第7课时 二次函数y=ax2+bx+c的性质
二次函数y=ax2+bx+c图像与性质
2a
4a
2a
4a
yax2 bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把 yax2 bxc
化为yaxh2 k的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
二次函数y=ax2+bx+c图像与性质
例 当x取何值时，二次函数 y2x2 8x有1 最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
56
3.5 3
y
78
3.5 5
9… 7.5 …
10
5
O
5
10 x
画二次函数的图象取点时先确 定顶点，再在顶点的两旁对称 地取相同数量的点，一般取5 －7个点即可。
二次函数y=ax2+bx+c图像与性质
yaxb24acb2. 2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
2 a 2 2 4 a
4 2
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
二次函数y=ax2+bx+c图像与性质
例已知函数 y1x2 3x1，当x为何值时，
2
2
函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一： a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方 对称轴 顶点坐标 向
向上 直线x=–3 （-3，5）
第22章 第7课 用公式法求y=ax2+bx+c的顶点坐标及对称轴
－2
若抛物线y＝x2 ＋mx＋n的顶点为(1，1)，则m＝_________，n
2
＝_____.
返回目录
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0).
2 －
(1)顶点式为y＝a(x＋ ) ＋
；
－
(2)顶点坐标为(－ ，
)；
(3)对称轴为x＝－ ；
x＝－1，有下列结论：①a＞0，②b＜0，③c＜0，④2a＋b＝0.其中错
②④
误的是__________.
－1
④由图象，可知二次函数的对称轴为直线x＝_________，
2a
－1
∴－ ＝_________，即b＝________.
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解：∵a＝1，b＝2，c＝－4，
∴－ ＝－ ＝－1，
×
－ ××(－)−
＝
＝－5.
×
∴对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，－5).
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4．抛物线y＝mx2＋4x－2的对称轴为直线x＝1，求m的值及顶点坐标.
解：a＝m，b＝4，c＝－2，
依题意，得－ ＝－ ＝1，
A．y＝－x2＋4x－3
B．y＝－2x2－3x
C．y＝3x2＋6x－7
2
D．y＝ x －x＋5
返回目录
2
(教材P39)求抛物线y＝－ x ＋x＋1的对称轴及顶点坐标.
－
解 ： ∵a ＝ － ， b ＝ 1 ， c ＝ 1 ， ∴ － ＝ －
＝ ，
＝
第7课 用公式法求y=ax2+bx+c的顶点坐标及对称轴
第2关 12．抛物线y＝mx2＋4x－2的对称轴为直线x＝1，
求m的值及顶点坐标． a＝m，b＝4，c＝－2 依题意 －2ba＝－24m＝1 ∴m＝－2 ∴a＝－2 4ac4－a b2＝4×（－42×）（×－（2－）2）－42＝0 ∴顶点坐标为(1，0)
9. 抛物线y＝x2＋mx＋n的顶点为(1，1)，则m＝___－__2___， n＝____2____.
四、过关检测
第1关 10．求抛物线y＝x2－2x的对称轴、顶点坐标．
y＝x2－2x＋1－1 ＝(x－1)2－1 ∴对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－1)
11. 求抛物线y＝x2－4x－5的对称轴、函数的最值．
(3，0)，确定下列各式的符号：
(1)a___＜_____0；(2)b___＞_____0；
Hale Waihona Puke (3)c___＞_____0；
(4)－
b 2a
___＞_____0；
(5)a＋b＋c___＞_____0；
(6)a－b＋c___＝_____0；
(7)4a＋2b＋c____＞____0；
(8)4a－2b＋c___＜_____0；
三、课堂总结
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)化为顶点式y＝a(x＋ b )2＋ 4ac b2 ；
2a
4a
(2)顶点坐标(－ b ，4ac b2 )； 2a 4a
(3)对称轴：直线x＝____2ba____；
(4)当x＝____2ba____时，y最值＝_4_a_c4_a_b_2__.
6a. ＝求－抛32物，线b＝y＝1－，c32＝x21＋x＋1的对称轴及顶点坐标． ∴－2ba＝－2×（1－32）＝13 4ac4－a b2＝4×（4×－（23－）23×）1－12＝67 ∴对称轴为 x＝13，顶点坐标为(13，76).
_二次函数y=ax2 bx c的图象和性质
二次函数y=ax ²+bx+c 的图象和性质➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，与抛物线y=ax ²的形状相同，位置不同。
利用配方法能够将y=ax ²+bx+c 转化为顶点式，即：a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax y 442222222222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=➢ 二次函数y=ax ²+bx+c 的性质 a 的符号a>0a<0图象开口方向 向上向下对称轴abx 2-= ab x 2-= 顶点坐标(ab 2-, a b ac 442-)(ab 2-, a b ac 442-)增减性✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而减小； ✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而增大； ✧ 当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大；✧ 当abx 2->时，y 随x 的增大而减小； 最值当a bx 2-=时，y 有最小值，a b ac y 442-=当abx 2-=时，y 有最大值，ab ac y 442-=例1：已知二次函数422++-=x x y 1) 确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴2) 当x 取何值时，y 随着x 的增加而增大？当x 取何值时，y 随着x 的增加而减小？知识点二：抛物线y=ax ²+bx+c 与系数的关系抛物线在坐标系内的位置与系数a ，b ，c 的符号有着密切的联系，知道图象的位置能够确定a ，b ，c 的符号；反过来，由a ，b ，c 的符号能够确定抛物线的大致位置。
它们之间的关系如下：系数 图象的特征 系数的符号a开口向上 a>0 开口向下 a<0 b对称轴为y 轴b=0 对称轴在y 轴左侧 a ，b 同号 对称轴在y 轴右侧a ，b 异号 c经过原点c=0 与y 轴正半轴相交 c>0 与y 轴负半轴相交c<0例2：抛物线c bx 2++=ax y 经过点(-1, 0)，对称轴l 如以下列图所示。
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
教案教学内容二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质一、学习目标：1.会用描点法画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质；2.通过独立思考、小组合作、动手操作，掌握二次函数y=ax²+bx+c的性质，并会灵活应用.二、知识回顾：1．一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的相同，不同.抛物线y=ax2向平移个单位，向平移个单位得到抛物线y=a(x-h)2+k（h>0,k>0）.2. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：（1）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.（2）对称轴是直线x=h.（3）顶点坐标是（h,k）.3．二次函数y=ax2，y=ax2+k的性质有哪些？请填写下表．二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2（x+3）2+5y=-3（x-1）2-2y=4（x-3）2+7y=-5（2-x）2-6三、知识梳理：1、二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（1）二次函数y=ax²+bx+c的顶点和对称轴：一般地，二次函数y=ax ²+bx+c 可以通过配方化成y=a （x-h ）²+k 的形式，即y=a （x+a 2b ）2+a 4b -ac 42，所以二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的顶点为（-a 2b ，a 4b -ac 42），对称轴是直线x=-a2b。
例如y=x ²-2x+3可以配方成y=（x-1）²+2，其顶点为（1,2），对称轴为直线x=1. （2）二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的作法：二次函数y=ax ²+bx+c 的图象是一条抛物线，它的图象的常见作法有两种：五点法和平移法。
方法一：五点法①通过配方将二次函数y=ax ²+bx+c 化成二次函数的形式； ②确定抛物线的顶点、开口方向、对称轴； ③以顶点为中心，左右对称各取两对点的坐标； ④用平滑的曲线将描出的点顺次连接起来。
二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质教学设计
二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与性质【课时安排】4课时【第一课时】【教学目标】（一）知识技能目标。
1．使学生会运用描点法画二次函数21y x =+的图象，了解函数的性质；2．让学生通过观察，自主发现一般二次函数k ax y +=2图象的性质；3．让学生通过观察比较，发现二次函数k ax y +=2与2ax y =图象之间的关系。
（二）过程性目标。
经历二次函数k ax y +=2的画图和发现二次函数k ax y +=2图象性质过程，注重探索过程的参与和体验。
【教学重难点】理解y=ax 2+k ，y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系，理解a 、h 、k 对二次函数图象的影响。
【教学过程】一、创设情境（一）上一课我们学习了二次函数2ax y =的图象及性质，请大家回答下列问题。
说出下列各个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性和最大（小）值。
2221.2,2.2,3.y x y x y ax ==-=思考：二次函数k ax y x y x y +=+-=+=222,12,12的图象及性质是怎么样的呢？这就是本课要学习研究的内容。
二、探究归纳仿照上一课的研究方法，我们通过画图象、观察图象来探究这几个函数的性质。
在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与122+=x y 的图象。
解：列表：x－3－2－10123......22x y =188202818 (1)22+=x y 199313919……描点、连线，画出两个函数的图象，如图所示。
观察。
当自变量取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两点之间的位置又有什么关系？答：当自变量取同一数值时，函数122+=x y 的函数值都比函数22x y =的函数值大1，反映在图象上，函数122+=x y 的图象上的点都是由函数22x y =的图象上的点向上移动了一个单位。
观察。
这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标，它们有哪些相同的？又有哪些不同的？答：函数122+=x y 与22x y =的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。
7.二次函数y=ax2+bx+c的最值
第7课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质一、阅读教科书：P15的探究二、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值．三、课前基本练习1．抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．2．抛物线y ＝12x 2－x ＋1中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 3．抛物线y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．四、例题分析：（P15的探究）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？五、课后练习1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？4．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？D C B A FE D C BA六、目标检测如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当 点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？H G F E D C B A。
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第7课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质
一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容．
二、学习目标：
1．懂得求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴、y 轴的交点的方法；
2．知道二次函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响．
三、基本知识练习
1．求二次函数y ＝x 2＋3x －4与y 轴的交点坐标为_______________，与x 轴的交点坐标____________．
2．二次函数y ＝x 2＋3x －4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．
3．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的根的判别式△＝______________．
4．二次函数y ＝x 2＋bx 过点（1，4），则b ＝________________．
5．一元二次方程y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________．
四、知识点应用
1．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点（含y ＝0时，则在函数值y ＝0时，x 的值是抛物
线与x 轴交点的横坐标）．
例1 求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标．
2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点（含x ＝0时，则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵
坐标）．
例2 求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标．
3．a 、b 、c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响．
（1）a 决定：开口方向、形状
（2）c 决定与y 轴的交点为（0，c ）
（3）b 与－b 2a
共同决定b 的正负性 （4）△＝b 2－4ac ⎪⎩
⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000
例3 如图， 由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△______0
例4 已知二次函数y ＝x 2＋kx ＋9．
①当k 为何值时，对称轴为y 轴；
②当k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点；
③当k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个交点．
五、课后练习
1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．
2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．
3．如图：由图可得：
a_______0
b_______0
c_______0
△＝b2－4ac______0
六、目标检测
1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．
2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．
3．如图：
由图可得：a _________0
b_________0
c_________0
△＝b2－4ac_________0。