辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含答案

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一下学期开学考试
数学试题
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．集合A =｛0，1,2｝，B ={}
12x x -<<，则A B =（ ）
A.｛0｝ B ．｛1｝ C ．｛0，1｝ D ．｛0，1,2｝
2．不等式022>++bx ax 的解集是)3
1
,21(-，则b a +的值是（ ） A ．10 B ．－14
C ．14
D ．－10
3．已知幂函数()αf x kx =),(R R k ∈∈α的图像过点1(2
，则α+k ＝（ ）
A ．12
B ．1
C ．3
2
D ．2
4．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ）
A.x ＋2y －1＝0
B.2x ＋y －1＝0
C.2x ＋y －3＝0
D.x ＋2y －3＝0
5．方程20142log 2
1-=x
x 的实数根的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
6．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（ ）
A.6+6+
C.6+
7．圆01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ． 1+2
C ．2
2
1+ D ．1+22
8．已知()()log 2a f x ax =-)10(≠>a a 且在[]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,1 B ．()1,0 C ．()2,0 D ．[)+∞,2
9．已知三个互不重合的平面α,β,γ，且a =βα ，b =γα ，c =γβ . 给出 下列命题：①,a b a c ⊥⊥，则b c ⊥；②p b a = ，则p c a = ；③若,a b a c ⊥⊥， 则αγ⊥；④若b a //，则c a //. 其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式
)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为（ ） A ．)0,(-∞ B ． ()+∞,0 C ．)1,(-∞ D ．()+∞,1
11．函数|}2|,2min{)(-=x x x f ，其中⎩⎨⎧>≤=b
a b b
a a
b a ,,},min{，若动直线m y =与
函数)(x f y =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3，则321x x x ++
的取值范围是（ ）
A ．()324,0-
B ．()326,2-
C ．()13,2+
D ．()
328,4-
12．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为
0=++c by ax ，c
by ax c
by ax ++++=
2211δ．有四个判断：①若1=δ，则过M 、N 两点的直
线与直线l 平行；②若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；③存在实数δ，使点N 在 直线l 上；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交． 上述判断中，正确的是（ ）
A. ①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13. 点（2，3，4）关于平面xOz 的对称点为 ．
14．圆心在直线2x +y ＝0上，且与直线x +y －1＝0切于点（2，－ 1）的圆的方程是 .
15．在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=
与圆222n y x =+相切，其中 m 、n ∈N *，
10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，k ∈Z ，则k = .
16．对于四面体ABCD ，以下说法中，正确的序号为 . ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；
③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1； ④若以A 为端点的三条棱两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）
已知函数)1(log )(2-=x x f 的定义域为集合A ，函数x x g )2
1
()(=，)01(≤≤-x 的值域
为集合B .
（1）求B A ；
（2）若集合{}
12-≤≤=a x a x C ，且C B C = ，求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，O 为AD 中点，M 是棱PC 上的点， BC AD 2=． （1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；
（2）若点M 是棱PC 的中点，求证：//PA 平面BMO .
19. （本题满分12分） 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .
（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求证：//AC 平面BEF ； （3）求四面体BDEF 的体积.
20．（本题满分12分） 已知函数(32)1x
f x -=- ([0,2])x ∈，函数3)2()(+-=x f x
g .
（1）求函数()y f x =与()y g x =的解析式,并求出(),()f x g x 的定义域； （2）设2
2
()[()]()h x g x g x =+，试求函数()y h x =的最值.
21.（本题满分12分）
已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线022:1=--y x l 相切. （1）求直线0534:2=+-y x l 被圆C 所截得的弦AB 的长；
（2）过点G (1,3)作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M ,N ,求直线MN 的方程；
C
D F E
（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且POQ ∠为钝角，求直线l 纵截距的取值范围．
22.（本题满分12分）
已知函数)1)1((log )(2++-=x a ax x f a . （1）求函数)(x f 的定义域；
（2）若对任意),2[+∞∈x 恒有0)(>x f ，试确定a 的取值范围.
高一数学试题参考答案
1-5：CBADB 6-10：ABACC 11-12：DB
13、（2，-3,4） 14、(x －1)2＋(y+2)2
=2 15、0 16、①②④
18. 略
19. 证明：（1）证：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=，所以DE ⊥平面
ABCD ，所以AC DE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE .…4分
（2）设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12
DE . 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=
OG ， 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //.
因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,
所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .……8分
（ 3 ）四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 314
3.……12分
20．解 （1）设32x
t =-∈（
t [-1,7],则3log (t 2)x =+, 于是有3()log (t 2)1f t =+-，[1,7]t ∈- ∴3()log (2)1f x x =+-([1,7]x ∈-)， (4)
分
根据题意得3()(2)3log 2g x f x x =-+=+
又由721≤-≤-x 得91≤≤x ∴2log )(3+=x x g ([1,9]x ∈)………6分 （2）∵3()log 2,[1,9]g x x x =+∈∴要使函数2
2
()[()]()h x g x g x =+有意义，
必须219
19
x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩∴13x ≤≤，………………………8分
∴222223333()[()]()(log 2)2log (log )6log 6h x g x g x x x x x =+=+++=++ (13x ≤≤)
………………………10分
设x t 3log =,则66)(2
++=t t x h ()332
-+=t )10(≤≤t 是
()1,0上增函数,
∴0=t 时min )(x h =6,1=t 时13)(max =x h ………………………12分 ∴函数()y h x =的最大值为13，最小值为6. ………12分
21. .解（1）由题意得，圆心（0,0）到直线1l :0x y --=的距离为圆的半径，r=2,所以圆C 的标准方程2
2
4x y +=（1）……1分 所以圆心到直线2l 的距离d=1……2分
所以AB =……3分。