青海省西宁五中、四中、十四中三校联考2015年高考数学模拟试卷文(含解析)

2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）A啊2．已知向量=（1，﹣2），=（x，4），且∠，则•=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣103．若复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z+i|=（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．25．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4 B．8 C．10 D．126．设a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是（）A．若a⊥α，b∠α，则a⊥b B．若a⊥α，b∠a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∠β，则a∠b D．若a∠α，a∠β，则α∠β7．已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=（）A．7 B．6 C．5 D．48．正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）A．2 B．16 C．D．9．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c10．一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（）A．5 B． C．4 D．311．点P在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∟F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．512．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i）对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；（ii）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则下列三个函数中不是M函数的个数有（）①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=2x﹣1．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在题中的横线上.）13．已知函数f（x）=，则f（1）﹣f（3）= ．14．已知实数a∈[﹣2，5]，则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为．15．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是元．16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=2，S5=a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若a4，a4+m，a4+n（m，n∈N*）成等比数列，求n的最小值．18．教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题．某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从A，B，C，D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示．为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若家长甲来自A区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈，求这2人中至少有一人来自D区域的概率．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∠平面ACF；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．20．（2009•山东）设椭圆E：过，两点，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．《选修4-1：几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．《选修4-4：坐标系与参数方程》23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．《选修4-5：不等式选讲》24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2015年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0≤x≤2}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0] C．[0，1] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出A与B的交集即可．【解答】解：∵A=[﹣1，1]，B=[0，2]，∴A∩B=[0，1]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知向量=（1，﹣2），=（x，4），且∠，则•=（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先利用向量平行得到x，然后利用数量积的坐标运算得到所求．【解答】解：因为向量=（1，﹣2），=（x，4），且∠，所以4+2x=0，解得x=﹣2，故•=﹣2﹣（﹣2）×4=﹣10；故选：D．【点评】本题考查了平面向量平行的坐标性质以及数量积的坐标运算；属于基础题．3．若复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z+i|=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】复数求模．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的四则运算先求出复数z，再计算复数z+i的模长．【解答】解：∵（1﹣i）z=1+i，∴z===i，∴|z+i|=|2i|=2．故选：C．【点评】本题考查了复数的四则运算与求复数模长的应用问题，是基础题目．4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．5．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4 B．8 C．10 D．12【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6，8．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=2时，S=（1×2）=2，i=2+2=4，k=2；当i=4时，S=（2×4）=4，i=4+2=6，k=3；当i=6时，S=（4×6）=8，i=6+2=8，k=4；当i=8时，不满足i＜8，退出循环，输出S=8．故选B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．设a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误的是（）A．若a⊥α，b∠α，则a⊥b B．若a⊥α，b∠a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∠β，则a∠b D．若a∠α，a∠β，则α∠β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】由题设条件a、b是两条不同直线，α、β是两个不同平面，在此背景下，对四个选项中的条件与结论进行探讨，得出正确答案．【解答】解：A选项不正确，由于a⊥α，b∠α，可得出a⊥b，故此命题是正确命题B选项不是正确选项，若a⊥α，b∠a，可得出b⊥α，又b⊂β，由字定理知则α⊥β，故此命题是正确命题C选项不是正确选项，若a⊥α，b⊥β，α∠β两条直线分别垂直于两个平行平面，可得出a∠b，故此命题是正确命题D选项是正确选项，a∠α，a∠β，不能得出α∠β，因为平行于同一直线的两个平面可能相交故选D【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解答本题关键是熟练掌握线面间位置关系的判断条件以及较好的空间想像能力．7．已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，﹣1），B（3，0），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z最小等于2×1﹣1=1；当直线y=﹣2x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大等于2×3﹣0=6．∴a+b=1+6=7．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）A．2 B．16 C．D．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，知m+n=6，由此问题得以解决．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，∴a1q2=a1q+2a1，即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，∵存在a m，a n，使得a m a n=16a12，∴a12•2m+n﹣2=16a12，∴m+n=6，∴=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=∴的最小值为．故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．9．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，在同一坐标系中作出函数的图象，然后观察得到它们图象的交点的横坐标，从而得到大小关系．【解答】解：函数f（x）=2x+x的零点为a，也就是说函数，图象的交点的横坐标，同理，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点也就是函数的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数的图象，如下图所示：故有a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查数形结合思想在解题中的灵活运用，注意常见函数的图象及其性质．10．一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（）A．5 B． C．4 D．3【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；简单空间图形的三视图．【专题】计算题；作图题．【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图，容易解得AB的最小值．【解答】解：三视图复原几何体是长方体，AB侧面展开图以及数据如图，所以|AB|的最小值为：故选B．【点评】本题考查空集几何体的三视图，及其侧面展开图，是基础题．11．点P在双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，F1、F2是这条双曲线的两个焦点，∟F1PF2=90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=d，a=d，由离心率公式计算即可得到．【解答】解：设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，且分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=d，a=d，故离心率e==5．故选D．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．12．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：（i）对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；（ii）当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则下列三个函数中不是M函数的个数有（）①f（x）=x2②f（x）=x2+1③f（x）=2x﹣1．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】利用已知条件函数的新定义，对选项逐一验证两个条件，判断即可．【解答】解：对于条件（i）：在[0，1]上，三个函数都满足；条件（ii）：x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；对于①，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=（x1+x2）2﹣（x21+x22）=2x1x2≥0，满足条件（ii）；对于②，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[（x1+x2）2+1]﹣[（x21+1）+（x22+1）]=2x1x2﹣1＜0，不满足条件（ii）．对于③，f（x1+x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=﹣=（）（）≥0，满足条件（ii）．故选：B．【点评】本题通过函数的运算与不等式的比较，另外也可以利用函数在定义域内的变化率、函数图象的基本形式来获得答案，本题对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在题中的横线上.）13．已知函数f（x）=，则f（1）﹣f（3）= ﹣11 ．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】结合已知条件，利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）﹣f（3）=（2×1﹣3）﹣（9+1）=﹣1﹣10=﹣11．故答案为：﹣11．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．14．已知实数a∈[﹣2，5]，则a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；概率与统计．【分析】先化简集合{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}，再求对应的几何概率即可．【解答】解：∵{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}={x∈R|（x+1）（x﹣3）≤0}={x∈R|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，且a∈[﹣2，5]；∴a∈{x∈R|x2﹣2x﹣3≤0}的概率为P==．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是基础题目．15．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电原价是2250 元．【考点】一次函数的性质与图象．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】设出每台彩电的原价，从而可得方程，即可求得结论．【解答】解：设每台彩电的原价是x元，则有：（1+40%）x×0.8﹣x=270，解得：x=2250，故答案为：2250．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S﹣ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为．【考点】球内接多面体．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设出球的半径，利用棱锥的体积公式，求解半径，然后求解半球的体积．【解答】解：连结AC，BD交点为0，设球的半径为r，由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r．则AB=，四棱锥的体积为： =，解得r=，半球的体积为： =．故答案为：．【点评】本题考查四棱锥SABCD的体积的计算，确定球的半径关系式是关键．三、解答题（本大题有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3=2，S5=a7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若a4，a4+m，a4+n（m，n∈N*）成等比数列，求n的最小值．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设公差为d，利用a3=2，S5=a7，建立方程组，求出a1=﹣2，d=2，即可求数列{a n}的通项公式a n及S n；（Ⅱ）若a4，a4+m，a4+n（m，n∈N*）成等比数列，可得，考察函数，知f（x）在（0，+∞）上单调递增，即可求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，由题意，得…解得a1=﹣2，d=2，…所以a n=﹣2+（n﹣1）×2=2n﹣4，…．…（Ⅱ）因为a4，a4+m，a4+n成等比数列，所以，…即（2m+4）2=4（2n+4），…化简，得，…考察函数，知f（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为，f（2）=6，n∈N*，所以当m=2时，n有最小值6．…【点评】本题考查等差数列的通项与求和，考查等比数列的性质，确定数列的通项是关键．18．教育资源的不均衡是促进“择校热”的主要因素之一，“择校热”也是教育行政部门一直着力解决的问题．某社会调查机构为了调查学生家长对解决“择校热”的满意程度，从A，B，C，D四个不同区域内分别选择一部分学生家长作调查，每个区域选出的人数如条形图所示．为了了解学生家长的满意程度，对每位家长都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若家长甲来自A区域，求家长甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的家长中再选出2人进行面谈，求这2人中至少有一人来自D区域的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）通过频率分布直方图，来自A区域的家长为40人，通过分层抽样可得从A 区域的家长问卷中抽取的数目，然后求解概率．（II）设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D”从填写不满意的学生中选出2人的基本事件个数，而事件N的个数，然后求解概率．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）由条形图可得，来自A，B，C，D四个区域的家长共有200人，…其中来自A区域的家长为40人，…由分层抽样可得从A区域的家长问卷中抽取了份．…设事件M=“家长甲被选中进行问卷调查”，…则．…（II）由图表可知，来自A，B，C，D四区域的家长分别接受调查的人数为4，5，6，5．其中不满意的家长人数分别为1，1，0，2个．…记来自A区域不满意的家长是a；来自B区域不满意的家长是b；来自D区域不满意的家长是c，d．…设事件N=“从填写不满意的家长中选出2人，至少有一人来自区域D”…从填写不满意的学生中选出2人，共有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）6个基本事件，…而事件N有（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）5个基本事件，…故．…【点评】本题考查分层抽样，频率分布直方图以及古典概型的概率的求法，基本知识的考查．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∠平面ACF；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD和AC交于O，连结OF，证明OF∠BE，即可证明BE∠平面ACF；（Ⅱ）证明EG⊥平面ABCD，即可求四棱锥E﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，∵F为DE中点，∴OF∠BE，…∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴BE∠平面ACF．…（Ⅱ）解：作EG⊥AD于G，则∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，…∴CD⊥EG，∵AD∩CD=D，∴EG⊥平面ABCD…∵AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，∴，…∴四棱锥E﹣ABCD的体积V=××=…【点评】本题考查线面平行，考查线面垂直，考查四棱锥E﹣ABCD的体积，掌握线面平行、线面垂直的判定方法是关键．20．（2009•山东）设椭圆E：过，两点，O为坐标原点（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）利用待定系数法，可求椭圆E的方程；（2）分类讨论，设出切线方程与椭圆方程联立，要使，需使x1x2+y1y2=0，结合韦达定理，即可求解．【解答】解：（1）因为椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，所以，解得，所以，所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m．解方程组得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以．又8k2﹣m2+4＞0，所以，所以，即或，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所以，所以，所以所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，而当切线的斜率不存在时，切线为与椭圆的两个交点为或，满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且．【点评】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．【解答】解：（1）f'（x）=﹣（x＞0）依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤=在x＞0恒成立，即a≤[﹣1]min x＞0当x=1时，﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴设g（x）=则g'（x）=列表：∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，又g（4）=2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得ln2﹣2＜b≤﹣．【点评】本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．《选修4-1：几何证明选讲》请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．（Ⅰ）求证：PM2=PA•PC；（Ⅱ）若⊙O的半径为2，OA=OM，求MN的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∟ONB+∟BNP=90°且∟OBN+∟BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．（Ⅱ）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接ON，因为PN切⊙O于N，∴∟ONP=90°，∴∟ONB+∟BNP=90°∵OB=ON，∴∟OBN=∟ONB因为OB⊥AC于O，∴∟OBN+∟BMO=90°，故∟BNP=∟BMO=∟PMN，PM=PN∴PM2=PN2=PA•PC（Ⅱ）∵OM=2，BO=2，BM=4∵BM•MN=CM•MA=（2+2）（2﹣2）（2﹣2）=8，∴MN=2【点评】本题要求证明一个PM2=PA•PC结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个基础题．《选修4-4：坐标系与参数方程》23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），把代入即可得出．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得|t1﹣t2|=．利用==即可得出．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t1﹣t2|===2．∴====．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．《选修4-5：不等式选讲》24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，函数的单调性的应用，体现了数形结合以及转化的数学思想，属于中档题．。