22.1 二次函数的图象和性质(第5课时)
人教版九年级上册数学22.1.2 二次函数的图象和性质
一、教学目标
1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象，理解抛物线 的有关概念． 2．掌握二次函数y＝ax2的性质，能确定二次函数y＝ ax2的解析式． 3．经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理．
二、教学重难点
重点 1．二次函数y＝ax2的图象的画法及性质． 2．能确定二次函数y＝ax2的解析式．
难点 1．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，探索其性质． 2．能运用二次函数y＝ax2的有关性质解决问题．
三、教学设计
活动1 新课导入 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是_一__条__经__过__(_0_，__b_)的__ 直__线__．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是 过__原__点__的__直__线__． 2．描点法画出一次函数的步骤：分别为_列__表_、_描__点_、 _连__线_三个步骤． 3．我们把形如_y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠_0_)_的函数叫做二次函 数．
(3)你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗 ？ 一般地，当a ＜ 0时，抛物线 y＝ax2 的开口向下，对 称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小
活动3 知识归纳
1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛 物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛 物线y＝ax2＋bx＋c.
活动4 例题与练习
例1 已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数. (1)求m的值； (2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？ (3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？ 解：(1) m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－ 4，∴ m的值为2或－4； (2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上，∴ m ＋2＞0，解得 m＞－2，∴ m＝2； (3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下，∴ m ＋2＜0，解得 m＜－2，∴ m＝－4.
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
部编数学九年级上册专题22.1二次函数的图象和性质(基础)(解析版)含答案
专题22.1 二次函数的图象和性质目录二次函数的定义 (1)二次函数求参数 (3)二次函数一般式................................................................................................................................42y ax =性质.....................................................................................................................................42y ax =图像开口.............................................................................................................................62y ax =图像问题.............................................................................................................................7()2y a x h k =-+顶点坐标...........................................................................................................9()2y a x h k =-+性质.................................................................................................................10()2y a x h k =-+图像平移 (13)二次函数一般式配凑顶点式 (14)二次函数图像问题 (15)二次函数比较大小 (19)二次函数性质综合..........................................................................................................................21二次函数的定义【例1】下列函数中，属于二次函数的是( )A ．23y x =-B ．22(1)y x x =+-C ．2(1)y x x =+D ．22y x =-【解答】解：A ．不含有x 的二次项，所以A 不符合题意；B ．化简后21y x =+，不含有x 的二次项，所以B 不符合题意；C ．符合题意；D ．22y x -=-，不含有x 的二次项，所以D 选项不符合题意．一般的，形如y =ax 2+bx +c (a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
人教版 九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质(含答案)
人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质一、选择题（本大题共10道小题）1.已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )A．2>y1>y2B．2>y2>y1C．y1>y2>2 D．y2>y1>22.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－33. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的( ) A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.24. 2019·丹东如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个5.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋36. 2019·资阳如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是()A．m≥1 B．m≤0C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤07. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a ＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．49. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<D．c<110.如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x ，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是( )二、填空题（本大题共8道小题）11.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．12.【2018·淮安】将二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．13. (2019•武汉)抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是__________．14.已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝______ __，c＝________．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，抛物线y＝a(x－2)2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于D，C两点．若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为________．(用含a的代数式表示)16. (2019•天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)17.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－32，y1)，(－12，y2)，(12，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－1 a时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)18.如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB＝________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，－1)，求它的解析式．20.如图，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个公共点A ，经过点A 的直线交该抛物线于点B ，交y 轴于点C ，且点C 是线段AB 的中点． (1)求这条抛物线对应的函数解析式； (2)求直线AB 对应的函数解析式．21.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．22.如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出B、C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】 A [解析] 根据题意，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小．∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.2. 【答案】 B [解析] 由抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．又因为抛物线与y轴交于点(0，－3)，把x＝0，y＝－3代入y＝a(x＋1)(x－3)，得－3＝a(0＋1)(0－3)，即－3a＝－3，解得a＝1，故此抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.故选B.3. 【答案】 B [解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3. 4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.4. 【答案】A5. 【答案】 A [解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A ，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.6. 【答案】C7. 【答案】 D [解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax ＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.8. 【答案】C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，所以①错误．②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵－b2a＝1，∴b＝－2a.把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．故选C.9. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则，解得c<-2，故选B．10. 【答案】B【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝12x×32x＝34x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝12×1×32＝34；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝12(3－x)×32(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】88 m [解析] 把t＝4代入函数解析式，得s＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.12. 【答案】y＝x2＋2 [解析] 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y＝x2－1＋3＝x2＋2.13. 【答案】，【解析】依题意，得：，解得：，所以，关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx为：，即：，化为：，解得：，，故答案为：，．14. 【答案】3 215. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y＝ax2(a＞0)与y＝a(x－2)2交于点B，∴BD＝BC＝2，∴DC＝4.∵y＝a(x－2)2＝ax2－4ax＋4a，∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.16. 【答案】< 【解析】当时，，当时，， ，即，故答案为：．17. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b ＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误； (2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n(x －m)2＋n ＝0. ∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．18. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）b b＝3－ 3.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋3. ∵抛物线经过点(0，－1)，∴－1＝a(0－2)2＋3，解得a＝－1，∴y＝－(x－2)2＋3.20. 【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个交点，∴b2－4ac＝(2a)2－4a＝0，解得a＝1，a＝0(舍去)，∴抛物线的解析式：y＝x2＋2x＋1.(3分)(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵抛物线解析式y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，∴A(－1，0)，(4分)过点B作BD⊥x轴于点D，如解图，∵OC⊥x轴，∴OC∥BD，∵C是AB中点，∴O是AD中点，∴AO＝OD＝1，(6分)∴点B的横坐标为1，把x＝1代入抛物线中，得y＝(x＋1)2＝(1＋1)2＝4，∴B 的坐标为(1，4)．(7分)把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝2， ∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)21. 【答案】[解析]先根据题意画出y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象，即可得出|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k 的取值范围．解：根据题意，得y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k ＞3.22. 【答案】解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝21－b ＋c ＝0，(2分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝－5，(3分)解图∴抛物线的解析式为y＝x2－4x－5.(4分)(利用抛物线对称性先求出点B的坐标，再求出解析式也可)(2)B(5，0)，C(0，－5)．(6分)(3)如解图，连接BC，易知△OBC是直角三角形，∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，(8分)由勾股定理得BC＝52＋52＝52，∴所以所求圆的面积是π×(522)2＝252π.(10分)。
九年级数学上第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质5二次函数y=a2k的图象和性质课人教
课后训练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
7．(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴 交于A(－3，0)，B两点，下列说法错·误·的是( D )
A．a＜0 B．图象的对称轴为直线x＝－1 C．点B的坐标为(1，0) D．当x＜0时，y随x的增大而增大
*8.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)， 当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( C )
解：①当 MA＝MB 时，M(0，0)； ②当 AB＝AM 时，M(0，－3)； ③当 AB＝BM 时，M(0，3＋3 2)或 M(0，3－3 2)． 所以点 M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)．
14．(2020·金华)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ －12(x－m)2＋4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，异于顶点 A 的点 C(1，n)在该函数图象上．
(1)求抛物线对应的函数解析式； 解：由题意可知 h＝1，则 y＝a(x－1)2＋k. 将点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入上式， 得4aa＋＋kk＝＝30，，解得ak＝＝－4. 1， 故抛物线对应的函数解析式为 y＝－(x－1)2＋4.
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》课件PPT
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b
2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
22.1.2二次函数的图像和性质(教案)
最后，我意识到在课堂上，对于学生的疑问和困惑，我需要更加耐心和细致地进行解答。有时候，一个简单的解释就能帮助学生跨越理解的障碍。在今后的教学中，我会更加注重与学生的互动，鼓励他们提出问题，并及时给予反馈。
-重点三，利用图示和计算，说明二次函数与x轴的交点即为二次方程的实数根；
-重点四，通过图像和数学推导，让学生理解二次函数最值的含义及其计算方法。
2.教学难点
-理解二次函数图像的对称性，特别是对称轴的概念及其与顶点的关系；
-掌握顶点坐标计算公式的应用，尤其是对于含有绝对值、分式等复杂二次函数的顶点求解；
-学会求解二次函数与坐标轴的交点，理解这些交点与二次方程解的关系；
-掌握二次函数的最值问题，明确当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
举例解释：
-对于重点一，强调a的符号决定了图像的形状，并通过实例展示a的正负对图像的影响；
-重点二，通过具体函数示例，演示如何计算顶点坐标，并解释顶点即为对称轴上的点；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“22.1.2二次函数的图像和性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛高后落地的情况？”（如抛球游戏）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图像和性质的奥秘。
3.二次函数图像的顶点坐标计算，顶点公式为（-b/2a，4ac-b²/4a）；
4.二次函数图像的对称轴，即x = -b/2a；
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1 2 1．探究二次函数 y x 6 x 21 的图象和性质 2
问题1 1 2 如何研究二次函数 y x 6 x 21 的图象和性质？ 2
1 2 1．探究二次函数 y x 6 x 21 的图象和性质 2 1 2 2 如何将 y x 6 x 21 转化成 y = a （x - h ） + k 的形 2 式？ 1 2 y x 6 x 21 2 1 2 = （x - 12x +42） 2 1 2 = （x - 12x +36 - 36+42） 2 1 2 = （x - 6 ） +3 2
2
4．巩固练习
（1）求出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点 坐标． ① y = 2x 2 - 4x +5 ② y = -x 2 + 2 x -3 开口向上、x = 1、（1， 3）．
开口向下、x = 1、（1，-2）．
4．巩固练习
（2）二次函数 y = -2x 2 + 4x -1， 当 x ＜1 时， y 随 x 的增大而增大， 当 x ＞1 时， y 随 x 的增大而减小．
5．小结
（1）本节课研究的主要内容是什么？ （2）我们是怎么研究的（过程和方法是什么）？ （3）置作业
教科书习题 22.1 第 6题，第7 题（2）．
1 2 1．探究二次函数 y x 6 x 21 的图象和性质 2 1 2 ·你能画出 y x 6 x 21的图象吗？ 2 1 2 ·如何直接画出 y x 6 x 21的图象？ 2 1 2 ·观察图象，二次函数 y x 6 x 21 的性质是什 2 么？
课件说明
• 学习目标： 2 （x - h） + k 之间 1．理解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与 y = a 的联系，体会转化思想； 2．通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质，体 会数形结合的思想． • 学习重点： 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y = 2 （x - h） + k 的形式，并能由此得到二次函数 y = ax 2 a + bx + c 的图象和性质．
九年级
上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第5课时）
课件说明
2 • 本节课是在讨论了二次函数 y = a （x - h） + k 的图象和 性质的基础上对二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象和性质 进行研究．主要的研究方法是通过配方将 y=ax 2+bx+c 2 向 y =a （x - h） + k 转化，体会知识之间内在联系．在 具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究 a＞0 和 a＜0 的情况，再从特殊到一般，得出 y=ax 2+bx+c 的图象和性质．
对于一般的二次函数 y = ax 2 + bx + c，如果 a＞0， b b 当 x＜ 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞ 时， 2a b 2a y 随 x 的增大而增大；如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 2a b x 的增大而增大，当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小． 2a
2．探究二次函数 y = -2x 2 - 4x +1 的图象和性质
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x - 4x +1 的 图象和性质吗？
2
3．探究二次函数 y = ax + bx + c 的图象和性质
你能说说二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和性质吗？
2
3．探究二次函数 y = ax + bx + c 的图象和性质