浙江省杭州市学军中学2020年高考数学5月模拟试题(含解析)
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题考生注意：1.全卷满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上的答案一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()() 1 0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式：()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底而积，h 表示台体的高柱体的体积公式： VSh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}0,1,2,4C. {}0,1,2,2,4D. {}04x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算,【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=．故选：B ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2. 双曲线22149x y -=的实轴长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a ，可知双曲线22149x y -=的实轴长【详解】由双曲线标准方程22221x y a b-=中，实轴长为2a 可知：在双曲线22149x y -=中，实轴长为4故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长.3. 已知圆()22:11C x y -+=，直线l 过点()0,1且倾斜角为θ，则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与圆相切时的θ值，然后判断．【详解】圆C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，因此过点(0,1)的切线有两条，方程是1y =和0x =，倾斜角为0θ=或2πθ=．∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件的判断方法有两种,一种是根据充分必要条件的定义判断，另一种是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．4. 若复数312a ii++（a R∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. -6B. 6C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia ii i i+-++-+==++-为纯虚数，∴a+6=0且3−2a≠0，解得：a=−6.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5. 已知函数1()ln1f xx x=--，则()y f x=的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D，从而选B.【详解】因为1111ln1f eee e⎛⎫==>⎪⎝⎭--，所以选项A错；因为11()0ln12f ee e e==>---，所以选项C错；因为()222211()ln 13f ef e ee e ==<---，所以选项D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m α D. 若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D 【解析】 【分析】逐项进行分析，在选项A 中，l 与m 相交、平行或异面；在选项B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在选项C 中，m∥α或m ⊂α；在选项D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在选项A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在选项B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在选项C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；在选项D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．7. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=，故芒种日影长为二尺五寸. 故选:B .【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题. 8. 设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）A.B.52+ C.174D.94【答案】B 【解析】 【分析】先求出a 与b 的夹角，在直角坐标系中用坐标表示a 、b 且设(,)c OC x y ==，有c b ⋅= 2x ，结合()()20c a c b ⋅--=用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x 范围即可求得c b ⋅的最大值.【详解】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2θ=, ∴3πθ=，建立直角坐标系， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y == ,而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值,故2(21,2c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥-∴(21)(2)(20x x y y --+=，即22(21)(2)0y x x -+--= , 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥,解得：5544x -+≤≤.∴c b ⋅的最大值为52. 故选：B【点睛】本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．成立的是（ ） A. 20202021S S ≤ B. 20212022S S ≤ C. 10101011a a ≤ D. 10111012a a ≤【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分为0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，则()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭.()()2222101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-=> ⎪+++⎝⎭， 则210101010220201010n n n ⎛⎫-++>-- ⎪+⎝⎭，解关于t 的不等式()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，可得22020t n ≤--或2101010101010t n n ⎛⎫≥-++ ⎪+⎝⎭，所以()min 22020t n ≤--或2max 101010101010t n n ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦.由于数列{}22020n --单调递减，该数列没有最小项；由双勾函数单调性可知，函数21010y x x=+在区间[1010,+∞)上单调递增，所以，数列2101010101010n n ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-++⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭单调递减，该数列的最大项为2101010111011--，2101010111011t ≥--. 对于A 选项，2202020202020S t =+，2202120212021S t =+，则()()()()22222021202020212020202120204041404120202021S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104041404110113030010111011t +≥--=->，2222240411010404120202021202020214041101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220212020202120202021202040414041202020210S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20212020S S >，A 选项成立； 对于B 选项，2202220222022S t =+，则()()()()22222022202120222021202220214043404320212022S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104043404310113032010111011t +≥--=->，2222240431010404320212022202120224043101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220222021202220212022202140434043202120220S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20222021S S >，B 选项成立； 当1n =时，111a S t ==+；当2n ≥时，()()()2211121n n n a S S n tn n t n n t -⎡⎤=-=+--+-=+-⎣⎦. 11a t =+满足21n a n t =+-，()21n a n t n N *∴=+-∈.对于C 选项，10102019a t =+，10112021a t =+，()()()2222101110102021201942020a a t t t -=+-+=+，222101010101010100910112020101110090101110111011⎛⎫-⨯----=-=> ⎪⎝⎭， 当21010101120201011t --<<-时，()2210111010420200a a t -=+<，所以，C 选项不一定成立； 对于D 选项，10122023a t =+，()()()2222210121011101020232021420224202210111011aat t t ⎛⎫-=+-+=+≥-- ⎪⎝⎭()222410111010101041011010111011-⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 所以，10121011a a >， D 选项成立；③当0d <时，由②同理可知，C 选项不一定成立. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前n 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，则p =________，()1P X ==________.【答案】 (1). 13 (2). 2562187【解析】 【分析】首先根据已知条件得到()312np np p =⎧⎨-=⎩，解不等式组即可得到13p =，再计算()1P X =即可.【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，所以()312np np p =⎧⎨-=⎩，解得139p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()819122561332187⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭P X C .故答案为：1 3，2562187【点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差，同时考查n次独立重复试验，属于简单题.12. 已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________；1yx+的取值范围是________.【答案】(1). 2(2).1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图形即可得到答案.【详解】不等式组表示的可行域如图所示,由目标函数2z x y=+得到122zy x=-+，z的几何意义表示直线122zy x=-+的y轴截距的2倍.所以当直线122zy x=-+过()2,0A时，z取得最小值，min2z=.令()111--+==-yyzx x，1z的几何意义表示：可行域内的点(),x y与()0,1B-构成的斜率.由图知：()1min 12==BA z k ，12<z ，故11,22⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭z . 故答案为：(1)2；(2)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 13. 若将函数()7=f x x 表示为()()()()201277111f x a a x a x a x =+-+-++-，其中0a ，1a ，2a ，，7a 为实数，则3a =________，0246a a a a +++=________. 【答案】 (1). 35 (2). 64 【解析】 【分析】首先将()f x 转化为()()711=+-⎡⎤⎣⎦f x x ，再利用二项式定理得展开式即可得到3a 的值；分别令2x =和0x =，再把两个式子相加除以2即可得到答案.【详解】因为()()()()()7207717211111==+-=⎡⎤⎣-+-+-⎦++a a f x a x a x x x x ，所以33735==a C .令2x =得：()7012722++==++a a a a f ①， 令0x =得：()012700-+=--=a a a a f ②，①+②得到()7024622+++=a a a a ，所以024664+++=a a a a .故答案为：35；64【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.14. 己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c =+，则A =________；又若2b =，a x =，△ABC 有两解，则实数x 的取值范围是________.【答案】 (1). 3π(2). 32x <<【解析】 【分析】由cos 3sin a C a C b c +=+结合正弦定理化简得到1sin()62A π-=，由(0,)A π∈即可得到A 的大小；同样由正弦定理及2b =，a x =，(1)的结论可得3sin B =，2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，即可知3sin (,1)B ∈，可求x 的范围. 【详解】cos 3sin a C a C b c +=+知,sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，而()B A C π=-+,∴sin cos 3sin sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++, 即13sin cos 1sin()62A A A π=+⇒-=，又(0,)A π∈, ∴3A π=,由2b =，a x =sin sin 3x c c A C =⇒=, 而cos 3sin a C a C b c +=+有：23333cos sin sin()3x C C C π===++，即3sin B =, 2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，知：3sin (,1)B ∈, ∴(3,2)x ∈, 故答案：(1)3π；(2)32x <<. 【点睛】本题考查了正弦定理，运用了两角和差的正弦公式，三角形内角和为π，化简求值和参数范围.15. 已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．【答案】2【解析】 【分析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意逐步表示出点,,Q C P 的坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.【详解】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以直线1l 的方程为22b y +=.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++.所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP 的最小值为2.故答案为2. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法. 【答案】535 【解析】 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法. 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5 = 1 + 4：153C 种 5 = 2 + 3：254C 种 5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种. 故答案为：535.【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算17. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．【答案】254【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径2R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.【详解】取BC 中点E ,90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心,过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上, 作//OF AE ，交AD 于F ，如图所示：OA OE =2222OD OF DF AD DF =+=+OA OD = 112AF DF OE AD ∴==== 球O 的表面积为29π ∴球O 的半径29294R ==设AB x =，AC y =由222229142x y R OC CE OE +==+=+=得2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当522x y ==时取等号） 又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当522x y ==时取等号） 25524S ∴≤（当且仅当52x y == 故答案为:25524【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设函数()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝的最小值是1-. （1）求a 的值及()f x 的对称中心;（2）将函数()f x 图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到()g x 的图象，若()12g x ≥-，求x 的取值范围. 【答案】（1）0a =，对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数恒等变换化简得到()sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x a ，根据()f x 的最小值得到0a =，再求()f x 的对称中心即可.（2）首先根据三角函数的平移变换得到()sin 4g x x =，再解不等式1sin 42≥-x 即可. 【详解】（1）()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝.112sin 2sin 22sin 2sin 2223x x x a x x a x a π⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭ 因为()min 11=-+=-f x a ，所以0a =，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令23x k ππ+=，解得62πk πx =-+()k Z ∈.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭()k Z ∈； （2）()sin 4sin 4123ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x x ， 因为()12g x ≥-，即1sin 42≥-x ， 所以724266k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，解得：7224224ππππ-≤≤+k k x ()k Z ∈, ∴x 的取值范围是7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【点睛】第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查正弦函数的对称性，第二问考查正弦函数图象变换，同时考查三角不等式，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11112A B A C ==，123CC =， 120BAC ∠=︒，点O 为线段11B C 的中点，点P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），点Q 为线段BC 上一动点，且QP OP ⊥.（Ⅰ）求证：平面1A PQ ⊥平面1A OP ；（Ⅱ）若//BO PQ ，求直线OP 与平面1A PQ 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；219. 【解析】 【分析】（Ⅰ）要证平面1A PQ ⊥平面1A OP ，转证QP ⊥平面1A OP ，即证1QP AO QP OP ⊥⊥，； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出平面1A PQ 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I ）证明：因为11112A B A C ==，O 为线段11B C 的中点，所以111AO B C ⊥， 在直三棱柱111ABC A B C -中，易知1CC ⊥平面111A B C ，11AO CC ∴⊥，而1111CC B C C ⋂=； 1A O ∴⊥平面11CBB C ，1QP A O ∴⊥；又因为QP OP ⊥，A 1O ∩OP=O ； 所以QP ⊥平面1A OP ，又QP ⊂平面1A OP ；所以平面1A PQ ⊥平面1A OP ； （II ）由（I ）可建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为120BAC ︒∠=所以113OB OC =，则()()()110,0,0,3,0,0,3,0O C B -，(()10,3,23,1,0,0B A --， 设()(3,,0,,23P a Q b ，所以()(0,3,23,0,3,23QP b a OB =--=-，因为QP OP ⊥，//BO PQ ， 所以0,//QP OP OB QP ⋅=，()(()(33230233323b a a b a ⎧-=⎪∴⎨-=--⎪⎩， 解得：3324a b ==（P 异于点1,C C ） ,13333331,3,,0,,,0,3,A P QP OP ⎛⎫⎛⎫⎛∴==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面1A QP 的法向量为(),,n x y z = ，则100n A P n QP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33033330x z y z ⎧++=⎪⎪= ，可取 ()53,4,2n =- ， 设直线OP 与平面1A QP 所成角为θ ，则433219sin 15954n OP n OPθ⋅+===⋅ ,直线OP 与平面1A QP. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20. 已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N . (1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221nn n a +=+⋅-;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由212n n n a a a ++=+，得2112n n n na a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1132n n n a a +++=⋅，得11122222n n n na a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12123111111111n nn a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+， 因为12120a a +=≠，所以2112n n n na a a a ++++=+，所以数列{}1n n a a ++是等比数列；(2)因为1132n n n a a +++=⋅，所以1113222n nn na a +++⋅=， 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，又因为12a =，所以1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以()1221nn n a +=+⋅-；(3)①当1n =时，11324n a =<； ②若n 是偶数，则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111nn a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时，121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-；综上所述，当n *∈N 时，1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.21. 椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ． ①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①13[1,)4OC OD ⋅∈-②12【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，联立方程组求解：因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，所以2a =．又223c =3c =，21b =（2）①直线与椭圆位置关系问题，一般联立方程组，借助于韦达定理进行求解：设直线l 的方程为2,y kx =+代入222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，因为1212OC OD x x y y ⋅=+，由1212221612,1414k x x x x k k +=-=++得217114OC OD k ⋅=-++再由>0∆，可得243k >，13[1,)4OC OD ⋅∈-②求定值问题，一般以算代证：先分别表示直线AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-，解得121221233kx x x x y x x ++=-，再将1212221612,1414k x x x x k k +=-=++代入化简得12y = 试题解析：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x=-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由>0∆，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+ 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅<，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-．②由题意得，直线AD ：2211y y x x -=+，直线BC ：1111y y x x +=-，联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =，故点Q 的纵坐标为定值12.考点：直线与椭圆位置关系.22. 已知实数1a ≥-，设()()ln ,0f x x a x x =+>.（1）若1a =-，有两个不同实数1x ，2x 满足()()12f x f x ''=，求证：122x x +>；（2）若存在实数214c e e<<，使得()f x c =有四个不同的实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）210a e<<.【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得121212ln 20x x x x x x +-+=，先证121x x ≥.再利用基本不等式即可得证；（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根，对a 分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()1ln 1f x x x'=+-. 因为()f x '在0x >上单调递增，故()()120f x f x ''+=，即121212ln 20x x x x x x +-+= 先证明：121x x ≥.因为()10f '=，故不妨11x >，201x <<. 设2211x x '=>. 由基本不等式知：()()222212220f x f x x x ⎛⎫'''+=-+<-= ⎪⎝⎭.因为()f x '在0x >上单调递增且()()120f x f x ''+=， 所以12x x '>即121x x ≥.因为12x x ≠，由基本不等式得：122x x +>>.（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根. 因为()ln 1af x x x'=++. ①10a -≤≤，因为()f x '在0x >上单调递增， 且当0x →时()f x '→-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，故存在唯一实数00x >， 使得()00f x '=，即()00ln 1a x x =-+.因此()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 由10a -≤≤可知011x e≤≤. 把()00ln 1a x x =-+代入得：()f x 的极小值()()2000ln f x x x =-.令()()2ln h x x x =-，()ln (ln 2)h x x x '=-+.当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当21,1x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '>. 因此()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()01,0f x e⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x c =上至多有两个不同的实数根，()f x c =-上至多有一个的实数根，故不合题意. ②0a >，当0x →时()f x '→+∞， 当x →+∞时()f x '→+∞，()2x af x x-''=. 当()0,x a ∈时，()0f x ''<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ''>，()2ln f a a '=+. 因此()f x '在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （i ）若21a e ≥，则()0f x '≥（当且仅当21a x e==时取等）， 故()f x 在0x >上单调递增.因此()f x c =±上至多有两个不同的实数根，故不合题意. （ii ）若210a e<<，则()0f a '<， 故存在()10,x a ∈和21,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120f x f x ''==. 因此()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 因为当0x →时()f x →-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，且()()2111ln 0f x x x =-≤，故()f x c =上有且仅有一个实数根.由①的()h x 可知：()124,0f x e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()2241,f x ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故存在()()()21,c f x f x -∈， 使得214c e e<<.此时()f x c =-上恰有三个不同的实数根. 此时()f x c =±共有四个不同的实数根. 综上：210a e <<满足条件. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于难题.。
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份)
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合P ＝{x ∈R|−1<x <1}，Q ＝{x ∈R|0≤x <2}，那么P ∩∁R Q ＝（ ） A.(0, 1) B.(−1, 2) C.(−1, 0) D.(1, 2)2. 双曲线x 29−y 216=1的左顶点到其渐近线的距离为（ ） A.95B.2C.125D.33. 已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D.4. 若x ，y 满足约束条件{x ≥0，x +y −3≥0，x −2y ≤0.则z =x +2y 的取值范围是( )A.[0, 4]B.[0, 6]C.[6, +∞)D.[4, +∞)5. 若函数f(x)＝(4mx −n)2的大致图象如图所示，则（ ）A.m >0，n >1B.m >0，0<n <1C.m <0，0<n <1D.m <0，n >16. 如果对于任意实数x ，<x >表示不小于x 的最小整数，例如<1.1>＝2，<−1.1>＝−1，那么“|x −y|<1”是“<x >＝<y >”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知随机变量ξ的分布列如表：则当a 在(0,12)内增大时（ ） A.Dξ减小B.Dξ增大C.Dξ先增大后减小D.Dξ先减小后增大8. 已知e 1→，e 2→，e 3→是空间单位向量，且满足e 1→⋅e 2→=e 2→⋅e 3→=e 3→⋅e 1→=12，若向量b →=3λe 1→+(1−λ)e 2→，λ∈R ．则e 3→在b →方向上的投影的最大值为（ ） A.√23B.√22C.√32D.√339. 已知k ∈R ，设函数f(x)={x 2−2kx +2k,x ≤1(x −k −1)e x +e 3,x >1，若关于x 的不等式f(x)≥0在x ∈R 上恒成立，则k的取值范围为（ ） A.[2, e 2] B.[0, e 2] C.[0, 4] D.[0, 3]10. 已知数列{a n }满足：a n >0，且a n 2＝3a n+12−2a n+1(n ∈N ∗)，下列说法正确的是（ ）A.若a 1＝2，则a n ≥1+(37)n−1 B.若a 1=12，则a n >a n+1 C.a 1+a 5≤2a3 D.|a n+2−a n+1|≥√33|a n+1−a n |二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．设z =1−i1+i +2（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z ¯=________，|z|＝________．在二项式(√x −1x )6的展开式中，常数项是________，有理项的的个数是________．已知方程为x 2+y 2+2x −ay +a ＝0的圆关于直线4x +y ＝0对称，则圆的半径r ＝ 2√2 ，若过点M(1, 0)作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为________．在△ABC 中，BC ＝4，∠B ＝135∘，点D 在线段AC 上，满足BD ⊥BC ，且BD ＝2，则cos A ＝________，AD ＝________．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人、普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有________种不同的选法（用数字作答）已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z||2x 2−x −a −2|+|2x 2−x +a −2|＝2a}中的元素有且仅有两个，则实数a 的取值范围是________．已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率是√22，若以N(0, 2)为圆心且与椭圆C 有公共点的圆的最大半径为√26，此时椭圆C 的方程是________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x −π12)−f(x +π12)在[π4,13π24]上的值域．如图，四棱台ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，CC 1⊥底面ABCD ，且∠BAD ＝60∘，CD ＝CC 1＝2C 1D 1＝4，E 是棱BB 1的中点．（1）求证：AA 1⊥BD ；（2）求直线AA 1与平面A 1EC 1所成线面角的正弦值．已知公差非零的等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a 1，a 2，a 4成等比数列，且S 4＝10，数列{b n }满足b 1＝2，b n −b n−1=2n−1(n ≥2,n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n =ln a n b n,(n ∈N +)，求证：(1−12n−1)⋅ln √2≤c 2+...+c n <34，(n ∈N ∗, n ≥2)．已知O 是坐标系的原点，F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，△OAB 的重心为G ．(1)求动点G 的轨迹方程；(2)设(1)中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程．已知函数f(x)＝(x −a)e x (a ∈R)． （1）讨论f(x)的单调性；,1)恒成立，求b的最（2）当a＝2时，设函数g(x)＝f(x)+ln x−x−b，b∈Z，若g(x)≤0对任意的x∈(13小值．参考答案与试题解析2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】简单空间较形脱三视图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】求线性目于函数虫最值简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】函数与方都的综合运着【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．【答案】此题暂无答案【考点】复根的务复三的刺算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】解都还形三角形射面积公放【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】排列水使合及原判计数问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线水常物草结合夹最值问题基本常等式簧最母问赤中的应用轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题(解析版)
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】逐项进行分析，在A中，l与m相交、平行或异面；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m∥α或m⊂α；在D中，由线面垂直的性质定理得l∥m．
【详解】
由l，m是条不同的直线，α是一个平面，知：
在A中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据并集的定义计算
【详解】
∵ ， ，∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的并集运算，属于简单题．
2．双曲线 的实轴长为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a，可知双曲线 的实轴长
【详解】
由双曲线标准方程 中，实轴长为2a可知：
在双曲线 中，实轴长为4
故选：C
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长
3．已知圆 ，直线l过点 且倾斜角为 ，则“ ”是“直线l与圆C相切”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
故选：B
【点睛】
本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值
9．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）的周期为4，从而可得出f（2018）=f（0）， ， 然后可根据f（x）在[0，1]上的解析式可判断f（x）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.
2020年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年浙江省杭州高级中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知命题p ：∀x ∈R ，都有2x ≥0且x 2−2x ≥0，则￢p 为( )A. ∀x ∈R ，都有2x ≤0或x 2−2x ≤0B. ∃x 0∈R ，使得2x 0≥0或x 02−2x 0≥0 C. ∃x 0∈R ，使得2x 0≤0且x 02−2x 0≤0 D. ∃x 0∈R ，使得2x 0<0或x 02−2x 0<02. 复数z =2+i1−2i 的虚部为( )A. −53 B. −53iC. 1D. i3. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为2√3，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±2xC. y =±√22x 或y =±√2x D. y =±12x4. 已知函数f(x)=x −sinx ，若x 1,x 2∈[−π2,π2],且f(x 1)+f(x 2)>0，则下列不等式中正确的是( )A. x 1>x 2B. x 1<x 2C. x 1+x 2>0D. x 1+x 2<05. 设函数则)A. 27B. 17C. 26D. 166. 已知数列{a n }满足a 2=102，a n+1−a n =4n ，(n ∈N ∗)，则数列{a nn }的最小值是( )A. 25B. 26C. 27D. 287. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −2y +1≥ 0x ≤ 3x +y −1≥0，则z =x −y +3的取值范围是( ) A. [83,8)B. [83,8]C. [4,8]D. [43,4]8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2c ，bsin B −asin A =2asin C ，则sin B 为( )A. √74B. 34C. √73D. 139. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A. 8(1+2√2+√3)B. 8(1+√2+2√3)C. 323D. 32910.已知定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x)=f(4−x)，且f(−3)=2，则f(2019)=()A. −2B. 0C. 2D. 4二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知双曲线的方程为y29−x225=1，则其渐近线方程为______．12.袋子里装有5个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球(大小、形状、质量完全相同)，某人从袋子中一次性取出2个小球，则取出的2个小球中含有红色小球的概率为______．13.若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=23，则sin(α−β)=_______。
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(5月份)(有答案解析)
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.设M为不等式所表示的平面区域，则位于M内的点是A. B. C. D.3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.4.“”是”函数的最小值等于2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5.在我国古代数学著作详解九章算法中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：则这个表格中第8行第6个数是A. 21B. 28C. 35D. 566.函数其中e为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，若，，则A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知函数是偶函数，则a，b的值可能是A. ，B. ，C. ，D. ，9.设，，为非零不共线向量，若，则A. B.C. D.10.数列满足若存在实数使不等式，对任意恒成立，当时，A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.复数且i为虚数单位，则______；______．12.的展开式的所有二项式系数和为______，常数项为______．13.设双曲线的左、右焦点为，，P为该双曲线上一点且，若，则该双曲线的离心率为______，渐近线方程为______．14.在中，若，，则______，______．15.已知是等差数列的前n项和，若，，则的最大值是______ ．16.安排A、B、C、D、E、F共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A安排照顾老人甲，志愿者B不安排照顾老人乙，则安排方法共有______种．17.已知函数当，的最大值为，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数，．若，求的单调递增区间；若，求的最小正周期T的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中点．Ⅰ求证：平面平面PBC；Ⅱ若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.已知数列的各项均为正数，，，是等差数列，其前n项和为，．求数列的通项公式；，，若对任意的正整数n，都有恒成立，求实数a的取值范围．21.如图，已知为抛物线C：上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点B两点异于，记直线AM，BM的料率分别为，．求的值；记，的面积分别为，，当，求的取值范围．22.已知函数，，其中．若，求证：．若不等式对恒成立，试求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：把代入不等式，得，成立，点A不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立但不成立，点B不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立且，点C在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，不成立，点D不在不等式组表示的平面区域内．故选：C．分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式组进行判断，即能够求出答案．本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱切去一个底面为矩形，高为四棱锥体．如图所示：所以该几何体的体积为：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，割补法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.答案：A解析：解：函数，令，解得，或3．“”是”函数的最小值等于2”的充分不必要条件．故选：A．函数，令，解得a，进而判断出关系．本题考查了绝对值不等式、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：．则第7行的数据为：1，6，15，20，15，6，1，第8行的数据：1，7，21，35，35，21，7，1，则这个表格中第8行第6个数是21，故选：A．通过表格可归纳推理得到第7和第8行的数据从而得到答案，归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想，属于基础题．6.答案：D解析：解：由，故可排除选项A，B；又时，且，故可排除选项C．故选：D．利用特殊点的函数值及函数的趋近性，得出答案．本题考查函数图象的运用，考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题．7.答案：A解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，，，的分布列为：1 2 3P，．1 2 3 4 5P，，，故选：A．由，求出的分布列，从而求出，；由，求出的分布列，从而求出，进而得到，本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，设，则，则，，又由为偶函数，则，即，变形可得：对于任意x恒成立，则有，分析选项：C满足，故选：C．根据题意，设，则，由函数的解析式可得，，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得，分析选项即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数诱导公式的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，，为非零不共线向量，若，则，，化简得，，即，，，故选：D．因为对任意的实数，不等式恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式．本题主要考察了平面向量的数量积以及一元二次不等式的知识．10.答案：B解析：解：，当时，可得：，解得，同理可得：，．若存在实数使不等式，对任意恒成立，则，经过验证只有满足上述不等式．故选：B．，当时，可得：，解得，同理可得：，若存在实数使不等式，对任意恒成立，经过验证即可得出．本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由，得，则，解得．；，．故答案为：；．把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件即可求出a，b的值，再由复数模的公式计算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．12.答案：64 20解析：解：由题设知：展开式的所有二次项系数和为；又其通项公式为，令，解得：，．故答案为：64；20．先求出二次项系数和，再利用二项式定理中的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的内容，属于基础题．13.答案：解析：解：由题意可设P为第一象限内的点，且设，，由双曲线的定义可得，又，可得，，在中，由余弦定理可得，则，即，由，即，则渐近线方程为，故答案为：，由题意可设P为第一象限内的点，且设，，运用双曲线的定义和已知条件求得m，n，三角形的余弦定理可得a，c的关系，再结合a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到心率公式和渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的余弦定理的运用，同时考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.答案： 1解析：解：，，，又，，，，，，，即，又，C均为锐角，，由正弦定理得：，故答案为：，1．先利用二倍角公式化简得，再结合A的范围即可得到A的值，利用两角和与差的三角函数公式化简得，所以，再利用由正弦定理即可算出结果．本题主要考查了利用三角函数公式化简求值，熟练掌握三角函数公式是解题关键，是中档题．15.答案：9解析：解：，，，即，即所以，得到，所以，即的最大值为9．故答案为：9．由，，知，，所以，得到，由此能求出的最大值．本题考查等差数列的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列前n项和公式的合理运用．16.答案：18解析：解：先安排照顾老人乙，有种方法；再考虑照顾老人甲，有种方法；其余去照顾老人丙即可，共有种安排方法．故填：18．利用乘法原理，计算出结果．本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用．17.答案：7解析：解：依题意，，则，，当且仅当且时取等号．取，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，；取，，则显然函数在上递减，在上递增，；综上所述，的最小值为7．故答案为：7．先根据绝对值值不等式的性质可得，即必要性成立，再取值验证，证明其充分性成立即可得解．本题考查了含绝对值函数的最值求法，涉及了利用绝对值不等式的性质，利用导数研究函数的最值等知识点，考查了推理能力与计算能力，属于较难题目．18.答案：解：当时，函数，令，；解得，；所以的单调递增区间是，；由，若，则，所以，；解得，；又因为函数的最小正周期，且，所以当时，T取得最大值为．解析：化简时函数的解析式，利用正弦函数的单调性求出的单调递增区间；化为正弦型函数，根据求出，再计算函数最小正周期T的最大值．本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：平面ABCD，平面ABCD，，，，，，，又，，，平面PBC，平面EAC，平面PBC，平面平面PBC．Ⅱ如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则0，，1，，，设0，，则，1，，0，，，取，则，为面PAC的法向量．设y，为面EAC的法向量，则，即，取，，，则，依题意，，，则，于是，1，．设直线PA与平面EAC所成角为，则，，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．解析：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．Ⅰ证明平面平面PBC，只需证明平面PBC，即证，；Ⅱ根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角的余弦值为，可求a的值，从而可求，1，，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.答案：解：设等差数列的公差为，由得，解得：，，，，；，，，对任意的正整数n恒成立恒成立．又在时单调递减，其范围为．故．解析：先设等差数列的公差为，由题设条件求出d，进而求出，；先求，再求出，从而求出，解出a的取值范围．本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的和，还有利用数列的单调性求范围，属于中档题．21.答案：解：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为；由题意可得直线AB的斜率不为0，所以设直线AB的方程为：，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，，由题意可得，所以．由可得，所以，，又，所以．所以的取值范围．解析：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的方程，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出直线AM，BM的斜率之积可得为定值，；由可得的表达式，由其服务求出A的纵坐标的范围，两个，的面积以M 为顶点，以AD，BD为为底边，所以面积之比等于AD，BD的长度之比，由可得其取值范围．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合及面积之比与边长之比的关系，属于中档题．22.答案：解：证明：，，．函数在上单调递增，，．存在，使得，当时，；时，．．由，即，则．．即；由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，可得在上单调递增，且．．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．，．令．．可得：在上单调递减，且．时，函数取得最大值，．．，对恒成立．由可知：．解析：，，函数在上单调递增，，．存在，使得可得即可证明．由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，利用单调性可得．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．由，可得令利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷(5月份) (含答案解析)
2020年浙江省杭州高中高考数学质检试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x−1≤0}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q=()A. (0,1)B. (0.2]C. [1,2]D. (1,2]2.若双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，则此双曲线的顶点到渐近线的距离等于()A. 2B. √32C. 32D. √33.若正四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是()A. 4B. 4+4√10C. 8D. 4+4√114.设x，y满足{2x−y−2⩽0x−2y+2⩾0x+y+2⩾0，则z=x−3y的最小值是()A. 8B. −2C. −4D. −85.设函数f(x)=(2−t)·2x+t−3，当t∈(1,4)时，f(x0)<0，且x0∈Z，则x0的取值的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 46.“−2<x<1”是“x>1或x<−1”的()A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 既充分也必要条件7.已知随机变量X的分布列如表：X−101P a b c其中a，b，c>0.若X的方差DX≤13对所有a∈(0,1−b)都成立，则()A. b≤13B. b≤23C. b≥13D. b≥238.已知向量a⃗=(λ,2)，b⃗ =(1,−2)，a⃗⊥b⃗ ，则实数λ=()A. 1B. 4C. −1D. −49.已知函数f(x)=12x 4−2x 3+3m，x∈R，若f(x)+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()A. m≥32B. m>32C. m≤32D. m<3210.数列{a n}满足a n+1+a n=2n−3，则a8−a4=()A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.已知i是虚数单位，若z(1−i)=2i，则|z|=________．12.已知在(1−2x)n的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n(1−2x2)的展开式中，x4项的系数是__________．13.已知圆O:x2+y2=4.过点Q(2,4)作圆的切线，则切线长为________．14.如图，△ABC上，D是BC上的点，且AC=CD，2AC=√3AD，AB=2AD，则sin B等于______．15.从4男2女共6名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．(用数字作答) 16.已知集合A={x∈R||x−55|≤112}，则集合A中的最大整数为______．17.椭圆x29+y25=1的离心率为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，φ∈(−π2,π2)的部分图象如图所示．(1)求ω、φ的值；(2)设x∈(−π3,π2)，求函数f(x)的值域．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，AA1=1，AB=2，AC=1，BC=√3．(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；((2)求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．20.已知等差数列{a n}满足(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(a n+a n+1)=2n(n+1)(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n2n−1}的前n项和S n．21.已知抛物线Γ：y2=2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线Γ相交于M、N两点，且|MN|=4．(Ⅰ)求抛物线Γ的方程；(Ⅱ)若点P是抛物线Γ上的动点，点B、C在y轴上，圆(x−1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC 面积的最小值．22.已知函数g(x)=e x−2−ax(a∈R)(e为自然对数的底数)(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)当x>0且x≠1时，f(x)=g(x)−e x−2+x在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值．lnx-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查集合的运算：交集和补集，考查运算能力，属于基础题．求得P的补集，再由交集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合P={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∁R P={x|x>1}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q={x|1<x≤2}．故选：D．2.答案：B解析：解：由题意，双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，则a=1，∴顶点坐标为(±1,0)，渐近线的方程为y=±√3x∴双曲线的顶点到渐近线的距离为√33+1=√32，故选：B．双曲线x2a2−y23=1的离心率为2，求出a=1，可得双曲线的顶点坐标、渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离．本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题．3.答案：B解析：【分析】本题考查三视图与直观图，考查学生的计算能力，属于基础题．由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3，由此可求正四棱锥的表面积．【解答】解：由正四棱锥的正视图和俯视图可知，正四棱锥的底面对角线长为2√2，正四棱锥的高为3 ∴正四棱锥的底面正方形边长为2∵正四棱锥的高为3∴正四棱锥的斜高为√9+1=√10∴正四棱锥的表面积是四个侧面积+一个底面积，即4+4×12×2×√10=4+4√10故选B ．4.答案：C解析：【分析】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，属于基础题．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：作出可行域，当直线z =x −3y 经过点A 时，z =x −3y 有最小值，由{2x −y −2=0x −2y +2=0，解得x =2，y =2， 故z min =2−3×2=−4．故选C5.答案：C解析：【分析】本题考查函数的单调性和值域，考查抽象概括能力和应用意识．【解答】解：f(x)=(2−t)·2x +t −3=(1−2x )t +2x+1−3，∴F(t)=(1−2x )t +2x+1−3是关于t 的一次函数，∵当t ∈(1,4)时，f(x 0)<0∴{F(1)⩽0F(4)⩽0即{2x 0−2⩽0−2⋅2x 0+1⩽0解得−1≤x 0≤1， 又∵x 0∈Z ，∴x 0=−1，0，1，故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查了充要条件，必要条件，充分条件的概念．根据题目所给已知条件，结合充要条件，必要条件，充分条件的定义进行判断即可．【解答】解：或x <−1，且x >1或，∴“−2<x <1”是“x >1或x <−1”的既不充分也不必要条件．故答案为C ．7.答案：D解析：解：依题意，a +b +c =1，故c =1−a −b ，当a ∈(0,1−b)时，故E X =−a +c =1−b −2a ，DX =E(X 2)−E 2(X)=a +c −(c −a)2=a +c −[(c −a)2+4ac]+4ac =(a +c)−(a +c)2+4a[1−b −a]=(1−b)−(1−b)2+4a[1−b −a]，令1−b =t ，则t ∈(0,1)DX =t −t 2+4a(t −a)≤13，a ∈(0,t)， 故4a 2−4at +t 2−t +13≥0，在a ∈(0,t)时恒成立，当a =t 2时DX 有最小值，故4(t 2)2−4t 2×t +t 2−t +13≥0，故t ≤13，即−1−b ≤13，所以b ≥23，故选：D ．依题意，a +b +c =1，当a ∈(0,1−b)时，可以表示出c ，从而将DX 用含有a ，b 的算式，根据a ∈(0,1−b)时方差DX ≤13都成立，进而推出b 的范围．本题考查频率、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．8.答案：B解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =λ−2×2=0，解得λ=4．故选：B．由a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =0，即可解得λ．本题查克拉向量垂直与数量积的关系，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查学生找函数恒成立问题时的条件的能力．要找m的取值使f(x)+9≥0恒成立，思路是求出f′(x)并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f(x)的最小值，使最小值大于等于−9即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f(x)=12x4−2x3+3m，所以f′(x)=2x3−6x2，令f′(x)=0得x=0或x=3，经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)=3m−272，不等式f(x)+9≥0恒成立，即f(x)≥−9恒成立，所以3m−272≥−9，解得m≥32．故选A．10.答案：D解析：【分析】本题考查了学生的化简运算能力及整体思想的应用．由a n+1+a n=2n−3得到a n+2−a n=2，从而求出答案，属基础题．【解答】解：依题意得(a n+2+a n+1)−(a n+1+a n)=[2(n+1)−3]−(2n−3)，。
浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷(5月份)带答案解析
2021年浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0） B ．[﹣2，0）C ．∅D ．（﹣2，1）2．（4分）设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．23．（4分）已知q 是等比数{a n }的公比，则q ＜1”是“数列{a n }是递减数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．16B ．26C ．32D ．20+254√35．（4分）若存在实数x ，y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0与不等式x ﹣2y +m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0 B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥36．（4分）(x x)n展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（ ） A ．790B ．680C ．462D ．3307．（4分）已知正实数a ，b 满足a 2﹣b +4≤0，则u =2a+3ba+b （ ） A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为38．（4分）已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →=MC →，则|BM →|2的最大值是（ ）A ．434B ．494C ．37+6√34D ．37+2√3349．（4分）如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是π4，PQ 是正方形BCEF所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（ ）A ．[π4，π2]B ．[π6，π2]C ．[π6，π3]D ．[π3，π2]10．（4分）已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数f '（x ）满足xf ′(x)+f(x)=lnxx ，且f(e)=1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f(x)+e ＞x +1e 的解集是（ ） A ．(0，1e )B ．（0，e ）C ．(1e ，e)D ．(1e ，+∞)二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）若2sin α﹣cos α=√5，则sin α＝ ，tan （α−π4）＝ ．12．（6分）商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是 ；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝ ． 13．（6分）在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A =π3，cos ∠BDC =7，△ABC 的面积为3√3，则sin ∠ABD ＝ ，BC ＝ ．14．（6分）已知抛物线y ＝x 2和直线l ：y ＝kx +m （m ＞0）交于两点A 、B ，当OA →⋅OB →=2时，直线l 过定点 ；当m ＝ 时，以AB 为直径的圆与直线y =−14相切．15．（4分）根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有 种不同的考试安排方法．16．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是棱AB ，AD ，AA 1的中点．以△PQR 为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是 ．17．（4分）函数y ＝ax 2﹣2x 的图象上有且仅有两个点到直线y ＝x 的距离等于√2，则实数a 的取值集合是 ．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）设函数f （x ）＝sin 2ωx ﹣cos 2ωx +2√3sin ωx cos ωx +λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（12，1）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若y ＝f （x ）的图象经过点（π4，0），求函数f （x ）在区间[0，3π5]上的取值范围．19．（15分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．（I ）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（Ⅱ）已知EF ＝FB =12AC ＝2√3，AB ＝BC ，求二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值．20．（15分）已知函数f （x ）=13ax 3−12bx 2+x （a ，b ∈R ）． （Ⅰ）当a ＝2，b ＝3时，求函数f （x ）极值；（Ⅱ）设b ＝a +1，当0≤a ≤1时，对任意x ∈[0，2]，都有m ≥|f '（x ）|恒成立，求m 的最小值． 21．（15分）已知椭圆x 2a +y 2＝1（a ＞1），过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x轴上时，切线P A 的斜率为±√22． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．22．（15分）已知函数f n （x ）＝x n （1﹣x ）2在（14，1）上的最大值为a n （n ＝1，2，3，…）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对任何正整数n （n ≥2），都有a n ≤1(n+2)2成立；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有S n ＜1327成立．2021年浙江省杭州市西湖区学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知集合A ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0）B ．[﹣2，0）C ．∅D ．（﹣2，1）【考点】1H ：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合． 【分析】由全集R 及A ，求出A 的补集，找出B 与A 补集的交集即可． 【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣2或x ＞1}， ∴∁R A ＝{x |﹣2≤x ≤1}， 集合BB ＝{x |x ＞2或x ＜0}，∴（∁R A ）∩B ＝{x |﹣2≤x ＜0}＝[﹣2，0）， 故选：B ．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．（4分）设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】先化简复数，再求模即可． 【解答】解：∵复数z 满足1+z 1−z=i ，∴1+z ＝i ﹣zi ， ∴z （1+i ）＝i ﹣1， ∴z =i−1i+1=i ， ∴|z |＝1， 故选：A ．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．3．（4分）（2014•江西一模）已知q 是等比数{a n }的公比，则q ＜1”是“数列{a n }是递减数列”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】21：阅读型．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=−4−8=12＜1的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=−2−1＞1，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选：D．【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件，解答此类问题时，要说明一个命题不正确可用举反例的方法，此题是基础题．4．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16B．26C．32D．20+254√3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5Q：立体几何．【分析】根据三视图得几何体是三棱锥，且一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，且一条侧棱与底面垂直，高为4，如图所示；其中SC⊥平面ABC，SC＝3，AB＝4，BC＝3，AC＝5，SC＝4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB ⊥SB ； S △ABC =12×3×4＝6， S △SBC =12×3×4＝6， S △SAC =12×4×5＝10， S △SAB =12×AB ×SB =12×4×5＝10， ∴该几何体的表面积S ＝6+6+10+10＝32． 故选：C ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键． 5．（4分）（2013•杭州二模）若存在实数x ，y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0与不等式x ﹣2y +m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥lD ．m ≥3【考点】7C ：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z ＝x ﹣2y 对应的直线进行平移，可得当x ＝y ＝3时，z 取得最小值为﹣3；当x ＝4且y ＝2时，z 取得最大值为0，由此可得z 的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m 使不等式x ﹣2y +m ≤0成立，即可算出实数m 的取值范围．【解答】解：作出不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （4，2），B （1，1），C （3，3） 设z ＝F （x ，y ）＝x ﹣2y ，将直线l ：z ＝x ﹣2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z 最大值＝F （4，2）＝0当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z 最小值＝F （3，3）＝﹣3 因此，z ＝x ﹣2y 的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m ，使不等式x ﹣2y +m ≤0成立，即存在实数m ，使x ﹣2y ≤﹣m 成立 ∴﹣m 大于或等于z ＝x ﹣2y 的最小值，即﹣3≤﹣m ，解之得m ≤3 故选：B ．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z ＝x ﹣2y 的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、不等式的解集非空和简单的线性规划等知识，属于基础题．6．（4分）（2021•西湖区校级模拟）(x +√x )n 展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（ ） A ．790B ．680C ．462D ．330【考点】DA ：二项式定理．【专题】11：计算题；4R ：转化法；5P ：二项式定理．【分析】由题意可得：2n ﹣1＝1024，解得n ＝11．可得展开式中各项系数的最大值是∁115或∁116．【解答】解：由题意可得：2n ﹣1＝1024，解得n ＝11．则展开式中各项系数的最大值是∁115或∁116，则∁115=11×10×9×8×75×4×3×2×1=462．故选：C ．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知正实数a ，b 满足a 2﹣b +4≤0，则u =2a+3ba+b（ ） A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为3【考点】7F ：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；35：转化思想；5T ：不等式．【分析】a 2﹣b +4≤0，可得b ≥a 2+4，a ，b ＞0．可得−aa+b ≥−aa 2+a+4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a 2﹣b +4≤0，∴b ≥a 2+4，a ，b ＞0． ∴a +b ≥a 2+a +4， ∴a a+b≤aa 2+a+4，∴−a a+b ≥−a a 2+a+4，∴u =2a+3b a+b =3−a a+b ≥3−a a 2+a+4=3−1a+4a+1≥31√a⋅4a +1=145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号． 故选：B ．【点评】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（4分）（2016•四川）已知正三角形ABC 的边长为2√3，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →=MC →，则|BM →|2的最大值是（ ） A ．434B ．494C ．37+6√34D ．37+2√334【考点】91：向量的概念与向量的模．【专题】31：数形结合；35：转化思想；56：三角函数的求值；5A ：平面向量及应用；5B ：直线与圆． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．B （0，0），C (2√3，0)．A (√3，3)．点P 的轨迹方程为：(x −√3)2+(y −3)2=1，令x =√3+cos θ，y ＝3+sin θ，θ∈[0，2π）．又PM →=MC →，可得M (32√3+12cosθ，32+12sinθ)，代入|BM →|2=374+3sin (θ+π3)，即可得出． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． B （0，0），C (2√3，0)． A (√3，3)． ∵M 满足|AP →|＝1，∴点P 的轨迹方程为：(x −√3)2+(y −3)2=1， 令x =√3+cos θ，y ＝3+sin θ，θ∈[0，2π）． 又PM →=MC →，则M (32√3+12cosθ，32+12sinθ)，∴|BM →|2=(3√32+12cosθ)2+(32+12sinθ)2=374+3sin (θ+π3)≤494．∴|BM →|2的最大值是494．也可以以点A 为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC 中点N ，MN =12，从而M 轨迹为以N 为圆心，12为半径的圆，B ，N ，M 三点共线时，BM 为最大值．所以BM 最大值为3+12=72． 故选：B ．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）（2021•西湖区校级模拟）如图，正方形ABCD 与正方形BCEF 所成角的二面角的平面角的大小是π4，PQ 是正方形BCEF 所在平面内的一条动直线，则直线BD 与PQ 所成角的取值范围是（ ）A ．[π4，π2]B ．[π6，π2]C ．[π6，π3]D ．[π3，π2]【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5G ：空间角．【分析】以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD 与PQ 所成角的取值范围．【解答】解：以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则B （0，0，0），D （1，1，0），C （1，0，0），E （1，√22，√22），F （0，√22，√22），当D 点在正方形BCEF 的投影刚好落在CE 上，记为G 点，其坐标为G （1，12，12），此时BG 与BD 所成角刚好30度， 即直线BD 与PQ 所成角的最小值为π6，取P （12，0，0），Q （0，12，12）时，直线BD 于PQ 所成角取最大值，∵BD →=（1，1，0），PQ →=（−12，12，12），∴cos ＜BD →，PQ →＞=BD →⋅PQ→|BD →|⋅|PQ →|=0，∴直线BD 于PQ 所成角最大值为π2．∴直线BD 与PQ 所成角的取值范围是[π6，π2]．故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10．（4分）（2021•西湖区校级模拟）已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导函数f '（x ）满足xf ′(x)+f(x)=lnx x ，且f(e)=1e ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f(x)+e ＞x +1e的解集是（ ） A ．(0，1e )B ．（0，e ）C ．(1e ，e)D ．(1e ，+∞)【考点】63：导数的运算；67：定积分、微积分基本定理；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【专题】11：计算题；35：转化思想；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，令g （x ）＝xf （x ），分析可得g ′（x ）＝[xf （x ）]′=xf ′(x)+f(x)=lnxx ，对g （x ）求积分可得g （x ）的解析式，进而可得f （x ）的解析式，再令h （x ）＝f （x ）﹣x ，对其求导可得h ′（x ）＝f ′（x ）﹣1＜0，分析可得函数h （x ）＝f （x ）﹣x 在（0，+∞）上递减，将不等式f(x)+e ＞x +1e 变形可得f （x ）﹣x ＞1e −e ＝f （e ）﹣e ，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）＝xf（x），则有g′（x）＝[xf（x）]′=xf′(x)+f(x)=lnx x，则g（x）=12（lnx）2+C，即xf（x）=12（lnx）2+C，则有f（x）=12x（lnx）2+Cx，又由f(e)=1e，即f（e）=12e+C e=1e，解可得C=12，故f（x）=12x（lnx）2+12x，令h（x）＝f（x）﹣x，则h′（x）＝f′（x）﹣1=−(lnx+1)22x2−1＜0，故函数h（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式f(x)+e＞x+1e，即f（x）﹣x＞1e−e＝f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式f(x)+e＞x+1e的解集为（0，e）；故选：B．【点评】本题考查抽象函数的单调性，涉及导数的计算以及函数的积分计算，关键是求出函数f（x）的解析式．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（6分）（2021•西湖区校级模拟）若2sinα﹣cosα=√5，则sinα＝2√55，tan（α−π4）＝3．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=√5，∴cosα＝2sinα−√5，∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+（2sinα−√5）2＝1，即5sin2α﹣4√5sinα+4＝0，∴解得：sinα=2√5 5，∴cosα＝2×2√55−√5=−√55，tanα=sinαcosα=−2，∴tan （α−π4）=tanα−11+tanα=−2−11−2=3．故答案为：2√55，3． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据同角的三角函数关系式是解决本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12．（6分）（2021•西湖区校级模拟）商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是 710；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝35．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差．【专题】38：对应思想；49：综合法；5I ：概率与统计．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为610×510=310，∴抽奖1次能获奖的概率为1−310=710； 抽奖1次获一等奖的概率为410×510=15，∴随机变量X 服从二项分布，即X ～B （3，15）， ∴EX ＝3×15=35． 故答案为：710，35．【点评】本题考查了相互独立事件的概率的计算，数学期望的计算，属于基础题． 13．（6分）（2021•西湖区校级模拟）在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A =π3，cos ∠BDC =7，△ABC 的面积为3√3，则sin ∠ABD ＝3√2114，BC ＝ 6 ． 【考点】HT ：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形．【分析】过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH =DH BD =2√77，设DH ＝2k （k ＞0），则BD =√7k ，BH =√3k ，在Rt △ABH 中，由∠A =π3，得AH ＝k ，从而AD ＝3k ，AC ＝6k ，由S △ABC =12×6k ×√3k =3√3k 2=3√3，求出BC ＝2√7，再由BDsinA=AD sin∠ABD，能求出sin ∠ABD ．【解答】解：过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH =DH BD =2√77， 设DH ＝2k （k ＞0），则BD =√7k ， ∴BH =√BD 2−DH 2=√3k ， 在Rt △ABH 中，∠A =π3，∴AH =3=k ， ∴AD ＝3k ，AC ＝6k ，又S △ABC =12×AC ×BH =12×6k ×√3k =3√3k 2=3√3， 解得k ＝1，∴BC ＝2√7， 在△ABD 中，BDsinA=AD sin∠ABD，∴√7√32=3sin∠ABD解得sin ∠ABD =3√2114． 故答案为：3√2114，6．【点评】本题考查三角形的内角的正弦值的求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．14．（6分）（2021•西湖区校级模拟）已知抛物线y ＝x 2和直线l ：y ＝kx +m （m ＞0）交于两点A 、B ，当OA →⋅OB →=2时，直线l 过定点 （0，2） ；当m ＝ 14时，以AB 为直径的圆与直线y =−14相切．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；41：向量法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m 的值，求得直线l 的方程求得直线l 过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M 的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m 的值． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），{y =x 2y =kx +m ，整理得：x 2﹣kx ﹣m ＝0，则x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣m ，y 1y 2＝（x 1x 2）2＝m 2，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m ＝k 2+2m ，由OA →⋅OB →=2，则x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣m ＝2，即m 2﹣m ﹣2＝0，解得：m ＝﹣1或m ＝2， 由m ＞0，则m ＝2， 直线l ：y ＝kx +2， ∴直线l 过点（0，2），设以AB 为直径的圆的圆心M （x ，y ），圆M 与y =−14相切于P ， 由x =x 1+x 22=k 2，则P （k 2，−14）， 由题意可知：PA →•PB →=0，即（x 1−k 2，y 1+14）•（x 2−k 2，y 2+14）＝0， 整理得：x 1x 2−k 2（x 1+x 2）+k 24+y 1y 2+14（y 1+y 2）+116=0，代入整理得：m 2−m 2+116=0，解得：m =14， ∴当m =14，以AB 为直径的圆与直线y =−14相切． 故答案为：（0，2），14．【点评】本题考查椭圆的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．15．（4分）（2021•西湖区校级模拟）根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有 114 种不同的考试安排方法．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；35：转化思想；5O ：排列组合．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有C 43种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次（有C43种方法），每次考两科，第一次有C32种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有C11•C21种方法，第三次只能是C22种方法，根据分布乘法计数原理，共有：C43•C32•（C11•C21）•C22=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共C42=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．若为2211，第一次有C32种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有C22种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有C32•C22•1•1＝3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有C11•C21种方法，则第三次与第四次共有A22种方法，故共有C32•C11•C21•A22=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；若方案为2121，共有C32（C11•C32•C11+C21•C11•C11）＝15种方法；若方案为2112，共有C32（C11•C31•C22+C21•C11•C11）＝15种方法；同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6＝90种方法．综合①②得：共有24+90＝114种方法．故答案为：114．【点评】本题考查排列组合的实际应用，突出考查分类讨论思想的运用，在第二类四次考试都选中，第二次选考的科目的种类是分析问题的关键，是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．16．（4分）（2021•西湖区校级模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是316．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N 、H ，则三这个棱柱的高h ＝PH ＝RM ＝QN ，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案． 【解答】解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P ，Q ，R 分别是棱AB ，AD ，AA 1的中点， 以△PQR 为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A 1B 1C 1D 1、面DD 1C 1C 、面BB 1C 1C 的中心，记为M 、N 、H ，则三这个棱柱的高h ＝PH ＝RM ＝QN ，这个三棱柱的高h ＝RM =√RA 2+AM 2=(12)2+(22)2=√32． 底面正三角形PQR 的边长为√22，面积为12×√22×√(√22)2−(√24)2=√38． ∴这个直三棱柱的体积是√38×√32=316． 故答案为：316．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17．（4分）（2021•西湖区校级模拟）函数y ＝ax 2﹣2x 的图象上有且仅有两个点到直线y ＝x 的距离等于√2，则实数a 的取值集合是 {a |a ＜−98或a ＝0或a ＞98} ． 【考点】3V ：二次函数的性质与图象．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．【分析】对a 进行分类讨论，得出y ＝ax 2﹣2x 与y ＝x ±2的位置关系，根据交点个数判断a 的范围． 【解答】解：（1）若a ＝0，则y ＝2x 与y ＝x 为相交直线， 显然y ＝2x 上存在两点到y ＝x 的距离等于√2，符合题意； （2）若a ＞0，则y ＝ax 2﹣2x 与直线y ＝x 相交，∴y ＝ax 2﹣2x 在直线y ＝x 上方的图象必有2点到直线y ＝x 的距离等于√2， 又直线y ＝x 与y ＝x ﹣2的距离为√2， ∴抛物线y ＝ax 2﹣2x 与直线y ＝x ﹣2不相交， 联立方程组{y =ax 2−2x y =x −2，消元得ax 2﹣3x +2＝0，∴△＝9﹣8a ＜0，解得a ＞98． （3）若a ＜0，同理可得a ＜−98． 故答案为：{a |a ＜−98或a ＝0或a ＞98}．【点评】本题考查了二次函数的性质，直线与曲线的位置关系，属于中档题． 三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）（2021•西湖区校级模拟）设函数f （x ）＝sin 2ωx ﹣cos 2ωx +2√3sin ωx cos ωx +λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（12，1）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若y ＝f （x ）的图象经过点（π4，0），求函数f （x ）在区间[0，3π5]上的取值范围．【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【专题】38：对应思想；4R ：转化法；57：三角函数的图象与性质．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f （x ）化为y ＝A sin （ωx +φ）+k 型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期； （Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f （x ）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）＝sin 2ωx +2√3sin ωx •cos ωx ﹣cos 2ωx +λ =√3sin2ωx ﹣cos2ωx +λ ＝2sin （2ωx −π6）+λ，∵图象关于直线x ＝π对称，∴2πω−π6=π2+k π，k ∈z ．∴ω=k 2+13，又ω∈（12，1），令k ＝1时，ω=56符合要求， ∴函数f （x ）的最小正周期为 2π2×56=6π5；（Ⅱ）∵f （π4）＝0，∴2sin （2×56×π4−π6）+λ＝0， ∴λ=−√2，∴f （x ）＝2sin （53x −π6）−√2，∴f （x ）∈[﹣1−√2，2−√2]．【点评】本题主要考查了y ＝A sin （ωx +φ）+k 型函数的图象和性质，复合函数值域的求法，正弦函数的图象和性质，是一道中档题．19．（15分）（2016•山东）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．（I ）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（Ⅱ）已知EF ＝FB =12AC ＝2√3，AB ＝BC ，求二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值．【考点】LS ：直线与平面平行；MJ ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；35：转化思想；41：向量法；5F ：空间位置关系与距离；5G ：空间角． 【分析】（Ⅰ）取FC 中点Q ，连结GQ 、QH ，推导出平面GQH ∥平面ABC ，由此能证明GH ∥平面ABC ． （Ⅱ）由AB ＝BC ，知BO ⊥AC ，以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO ′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取FC 中点Q ，连结GQ 、QH ， ∵G 、H 为EC 、FB 的中点， ∴GQ ∥=12EF ，QH =∥12BC ，又∵EF ∥BO ，∴GQ ∥BO ， ∵QH ∩GQ ＝Q ，BC ∩BO ＝B ，∴平面GQH ∥平面ABC ，∵GH ⊂面GQH ，∴GH ∥平面ABC ． 解：（Ⅱ）∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ， 又∵OO ′⊥面ABC ，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OO ′为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （2√3，0，0），C （﹣2√3，0，0），B （0，2√3，0），O ′（0，0，3），F （0，√3，3）， FC →=（﹣2√3，−√3，﹣3），CB →=（2√3，2√3，0），由题意可知面ABC 的法向量为OO ′→=（0，0，3）， 设n →=（x 0，y 0，z 0）为面FCB 的法向量， 则{n →⋅FC →=0n →⋅CB →=0，即{−2√3x 0−√3y 0−3z 0=02√3x 0+2√3y 0=0， 取x 0＝1，则n →=（1，﹣1，−√33）， ∴cos ＜OO′→，n →＞=OO′→⋅n→|OO′→|⋅|n →|=−√77．∵二面角F ﹣BC ﹣A 的平面角是锐角， ∴二面角F ﹣BC ﹣A 的余弦值为√77．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（15分）（2021•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）=13ax 3−12bx 2+x （a ，b ∈R ）． （Ⅰ）当a ＝2，b ＝3时，求函数f （x ）极值；（Ⅱ）设b ＝a +1，当0≤a ≤1时，对任意x ∈[0，2]，都有m ≥|f '（x ）|恒成立，求m 的最小值． 【考点】6D ：利用导数研究函数的极值；6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】33：函数思想；4R ：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）对a 进行分类讨论：当a ＝0时，f （x ）＝﹣x +1，m ≥1；再对对称轴进行讨论，当 a+12a＜2时，即a ＞13；当a+12a≥2时，即a ≤13，分别去求|f （x ）|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a ＝2，b ＝3时，f （x ）=23x 3−32x 2+x ， f ′（x ）＝2x 2﹣3x +1＝（2x ﹣1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜12， 令f ′（x ）＜0，解得：12＜x ＜1，故f （x ）在（﹣∞，12）递增，在（12，1）递减，在（1，+∞）递增，故f （x ）极大值＝f （12）=524，f （x ）极小值＝f （1）=16，（Ⅱ）当b ＝a +1，f （x ）=13ax 3−12（a +1）x 2+x ， f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，f ′（x ）恒过点（0，1）； 当a ＝0时，f ′（x ）＝﹣x +1， m ≥|f ′（x ）|恒成立， ∴m ≥1；0＜a ≤1，开口向上，对称轴a+12a≥1，f ′（x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1＝a （x −a+12a ）2+1−(a+1)24a，①当a ＝1时f ′（x ）＝x 2﹣2x +1，|f ′（x ）|在x ∈[0，2]的值域为[0，1]； 要m ≥|f ′（x ）|，则m ≥1； ②当0＜a ＜1时， 根据对称轴分类： 当x =a+12a ＜2，即13＜a ＜1， △＝（a ﹣1）2＞0， f ′（a+12a ）=12−14（a +1a ）∈（−13，0），又f ′（2）＝2a ﹣1＜1，所以|f ′（x ）|≤1；当x =a+12a ≥2，即0＜a ≤13；f ′（x ）在x ∈[0，2]的最小值为f ′（2）＝2a ﹣1； ﹣1＜2a ﹣1≤−13，所以|f ′（x ）|≤1，综上所述，要对任意x ∈[0，2]都有m ≥|f ′（x ）|恒成立，有m ≥1， ∴m 的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了二次函数的性质和对二次函数对称轴的分类讨论求闭区间的最值问题．21．（15分）（2021•西湖区校级模拟）已知椭圆x 2a 2+y 2＝1（a ＞1），过直线l ：x ＝2上一点P 作椭圆的切线，切点为A ，当P 点在x 轴上时，切线P A 的斜率为±√22． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，求△POA 面积的最小值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由P 在x 轴设出P 点坐标及直线P A 方程，将P A 方程与椭圆方程联立，整理关于x 的一元二次方程，△＝0求得a 2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P 及点A 的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x 的一元二次方程，△＝0，求得A 和P 点的坐标，求得|PO |及A 到直线OP 的距离，根据三角形的面积公式求得S ＝|k +√1+2k 2|，平方整理关于k 的一元二次方程，△≥0，即可求得S 的最小值． 【解答】解：（1）当P 点在x 轴上时，P （2，0），P A ：y =±√22(x −2)，{y =±√22(x −2)x 2a2+y 2=1⇒(1a 2+12)x 2−2x +1=0，△＝0⇒a 2＝2，椭圆方程为x 22+y 2=1；…﹣5（2）设切线为y ＝kx +m ，设P （2，y 0），A （x 1，y 1），则{y =kx +m x 2+2y 2−2=0⇒（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣2＝0⇒△＝0⇒m 2＝2k 2+1，…7 且x 1=−2km 1+2k2，y 1=m 1+2k2，y 0＝2k +m则|PO|=√y 02+4，PO 直线为y =y 02x ⇒，A 到直线PO 距离d =011√0，…﹣10 则S △POA =12|PO|⋅d =12|y 0x 1−2y 1|=12|(2k +m)−2km 1+2k2−2m 1+2k2|=|1+2k 2+km 1+2k2m|=|k +m|=|k +√1+2k 2|， (13)∴（S ﹣k ）2＝1+2k 2⇒k 2+2Sk ﹣S 2+1＝0，△=8S 2−4≥0⇒S ≥√22，此时k =±√22．…﹣15【点评】本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养，属于中档题．22．（15分）（2014•安徽模拟）已知函数f n （x ）＝x n （1﹣x ）2在（14，1）上的最大值为a n （n ＝1，2，3，…）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对任何正整数n （n ≥2），都有a n ≤1(n+2)2成立；（3）设数列{a n }的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有S n ＜1327成立． 【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得f n ′（x ）＝nx n ﹣1（1﹣x ）2﹣2x n （1﹣x ）＝（n +2）x n ﹣1（x ﹣1）（x −nn+2），由此利用导数性质能求出数列{a n }的通项公式． （2）当n ≥2时，欲证4n n (n+2)n+2≤1(n+2)2，只需证明（1+2n）n≥4，由此能证明当n ≥2时，都有a n ≤1(n+2)2成立． （3）S n ＜427+142+152+162+⋯+1(n+2)2＜427+(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯(1n+1−1n+2)，由此能证明任意正整数n ，都有S n ＜1327成立． 【解答】解：（1）∵f n （x ）＝x n （1﹣x ）2， ∴f n ′（x ）＝nx n ﹣1（1﹣x ）2﹣2x n （1﹣x ）＝x n ﹣1（1﹣x ）[n （1﹣x ）﹣2x ]＝（n +2）x n ﹣1（x ﹣1）（x −nn+2），…（2分） 当x ∈（14，1）时，由f n ′（x ）＝0，知：x =nn+2，…（3分）∵n ≥1，∴n n+2∈(14，1)，…（4分）∵x ∈（14，n n+2）时，f n ′（x ）＞0；x ∈（n n+2，1）时，f n ′（x ）＜0； ∴f （x ）在（14，n n+2）上单调递增，在（nn+2，1）上单调递减∴f n （x ）在x =nn+2处取得最大值， 即a n =(n n+2)n (2n+2)2=4n n(n+2)n+2．…（6分） （2）当n ≥2时，欲证4n n (n+2)≤1(n+2)，只需证明（1+2n）n ≥4，…（7分）∵（1+2n ）n =C n 0+C n 1(12)+C n 2(2n )2+⋯+C n n⋅(2n)n≥1+2+n(n−1)2⋅4n2≥1+2+1＝4，…（9分） ∴当n ≥2时，都有a n ≤1(n+2)2成立．…（10分）（3）S n ＝a 1+a 2+…+a n＜427+142+152+162+⋯+1(n+2)2 ＜427+(13−14)+(14−15)+(15−16)+⋯(1n+1−1n+2)=427+13−1n+2＜1327． ∴对任意正整数n ，都有S n ＜1327成立．…（13分） 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．。
2020届 浙江省杭州市杭州二中学 高三5月高考模拟数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州市杭州二中学高三5月高考模拟数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，{3,4,5}C =，则()()A B B C ⋃⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3} B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{3}【答案】B【解析】先根据两个集合的并集的定义求得A ∪B ，B ∪C ，再根据两个集合的交集的定义求得()()A B B C 即可.【详解】∵集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，{3,4,5}C =，∴A ∪B {1,2,34}=，，B ∪C {2,3,4,5}=， ∴(A ∪B )∩(B ∪C )={2,3,4}. 故选：B . 【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题.2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若前17项和为1734S =，则12a 的值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A【解析】由等差数列{}n a 的前17项和为S 17=34可得()117172a a +=34，再结合a 9为a 1，a 17的等差中项可求出a 9，再根据a 9和a 12的关系即可得解．【详解】∵等差数列{}n a 的前17项和为S 17=34， ∴()117172a a +=34，∴a 1+a 17=4，∵a 1+a 17=2a 9，∴a 9=2， 又等差数列{}n a 的公差为2，∴a 12=a 9+(12-9)×2， ∴a 12=8， 故选：A . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、求和公式及性质，属于基础题. 3．函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ） A ．1ab = B ．0a b +=C ．a b =D ．220a b +=【答案】D【解析】利用奇函数的定义“函数y =f （x ）的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x ∈D ，且f （-x ）=-f （x ），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a 、b 的值即可． 【详解】∵函数()||f x x x a b =++是奇函数， ∴f （-x ）=-f （x ），即||x x a b --++||x x a b =-++， ∵x 不恒为0，∴||x a -+||x a =+，可得a =0， 又(0)0f =，可得b =0，∴a =0且b =0，等价于220a b +=，因此，函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是220a b +=. 故选：D . 【点睛】本题考查函数奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于已知函数奇偶性求参数问题，奇函数利用f （-x ）=-f （x ），(0)0f =求解，偶函数利用f （-x ）=f （x ）求解，属于中等题. 4．若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6 B ．6C ．4D ．3【答案】A【解析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值． 【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia i i i i +-++-+==++-为纯虚数， ∴a +6=0且3−2a ≠0，解得：a =−6. 故选：A . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中一定不成立．．．．．的是（ ） A ．||||||a b a c b c -≥-+- B ．2211a a a a+<+C ．1||2a b a b-+≥- D ≤【答案】B【解析】本题要找出不等式中一定不成立的选项，需要根据选项找出成立的条件或说明一定不成立的原因，对于选项A 、C 可举例证明存在成立，D 选项可证明一定成立，B 选项可证明一定不成立． 【详解】在A 中，令a >0,b <0,c =0,则||||||a b a c b c -≥-+-能成立，故A 排除;在B 中,a 2+()2243222(1)1111a a a a a a a a a a a-++--+--==≥0，故B 一定不成立; 在C 中,当a -b >0,则|a -b |+1a b-≥2恒成立，故排除C ; 对D 项可采取两边有理化得：，<恒成立.答案：B . 【点睛】本题考查不等关系与不等式，是对含有绝对值不等式、基本不等式、无理不等式的综合考查，属于中等题.6．双曲线22221(,0)x y a b a b-=>上存在一点P ，与坐标原点O ，右焦点2F 构成正三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．512+ B ．3 C ．31+.D ．2【答案】C【解析】根据正三角形的性质得到三角形F 1PF 2为直角三角形，利用双曲线离心率的定义进行求解即可． 【详解】∵P 与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形， ∴连接PF 1,则三角形F 1PF 2为直角三角形， 则PF 2=c ,PF 13， ∵PF 1−PF 2=2a ， ∴31)c =2a ， 则e =3131c a ==-， 故选：C . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的简单性质的灵活应用，属于中等题. 7．设,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[2]-C ．2]D ．2]【答案】D【解析】先利用正弦的两角和公式化简已知等式，求得α+β=2π，把sin β转换为cos α，利用两角和公式化简，根据α的范围求得sin α+sin β的范围即可． 【详解】∵sin αcos β+sin βcos α=sin (α+β)=1,,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴α+β=2π， ∴−2π≤β=2π−α≤2π，可判断出2π≥α≥0，2222224sin sin sin cos sin cos sin παβααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭+， ∵α∈[0,2π]， ∴3,444πππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+， ∴2,142sin πα⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪∈⎝⎭⎣⎦+， ∴21,24sin πα⎛⎫+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∈，故选：D . 【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，掌握并灵活应用公式是解题的关键，属于中等题. 8．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．12B 3C ．174D 17 【答案】C【解析】【详解】试题分析：分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥P ABC -，其中底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，故球心O 在底面ABC 的投影为ABC ∆的外心，即AC 的中点D ，如图所示，则可知22217(32)(4)4R R R +-=⇒=，故选C.【考点】1.三视图；2、三棱锥的外接球．9．平面向量a ，b 满足：1||2a ≤≤，1||3a b ≤+≤，12a b ≤⋅≤，则||b 的最大值为（ ） A ．2 B 5C 6 D 7【答案】C【解析】根据已知，可得()[]222=+21,9a ba ab b +⋅+∈，分析可知当22+2=9a a b b ⋅+且||=1a ，=1a b ⋅时，||b 取最大值，求解即可.【详解】由1||2a ≤≤，1||3a b ≤+≤，12a b ≤⋅≤， 可得()[]222=+21,9a ba ab b +⋅+∈，所以当22+2=9a a b b ⋅+且||=1a ，=1a b ⋅时，||b 取最大值， 此时，22=92=6b a a b --⋅，||=6b ， 故选：C . 【点睛】本题平面向量的综合问题，考查向量的模、向量线性运算等知识点，需要较强的数学分析及转化能力，属于中等题. 10．已知不等式1ln ax x a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C【解析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】 不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤⎪⎝⎭令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.二、填空题11．成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，点生其中央，出水一尺，引葭赶岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10尺），有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中点），则水深为__________尺，芦苇长__________尺. 【答案】12 13【解析】把问题转化为如图的数学几何图形，根据题意，可知EB ′的长为10尺，则B ′C =5尺，设出AB =AB ′=x 尺，表示出水深AC ，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】依题意画出图形,设芦苇长AB =AB ′=x 尺,则水深AC =(x −1)尺，∵B ′E =10尺,∴B ′C =5尺， 在Rt △AB ′C 中,52+(x −1)2=x 2， 解得x =13(尺)，∴水深为12尺，芦苇长为13尺. 故答案为：12，13. 【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，将实际问题转化为几何问题，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.12．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________，二项式系数最大的项的系数为__________. 【答案】15452-【解析】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项为66311=2r rr r T C x +-⎛⎫- ⎪⎝⎭，令630,2r r -==即可得展开式中常数项，其中二项式系数最大的项是3343612x T C -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，化简即可得出系数． 【详解】6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中通项为()66316261=212r r r rr r r T x C x x C --+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令630,2r r -==，故常数项为22611524=C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，二项式系数最大的项是3433365212x x T C --⎛⎫=- ⎪⎝⎭=-，其系数为52-. 故答案为：154，52-. 【点睛】本题考查二项式通项及系数的性质，注意二项式系数最大项的与项数之间的关系，本题考查计算能力，属于基础题.13．已知圆22:()()1C x a y b -+-=，设平面区域70300x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则+2a b 的最小值为__________，22a b +的最大值为__________. 【答案】0 37【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C 与x 轴相切，得到b =1为定值，此时利用数形结合确定a 的取值即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为(a ,b )，半径为1，∵圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切， ∴b =1,a +2b =a +2,由y =1及x −y +3=0解得A (−2,1)，a +2b 的最小值为：0，则a 2+b 2=a 2+1，∴要使a 2+b 2的取得最大值，则只需a 最大即可， 由图象可知当圆心C 位于B 点时，a 取值最大，由y =1及x +y −7=0,解得B (6,1)，∴当a =6,b =1时,a 2+b 2=36+1=37，即最大值为37， 故答案为：0；37. 【点睛】本题考查简单线性规划及圆的方程及性质，根据数形结合找到取得最值点，代入即可，属于中等题.14．ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅的取值范围是__________. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据题意利用正弦定理可建立AC 与角B 的关系，求出B 的范围即可得AC 范围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，转化为只与角B 有关的关系式，根据B 的范围即可求解． 【详解】在ABC △中，2A B =，1BC =， 则sin sin 2A B =， 由正弦定理可得：sin sin BC ACA B=， sin sin 1=sin sin 22cos BC B B AC A B B⋅==，由A +B +C =π，可得3B +C =π，即333C B ππ=-<， 又角B 为三角形内角， 所以1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11,12cos 2AC B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 2B AC=， 1=cosB=12BA BC BA BC BA AC⋅⋅⋅⋅， 由正弦定理可得：()sin 3sin sin 3=22sin 2sin 2sin BA B CB ACB B Bπ-==()222sin 2cos 12sin cos 4cos 12sin 2B B B BB B-+-==，所以可得24cos 130,22B -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,2⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等知识，属于中等题。
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2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥36．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．3307．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为38．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= ．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= ．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有种不同的考试安排方法．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．22．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．3．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=y=3时，z取得最小值为﹣3；当x=4且y=2时，z取得最大值为0，由此可得z的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m使不等式x﹣2y+m≤0成立，即可算出实数m的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值=F（4，2）=0当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值=F（3，3）=﹣3因此，z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立∴﹣m大于或等于z=x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3故选：B6．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．330【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．可得展开式中各项系数的最大值是或．【解答】解：由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．则展开式中各项系数的最大值是或，则==462．故选：C．7．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为3【考点】7F：基本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，当且仅当a=2，b=8时取等号．故选：B．8．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【考点】93：向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．故选：B．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．故选：B．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算；67：定积分．【分析】根据题意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf（x）]′=，对g（x）求积分可得g（x）的解析式，进而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）﹣x，对其求导可得h′（x）=f′（x）﹣1＜0，分析可得函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，将不等式变形可得f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则有g′（x）=[xf（x）]′=，则g（x）=（lnx）2+C，即xf（x）=（lnx）2+C，则有f（x）=（lnx）2+，又由，即f（e）=+=，解可得C=，故f（x）=（lnx）2+，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=＜0，故函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式，即f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为（0，e）；故选：B．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= 3 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为=，∴抽奖1次能获奖的概率为1﹣=；抽奖1次获一等奖的概率为=，∴随机变量X服从二项分布，即X～B（3，），∴EX=3×=．故答案为：，．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= 6 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，BH= k，在Rt△ABH中，由∠A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S△ABC==3=3，求出BC=6，再由，能求出sin∠ABD．【解答】解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，∴BH==k，在Rt△ABH中，∠A=，∴AH==k，∴AD=3k，AC=6k，又S△ABC=×AC×BH==3=3，解得k=1，∴BC=6，在△ABD中，，∴解得sin∠ABD=．故答案为：，6．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点（0，2）；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：x2﹣kx﹣m=0，则x1+x2=k，x1x2=﹣m，y1y2=（x1x2）2=m2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=k2+2m，由，则x1x2+y1y2=m2﹣m=2，即m2﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1或m=2，由m＞0，则m=2，直线l：y=kx+2，∴直线l过点（0，2），设以AB为直径的圆的圆心M（x，y），圆M与相切于P，由x==，则P（，﹣），由题意可知：•=0，即（x1﹣，y1+）•（x2﹣，y2+）=0，整理得：x1x2﹣（x1+x2）++y1y2+（y1+y2）+=0，代入整理得：m2﹣+=0，解得：m=，∴当m=，以AB为直径的圆与直线相切．故答案为：（0，2），．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有114 种不同的考试安排方法．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科，第一次有种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，第三次只能是种方法，根据分布乘法计数原理，共有：••（•）•=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．若为2211，第一次有种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有••1•1=3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，则第三次与第四次共有种方法，故共有•••=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；若方案为2121，共有（••+••）=15种方法；若方案为2112，共有（••+••）=15种方法；同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法．综合①②得：共有24+90=114种方法．故答案为：114．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，这个三棱柱的高h=RM==．底面正三角形PQR的边长为，面积为=．∴这个直三棱柱的体积是．故答案为：．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是{a|a＜﹣或a=0或a} ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】对a进行分类讨论，得出y=ax2﹣2x与y=x±2的位置关系，根据交点个数判断a 的范围．【解答】解：（1）若a=0，则y=2x与y=x为相交直线，显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于，符合题意；（2）若a＞0，则y=ax2﹣2x与直线y=x相交，∴y=ax2﹣2x在直线y=x上方的图象必有2点到直线y=x的距离等于，又直线y=x与y=x﹣2的距离为，∴抛物线y=ax2﹣2x与直线y=x﹣2不相交，联立方程组，消元得ax2﹣3x+2=0，∴△=9﹣8a＜0，解得a．（3）若a＜0，同理可得a＜﹣．故答案为：{a|a＜﹣或a=0或a}．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．∴ω=+，又ω∈（，1），令k=1时，ω=符合要求，∴函数f（x）的最小正周期为=；（Ⅱ）∵f（）=0，∴2sin（2××﹣）+λ=0，∴λ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）﹣，∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，f（x）=﹣x+1，m≥1；再对对称轴进行讨论，当＜2时，即a＞；当≥2时，即a≤，分别去求|f（x）|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a=2，b=3时，f（x）=x3﹣x2+x，f′（x）=2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极大值=f（）=，f（x）极小值=f（1）=，（Ⅱ）当b=a+1，f（x）=ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，f′（x）恒过点（0，1）；当a=0时，f′（x）=﹣x+1，m≥|f′（x）|恒成立，∴m≥1；0＜a≤1，开口向上，对称轴≥1，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1=a（x﹣）2+1﹣，①当a=1时f′（x）=x2﹣2x+1，|f′（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；要m≥|f′（x）|，则m≥1；②当0＜a＜1时，根据对称轴分类：当x=＜2，即＜a＜1，△=（a﹣1）2＞0，f′（）=﹣（a+）∈（﹣，0），又f′（2）=2a﹣1＜1，所以|f′（x）|≤1；当x=≥2，即0＜a≤；f′（x）在x∈[0，2]的最小值为f′（2）=2a﹣1；﹣1＜2a﹣1≤﹣，所以|f′（x）|≤1，综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′（x）|恒成立，有m≥1，∴m≥1．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PO直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1522．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由已知得=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），由此利用导数性质能求出数列{a n}的通项公式．（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，由此能证明当n≥2时，都有成立．（3）S n＜＜，由此能证明任意正整数n，都有成立．【解答】解：（1）∵f n（x）=x n（1﹣x）2，∴=x n﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x]=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），…当x∈（，1）时，由，知：x=，…∵n≥1，∴，…∵x∈（，）时，；x∈（）时，（x）＜0；∴f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减∴在x=处取得最大值，即=．…（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，…∵（1+）n=≥1+2+≥1+2+1=4，…∴当n≥2时，都有成立．…（3）S n=a1+a2+…+a n＜＜=＜．∴对任意正整数n，都有成立．…。