____)(=s r a ______)(=r ab
)1,,0_______(>∈>=*n N n m a a
n
m ，
2、对数计算公式：)0,0,10(>>≠>M N a a 且
（1）指对数互化：N a x =_______⇔
（2） _____1log =a _____log =a a ______log =n a a ______log =n a a （3） _____log log =+N M a a _____log =n a M
_____log log =-N M a a _____log =M m a
（4）换底公式：_____log =b a （常用：a b
b a lg lg log = a b b
a log 1log =）
【练习一】指对数的运算 1、计算下列各式的值（1）3
log 9
log 28 （2）)]81(log [log log 345
（3）2log 4log 3log 432⋅⋅ （4）)3
1
()3)((65
613
1212132b a b a b a ÷-
（5）7
4log 2
1
7+14log 50
1
log 2log 235log 55
2
1
5--+
2、解下列方程
（1）2
3
27log x = （2）0)(log log 25=x
3、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===
二、指数函数和对数函数的图像和性质【知识点】
注意：指数函数a =y 与对数函数x y a log =互为反函数，则它们的图象关于_____________对称【练习二】指对数函数的图像与性质
题型一、求函数经过的定点
1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________
2、3)2(log )(f ++=x x a )10(≠>a a 且过定点_____________ 题型二、指对数函数的图像 1．函数)1(log 2
1-=x y 的图象是（）
2．在同一坐标系中画出函数y ＝l og a x ，y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是
( )．
题型3 、函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性） 1、x 6log 21y -=函数的定义域为_____________
2、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为
3、函数23)(+=x x f 在区间[1-，2]上的值域为________________
4、函数y ＝x
x
+-22log 2的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
5、已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(f 3x x x x x ，则f(f(91
))=_________
6、已知函数)1(log )(f +=x x a ,)1(log )(x x g a -=)10(≠>a a 且（1）请判断函数)()(f x g x +的奇偶性并证明（2）求使0)(f >x 成立的x 的取值范围
7、已知函数2
()131
x f x =-
+.
（1）求函数()f x 的定义域，并证明函数f (x )在其定义域上都是增函数. （2）判断)(x f 的奇偶性
（3）解不等式()2(31)230f m m f m -++-<.
【练习三】利用单调性解不等式（注意定义域）
1．不等式1622
<-+x x 的解集是．
2．若2
log 13
a <，则a 的取值范围是__________________________________
3．不等式)65(log )32(log 22->+x x 的解集是____________________________ 【练习四】比较大小（借助中间量0和1）
1.三个数60.70.70.76log 6，
，的大小关系为（） A. 60.70.7
0.7log 66<< B. 60.70.7
0.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<< 三、幂函数的图像与性质【知识点】
函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．图像和规律如下：
（1）图像都过定点___________
（2）单调性: 如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上单调递____．如果0α<，则幂函数的图象在
(0,)+∞上单调递_____.
( 3)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．
(如果指数是分数，需写成根式去判断)
【练习五】幂函数的图象与性质
1、函数2
5)(f x x =的定义域为________. 从奇偶性上看，它是一个___________函数.
2、如果幂函数f(x)的图象经过（2，8
1
），则f(3)=____________
3、已知函数12+=m x y 在区间()+∞,0上是增函数，实数m 范围为 .
参考答案
练习一 1、（1）3
2
（2）0 （3）1 （4）-9a （5）4
2、（1）x=9 （2）x=2
3、3
4
练习二题型1 1、（1，-1） 2、（-1，3）题型2 1、D 2、D
题型3 1、），（60 2、{a|a>0} 3、]11,37
[ 4、A 5、91
6、解：
)1(log )1(log )(g )()(F 1x x x x f x a a -++=+=）令（函数为奇函数
而关于原点对称
，的定义域为故函数得则由∴=-++=+++-=--<<-⎩
⎨⎧>->+)
()1(log )1(log )1(log )1(log )(F ),11()(F ,
11010
1x x F x x x x x x x x a a a a }
01|x {,1a 0}0|x {x ,1a }01|x {,1
101x 1,a 0}0|x {1101x 0a 1
log 0)1(log 0
)(f 2<<-<<>><<-⎩⎨⎧<+>+<<>⎩⎨⎧>+>+>=>+∴>x x x x x x x x x a a 的取值范围为；当的取值范围为综上，当求得则②若求得则①若∵）（
)
23(f )32(f )13(f )(f )(f 0)32(f )13(f 3),(f )(f 1
31
31321)(f 313113
11
31
13
131321)(f R )(f 2R )(f )(f )(f 0)(f )(f 0
13013033x )13)(13()33(2132132)1321()1321()(f )(f ,x x ,x x R R,)(f 17222121x x 2
1212121212121
211221m m m m x x m m m x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x x x
x
x x x x x x x x x x x -=--<+-∴-=-<-++--=-∴+-=+-=+-=+-=+-=+-=-∴<<-∴>+>+<-∴<++-=+-+=+--+-=-<---且）（原函数为奇函数
而关于原点对称，的定义域为∵）（上递增
在即，而∵则并设和上任取在定义域的定义域为）、解（３
２求得－１＜ｍ＜－ｍ＋１＜３－２ｍ，在Ｒ上递增，３ｍ∵２)(f x
练习三 1、{x|-2<x<1} 2、{a|a>1或0<a<32} 3、{x|35
6
<<x } 练习四 1、D
练习五 1、[)+∞,0 非奇非偶 2、
271 3、}2
1
|{->m m。