初中九年级数学专题复习教案：动态几何之定值问题探讨
初三中考复习专题：定值问题
初三数学讲义 专题探究：定值类问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析在几何问题中，当一些几何元素按照一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关另一些几何元素的某些量或其数量关系保持不变，这种几何问题称之为几何定值问题. 定值问题由于所求证的问题不明确、具体,而使人难已下手,给问题解决带来困难.近年来,该类问题在各省市中考试题中频频出现,为便于广大师生复习教学,现对其归类例析.一、线段长度为定值例1如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G 。
（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH ＝，GP ＝，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果△PGH 是等腰三角形，试求出线段PH 的长。
分析:解决此题时,首先要根据线段GH 的特征,添出辅助线,找出与其有关的长度为定值的线段间的联系,从而获得问题的解决.图一BOAGPHE二、线段长度为定值例 在给定的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 边上的动点，点1O 、2O 分别是AED ∆和BEC ∆的外心。
求证：21O O 的长为一定值。
变式练习 如图，在ABC ∆中，A ∠与底边BC 为一定值，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，D 、E 为垂足，连结DE 。
求证：DE 为定长。
三、角的度数为定值例 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足。
求证：不管ST 滑到什么位置，SPM ∠是一定角。
ACB DEEDABCPM A O BS T例题．（2010广东广州，24，14分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是 APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE ＝43，求△ABC 的周长.四、面积为定值例. 如图7(1),正方形ABCD 的对角线相交于点O ，O 是正方形A'B'C'O 的一个顶点,如果两个正方形的边长为a,求证：正方形A'B'C'O 绕点O 无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总是一个定值.CP DOBAEFE 图10图9C'B'A'C'B'A'OBDBDAC C A真题练习1．（2011•广州）已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．2．（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A（1，0），B（1，－5），D（4，0）．（1）求c，b（用含t的代数式表示）：（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，要S=218错误！未找到引用源。
中考复习专题：动态几何之定值问题探讨
20XX年中考复习专题：动态几何之定值问题探讨一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E．求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．例2：如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，顶点坐标为P．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．练习题：1.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A 运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA 于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．2、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2) (3)3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．4、已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= BC2R；（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°，（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．例2：如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P 从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C 出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同2.时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？练习题：1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG=3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是 ．2．如图2，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 _________ ．图1 图23.如图所示，四边形OABC 是矩形．点A 、C 的坐标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重含)，过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E 。
中考数学解法探究专题 ：探究动态几何定值问题
中考数学解法探究专题动态几何定值问题考题研究：数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
解题攻略：动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.解题思路：在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。
在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
例题解析1．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；=18（t﹣1）2+6，即可得出结（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APRS△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），=S△BPQ=S△CQR，∴S△APR∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），（2）由（1）知，S△APR∵AB=6，AC=8，=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）∴S△PQR=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，=6；∴当t=1时，S△PQR最小（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．2．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是90°②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）①根据旋转变换的性质、四边形内角和为360°计算即可；②连接OD，根据勾股定理解答；（2）①将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，根据等边三角形的性质解答；②根据等边三角形的性质计算．【解答】解：（1）①∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，由旋转的性质可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2．如图1，连接OD．∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°．∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB．∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°．∴∠DAO=90°．在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+AD2=OD2．∴OA2+OB2=OC2．（2）①如图2，当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．作图如图2，如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′．∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°．∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OC O′是等边三角形．∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°．∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°．∴∠BOO′=∠OO′A′=180°．∴四点B，O，O′，A′共线．∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；②当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=．3．两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，按图1所示的位置放置，A与C重合，O与E重合．（Ⅰ）求图1中，A，B，D三点的坐标；（Ⅱ）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（Ⅲ）当Rt△CED以（Ⅱ）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求点G的坐标．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角边为6，所以有A（0，6），B（6，0），D（﹣6，0），（2）Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，且DE=6，所以在运动过程中有两种情况，即D点仍停留在y轴左侧和D在y轴右侧，需分情况讨论．在第一种情况中，重合部分为两个全等的直角梯形，在第二种情况中，重合部分为一个等腰直角三角形，面积易求出．（3）当运动时间为4秒时，即为（2）中第二种情况，此时G（4，2）．【解答】解：（1）因为两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，可得：A（0，6），B（6，0），D（﹣6，0）．（2）当0≤x＜3时，位置如图A所示，作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE=2x，EH=x，DO=6﹣2x，DH=6﹣x，=2（S△GHD﹣S△IOD）∴y=2S梯形IOHG=2[（6﹣x）2﹣（6﹣2x）2]=2（x2+6x）=﹣3x2+12x当3≤x≤6时，位置如图B所示．可知：DB=12﹣2x=（DB）2= [（12﹣2x）]2=x2﹣12x+36∴y=S△DGB∴y与x的函数关系式为：y=；（3）图B中，作GH⊥OE，垂足为H，当x=4时，OE=2x=8，DB=12﹣2x=4，∴GH=DH=DB=2，OH=6﹣HB=6﹣DB=6﹣2=4∴G（4，2）．4．如图1，等边△ABC中，BC=4，点P从点B出发，沿BC方向运动到点C，点P关于直线AB、AC的对称点分别为点M、N，连接MN．【发现】当点P与点B重合时，线段MN的长是4．当AP的长最小时，线段MN的长是6；【探究】如图2，设PB=x，MN2=y，连接PM、PN，分别交AB，AC于点D，E．（1）用含x的代数式表示PM=x，PN=（4﹣x）；（2）求y关于x的函数关系式，并写出y的取值范围；（3）当点P在直线BC上的什么位置时，线段MN=3（直接写出答案）【拓展】如图3，求线段MN的中点K经过的路线长．【应用】如图4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，点P、Q、R分别为边BC、AB、AC上（均不与端点重合）的动点，则△PQR周长的最小值是2+．（可能用到的数值：sin75°=，cos75°=，tan75°=2+）【考点】KY：三角形综合题．【分析】【发现】当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B（或C）重合时，BN（或CM）最长，求出此时BN的长度；【探究】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，过点M作MH⊥NG垂足为H．解直角三角形得到MF=x，PF=x，NG=（4﹣x），PG=（4﹣x），根据勾股定理即可得到结论；（3）由MN=3，得到MN2=63，把y=63时代入3（x﹣2）2+36=63，即可得到结论；【拓展】如图3，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，连接MG，过MN的中点K，作KT⊥BC于点T，交MG于点S．由MF∥KT∥NG，且点K为MN的中点，得到KS是△MNG的中位线，ST是△GMF的中位线，由【探究】中的过程可知，若设PB=x，则有PC=4﹣x，MF=x，NG=（4﹣x），根据三角形的中位线的性质即可得到结论；【应用】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC 于R，则此时△PQR周长最小，根据三角形和四边形的内角和得到∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，得到MN∥BC，PQ=PB=1，同理PR=PC=1，解直角三角形得到QR=2×PQ=，于是得到结论．【解答】解：【发现】当AP的长最小时，AP⊥BC，即点P为BC的中点时，此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；当点P和点B重合时，此时G（H）为AB（AC）的中点，∴CG=2BH=2，BN=4；故答案为：4，6；【探究】（1）PM=2PD=2×PB=x，PN=2PE=2×PC=2×（4﹣x）=（4﹣x）；故答案为：x，（4﹣x）；（2）如图2，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，过点M作MH⊥NG垂足为H．∵在Rt△PMF中，∠MPF=30°，PM=x，∴MF=x，PF=x，同理，在Rt△PNG中，∠NPG=30°，PN=（4﹣x），∴NG=（4﹣x），PG=（4﹣x），∵四边形MFGH是矩形，则有NH=NG﹣HG=NG﹣MF=（4﹣x）﹣x=（2﹣x），MH=FG=PF+PG=x+（4﹣x）=6，∴在Rt△MNH中，由勾股定理得，MN2=NH2+MH2=3（x﹣2）2+36，则y=3（x﹣2）2+36，x=0或4时，y最大值=48，∵0≤x≤4，且当x=2时，y最小值=36；当∴36≤y≤48；（3）∵MN=3，MN2=63，∴当y=63时，即3（x﹣2）2+36=63，∴x=5或﹣1，∴当点P在B点右侧距离为5，或者在点P在B点左侧距离为1的位置处，均有线段MN=3；【拓展】如图3，分别过点M，N作直线BC的垂线MF，NG，垂足分别是F，G，连接MG，过MN的中点K，作KT⊥BC于点T，交MG于点S．∵MF∥KT∥NG，且点K为MN的中点，∴KS是△MNG的中位线，ST是△GMF的中位线，由【探究】中的过程可知，若设PB=x，则有PC=4﹣x，MF=x，NG=（4﹣x），由三角形中位线性质可得，ST=MF=x，KS=NG=（4﹣x），∴KT=ST+KS=x+（4﹣x）=，因此，在点P运动过程中，MN的中点K到BC边距离始终等于定值，且为等边△ABC高的一半，所以MN的中点K经过的路线恰为等边△ABC的中位线，其路线长为2．【应用】过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC 于R，则此时△PQR周长最小，∵∠BAC=30°，∴∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，∴∠M=∠N=15°，∴∠MQB=∠PQB=∠B=75°，∴MN∥BC，PQ=PB=1，同理PR=PC=1，∵AP⊥BC，∴AP⊥MN．∵∠PQR=180°﹣75°﹣75°=30°，∴QR=2×PQ=，∴△PQR周长的最小值是2+．故答案为：2+．5．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：课本研究三角形中位线性质的方法已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE∥BC，DE=BC．证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE≌△CFE．∴…请你利用小亮的发现解决下列问题：（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形MFGN周长的最小值是8+10．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先判断出△BDF≌△CDM，得出MC=BF，再判断出AC=MC，即可得出结论（2）先判断出四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，即：MN=FG=DE=4再判断出平行四边形FGNM是矩形时，四边形MFGN的周长最小，最后用锐角三角函数求出MF=GN=5，求和即可得出结论【解答】证明：（1）如图1，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，在△BDF和△CDM中，BD=CD，∠BDF=∠CDM，DF=DM．∴△BDF≌△CDM（SAS）．∴MC=BF，∠M=∠BFM．∵EA=EF，∴∠EAF=∠EFA．∵∠AFE=∠BFM，∴∠M=∠MAC．∴AC=MC．∴BF=AC．（2）如图2，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，∵DE是△ABC的中位线．∴DE=BC=4，DE∥BC∵DF∥EG，MN∥BC，∴四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，∴MN=FG=DE=4，∴要四边形MFGN周长的最小只有MF=NG最小，即：MF⊥BC，∴平行四边形FGNM是矩形，过点A作AP⊥BC于P，∴AP=MF=NG，在Rt△ABP中，∠B=45°，AB=10，∴AP=5，∴MF=NG=5，即四边形MFGN周长的最小值是8+10．故答案为：8+10．6．如图，将△OAB放在平面直角坐标系中，O为原点，点A（2，4），点B（6，0）在边OB上有一动点P，过P作PC∥OA交AB于C，连接AP．（Ⅰ）求△OAB的面积；（Ⅱ）若设OP=x，△APC的面积为y，试用含x的式子表示y；=S△OAB的点P存在，求当m取得最小值时，点P的坐标（Ⅲ）若有满足S△APC（直接写出结果即可）．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先确定出AD和OB的长，最后用三角形的面积公式即可；（2）先设出C的坐标，进而表示出BC，再用相似三角形的性质即可得出CE，最后用三角形的面积的差即可得出结论；（3）借助（1）（2）得出结论，先确定出y的最大值，即可判断出m的最小值，进而求出点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵A（2，4），∴AD=4，∵B（6，0），∴OB=6，=OB×AD=×6×4=12，∴S△OAB（2）如图2，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴，∵A（2，4），B（6，0），∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，设C（a，﹣a+6）（0＜a＜6），在Rt△ABD中，AD=4，BD=OB﹣OD=6﹣2=4，∴tan∠OBA==1，在Rt△BCE中，tan∠OBA==1，∴BE=CE=﹣a+6，∴BC=BE=（﹣a+6），∵A（2，4），B（6，0），∴AB=4，∵PC∥OA，∴△BPC∽△BOA，∴，∵OP=x，OB=6，∴BP=6﹣x，∴，∴a=2+x，∴CE=﹣a+6=﹣2﹣x+6=4﹣x，=S△OAB﹣S△OAP﹣S△BPC=12﹣x×4﹣（6﹣x）×（4﹣x）=﹣x2+2x ∴y=S△ACP（0＜x＜6），=y=﹣x2+2x=﹣（x﹣3）2+3，（3）由（2）知，S△ACP当x=3时，y最大=3=12，由（1）知，S△AOB=S△OAB，∵S△APC∴的最大值为3，∴m的最小值为4，∴m最小时，P（3，0）．7．【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别（用在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为．含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩=PQ•PN═﹣（x﹣）2+，据此可得；形PQMN【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC 知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．【解答】解：【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，又∠B=90°，∴四边形FEDB是矩形，则===，故答案为：；【拓展应用】∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=a﹣PQ，设PQ=x，=PQ•PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，则S矩形PQMN∴当PQ=时，S最大值为，矩形PQMN故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，∴EH=20、DH=16，∴AE=EH、CD=DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF=DH=16，同理△CDG≌△HDE，∴CG=HE=20，∴BI==24，∵BI=24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tanB=tanC=，∴∠B=∠C，∴EB=EC，∵BC=108cm，且EH⊥BC，∴BH=CH=BC=54cm，∵tanB==，∴EH=BH=×54=72cm，在Rt△BHE中，BE==90cm，∵AB=50cm，∴AE=40cm，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD=60cm，∴ED=30cm，∴CE 的中点P 在线段CD 上，∴中位线PQ 的两端点在线段AB 、CD 上，由【拓展应用】知，矩形PQMN 的最大面积为BC•EH=1944cm 2， 答：该矩形的面积为1944cm 2．8．问题呈现：如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE=DG ，求证：2S 四边形EFGH =S 矩形ABCD ．（S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1． 如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S四边形EFGH=S 矩形ABCD +S．如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD与S 之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH =11，HF=，求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE=1，DH=2，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的动点，且FG=，连接EF 、HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值．【考点】LO：四边形综合题．=S矩形AEGD，同理S△EGF=S矩形BEGC，由此可【分析】问题呈现：只要证明S△HGE=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC；得S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．根据=，实验探究：结论：2S四边形EFGH=，=，=，即可证明；迁移应用：（1）利用探究的结论即可解决问题．（2）分两种情形探究即可解决问题．【解答】问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°，∵AE=DG，∴四边形AEGD是矩形，=S矩形AEGD，∴S△HGE=S矩形BEGC，同理S△EGF=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC．∴S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．实验探究：结论：2S四边形EFGH理由：∵=，=，=，=，=+++﹣，∴S四边形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四边形EFGH=S矩形ABCD﹣．∴2S四边形EFGH迁移应用：解：（1）如图4中，=S矩形ABCD﹣．∵2S四边形EFGH∴=25﹣2×11=3=A1B1•A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A1B12+52=，∴EG=．=S矩形ABCD+．（2）∵2S四边形EFGH∴四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积=1•（﹣2）=②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积=2•1=2，∵2＞﹣2，∴矩形EFGH的面积最大值=．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向中点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t＞0），△OMN的面积为S．（1）填空：AB的长是10，BC的长是6；（2）当t=3时，求S的值；（3）当3＜t＜6时，设点N的纵坐标为y，求y与t的函数关系式；（4）若S=，请直接写出此时t的值．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．当t=3时，点N与C重合，OM=3，易求△OMN的面积；（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．由GN∥CF，推出=，即=，可得BG=8﹣t，由此即可解决问题；（4）分三种情形①当点N在边长上，点M在OA上时．②如图3中，当M、N 在线段AB上，相遇之前．作OE⊥AB于E，则OE==，列出方程即可解决问题．③同法当M、N在线段AB上，相遇之后，列出方程即可；【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB===10．BC==6，故答案为10，6．学科网（2）如图1中，作CE⊥x轴于E．连接CM．∵C（﹣2，4），∴CE=4OE=2，在Rt△COE中，OC===6，当t=3时，点N与C重合，OM=3，=•OM•CE=×3×4=6，∴S△ONM即S=6．（3）如图2中，当3＜t＜6时，点N在线段BC上，BN=12﹣2t，作NG⊥OB于G，CF⊥OB于F．则F（0，4）．∵OF=4，OB=8，∴BF=8﹣4=4，∵GN∥CF，∴=，即=，∴BG=8﹣t，∴y=OB﹣BG=8﹣（8﹣t）=t．（4）①当点N在边长上，点M在OA上时，•t•t=，解得t=（负根已经舍弃）．②如图3中，当M、N在线段AB上，相遇之前．作OE ⊥AB 于E ，则OE==，由题意 [10﹣（2t ﹣12）﹣（t ﹣6）]• =，解得t=8，同法当M 、N 在线段AB 上，相遇之后． 由题意•[（2t ﹣12）+（t ﹣6）﹣10]• =，解得t=，综上所述，若S=，此时t 的值8s 或s 或s ．10．已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一直线上，AB=EF=6cm ，BC=FP=8cm ，∠EFP=90°，如图②，△EFP 从图①的位置出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s ，EP 与AB 交于点G ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．过点Q 作QM ⊥BD ，垂足为H ，交AD 于点M ，连接AF ，FQ ，当点Q 停止运动时，△EFQ 也停止运动．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BD ？（2）设五边形AFPQM 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD =9：8？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点M 在线段PG 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）如图1中，当PQ∥BD时，=，可得=，解方程即可；=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC，由此计算即（2）如图2中，当0＜t＜6时，S五边形AFPQM可解决问题；（3）假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；（4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．利用勾股定理，根据MG=MP，列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，当PQ∥BD时，=，∴=，∴t=，∴t=s时，PQ∥BD．（2）如图2中，当0＜t ＜6时，S 五边形AFPQM =S 梯形AFCD ﹣S △DMQ ﹣S △PQC=（8+8﹣t +8）•6﹣•（6﹣t ）•（6﹣t ）﹣•（8﹣t ）•t =t 2﹣t +．（3）如图2中，假设存在，则有（t 2﹣t +．）：48=9：8，解得t=2或18（舍弃），∴t=2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD =9：8．（4）存在．理由：如图3中，连接MG 、MP ，作MK ⊥BC 于K ．易知：AG=6﹣t ．DQ=6﹣t ，DM=KC=（6﹣t ），PK=8﹣t ﹣（6﹣t ），MK=CD=6， ∵点M 在PG 的垂直平分线上， ∴MG=MP ，∴AG 2+AM 2=PK 2+MK 2，∴（6﹣t ）2+[8﹣（6﹣t ）]2=62+[8﹣t ﹣（6﹣t ）]2，解得t=或0（舍弃），∴t=s时，点M在线段PG的垂直平分线上11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM ≌△FEM，则有DE=EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；（3）由正方形的性质得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2．【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD∴∠MEN=90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM=EN，∵∠DEF=90°，∴∠DEN=∠MEF，在△DEM和△FEM中，，∴△DEM≌△FEM，∴EF=DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为4，∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE=DG，AD=DC，∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，∴∠CDG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=×2=4，（3）如图，∵正方形ABCD中，AB=2，∴AC=4，过点E作EM⊥AD，∴∠DAE=45°，∵AE=x，∴AM=EM=x，在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2﹣x，EM=x，根据勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2﹣x）2+（x）2=x2﹣4x+8，∵四边形DEFG为正方形，=DE2=x2﹣4x+8．∴S=S正方形DEFG12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B 出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE（点G在E上方），以EG为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示DG的长；（2）求点H落在AD上时t的值；（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t 之间的函数关系式；（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）由于点E在射线BD上移动，所以点G有两种情况：①点G在线段BD上，②点G在BD的延长线上；（2）正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形共有三种情况，需要分别计算出点H在AD上、点G与点D重合、点E与D重合所对应的t值；（3）线段FH扫过的图形为△BHF，所以当点E与点D重合时，计算出△BHF的面积即可．【解答】解：（1）由题意知：△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，由勾股定理可知：BD=4，当点G在线段BD上时，DG=4﹣3t，当点G在线段BD的延长线上时，DG=3t﹣4；（2）在等腰直角△DHE中，DE=4﹣t∴DH=DE=4﹣t，在等腰直角△DHG中，DG=3t﹣4，∴DH=DG=3t﹣4∴4﹣t=3t﹣4∴t=2；（3）当点G与点D重合时，此时，BE+EG=BD∴t+2t=4∴t=，当点H在AD上时，由（2）可知：t=2，当点E与D重合时，此时，BE=BD=4∴t=4，如图2，当0≤t≤时，此时，HE=EG=t，∴S=HE2=2t2，如图3，当时，此时，HE=GE=t，DE=4﹣t，DG=3t﹣4正方形EFGH的面积为：HE2=2t2，∴S=2t2﹣（3t﹣4）2﹣ [+t][t﹣] =t2+10t﹣4，如图4，当2＜t≤4时，此时，DE=4﹣t，∴S=+（4﹣t）2=t2﹣6t+12，（4）当点E到达点D时，连接BH，BF，∴线段FH扫过的图形为△BHF，此时，GD=HF=8，BD=4，∴△BHF的面积为：×8×8=32．13．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．学科网【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D 的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x==1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2∴S△ACE﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．14．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m的值；②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴BN=OM=m，∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5，∴M（2.5，0）；当∠NBP=90°时，则有=，∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2），∴BP==m，AP==（3﹣m），∴=，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．15．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据已知条件得到B（0，），A（﹣6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，于是得到C（1，0）；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到=，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，=，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．。
初中九年级数学专题复习教案：动态几何之定值问题探讨
【2013年中考攻略】专题3：动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。
一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 512（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】解：（2）图2中结论PR ＋PQ=125仍成立。
证明如下： 连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K 。
∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴2 2 22BD CD BC 345=+=+=。
∵S △BCD =12BC•CD=12BD•CK ，∴3×4=5CK ，∴CK=125。
∵S△BCE=12BE•CK，S△BEP=12PR•BE，S△BCP=12PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，∴12BE•CK=12PR•BE＋12PQ•BC。
2020年中考数学动态几何题中的“定值型”问题赏析精品版
特殊的位置，探得定值，如果需要的话再考虑证明；或直接推理、计算，并在计算中消去变
量，从而得到定值 。以下以 2010 年中考题为例说明具体的求解策略
一、长度定值
例 1．（ 2010 山东聊城）如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 的一个动点，矩形的两条边 AB、
BC 的长分别为 3 和 4，那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 （
点 D 是线段 BC 上的动点（与端点 线 OAB 于点 E．
B、C 不重合），过点 D 作直线 y ＝－ 1 x ＋ b 交折 2
（ 1）略 （ 2）当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1，
试探究 O1A1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该 重叠部分的面积；若改变，请说明理由 .
y
C
D
B
O
EA
x
思路点拨：（2）重叠部分是一个平行四边形， 由于这个平行四边形上下边上的高不变， 因此
决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在
OA 边上的线段长度是否变
化．
解：（ 1）略
（ 2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交于点 M ，OA 与 C1 B1 相交于点 N，则矩形 O1A 1B 1C1 与矩 形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积。
解：（ 1）如图 4， OE=5， r 2 ，CH =2
（ 2）略 （ 3）如图 6，连接 AK ，AM，延长 AM ，
与圆交于点 G，连接 TG，则 GTA 90 2 4 90
3 4 ， 2 3 90 由于 BKO 3 90 ，故， BKO 2 ； 而 BKO 1，故 1 2 在 AMK 和 NMA 中， 1 2 ； AMK NMA
动点与定值问题初三
动点与定值问题初三一、动点与定值问题解析动点与定值问题是一种常见的数学问题，主要考察学生的空间思维能力和代数运算能力。
这类问题通常涉及到几何图形中的动点和定点，通过给定的条件和关系，求出动点的轨迹或定值。
解决动点与定值问题的关键在于理解问题的几何背景和代数关系。
首先，要明确动点和定点的位置关系，以及它们之间的距离、角度等关系。
其次，要运用代数方法，将几何关系转化为代数方程或不等式，通过求解方程或不等式得到答案。
二、例题讲解例题1：在直角坐标系中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(4,3)。
若点P是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标。
分析：首先，我们可以通过平移的方式找到点P的位置。
由于点A和点B关于x轴对称，我们可以将点A关于x轴的对称点设为点P，这样△PAB的周长最小。
解：设点P的坐标为(x,0)。
由于点A和点B关于x轴对称，因此，我们有：AP = BP根据点到点的距离公式，我们可以得到：AP = √(x^2 + 1)BP = √((x-2)^2 + 1)因为AP=BP，所以：x^2 + 1 = (x-2)^2 + 1解这个方程，我们得到：x = 1所以，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为(1,0)。
例题2：在矩形ABCD中，AB=2, BC=4, 点E是BC的中点。
将△ABE沿AE折起，使得AB=BE=2, 求二面角B-AE-D的平面角的余弦值。
分析：首先，我们需要找到二面角B-AE-D的平面角所在的三角形。
通过观察和计算，我们可以发现平面角所在的三角形是△BAE。
因此，我们需要求出△BAE 的三边长度，然后利用余弦定理求出余弦值。
解：由于AB=BE=2，AE=2√2（根据勾股定理）。
我们可以得到△BAE的三边长度分别为2、2√2、4。
根据余弦定理，我们可以得到：cos∠BAE = (AB^2 + AE^2 - BE^2) / (2 ×AB ×AE)= (4 + 8 - 4) / (2 ×2 ×2√2)= √2/2所以，二面角B-AE-D的平面角的余弦值为√2/2。
初中数学总复习《动态几何之存在性问题探讨》学生版 讲义
教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：九年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题初中数学总复习——动态几何——存在性问题探讨学习目标教学内容初中数学总复习——动态几何——存在性问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。
【一、等腰（边）三角形存在问题：】例1、（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线c=2（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），y++axbx且抛物线c=2与y轴交于点B（0，2）.+bxaxy+（1）求该抛物线的解析式；（2）是否在x轴上存在点P使△P AB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标.例2、（2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．例3、（2012福建龙岩14分）在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【二、直角三角形存在问题：】例1、（2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为 (－1，0) ．如图所示，B 点在抛物线y ＝12x 2＋12x －2图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂 足为D ，且B 点横坐标为－3．（1）求证：△BDC ≌△COA ； （2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．例2、（2012内蒙古赤峰12分）如图，抛物线2y x bx 5=--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧）， 与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC |：|OA |=5：1．（1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF 的解析式；（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3、（2012重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【三、平行四边形存在问题：】例1、（2012山西省14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B 两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．例2、（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1) 求A、B两点的坐标。
专题19：动态几何之定值问题探讨.docx
动态题是近年來中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题來解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、而积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进 行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方而进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）具它定值问题。
一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1： （2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD ±的一点，且BE=BC, AB=3, BC=4, 点P 为直线EC±的一点，且PQ 丄BC 于点Q, PR 丄BD 于点R.12（1） ill 图1,当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ 二一（不需证明）. 5（2） 如图2,当点P 为线段EC±的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（I ）中的 结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理山.（3）如图3,当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的【2013年中考攻略】 专题19：动态几何之定值问题探讨【答案】解（2）图2中结论PR+PQ=y仍成立。
证明如下：连接BP,过（：点作CK丄BD于点K。
V四边形ABCD为矩形，・•・ZBCD=90°。
又•・• CD=AB=3, BC=4, BD = VcD2+BC2 = ^32 +42 = 5。
I S ABCD= - BC・CD= - BD・CK, Z. 3x4=5CK, Z. CK=—。
2 2 5边），与y 轴交于点C.（1） 写出二次函数L|的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 研究二次函数 L2： y=kx 2 - 4kx+3k （k#））.① 写出二次函数L 2与二次函数Li 有关图彖的两条相同的性质;② 是否存在实数k,使AABP 为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理山;③ 若直线y=8k 与抛物线L2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长 度；如果会，请说明理山.【答案】解（1） J 抛物线y = X 2-4X + 3 = （X -2）2-1,V S ABCE = — BE ・CK, S ABH >= — PR ・BE, S ABCP = — PQ ・BC, JIL S ABCE 二S/\BEP +S Z \BCP ， 2 2 2・•・-BE ・CK= - PR ・BE+ - PQ ・BC 。
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【2013年中考攻略】专题3：动态几何之定值问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。
一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE=BC ，AB=3，BC=4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR+PQ= 512（不需证明）． （2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】解：（2）图2中结论PR ＋PQ=125仍成立。
证明如下： 连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K 。
∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴BD 5===。
∵S △BCD =12BC•CD=12BD•CK ，∴3×4=5CK ，∴CK=125。
∵S△BCE=12BE•CK，S△BEP=12PR•BE，S△BCP=12PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，∴12BE•CK=12PR•BE＋12PQ•BC。
又∵BE=BC，∴12CK=12PR＋12PQ。
∴CK=PR＋PQ。
又∵CK=125，∴PR＋PQ=125。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125．【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。
连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=125。
例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线()22y x 4x 3x 21=-+=--，∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。
（2）①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A （1，0），B （3，0）两点。
②存在实数k ，使△ABP 为等边三角形．∵()22y kx 4kx 3k k x 2k =-+=--，∴顶点P （2，－k ）．∵A （1，0），B （3，0），∴AB=2要使△ABP 为等边三角形，必满足|－k|=，∴。
③线段EF 的长度不会发生变化。
∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k ≠0，∴x 2﹣4x+3=8。
解得：x 1=﹣1，x 2=5。
∴EF=x 2﹣x 1=6。
∴线段EF 的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。
【分析】（1）抛物线y=ax 2+bx+c 中：a 的值决定了抛物线的开口方向，a ＞0时，抛物线的开口向上；a ＜0时，抛物线的开口向下。
抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②当△ABP 为等边三角形时，P 点必为函数的顶点，首先表示出P 点纵坐标，倍，由此确定k 的值。
③联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。
例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。
又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。
∴∠APB=∠BPH。
（2）△PHD的周长不变为定值8。
证明如下：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。
由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）。
∴AP=QP，AB=BQ。
又∵AB=BC，∴BC=BQ。
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）。
∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。
（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF 为折痕，∴EF ⊥BP 。
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。
∴∠EFM=∠ABP 。
又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME ，∴△EFM ≌△BPA （ASA ）。
∴EM=AP=x ．∴在Rt △APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2，即2x BE 2+8=。
∴2x CF BE EM 2+x 8=-=-。
又∵四边形PEFG 与四边形BEFC 全等， ∴()()22211x 11S BE CF BC=4+x 4=x 2x+8=x 2+622422⎛⎫=⋅+⋅⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭。
∵1042<<，∴当x=2时，S 有最小值6。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH ，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC 即可得出答案。
（2）先由AAS 证明△ABP ≌△QBP ，从而由HL 得出△BCH ≌△BQH ，即可得CH=QH 。
因此，△PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。
（3）利用已知得出△EFM ≌△BPA ，从而利用在Rt △APE 中，（4﹣BE ）2+x 2=BE 2，利用二次函数的最值求出即可。
例4：（2012福建泉州12分）已知：A 、B 、C 不在同一直线上.（1）若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O 上，i ）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC 的度数和BC 的长度；ii ）如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A= BC 2R； （2）.若定长线段．．．．BC 的两个端点分别在∠MAN 的两边AM 、AN （B 、C 均与点A 不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP ⊥AM ，CP ⊥AN ，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P 、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.【答案】解：（1）i ）∵∠A=45°，∴∠BOC=90°（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。
又∵R=1，∴由勾股定理可知ii ）证明：连接BO 并延长，交圆于点E ，连接EC 。
可知EC ⊥BC （直径所对的圆周角为90°），且∠E=∠A （同弧所对的圆周角相等）。
故sin ∠A=sin ∠A=BC BC BE 2R=。
（2）保持不变。
理由如下：如图，连接AP ，取AP 的中点K ，连接BK 、CK ，在Rt △APC 中，CK=12AP=AK=PK 。
同理得：BK=AK=PK 。
∴CK=BK=AK=PK 。
∴点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上。
∴由（1）ii ）sin ∠A=BC 2R 可知sin60°=BC AP 。
∴AP=BC sin60=︒（为定值）。
【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。
【分析】（1）i ）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC 的长；ii ）作直径CE ，则∠E=∠A ，CE=2R ，利用sin ∠A=sin ∠E=BC BC BE 2R = ，得出即可。
（2）首先证明点A 、B 、P 、C 都在⊙K 上，再利用sin ∠A=BC 2R ，得出AP=BC sin60︒ （定值）即可。
例5：（2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O 的直线y=kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、D(0，－2)作平行于x 轴的直线1l 、2l ．(1)求抛物线对应二次函数的解析式；(2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax 2＋bx ＋c ，则4a 2b+c=04a+2b+c=0c=1-⎧⎪⎨⎪-⎩ 解得1a=4b=0c=1⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩。
∴抛物线对应二次函数的解析式 所以21y=x 14-。
（2）设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，∴22112211y =x 1y =x 144--，，∴x 22=4(y 2+1)。