学军中学2018保送生-数学(含答案)

（第1题）

2018年学军保送生测试题（数学）

（时间70分钟，满分120分）

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分.以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D

的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分.）

1. 在一次学校运动会上，如图是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和

中间半圆形弯道组成，若内、外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道的起点必须前移，才能使两跑道有相同的长度.如果跑道宽为1.22米，则外跑道的起点应前进（π取3.14） （ ） （A ）3.83米 （B ）3.82米 （C ）3.81米 （D ）3.80米

2. 某海滨浴场有100把遮阳伞，每把每天收费10元时，可全部租出，若每把每天收费提

高1元，则减少5把伞租出，若每把每天收费再提高1元，则再减少5把伞租出，……，为了投资少而获利大，每把伞每天应提高收费 （ ） （A ）7元 （B ）6元 （C ）5元 （D ）4元 3. 如图是小华设计的一个智力游戏：6枚硬币排成一个三角形（如图1），最少移动几枚硬币可以排成图2所示的环形 （ ）. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

4. 如图，正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE =BF =CG =DH , 设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( )

5. 将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）

（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种

x x

1 x y

o 1

-1

(A)

y

o

1 1

(B)

y

o

(C)

y x

o

1 1 (D)

（图1）

（图2）

（第3题）

A D

E

（第4题）

A

B

C

D

甲

乙

（第7题）

二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）

6．已知a 、b 是一元二次方程012=--x x 的两个根，则代数式b a b a 232322--+的值等

于 .

7． 如图，甲、乙两人分别从A 、B 同时出发，沿着边长为90米的正方形按逆时针方向行

走（即按A 至C 至D 至B 至A……方向行走），如果甲的速度是65米/分，乙的速度是72米/分，那么当乙第一次追上甲时在正方形的 边上.

8． 如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可以使小灯泡放光，那么随机闭合其中两个

开关，能使小灯泡发光的概率为 ．

9． 在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手所走的路

程y （千米）随时间x （分钟）变化的图象（全程）分别用图中的折线OA -AB -BC （实线）与线段OD （虚线）表示，那么，在本次比赛过程中，乙领先甲时的x 的取值范围是 ．

三、解答题（共3题，满分57分）

10．（本题18分）

某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：

（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？ （2）该公司选用哪种方案建房获得利润最大？

（3）根据市场调查，每套B 型住房的售价不会改变，每套A 型住房的售价将会提高a

A B

成本（万元/套） 25 28

售价（万元/套） 30 34

O

x (分钟)

y (千米) A

B

C D

5

7 12 15

33 43 48 (第9题)

（第8题）

万元（a ＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？ 注：利润=售价-成本

11. （本题19分）

如图,在⊙O 中,弦CD 垂直于直径AB ,.M 是OC 的中点，AM 的延长线交⊙O 于E ，DE 交BC 于N.求证:BN=CN ．

12．（本题20分）

已知在△ABC 中，∠ACB =90 ，AC =BC =4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB 的中点O ，两直角边分别经过点B 、C ，然后将三角板绕点O 按顺时针方向

旋转一个角度

0(α＜α＜90 ），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC 、BC 相交于

点K 、H ，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC 的重叠部分（如图）．那么在上述旋转过程中： （１）线段BH 与CK 具有怎样的数量关系？四边形CHOK 的面积是否发生变化？证明你

发现的结论；

（２）连接HK ，设ＢH ＝x ,

①当△CKH 的面积为

2

3

时，求出x 的值； ②试问△OKH 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x 的值，若不存在，请说明理由．

α

H

K O

C

B

A

_B

保送生测试题（数学）

参考答案

一、选择题（共有5小题，每小题7分，满分35分） 1．A 2．C 3．B 4．B 5．D

二、填空题（有4小题，每小题7分，共28分） 6．5 7．AB 8．

12

9． 24

三、解答题（共3题，分值依次为18分、19分和20分，满分57分） 10.（1）设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建（80-x ）套.

由题意知2090≤25x +28(80-x )≤2096，48≤x ≤50 ……………3分 ∵ x 取非负整数，∴ x 为48，49，50 ∴有三种建房方案：

A 型48套，

B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套.

……………3分 （2）该公司建房获得利润W （万元），由题意知 W=5x +6(80-x )=480-x .

……………3分

∴当x =48时，W 最大=432（万元）.

即A 型住房48套，B 型住房32套获得利润最大.

……………3分 （3）由题意知W=(5+a)x +6(80-x )=480+(a -1)x .

……………2分

∴当0＜a ＜1时，x =48, W 最大，即A 型住房48套，B 型住房32套. 当a =1时，a -1=0，三种建房方案获得利润相等.

当a ＞1时，x =50，W 最大，即A 型住房50套，B 型住房30套.

……………4分 11. 连结AC 和BD ，

∵弦CD 垂直于直径AB , ∴BC =BD . ∴∠BCD =∠BDC .

∵OA =OC ，∴∠OCA =∠OAC ．

∵∠BDC =∠OAC ，∴∠BCD =∠OCA ．

∴△BCD ∽△OCA ． ……………4分

∴

CO CB =CA CD

……………3分

B