2020届浙江省杭州市学军中学等五校2017级高三下学期联考数学试卷及答案
浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三下学期联考数学试题答案
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Hale Waihona Puke BM||BN
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2
yM
2
yN
=4+
2( y1 1) x1 2
+
2( y2 1) x2 2
=4+ 2[2kx1x2 (2k 2)(x1 x2 ) 8] =4+ 4kx1x2 2(2k 2)(x1 x2 ) 16
x1x2 2(x1 x2 ) 4
x1x2 2(x1 x2 ) 4
∴ an1 2an n2 3n可化为an1 (n 1)2 (n 1) 2(an n2 n) ………(5 分)
又 a1 12 1 0 ……………………………………………………………………(6 分)
故存在 1, 1 使得数列 an n 2 n 是等比数列 ……………(7 分)
⑵证明：由⑴得 an n2 n (a1 12 1) 2n1 ∴ an 2n1 n 2 n ，
故
bn
an
1 n
2 n1
1 n2
……………………………………………… (8 分)
∵
bn
1 n2
4 4n2
4 4n2 1
2 2n 1
2 2n 1
………………………… (9 分)
∴ n 2时,
2
2
因为 x 0 时 f '(x) , x 时 f '(x) . f '(1 ) 1 ln 2 0 2
所以
f
'(x)
0
有两个不同的实数根
x
x0 ,
x
1（其中
x0
(0,
1 ) ）. 2
x (0, x0 ) (1,) 时 f '(x) 0 ,即 f (x) 单调递减；
2020届浙江省杭州市二中2017级高三下学期3月月考数学试卷及解析
2020届浙江省杭州市二中2017级高三下学期3月月考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.已知集合{}=13M x x ,{}2N x x =>,则集合()R M N ⋂=（ ） A. {}12x x B. {}1x x C. {}12x x < D. {}23x x < 【答案】A【解析】先求出R N ,根据集合的交集运算进行求解即可． 【详解】∵{}{}R N x x 2N x x 2=>∴=≤, 则集合(){}R M N x 1x 2⋂=故选:A2.设双曲线222109x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10,则双曲线的离心率为 （） A. 35 B. 45 C. 54 D. 53【答案】C【解析】根据题意得出5c =,再利用a,b,c 的关系,离心率公式得解.【详解】因为双曲线222109x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10,所以210c =，5c =,所以22916a c =-=,所以4a =.所以离心率54e =.故选C. 【点睛】本题考查双曲线基本量a,b,c 的关系,离心率的公式,基础题.3.已知x ,y ∈R ,且x >y >0,若a >b >1,则一定有（ ）A. log a x >log b yB. sin a x >sin b yC. ay >bxD. a x >b y【答案】D【解析】举出反例说明ABC 不正确,利用指数函数和幂函数性质证明D 选项正确.【详解】对于A 选项,令3,2,3,2a b x y ====,显然log a x =log b y ,所以该选项不正确； 对于B 选项,令3,2,,,sin 0,sin 12a b a b x y x y ππ======,不满足sin a x >sin b y ,所以该选项不正确； 对于C 选项,令3,2,0.5,0.1a b x y ====,显然不满足ay >bx ,所以该选项不正确；对于D 选项,根据指数函数和幂函数的性质：x ,y ∈R ,且x >y >0,若a >b >1,x y y a a b >>,所以该选项正确.故选：D4.将函数y ＝cos （2x ＋φ）的图象向右平移3π个单位长度,得到的函数为奇函数,则|φ|的最小值为（ ） A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π 【答案】B【解析】根据平移方式求出平移后的解析式()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,是一个奇函数,则2,32k k Z ππϕπ-+=+∈,即可求解. 【详解】函数y ＝cos （2x ＋φ）的图象向右平移3π个单位长度,得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,是奇函数, 则2,32k k Z ππϕπ-+=+∈, 7,6k k Z πϕπ=+∈, 要使|φ|最小,即当1k =-时,6π=ϕ. 故选：B5.函数|1|()2cos(1)x f x e x -=--的部分图象可能是（ ）。
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题(解析版)
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【解析】逐项进行分析，在A中，l与m相交、平行或异面；在B中，m与α相交、平行或m⊂α；在C中，m∥α或m⊂α；在D中，由线面垂直的性质定理得l∥m．
【详解】
由l，m是条不同的直线，α是一个平面，知：
在A中，若l∥α，m∥α，则l与m相交、平行或异面，故A错误；
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据并集的定义计算
【详解】
∵ ， ，∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的并集运算，属于简单题．
2．双曲线 的实轴长为（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【解析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a，可知双曲线 的实轴长
【详解】
由双曲线标准方程 中，实轴长为2a可知：
在双曲线 中，实轴长为4
故选：C
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长
3．已知圆 ，直线l过点 且倾斜角为 ，则“ ”是“直线l与圆C相切”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
故选：B
【点睛】
本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值
9．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据f（x）是奇函数，以及f（x+2）=f（-x）即可得出f（x+4）=f（x），即得出f（x）的周期为4，从而可得出f（2018）=f（0）， ， 然后可根据f（x）在[0，1]上的解析式可判断f（x）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.
2020届浙江省杭州市二中2017级高三下学期高考考前热身考试(最后一卷)数学试卷及解析
2020届浙江省杭州市二中2017级高三下学期高考考前热身考试（最后一卷）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--,{}2|2B x x =<,则A B =（ ）A. {}0,1B. {}1,1-C. {}1,0,1-D. {}0【答案】C【解析】 根据不等式的写法求解集合B,然后根据交集的定义计算即可.【详解】解：∵{B x x =<<,∴{}1,0,1A B =-.故选：C.2.下列命题中正确的是( )A. 若||a b |=|,则a b =B. 若a b ≠,则a b ≠C. 若||a b |=|,则a 与b 可能共线D. 若a b ≠,则a 一定不与b 共线 【答案】C【解析】利用共线向量、模的计算公式,即可得出.【详解】因为向量既有大小又有方向,所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等,因此A 错误；两个向量不相等,但它们的模可以相等,故B 错误；无论两个向量的模是否相等,这两个向量都可能共线,故C 正确,D 错误.故选：C3.在ABC 中,“cos cos A B <”是“tan tan A B >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件【答案】C【解析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】ABC 中,若cos cos A B <,则A B >,但2A B π>>时,tan 0tan A B <<,充分性不成立,若tan tan A B >,若0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足tan tan A B >,但cos 0cos A B >>,必要性也不成立．应是既不充分也不必要条件．故选：C ．4.我国现代著名数学家徐利治教授曾指出,圆的对称性是数学美的一种体现．已知圆22:(2)(1)2C x y -+-=,直线22:10l a x b y +-=,若圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上,则点(),a b 必在（ ）A. 一个离心率为12的椭圆上 B. 一条离心率为2的双曲线上C. 的椭圆上D. 的双曲线上 【答案】C【解析】由题意得直线l 必过点()2,1,可得(),a b 必在椭圆2221x y +=上,进而求出离心率e .【详解】根据条件可知圆心()2,1C ,圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上,∴直线l 过点()2,1,则2221a b +=,∴点(),a b 必在椭圆2221x y +=上,则离心率2e =.故选：C.5.函数()·ln x f x e x =的大致图象为（ ）。
浙江省名校学考选考高2020届高2017级高三仿真训练卷数学一及参考答案解析
21.名校仿真训练卷(一)数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+,其中12,S S 表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|22,[0,4]A x x B =+≤=,则()R C A B =( )A.RB.{}0C.{}|,0x x R x ∈≠D.φ【参考答案】C 【试题解析】先解含绝对值不等式得集合A,再根据集合的交集与补集定义求结果. 由集合{|22}A x x =+≤解得{||40}A x x =-≤≤ 则{||0}A B x x ⋂==故(){|,0}R C A B x x R x ⋂=∈≠, 故选C .本题考查含绝对值不等式以及交集与补集定义,考查基本求解能力. 2.若复数2i z =-,i 为虚数单位,则(1)(1)z z +-= A .24i +B.24i -+C.24i --D.4-【参考答案】B 【试题解析】()()11z z +-=2211(2)1(34)24z i i i -=--=--=-+ ,选B.,3.如图是半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.53π B.83π C.103πD.1223π+ 【参考答案】B 【试题解析】由三视图知半球的半径为1,圆柱的底面圆半径为1,高为2,根据球的体积公式和柱体体积公式,即可求得该几何体的体积.由三视图知半球的半径为1,圆柱的底面圆半径为1,高为2, 根据球的体积公式和柱体体积公式：∴该几何体的体积32418112323V πππ=⨯⨯+⨯⨯=, 故参考答案：B.本题主要考查三视图、圆柱与球的体积,意在考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力,考查的核心素养是直观想象、数学运算.4.已知,a b 为实数,22:0,:0p a b q a b +=+=,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】B 【试题解析】根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.由0a b +=,取1,1a b ==-则220a b +≠,所以p 是q 的不充分条件； 由220a b +=则有0ab ,0a b +=成立,所以p 是q 的必要条件.综上,p 是q 的必要不充分条件. 故参考答案：B本题考查了充分条件、必要条件的定义,属于基础题.5.若实数,x y 满足条件0222x y x y x y -≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≥-⎩,则2z x y =+的最大值是( )A.10B.8C.6D.4【参考答案】C 【试题解析】试题分析：画出0{222x y x y x y -≤+≥--≥-所表示的可行,如图,当直线2y x z =-+过()2,2时,z 的最大为2226⨯+=,故选C.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线)；(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解)；(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案数有A.48种B.72种C.96种D.216种【参考答案】C 【试题解析】分析：直接按照乘法分步原理解答. 详解：按照以下顺序涂色,111111432212::::::A C B C D C C C E C F C →→→→→, 所以由乘法分步原理得总的方案数为111114322296C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种.所以总的方案数为96, 故答案为：C：(1)本题主要考查排列组合计数原理的应用,意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时,要思路清晰,排组分清.(2)解答本题时,要注意审题,“有公共顶点的两个格子颜色不同”,如C 和D 有公共的顶点,所以颜色不能相同. 7.函数21()cos 2f x x x =+的大致图象是( ). A. B. C.D.【参考答案】C 【试题解析】根据函数的奇偶性和利用导数得出其单调性,即可得出答案.函数21()cos 2f x x x =+的定义域为R 21()()2f x x -=-21cos()cos ()2x x x f x +-=+=,所以函数21()cos 2f x x x =+为偶函数,函数图象关于y 轴对称,排除A,D ；()sin f x x x '=-,令()sin g x x x =-,()1cos 0g x x '=-≥,故函数()g x 在R 上单调递增由(0)0sin 00g =-=可知,当0x >时,()sin 0f x x x '=->,函数21()cos 2f x x x =+单调递增,排除B,只有C 选项中的图象符合. 故参考答案：C本题主要考查了函数图象的识别,函数的图象可以从定义域、值域、增减性、奇偶性、图象经过的特殊点等方面判断,属于中档题. 8.已知两个平面,αβ和三条直线,,m a b ,若m αβ=,a α⊂且,a m b β⊥⊂,设α和β所成的一个二面角的大小为1θ,直线a 和平面β所成的角的大小为2θ,直线,a b 所成的角的大小为3θ,则( )A.123θθθ=≥B.312θθθ≥=C.1323,θθθθ≥≥D.1232,θθθθ≥≥【参考答案】D 【试题解析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案. 如图,在平行六面体中,1190,90A AD A AB ∠=∠>不妨设面11AA D D 为α,面ABCD 为β,BC b =.则AD m =,1AA a = 此时,由图可知,12390,90,90θθθ><=.只有C 选项符合. 故选:D.本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系.9.已知,m n 是两个非零向量,且1m =,2||3m n +=,则||+||m n n +的最大值为 510C.4D.5【参考答案】B 【试题解析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数,再利用导数求极值,研究单调性,进而得最大值.()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m nm m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+,令()(0x x f x x n =<≤=,则()'1f x =+,令()'0f x =,得x =∴当0x <<, ()'0f x >,x <<, ()'0f x <, ∴当2x =时, ()f x 取得最大值2f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选B.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 10.当(,]x a b ∈时,不等式2112x x -≤+恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[2,3)- B.(2,3]-C.(2,3)-D.{2}-【参考答案】A 【试题解析】 解不等式2112x x -≤+可得23x -<≤,(,]x a b ∈时不等式恒成立转化为(,](2,3]a b ⊆-即可. 由2112x x -≤+,得2131022x x x x ---=≤++, 解得23x -<≤,因为当(,]x a b ∈时,不等式2112x x -≤+恒成立, 所以(,](2,3]a b ⊆-, 则[2,3)a ∈-, 故参考答案：A本题主要考查不等式恒成立问题,转化思想,子集,正确求解不等式得到不等式的解集是解题的关键,属于中档题.非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中的横线上.11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若335,12a S ==,则公差d =__________；通项公式n a =__________.【参考答案】 (1).1 (2).2n + 【试题解析】 因335,12a S ==,所以1111253,(1)31211332122n a d a a a n d n n d a d +=⎧=⎧⎪∴=+-=+-=+⎨⎨=+⨯⨯=⎩⎪⎩12.已知函数()()2220log 10x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，，，则()()3f f -=____,()f x 的最小值为_____.【参考答案】 (1).2 (2).1- 【试题解析】利用分段函数,分别求的各段函数的最小值,即可求解分段函数的最小值.函数()()222,0log 1,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()()()()23963log 42ff f f -=-===,当0x ≤时,二次函数开口向上,对称轴1x =-,∴函数的最小值为()1121f -=-=-；当0x ≥时,函数是增函数,0x =时函数取得最小值为0,0x ∴>时,()0f x >,综上函数的最小值为1-,故答案为 2, 1-.求分段函数的最值要注意：分段函数的最小值是各段最小值中最小值,最大值是各段最大值中最大值,值域是各段值域的并集. 13.已知随机变量ξ分布列为若,,a b c 成等差数列,且1()3E ξ=,则b 的值是___________,()D ξ的值是________. 【参考答案】 (1).13(2).59【试题解析】由等差中项及分布列可得2b a c =+,1a b c ++=,1()3E a c ξ=-+=,联立求解,然后结合方差公式运算即可.解:由,,a b c 成等差数列得2b a c =+①, 又由分布列得1a b c ++=②,1()3E a c ξ=-+=③, 联立①②③解得111,,632a b c ===, 则2221111115()1013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故答案为:13;59. 本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差,熟记离散型随机变量的期望和方差公式是解题的关键,属基础题.14.若3nx ⎛- ⎝的展开式中所有项的系数的绝对值之和大于100,则n 的最小值为________；当n 取最小值时该展开式中的常数项是__________. 【参考答案】 (1).4 (2).-12 【试题解析】根据题意可知3nx ⎛+ ⎝的展开式中所有项的系数和大于100,令1x =,解得3n >,即n 的最小值为4,再利用二项式展开式的通项即可求解.3nx ⎛ ⎝的展开式中所有项系数的绝对值之和等于3nx⎛+ ⎝的展开式中所有项的系数和, 令1x =,得4100n >,解得3n >. 因为*n ∈N ,所以n 的最小值为4.当4n =时,该展开式的通项444431443((1)3rr r r r r rr T C C xx ---+⎛⎫==-⋅⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅,由4403r -=,得3r =,所以该展开式中的常数项是334(1)312C -⋅⋅=-. 故答案为：4；-12本题考查了赋值法求二项式的系数和以及二项式展开式的通项,需熟记公式,属于基础题. 15.在ABC 中,3A π=,3BC =,点D 在线段BC 上,且2BD DC =,则AD 的最大值是________.1 【试题解析】由角A 和边BC 可求出外接圆半径R ,设外接圆的圆心为O ,利用余弦定理求出OD , 而OA R =,再由AD AO OD ≤+,求出AD 的最大值.设ABC 的外接圆的圆心为O ,则由正弦定理得2sin BCOA OB OC A====又因为223BOC BAC π∠=∠=,所以1()26OBC BOC ππ∠=-∠=, 则在BOD 中,由余弦定理得222222cos 222cos6OD BO BD BO BD OBC π=+-⋅∠=+-⨯1=,所以1OD =,则1AD AO OD ≤+=+,当且仅当A ,O ,D 三点共线时,等号成立,所以AD 1.1本题考查正弦定理、余弦定理,利用正弦定理和余弦定理求解相关线段的长度是解题的关键. 16.已知点M 为单位圆221x y +=上的动点,点O 为坐标原点,点A 在直线2x =上,则AM AO ⋅的最小值为_____.【参考答案】2 【试题解析】设出动点坐标(2,)A t ,(cos ,sin )M θθ,用坐标运算计算出向量的数量积242cos sin AM AO t t θθ⋅=+--,然后由辅助角公式和二次函数性质可求得最小值.设(2,)A t ,(cos ,sin )M θθ,则(cos 2,sin ),(2,)AM t AO t θθ=--=--, 所以242cos sin AM AO t t θθ⋅=+--.又max (2cos sin )t θθ+=,故24AM AO t ⋅≥+令s =,则2s ≥,又2242t s s +=-≥, 当2s = 即0t =时等号成立,故min ()2AM AO ⋅=. 故答案为2.本题考查平面向量的数量积的最值,解题关键是建立一个函数式,本题中有两个动点,因此要有两个变量,为此设(2,)A t ,(cos ,sin )M θθ,这样建立关系后,注意到两变量之间没有任何关系,因此可分别求最值,即先对θ求最值,再对t 求最值. 17.设函数()1411f x a x a x =--++-有两个零点,则实数a 的值是_________. 【参考答案】17,,422⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 【试题解析】分析：将原问题进行换元,转化为两个函数有两个交点的问题,然后结合函数图像的特征整理计算即可求得最终结果.详解：不防令11tx=-,则11xt=+.原问题转化为函数1y t a a=-+与函数2144113yt t⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭的图像有2个交点,函数243yt=+的图像是确定的,如下所示(三个函数图像对应满足题意的三种情况),而函数1y t a a=-+是一动态V函数,顶点轨迹y=x,当动态V函数的一支与反比例函数相切时,即为所求.联立1243y a t a t ayt=-+=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()23240t a t+-+=,则满足题意时：()232160a∆=--=,解得：1217,22a a=-=,注意到当V函数的顶点为()4,4时满足题意,此时4a=.综上可得：实数a的值是17,,422⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)＜0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数()2cos cos 6f x x x π⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭在,(0)44a a a ππ⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦上是减函数. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期和对称轴方程； (Ⅱ)求实数a 的取值范围. 【参考答案】(Ⅰ)=T π；212k x ππ=+,k Z ∈；(Ⅱ)06a π<≤.【试题解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数解析式,再借助正弦函数的图象与性质求解即可； (Ⅱ)求出函数()f x 的单调递减区间,由此得到关于a 的不等式组,通过解不等式组,并结合a 的范围,即可得解.【详解】(Ⅰ)()2cos cos 6f x x x π⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭12cos sin 2x x x ⎫=⋅+⎪⎪⎝⎭12cos 2cos sin 2x x x x =+⋅ 1cos 2)sin 222x x =++ 1cos 2sin 2222x x =++ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为22=2T πππω==, 令232x k πππ+=+,k Z ∈,解得212k x ππ=+,k Z ∈, 所以()f x 的对称轴方程为212k x ππ=+,k Z ∈.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()3sin 23f xx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 3222232k x k πππππ+≤+≤+,k Z ∈, 解得71212k x k ππππ+≤≤+,k Z ∈, 所以,()f x 在7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数, 所以4127412a k a k ππππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩,k Z ∈,即36a k a k ππππ⎧≤+⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩,k Z ∈,因为()f x 在,44a a ππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是减函数,所以4422T a a πππ⎛⎫⎛⎫+--≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即04a π<≤,结合3a k ππ≤+,且6a k ππ≤-+,k Z ∈,解得0k =,所以06a π<≤.所以实数a 的取值范围为06a π<≤.本题考查了三角恒等变换及正弦函数的图象与性质,具体考查了两角差的余弦公式、二倍角公式、两角和的正弦公式、正弦型函数的周期性、正弦型函数的对称轴和正弦型函数的单调性等知识点,考查学生对这些知识的掌握能力,属于中档题. 19.在三棱锥A BCD -中,2,2,2AB AD BD BC DC AC ======.(1)求证：BD AC ⊥；(2)若点P 为AC 上一点,且3AP PC =,求直线BP 与平面ACD 所成的角的正弦值.【参考答案】(1)证明见解析；(2)43【试题解析】(1)取BD 的中点E ,连接,AE CE ,然后由等腰三角形的性质推出,AE BD CE BD ⊥⊥,从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；(2)以E 为坐标原点建立空间直角坐标系,然后求出相关点的坐标,再求出平面ACD 的一个法向量,从而利用空间向量的夹角公式求解即可.解：(1)证明：取BD 的中点E ,连接,AE CE , ∵2AB AD BD ===,∴AE BD ⊥, 同理可得CE BD ⊥, 又AECE E =,∴BD ⊥平面ACE ,又AC ⊂平面ACE ,∴BD AC ⊥. (2)∵2,2AB AD BD BC DC =====∴BCD 为等腰直角三角形,且3,1AE CE ==,∴222AE EC AC +=,∴2AEC π∠=,即AE EC ⊥,又AE BD ⊥,且BD EC E ⋂=,∴AE ⊥平面BCD ,∴以E 为坐标原点,EC 所在直线为x 轴,ED 所在直线为y 轴,EA 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),3)B D C A -, 设()000,,P x y z ,∵3,(1,0,3)4AP AC AC ==-,(000,,3AP x y z =-, ∴(0003333,,3(1,0,3),0,44x y z ⎛-== ⎝⎭,∴0003,40,333x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴33,0,44P ⎛ ⎝⎭,∴33,1,44BP ⎛= ⎝⎭,又(0,1,3),(1,1,0)DA DC =-=-, 设()111,,n x y z =是平面ACD 的法向量,则11110,30,00,n DA y z n DC x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11x =,得1131,3y z ==,∴31,1,3n ⎛= ⎝⎭, 设直线BP 与平面ACD 所成角为θ, 则sin |cos ,|||||n BPn BP n BP θ⋅=<>=4377734==⨯,∴直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值为43. 本题考查空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量解决直线与平面所成角问题. (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角),取其余角即为直线与平面所成的角.(2)若求线面角的余弦值,要注意利用平方关系221sin cos θθ+＝求出其值.不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求.20.已知数列{}n a 为递增的等差数列,其中35a =,且125,,a a a 成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求使得n mT 5<成立的m 的最小正整数.【参考答案】(1)21n a n =-；(2)2. 【试题解析】(1)利用待定系数法,设出首项1a 和公差d ,依照题意列两个方程,即可求出{}n a 的通项公式； (2)由()()1111n n n b a a +=++,容易想到裂项相消法求{}n b的前n 项和为n T ,然后,恒成立问题最值法求出m 的最小正整数. (1)在等差数列中,设公差为d ≠0, 由题意,得,解得.∴a n ＝a 1+(n ﹣1)d ＝1+2(n ﹣1)＝2n ﹣1； (2)由(1)知,a n ＝2n ﹣1.则＝,∴T n ＝＝.∵T n +1﹣T n ＝＝＞0,∴{T n }单调递增,而,∴要使成立,则,得m,又m ∈Z ,则使得成立的m 的最小正整数为2.本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义,待定系数法求通项公式,裂项相消求数列的前n 项和,以及恒成立问题的一般解法,意在考查学生综合运用知识的能力.21.如图,焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ,中心都在坐标原点,且椭圆1C 与2C 的离心率均为3. (Ⅰ)求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；(Ⅱ)过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ,2C 交于点A,B (点A 、B 不同于点M ),当MAB ∆的面积取最大值时,求两直线MA,MB 斜率的比值.【参考答案】(1)2214x y +=,22+114x y =997-【试题解析】分析：(1)根据题的条件,得到对应的椭圆的上顶点,即可以求得椭圆中相应的参数,结合椭圆的离心率的大小,求得相应的参数,从而求得椭圆的方程；(2)设出一条直线的方程,与椭圆的方程联立,消元,利用求根公式求得对应点的坐标,进一步求得向量的坐标,将S 表示为关于k 的函数关系,从眼角函数的角度去求最值,从而求得结果.详解：(Ⅰ)依题意得对1C ：1b =,2222324a b e e a-=⇒==,得1C ：2214x y +=； 同理2C ：22+114x y =. (Ⅱ)设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，,则MA ：11y k x =+,与椭圆方程联立得：2222111414041x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩（）,得22114180k x k x ++=（）,得1A 218=41k x k -+,21A 2141=41k y k -++,所以2112211841A(,)4141k k k k -+-++ 同理可得222222224,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.所以221122222211228822=(,),,414144k k k k MA MB k k k k ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭,从而可以求得()()()221221122122222212211216822811==24144412414k k k k k k k k S k k k k k k -----⋅-⋅++++++因为121k k =-,所以()()3112218+=41k k S k+,不妨设()()()()34211111242211+4910,4141k k k k k f k f k kk'--+>==++，()42211190491=0=8f k k k k ，，=∴--+',所以当S 最大时,219=8k ,此时两直线MA,MB 斜率的比值2112=k k k -. ：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题,在解题的过程中,注意椭圆的对称性,以及其特殊性,与y 轴的交点即为椭圆的上顶点,结合椭圆焦点所在轴,得到相应的参数的值,再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系,在研究直线与椭圆相交的问题时,首先设出直线的方程,与椭圆的方程联立,求得结果,注意从函数的角度研究问题. 22.已知函数()()ln 12xf x ex =+-,()xg x e=.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)()()()F x f x g x =+,记min ()M F x =,求证：M >.【参考答案】(Ⅰ)单调递减区间是(,)-∞+∞,无单调递增区间.(Ⅱ)见解析【试题解析】(Ⅰ)首先求出()f x ',然后根据()f x '与0的大小关系求得函数()f x 的单调性；(Ⅱ)首先求出()F x ',然后通过研究函数()F x 的单调性求得min ()F x ,从而利用放缩法可使问题得证. 解：(Ⅰ)∵2()211x xx x e e x e ef --=-=+'+,∴()0f x '<, ∴()f x 的单调递减区间是(,)-∞+∞,无单调递增区间.(Ⅱ)证明：∵()()ln 12x xF x e x e =+-+, ∴211(2)2x x x x xe e x e e e F ---='+=++,∴当(x ∈-∞时,()0F x '<,()F x 单调递减,当)x ∈+∞时,()0F x '>,()F x 单调递增,∴min ()ln(1M F x F ===-1ln 2+=+>. 本题考查导数与函数单调性的关系、导数在不等式证明中的应用.由()0f x '>确定函数()f x 的增区间,由()<0f x '确定函数()f x 的减区间,确定了单调性后可得函数的极值和最值.。
2020届浙江省杭州市高三下学期教学质量检测数学试题(解析版)
【解析】 ，设函数，根据单调性得到 ， ，分别计算最值得到答案.
【详解】
，
设 ，则 恒成立，函数单调递增，
故 ；
设 ，则 ，
函数在 上单调递减，在 上单调递增，
，
故 ，
则 ，故 ，当 时等号成立；
且 ，故 ，当 时等号成立.
综上所述： .
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了绝对值函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
【详解】
， ，故 ，故 .
，
即 ，故 ，故 .
故答案为： ； .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.
三、填空题
15．已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 的最大值是______
【答案】
【解析】计算得到 ，代入计算得到答案.
【详解】
， ，
故 .
故答案为：5.
【点睛】
【详解】
先从CDEF中安排两位志愿者照顾乙，有 种选择，
再从剩余的除去A的三位志愿者中选择两位照顾丙，有 种选择，剩余一位和A照顾甲，
故共有 种安排方法.
故答案为：18.
【点睛】
本题考查了组合的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
17．已知函数 .当 ， 的最大值为 ，则 的最小值为______
（2） ， ，若对任意的正整数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设 的公差为 ，计算得到 ，故 ，得到答案.
（2）计算 ， ，根据裂项相消法计算 ，得到 ，根据数列的单调性得到答案.
【详解】
（1）设 的公差为 ， ，由 ，得 .
浙江省高2020届高2017级高三新高考名校联考信息卷五数学及参考答案解析
浙江新高考名校联考信息卷(五)数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.参考公式：若事件, A B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 若事件, A B 相互独立,则( )() ()P A B P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式()112213V S S S S h =+ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|||2},{|13}A x x B x x ==<,则A B =( )A.{|2}x x -B.{|12}x xC.{|23}x x -≤<D.{|3}x x <【参考答案】C 【试题解析】先解绝对值不等式得到集合A ,再根据集合的并运算求AB 即可.由||2x ≤,解得22x -≤≤,故{|22}A x x =-≤≤,又{|13}x B x =≤<, 所以{|23}A B x x ⋃=-≤<. 故参考答案：C.本题主要考查绝对值不等式的求解及集合的并运算,考查考生对基础知识的掌握情况,考查数学运算核心素养.2.已知复数z 满足2(1)10z ++=,则z =( ) A.1i + B.1i -+C.1i -±D.1i ±±【参考答案】C 【试题解析】设(,)z a bi a b R =+∈,再利用复数的四则运算及复数相等求解即可. 解法一：由题意,设(,)z a bi a b R =+∈, 由2(1)10z ++=,得2(1)10a bi +++=, 所以22(1)12(1)0a b a bi +-+++=,根据复数相等,得22(1)10,2(1)0,a b a b ⎧+-+=⎨+=⎩,解得11a b =-⎧⎨=±⎩,故1z i =-±.解法二：根据2(1)10z ++=,得1z i +=±,所以1z i =-±. 故参考答案：C.本题主要考查复数的定义、复数相等以及复数的四则运算,考查数学运算核心素养. 3.函数cos ()2x f x x =⋅的图象可能是( )A. B. C.D.【参考答案】B 【试题解析】根据奇偶性、特殊值,利用排除法即可得结果. 因为cos()cos ()()22()x x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-,所以函数()f x 是奇函数,其图象关于坐标原点O 对称,故排除A,C. 当0x >时,()0f x >,故排除D, 故参考答案：B.本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的识别、函数值的判断,考查考生分析问题与解决问题的能力,考查直观想象核心素养.4.已知数列{}n a 是首项大于零的等比数列,则“12a a <”是“23a a <”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A 【试题解析】根据充分必要性的定义分析即可. 设等比数列{}n a 的公比为q ,因为12a a <,且10a >,所以1q >,即23a a <,故充分性成立； 反之,不成立,如121,1a a ==-,31a =. 故“12a a <”是“23a a <”的充分不必要条件. 故参考答案：A.本题主要考查充分必要条件的判断,考查逻辑推理核心素养.5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,,A B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点,若||,||,||FB AB FA 成等差数列,则椭圆C 的离心率为( )C.【参考答案】C 【试题解析】先根据椭圆的几何性质分别表示出||,||,||FB AB FA ,然后根据||,||,||FB AB FA 成等差数列得出等式,并结合222a b c =+化简求解,即可得椭圆C 的离心率. 依题意得,||,|||FB a AB FA a c ====+, 因为||,||,||FB AB FA 成等差数列,所以||||2||FB FA AB +=,即a a c ++=即2a c +=两边平方并整理,得225440c ac a +-=, 两边同除以2a ,得25440e e +-=,解得e =故参考答案：C.本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、等差数列的性质等,考查考生的运算求解能力,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中的基本量有如下关系：222a b c =+.很多考生在应用时常与双曲线中三者的关系混淆.6.若实数,x y 满足不等式组3230,360,220,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≤⎩则|3412|z x y =+-的最大值是( )A.15B.152C.332D.33【参考答案】D 【试题解析】作出不等式组表示的平面区域,可以去掉绝对值符号,令3412t x y =+-,先求t 的范围,再求z 的最大值,也可以将问题转化为求可行域内的点到直线34120x y +-=的距离的最大值问题进行求解.解法一：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.令3412t x y =+-,作出直线340x y +=,并平移,数形结合可知,当平移后的直线经过点A 时,t 取得最大值,当平移后的直线经过点B 时,t 取得最小值.由3230,220,x y x y -+=⎧⎨++=⎩,得(1,0)A -,所以max 13401215t =-⨯+⨯-=-.由3230,360,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得(3,3)B --,所以min 3(3)4(3)1233t =⨯-+⨯--=-.所以[]341215,33z x y =+-∈,故|3412|z x y =+-的最大值是33. 解法二：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示|3412|z x y =+-表示可行域内的点到直线34120x y +-=的距离的5倍.作出直线34120x y +-=,结合图形可知,点B 到直线34120x y +-=的距离最大,由3230360x y x y -+=⎧⎨--=⎩,得(3,3)B --,故点B 到直线34120x y +-=的距离2233534d ==+,故|3412|z x y =+-的最大值是533d =. 故参考答案：D.本题主要考查简单的线性规划问题,考查作图能力及数形结合思想,体现对直观想象核心素养的考查.7.已知,x y 均为正数,离散型随机变量X 的分布列如下所示：则当()E X 取得最小值时,()P X y >=( )A.14B.12C.34D.1【参考答案】C 【试题解析】先根据离散型随机变量的分布列的性质得到221x xy +=,由数学期望的计算公式得到()E X ,再利用基本不等式求()E X 的最小值及取得最小值时满足的条件,最后计算()P X y >即可. 解法一：由离散型随机变量的分布列的性质得,221x xy x ++=,即221x xy +=. 由数学期望的计算公式得22117()64(2)24(24E X x xy x x y x x y x x x x x=-⋅+⋅+⋅=+=++=,当且仅当242,21,x x y x xy =+⎧⎨+=⎩即1,12x y ==时取等号,所以()E X 取得最小值时,随机变量X 的分布列为所以3()(1)(2)(14)4P X y P X P X P X >=>==+==.解法二：由离散型随机变量的分布列的性质得,221x xy x ++=,即221x xy +=, 所以12y x x =-,故2211711()64244E X x xy x x y x x x x x x x =-⋅+⋅+⋅=+=+⋅=,当且仅当1,12x y ==时取等号, 所以()E X 取得最小值时,随机变量X 的分布列为所以3()(1)(2)(14)4P X y P X P X P X >=>==+==. 故参考答案：C.本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望、概率的求解、基本不等式在最值问题中的应用,考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,渗透对数学运算核心素养的考查.8.设数列{}n a 满足113a =,()1*1n a n a e n N -+=∈(其中e 为自然对数的底数),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A.2019201820192018,S S a a >>B.2019201820192018,S S a a <>C.2019201820192018,S S a a ><D.2019201820192018,S S a a <<【参考答案】A 【试题解析】先构造函数证明1x e x +成立,再利用此不等式对11n a n a e -+=进行放缩,得到10n n a a +>>,即可得到结果.设()1x f x e x =--,则()1xf x e =-',所以,当(,0)x ∈-∞时,()0,()f x f x '<单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,()0,()f x f x '>单调递增, 所以()()00f x f ≥=,所以1x e x +, 所以11n a n n a e a -+=,当且仅当1n a =时等号成立,而113a =,所以10n n a a +>>, 所以2019201820192018,S S a a >>. 故参考答案：A.本题主要考查数列不等式的证明、放缩法的应用,考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.9.如图,在四面体VABC 中,已知VA ⊥平面VBC ,VA 与平面ABC 所成的角为45︒,D 是BC 上一动点,设直线VD 与平面ABC 所成的角为θ,则( )A.60θ︒B.30θ︒C.45θ︒D.75θ︒≤【参考答案】C 【试题解析】先分析出线面角取得最大值时的条件,再求出线面角的最大值,即可求解.通解：过点V 作VG ⊥平面ABC 于点G ,连接DG , 则VDG ∠为直线VD 与平面ABC 所成的角,即VDG θ=∠, 故sin VGVDθ=,显然θ随VD 的增大而减小, 故当VD 最小,即VD BC ⊥时,θ最大.连接AD ,因为VA ⊥平面VBC ,所以BC VA ⊥.所以当VD BC ⊥时,BC ⊥平面VAD ,所以易知,,A G D 三点共线. 因为VA 与平面ABC 所成的角为45︒,所以45VAG ︒∠=.因为VA ⊥平面VBC ,所以VA VD ⊥,所以90AVD ︒∠=,故此时45VDG ︒∠=,故45θ︒. 故参考答案：C.本题主要考查空间中直线和平面所成的角、直线和平面的位置关系等,考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.10.已知关于x 的方程20(,)x ax b a b R ++=∈在[0,1]上有实数根,且322a b -≤+≤-,则2+a b 的最大值为( )A.1-B.0C.12D.1【参考答案】B 【试题解析】先将方程的根的问题转化为函数2()f x x =-与()g x ax b =+在[0,1]x ∈上的图象的交点问题,再根据1222a b g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭将问题转化为求12g ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值问题,最后数形结合求解即可. 由题意,关于x 的方程20x ax b ++=(),a b ∈R 在[0,1]上有实数根,即函数2()f x x =-与()g x ax b =+在[0,1]x ∈上的图象有交点,作出函数()f x ,()g x 的大致图象如图所示.因为322a b -≤+≤-,所以3(2)2g -≤≤-.又1122222a b a b g ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以求2+a b 的最大值可以转化为求12g ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值. 数形结合可知,当()y g x =的图象经过点(2,3)B -且和()y f x =的图象在[0,1]x ∈上相切时,12g ⎛⎫⎪⎝⎭大.易求得切点为(1,1)-,且()21g x x =-+,此时102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以2+a b 的最大值为0. 故参考答案：B.本题主要考查方程的根,函数的图象和性质,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想,试题从方程的根入手设题,使考生将问题进行转化,创设问题的情境,然后利用数形结合思想解题,体现了直观想象、逻辑推理等核心素养.解决本题的关键有两个：(1)将方程的根的问题转化为两个函数图象的交点问题后,发现1222a b g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,从而将问题转化为求12g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值问题；(2)画出函数图象,数形结合分析出12g ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值时的条件. 非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++⎪=⎨->⎪⎩则((1))=f f ______,()f x 的最大值是_____.【参考答案】 (1).12(2).1 【试题解析】根据分段函数的解析式即可求得((1))f f的值；分别求出0,0x x>时()f x的取值范围,即可得结论.由题意知,11((1))22f f f⎛⎫=-=⎪⎝⎭.当0x时,()1f x,当且仅当1x=-时取等号.当0x>时,()0f x<,故()f x的最大值是()11f-=.故答案为：12,1.本题主要考查分段函数的求值及分段函数的最大值,考查数学运算核心素养.12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______,表面积是_______.【参考答案】 (1).16 (2).3662+【试题解析】先根据三视图还原出空间几何体的直观图,再求出相关数据,最后根据锥体的体积公式和表面积公式求解即可.由三视图还原该几何体的直观图,可知该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD-, 其中PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,4,3AP AD AB===,则易得42,5DP BP==.故该几何体的体积1344163V=⨯⨯⨯=,表面积11113434445434236622222S=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+.故答案为：16,36+.本题主要考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积和表面积的计算,考查考生的空间想象能力和运算求解能力.13.在平面直角坐标系中,已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点,12,F F 分别为双曲线的左、右焦点,1260F PF ︒∠=,且213PF PF =,则双曲线的离心率为_________.【参考答案】2【试题解析】由213PF PF =及双曲线的定义,可得13PF a =,2PF a =,再在12PF F △中由余弦定理求得双曲线的离心率.由题意,设点P 是双曲线右支上的点,122PF PF a ∴-=,又12123,3,PF PF PF a PF a =∴==.在12PF F △中,1260F PF ︒∠=,由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF ︒=+-⋅⋅, 即22221492372c a a a a a =+-⨯⨯⨯=, .2274c a ∴= ,即2e =.故答案为：2. 本题主要考查双曲线的几何性质,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.14.已知2012(1)(1)(1)nn n x a a x a x a x =+-+-++-(其中n 为正整数),若5a 是(0,1,,)i a i n =中的唯一最大值,则n 的值为_____,1n a -的值为_____.【参考答案】 (1).10 (2).10 【试题解析】根据题意,令1x t -=,对已知等式变形,再根据5(0,1,,)i a i n a =求得n 的值,最后求1n a -的值.由题意,2012[(1)1](1)(1)(1)nnn n x x a a x a x a x =-+=+-+-++-,令1x t -=,则20110012(1)nn n n n n n n n t a a t a t a t C t C t C t -+=++++=+++,因为5a 是(0,1,,)i a i n =中的唯一最大值,所以n 是偶数,所以52n=,解得10n =. 所以1191010n a a C -===. 故答案为：10,10.本题主要考查二项展开式中系数的最大值、指定项的系数,考查换元法的应用,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.()n a b +的展开式中二项式系数最大项的确定方法：(1)如果n 是偶数,则中间一项(第12n ⎛⎫+⎪⎝⎭项)的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数,则中间两项(第12n +项和第32n +项)的二项式系数相等并且最大.15.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若12tan ,5C a b ===BC 边上的中点为D ,则sin BAC ∠=______,AD =______.【参考答案】 (1).13 (2).2【试题解析】解法一根据三角形内角和定理及三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系即可求得sin BAC ∠,然后根据正弦定理求得c ,最后根据向量的线性运算及数量积即可求得AD 的长；解法二先根据同角三角函数的基本关系求得sin ,cos C C ,利用余弦定理求得c ,然后根据正弦定理求得sin BAC ∠,最后在ACD 中利用余弦定理即可求得AD 的长.解法一因为a b ==所以BAC B ∠=,又12tan 5C =, 所以12tan()tan 2tan()tan 5BAC B BAC C C π∠+=∠=-=-=-, 即22tan 12tan 21tan 5BAC BAC BAC ∠∠==--∠,即26tan 5tan 60BAC BAC ∠-∠-=, 解得3tan 2BAC ∠=或2tan 3BAC ∠=-(舍去),所以sin BAC BAC ∠=∠=易知12sin 13C =,又a =, 所以由sin sin a cBAC C=∠,得4c =.因为BC 边上的中点为D ,所以()12AD AC AB =+, 所以()22221145()2444AD AC AB AC AC AB AB =+=+⋅+=,所以AD =解法二因为12tan 5C =,所以125sin ,cos 1313C C ==,又a b ==所以22252cos 131321613c a b ab C =+-=+-=, 所以4c =.由sin sin a c BAC C =∠,41213=,得sin BAC ∠=.因为BC 边上的中点为D ,所以2a CD =, 所以在ACD ∆中,222452cos 224a a AD b b C ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,所以2AD =.故答案为：13. 本题主要考查三角函数的诱导公式,同角三角函数的基本关系,正、余弦定理的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.16.由数字0,1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的四位数,则能被15整除且0不在个位的四位数共有________个. 【参考答案】60 【试题解析】根据题意,将0,1,2,3,4,5,6,7这8个数字分为以下三类：被3整除的有0,3,6；被3除余1的有1,4,7；被3除余2的有2,5,再利用排列组合即可. 由题意,四位数的个位数字一定是5,且4位数字之和能被3整除, 当四位数中有0时,满足题意的四位数有1112232224C C C A =(个)；当四位数中没有0时,满足题意的四位数有2132323333181836C C A C A +=+=(个), 所以能被15整除且0不在个位的四位数共有60个. 故答案为：60.本题主要考查排列组合的有关知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是逻辑推理.17.已知平面向量,m n 满足||2,||1m n m n +=-=,若平面向量a 满足||||a m n +=,则||a 最大值为_____. 【试题解析】先得到||||||a m n +,将||a 的最大值转化为||||m n +的最大值,再分别将||,||m n 用||,||m n m n +-表示,最后利用基本不等式求解即可.因为||||a m n +=, 所以||||||||a m a m n -+=,所以||||||a m n +.又||||m n +22|()()||()()|22222m n m n m n m n m n m n m n m n +-+-++-++--=++-=222||2||52m n m n ++-=,所以||a 的最大值为5. 故答案为：5.本题主要考查平面向量的模,基本不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.三、解答题：本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤.18.已知函数()sin (,0,0)4f x A x x R A πωω⎛⎫=+∈>> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,其中点M 的坐标为(1,)A .(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)若5cos 5PMQ ∠=-,求(2)f 的值. 【参考答案】(1)8(2)(2)2f =【试题解析】(1)先根据点()1,M A 在函数()f x 的图象上及()f x 的图象特征得到ω的值,即可求得函数()f x 的最小正周期；(2)可以根据5cos PMQ ∠=-,利用两角和的余弦公式进行求解,也可以在三角形中利用余弦定理进行求解,还可以借助向量进行求解.(1)因为点()1,M A 在函数()f x 的图象上,即sin 4A A πω⎛⎫=+⎪⎝⎭, 所以2()42k k Z ππωπ+=+∈,即2()4k k Z πωπ=+∈.由题意可知函数()f x 的最小正周期4T >, 所以24πω>,解得2πω<.又0>ω,所以4πω=,所以函数()f x 的最小正周期8T =. (2)解法一：如图,过点M 作MN x ⊥轴于点N ,由(1)知()sin 44f x A x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令()sin 044f x A x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,得()44x k k Z πππ+=∈,得14()x k k Z =-+∈,所以(1,0),(7,0)P Q -, 所以22sin 44PMN PMN A A ∠=∠=++,sin QMN QMN ∠=∠=,所以cos cos()cos cos sin sin QMP PMN QMN PMN QMN PMN QMN∠=∠+∠=∠⋅∠-∠⋅∠5=-=-, 所以42401440A A -+=,即()()224360A A--=,又0A >,所以2A =或6A =(舍去).所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以3(2)2sin4f π==解法二：过点M 作MN x ⊥轴于点N ,由(1)知,函数()f x 的最小正周期8T =,又(1,)M A , 所以13||8,||2,||644PQ PN T QN T =====,所以|||PM QM ==所以在PMQ 中,222||||||2||||cos PQ PM QM PM QM PMQ =+-⋅⋅∠,即22644365A A ⎛=+++-- ⎝⎭,化简得42401440A A -+=,即()()224360A A--=,所以2A =或6A =(舍去). 所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以3(2)2sin4f π==解法三：过点M 作MN x ⊥轴于N ,由(1)知()sin 44f x A x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,令()sin 044f x A x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,得()44x k k Z πππ+=∈,得14()x k k Z =-+∈,所以(1,0),(7,0)P Q -,又(1,)M A ,所以(2,),(6,)MP A MQ A =--=-, 所以2225cos 5436PMQ A A ∠==-+⋅+,解得2A =或6A =(舍去). 所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭,故3(2)2sin24f π==. 本题主要考查三角函数的图象和性质、两角和的余弦公式、余弦定理的应用,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.试题以考查三角函数的图象和性质、三角恒等变换等为目标,通过正弦型函数在一个周期上的图象的特征设题,考查直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 第(1)问大部分考生可以由点(1,)M A 在函数()f x 的图象上得到2()4k k Z πωπ=+∈,但不能从题中的图象获得4T >,从而无法准确求出ω的值.第(2)问有相当一部分考生在求得2A =或6A =后,不进行验证,从而丢分.19.如图,已知四边形ABCD 是正方形,AE ⊥平面ABCD ,PD ∥AE ,PD ＝AD ＝2EA ＝2,G ,F ,H 分别为BE ,BP ,PC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值. 【参考答案】(1)证明见解析(2)3434【试题解析】(1)通过证明BC⊥平面ABE,FH∥BC,证得FH⊥平面ABE,即可证得面面垂直；(2)建立空间直角坐标系,利用向量方法求线面角的正弦值.(1)由题：,AE⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以AE⊥BC,四边形ABCD是正方形,AB⊥BC,AE与AB是平面ABE内两条相交直线,所以BC⊥平面ABE,F,H分别为BP,PC的中点,所以FH∥BC,所以FH⊥平面ABE,HF⊂平面GHF,所以平面ABE⊥平面GHF ；(2)由题可得：DA,DC,DP两两互相垂直,所以以D为原点,DA,DC,DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示：()()()()12,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,2,1,2B C P H G⎛⎫⎪⎝⎭,所以()()10,2,2,2,0,0,2,0,2CP CB HG⎛⎫=-==-⎪⎝⎭,设平面PBC的法向量(),,n x y z=,22020CP n y zCB n x⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩,取()1,0,1,1y n==为平面PBC的一个法向量,12sin cos,1424n HGn HGn HGθ⋅====⋅+⨯3434所以直线GH与平面PBC所成的角θ34此题考查面面垂直的证明,关键在于准确找出线面垂直,建立空间直角坐标系,利用向量方法解决直线与平面所成角的问题.20.已知数列{}n a 满足11a =,且()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 的前n 项和为n S ,且13b =,()*2330n n S b n N -+=∈,数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求满足1992100n T <<的所有正整数n 的值. 【参考答案】(1)()*21,n a n n N =-∈(2)所有正整数n 的值为2,3,4,5【试题解析】(1)先根据题中的递推关系式求得2a 的值,得到121(2)21n n n a a n n ++=-,再利用1221213n na a a n n +===+-求解,也可利用累乘法进行求解； (2)先根据数列的通项与前n 项和之间的关系求得数列{}n b 的通项公式,即可得到nna b ,再利用错位相减法求n T ,最后根据{}n T 的增减性求解即可. (1)解法一由()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-①, 得当1n =时,1221a a =-,又11a =,所以23a =, 当2n 时,1212221323n n a a a a n -++⋯+=--②, ①-②,得,12(2)21n n n a a a n n +=--,即121(2)21n n n a a n n ++=-. 所以12121213n n a aa n n +====+-, 所以21(2)n a n n =-.又11a =也符合上式,所以()*21n a n n N =-∈.解法二由()*1212221321n n a a a a n N n +++⋯+=-∈-①, 得当1n =时,1221a a =-,又11a =,所以23a =, 当2n 时,1212221323n n a a a a n -++⋯+=--②, ①-②,得12(2)21n n na a a n n +=--,即121(2)21n na n n a n +'+=-. 又213a a =也符合上式,所以()*12121n n a n n N a n ++=∈-,所以121(2)23n n a n n a n --=-, 所以()*1211212123312123251n n n n n a a a n n a a n n N a a a n n -----=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-∈--, 故数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N =-∈.(2)由()*2330n n S b n N-+=∈③,得当2n 时,112330n n S b ---+=④,③-④得112233n n n n S S b b ---=-,所以13(2)n n b b n -=, 所以数列{}n b 是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以()*3nn b n N =∈,所以213n n n a n b -=, 所以122121321333n n nn a a a n T b b b -=+++=+++, 所以231113213333n n n T +-=+++, 两式相减得1211121121222112122293133333333313n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+++-=+-=--,所以113n nn T +=-. 所以111121122111033333n n n n n n n n n n n n T T +++++++++⎛⎫-=---=-=> ⎪⎝⎭, 所以数列{}n T 递增. 又12111332T =-=<,23211932T =-=>,567999124381100T =-=<,67722991729729100T =-=>, 所以满足1992100n T <<的所有正整数n 的值为2,3,4,5. 本题主要考查数列的递推关系、数列的通项与前n 项和之间的关系、错位相减法求和、数列的增减性等,考查数学运算、逻辑推理等核心素养. 第(1)间的关键是对121(2)21n n n a a n n ++=-的处理.第(2)问的关键有三点：①数列{}n b 的通项公式的求解；②n T 的求解；③数列{}n T 的增减性的证明.21.如图,,A B 为抛物线2:2(0)C x py p =>上的两个不同的点,且线段AB 的中点M 在直线1x =上,当点M 的纵坐标为1时,点A 的横坐标为1-.(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若点,A B 在y 轴两侧,抛物线C 的准线与y 轴交于点N ,直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的取值范围.【参考答案】(1)25x y =(2)411,102⎛⎤-∞--⎥⎝⎦【试题解析】(1)根据题意,当点M 的坐标为(1,1)时,设点(1,)A t -,则点(3,2)B t -,再将其代入抛物线方程解得即可；(2)设直线AB 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠>,设()()1122,,,A x y B x y ,由线段AB 的中点M 在直线1x =上,可得25k =,进而可得直线AB 的方程为2(0)5y x m m =+>,再表示出直线,NA NB 的斜率12,k k ,进而运算即可.(1)由题意知,当点M 的坐标为(1,1)时,设点(1,)A t -,则点(3,2)B t -,因为,A B 为抛物线C 上的两个不同的点,所以12,92(2),pt p t =⎧⎨=-⎩解得5,21,5p t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以抛物线C 的标准方程为25x y =.(2)显然直线AB 的斜率存在且不为0,故可设直线AB 的方程为(0,0)y kx m k m =+≠>,联立方程,得25,,x y y kx m ⎧=⎨=+⎩消去y ,化简并整理得2550x kx m --=.则2(5)450k m ∆=-+⨯>,即2540k m +>.设()()1122,,,A x y B x y ,则121252,5x x k x x m +===-, 所以25k =, 故直线AB 的方程为2(0)5y x m m =+>. ()()221212121224,222555x x y y m y y x x m m ==+=++=+, 易知50,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以1212125544,y y k k x x ++==,所以()21212121212125425525552141545164164455162m m y y y y y y k k m x x x x m m ⎛⎫+⨯+++++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅===-++ ⎪-⎝⎭.因为0m >,所以414121616mm m +⨯=当且仅当4m =时取等号,所以12151522k k ⎛⎫-⨯+=- ⎪⎝⎭.故12k k 的取值范围为1,102⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦. 本题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线的斜率、基本不等式的应用等,考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.本题涉及的信息量较大,很容易让考生找不到解题方向,本题给出的解法体现了“主元思想”,如第(1)问根据点(1,1)M 设点,A B 的坐标时,将其设为(1,),(3,2)A t B t --；第(2)问在得到25k =后,得到12y y +以及12k k 的表达式都以m 为元. 22.已知函数()221()ln 2f x ax x x ax x =--+. (1)当0a =时,求证：2()2f x x x -+；(2)若不等式()0f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1)证明见解析；(2)[0,2] 【试题解析】(1)构造新函数,利用导数研究新函数的单调性,根据新函数的最值即可证得结论； (2)对函数()f x 求导,分情况求a 的取值范围. (1)当0a =时,()ln f x x x x =-+.所以()22()2ln (ln 1)f x x x x x x x x x x --+=--=--. 设()ln 1g x x x =--,则1()1g x x'=-,所以()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增, 所以()(1)0g x g =, 所以2()2f x x x -+.(2)因为()221()ln 2f x ax x x ax x =--+, 所以()21()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x '=-+-⋅-+=-,在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上, ①当12ae ,210ax -≤,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,若(1,)x e ∈,则()0f x '<, 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在(1, )e 上单调递减,所以由题意得10,()0,f e f e ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,解得403e a ,所以102ae. ②当2ea时,210ax -,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '<,若(1,)x e ∈,则()0f x '>, 所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在(1, )e 上单调递增, 所以()(1)f x f ,所以由题意得(1)0f ,解得2a ,所以22ea . ③当122e a e <<时, (i)当1122a e <<时,112e a <<,若1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,若11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '<,若1,2x e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()0f x '>,所以函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以由题意得10102f e f a ⎧⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，，所以324,31,2e a a e ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1122a e <<； (ii)当12a =时,在1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0f x '恒成立,所以()f x 在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递增, 所以21183(),04e f x f f e e e -⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以12a =满足题意； (iii)当122e a <<时,1112e a <<,易得函数()f x 在11,2e a ⎛⎫⎪⎝⎭,(1,)e 上单调递增,在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以由题意得10,(1)0,f e f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩所以4,32,e a a ⎧⎪⎨⎪⎩所以122e a <<.综上,实数a 的取值范围为[0,2].本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明及由不等式恒成立求参数的取值范围,考查分析问题、解决问题的能力,运算求解能力及分类讨论思想,体现逻辑推理、数学运算等核心素养.求解本题第(2)问的关键是对参数a 的分类标准的确定,在确定分类时,头脑一定要清醒,厘清层次,做到不重不漏.。
2020届浙江省杭州市学军中学等五校2017级高三下学期联考数学试卷及答案
2020届杭州市学军中学等五校2017级高三下学期联考数学试卷★祝考试顺利★选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R ,集合{|1,},R A x x x ∈=„集合{|21,R}x B x x ∈=„.则集合A∩B 是 ( )A ．(],1-∞B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[)1,-+∞2．已知双曲线221x y a b-=(a>0,b>0)的离心率为2,则其渐近线方程为( ) A．y = B．y = C．y x = D．y x = 3某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是 ( )A．2 B．3 C．4 D ．134．已知x,y 满足约束条件1,2,30x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩,若2x y m +≥恒成立,则m 的取值范围是( )A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤ 5．在△ABC 中”sin cos A B >”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()|2|122x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象可能是( )7．新冠来袭,湖北告急!有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成,他们全部要分配到三家医院。
每家医院分到医生1名和护士1至3名,其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院,则不同的分配方法有( )种A ．252B ．540C ．792D ．6848．如图,矩形ABCD 中,1,AB BC E ==是AD 的中点,将△ABE 沿BE 翻折,记为,AB E '∆在翻折过程中,①点A ’在平面BCDE 的射影必在直线AC 上; ②记A ’E 和A ’B 与平面BCDE 所成的角分别为α,β,则tan tan βα-的最大值为0;③设二面角'A BE C --的平面角为θ,则'A BA θπ+∠≥.其中正确命题的个数是( )。