二次函数第五课时
九年级数学上第22章二次函数22.1二次函数的图象和性质5二次函数y=a2k的图象和性质课人教
课后训练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
7．(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴 交于A(－3，0)，B两点，下列说法错·误·的是( D )
A．a＜0 B．图象的对称轴为直线x＝－1 C．点B的坐标为(1，0) D．当x＜0时，y随x的增大而增大
*8.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)， 当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( C )
解：①当 MA＝MB 时，M(0，0)； ②当 AB＝AM 时，M(0，－3)； ③当 AB＝BM 时，M(0，3＋3 2)或 M(0，3－3 2)． 所以点 M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)．
14．(2020·金华)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ －12(x－m)2＋4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，异于顶点 A 的点 C(1，n)在该函数图象上．
(1)求抛物线对应的函数解析式； 解：由题意可知 h＝1，则 y＝a(x－1)2＋k. 将点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入上式， 得4aa＋＋kk＝＝30，，解得ak＝＝－4. 1， 故抛物线对应的函数解析式为 y＝－(x－1)2＋4.
新人教版九年级下二次函数全章教案
（1围。
（2教学重点：值范围。
教学难点：教学过程：一、问题引新1.矩形的另一边BC2．x3积y等于多少12、观察概括y=6x2以上3次函数，a4、课堂练习（1） (口答)(1)y=5x(3)y=2x3（2）．P3五、小结六、作业：课本第七、板书第二课时：26.1 二次函数（2）教学目标：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象教学难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
教学过程：一、问题引新1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么?2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、学习新知1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。
（有学生自己完成）解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：(2)描点 (3)连线找一名学生板演画图提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，）2、归纳：抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点坐标（0，0）3、运用新知（1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?（2）．课件出示：在同一直角坐标系中， y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较（3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______三、总结：函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。
函数第5课时二次函数二-中考数学总复习考点训练
第三章函数第5课时二次函数（二）【备考演练】一、选择题1．抛物线y＝ax2＋bx－3经过点(2，4)，则代数式8a＋4b＋1的值为( )A．3 B．9 C．15 D．－152．将抛物线y＝x2－4x－4向左平移三个单位，再向上平移五个单位，得到抛物线为( ) A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－33．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x＋1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( )A．(－1，1) B．(1，－2)C．(2，－2) D．(1，－1)二、填空题1．二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是__________．2．已知二次函数y＝ax2＋bxx …－1 0 1 2 3 …y …10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是____________．三、解答题1．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？2.(2017·龙东) 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y ＝－32x ＋3交于C 、D 两点．连接BD 、AD.(1)求m 的值．(2)抛物线上有一点P ，满足S △ABP ＝4S △ABD ，求点P 的坐标．四、能力提升(2017·广州) 已知抛物线y 1＝－x 2＋mx ＋n ，直线y 2＝kx ＋b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(－1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4. 1．求y 1的解析式；2．若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的解析式．答案：一、1.C 2.D 3.B二、1.x ＜－1，x ＞3 2.0＜x ＜4三、1.解：(1)设y 与x 满足的函数关系式为：y ＝kx ＋b.由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧36＝24k ＋b21＝29k ＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝108故y 与x 的函数关系式为：y ＝－3x ＋108.(2)每天获得的利润为：P ＝(－3x ＋108)(x －20)＝－3x 2＋168x －2 160＝－3(x －28)2＋192.故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．2．解：(1)抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3过(3，0)，0＝－9＋3m ＋3，m ＝2(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋3y ＝32x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝3 ,⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝72y 2＝－94，∴D(72，－94)，∵S △ABP ＝4S △ABD ，∴12AB ×||y P ＝4×12AB ×94，∴||y P ＝9，y P ＝±9，当y ＝9时，－x 2＋2x ＋3＝9，无实数解，当y ＝－9时，－x 2＋2x ＋3＝－9，x 1＝1＋13，x 2＝1－13， ∴P(1＋13，－9)或P(1－13，－9)四、解：1.∵抛物线y 1＝－x 2＋mx ＋n ，直线y 2＝kx ＋b ，y 1的对称轴与y 2交于点A(－1，5)，点A 与y 1的顶点B 的距离是4.∴B(－1，1)或(－1，9)，∴－m 2×（－1）＝－1，4×（－1）n －m24×（－1）＝1或9，解得m ＝－2，n ＝0或8，∴y 1的解析式为y 1＝－x 2－2x 或y 1＝－x 2－2x ＋8；2．当y 1的解析式为y 1＝－x 2－2x 时，抛物线与x 轴得交点为顶点(－1，0)，不合题意；当y 1＝－x 2＋2x ＋8时，解－x 2＋2x ＋8＝0得x ＝－4或2，∵y 2随着x 的增大而增大，且过点A(－1，5)，∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点(－4，0)，把(－1，5)，(－4，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝5－4k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝53b ＝203；∴y 2＝53x ＋203.。
二次函数教学设计（精选19篇）
二次函数教学设计二次函数教学设计（精选19篇）教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
以下是小编为大家收集的二次函数教学设计，欢迎阅读与收藏。
二次函数教学设计篇1教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张:(记作§2.8.1A)第二张:(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.Ⅱ.讲授新课一、例题讲解投影片:(§2.8.1A)我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示,那么(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.还可以观察图象得到.[师]很好.能写出步骤吗?[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,当v0=40,h0=0时,h=-5t2+40t.(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:-5t2+40t=0,即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.二、议一议投影片:(§2.8.1B)二次函数①y=x2+2x,②y=x2-2x+1,③y=x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?[师]还请大家先讨论后解答.[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[师]大家总结得非常棒.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?[师]请大家讨论解决.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有-5t2+40t=60,t2-8t+12=0,∴t=2或t=6.因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.Ⅲ.课堂练习随堂练习(P67)Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.Ⅴ.课后作业习题2.9板书设计§2.8.1 二次函数与一元二次方程(一)一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)2.议一议(投影片§2.8.1B)3.想一想二、课堂练习随堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料思考、探索、交流把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即当x=25时,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m,∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r= .∴S圆=πr2=π·( )2=π· = ≈796(m2).所以圆的面积最大.二次函数教学设计篇2一、教学目标：1。
二次函数全章经典学案
二次函数学案第1课时 27.1 二次函数一、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式 ___________________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－13 时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．五、目标检测1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）20y x -= （2）2(2)(2)(1)y x x x =+---（3）21y x x=+（4）223y x x =+-2．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22(1)y m x =- B ．22(1)y m x =+ C ．22(1)y m x =+ D ．22(1)y m x =- 3． 已知函数27(3)m y m x -=- 是二次函数，求m 的值．4．已知函数()21153my m x x +=-+-是二次函数，求m 的值.5 .已知函数()222845y m m x x =+-++是关于x 的二次函数，则m 的取值范围。
二次函数全章教案
第二十二章二次函数教案（一）．二次函数在初中数学教材中的分析二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
（二）本章课时安排本章教学时间约需15课时，具体安排如下：22．1节二次函数…………………………7课时22．2用函数的观点看一元二次方程…………………2课时22．3实际问题与二次函数…………………3课时教学活动小结及测试…………………3课时（三）、本章教学目标分析（1）本章教学要求如下①经历描点法画函数图象的过程。
②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。
③经历二次函数图象平移的过程。
④了解y=ax2，y=a(x＋m)2，y=a(x＋m)2＋n三类二次函数图象之间的关系。
⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。
⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。
⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
湘教版九年级下册数学精品课件 第1章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
大而减小；当 x > 6 时，函数
值随 x 的增大而增大.
O
（6,3）
5 10 x
归纳总结 二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是：
b 4ac b2
( ,
).
2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y
x b 2a
O (1)
如果 a＞0，当 x＜ b 时，y 随x
的增大而减小；当
2a
x＞
b
时，
2a
y 随 x 的增大而增大；当 x = b
x
2a
时，函数达到最小值，最小值
为 4ac b2 .
4a
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
y x b
2a
O (2)
如果 a < 0，当 x< b 时，y 随 x
(2) y 5x2 80x 319; 直线 x = 8
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线 x = 1.25
(4) y x 12 x.
直线 x = 0.5
3, 5
8, 1
5 4
,
9 8
1 2
,
9 4
2. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长
度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为
那么现在你会画这个二次函2 数的图象吗?2
根据顶点式 y 1 (x 6)2 3 确定对称轴，顶点坐标.
26.1.3(第五课时)二次函数y=a(x-h)^2+ k的图象与性质___课件
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
y 3x 1 2
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y=3x2 y=3x2
向右
向右
y=3(x-1)2 y=3(x-1)2
向上
向下
y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2
2 向右 y=-3x 2 向右 y=-3x 2 向左 y=-3x 2 向左 y=-3x
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
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二次函数( 二次函数(五)
温故知新
(１)回忆 函数 y = a(x − h)
2
+ k 的图象特征与性质? 的图象特征与性质?
(２)确定下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 确定下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
2
y = −2(x + 3) − 4
2
1 2 y = (x −1) + 5 3
1 2 (3)你能求出函数 的顶点坐标吗? (3)你能求出函数 y = x − 6x + 21的顶点坐标吗? 2
合作交流,解读探究 合作交流 解读探究
1.函数 1.函数
y = ax +bx + c的图象的画法. 的图象的画法. 1 2 做一做】 的图象. 【做一做】画出二次函数 y = x − 6x + 21的图象. 2 1 2 解: y = x − 6x + 21 2 1 2 = (x −12x) + 21 2 1 2 = (x −12x + 36 −36) + 21 2 1 2 = (x − 6) + 3 2
【归纳】:一般地,我们可以用配方法求抛物线 归纳】 一般地,
y = ax + bx + c的顶点与对称轴: 的顶点与对称轴:
2
y = ax +bx + c b 2 4ac −b2 = a(x + ) + 2a 4a
2
b 因此, 因此,抛物线 y = ax + bx + c的对称轴是 x = − 2a 2 b 4ac −b , ) . 顶点坐标是 (− 2a 4a
(1) y =−x + 6x +1
2
(2) y = −2x +8x −8
2
类型一：二次函数的实际应用。 类型一：二次函数的实际应用。
例题2 用总长为60cm的篱笆围成的矩形场地. 例题2：用总长为60cm的篱笆围成的矩形场地.矩形面积 60cm的篱笆围成的矩形场地 随矩形一边长Ｌ的变化而变化，Ｌ是多少时， ，Ｌ是多少时 Ｓ随矩形一边长Ｌ的变化而变化，Ｌ是多少时，场地的 面积Ｓ最大？ 面积Ｓ最大？ 【议一议】 议一议】 ）Ｓ与 有何函数关系？ （１）Ｓ与Ｌ有何函数关系？ 举一例说明Ｓ （２）举一例说明Ｓ随Ｌ的变 化而变化的情况？ 化而变化的情况？ 怎样求Ｓ的最大值呢？ （３）怎样求Ｓ的最大值呢？ 变式题：已知直角三角形两条直角边的和等于８ 变式题：已知直角三角形两条直角边的和等于８，两条 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大 值是多少？ 值是多少？
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(5)已知二次函数 (5)已知二次函数: y = x − 2x −3 已知二次函数: y = a(x − h)2 + k 的形式,并指出抛 的形式, ①把函数化为 物线的开口方向,顶点坐标和对称轴; 物线的开口方向,顶点坐标和对称轴; 画出这个函数的图象; ②画出这个函数的图象; 根据图象回答: 取何值时, 的增大而增大? ③根据图象回答: x取何值时, y 随 x的增大而增大? x取何值时, y 随 x的增大而减小? 取何值时, 的增大而减小? 根据图象回答: 有最大值还是最小值, ④根据图象回答:函数 y有最大值还是最小值,最值 是多少? 是多少? 根据图象回答: 取何值时, ⑤根据图象回答: x取何值时, y > 0, y = 0, y < 0 ?
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(3)若二次函数 (3)若二次函数 y = ax + 2x + a -1 图所示, 的值是______. 图所示,则 a的值是______.
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−1(a Leabharlann 0) 的图象如 y0x
(4)二次函数 (4)二次函数 y = 2x +bx + c 的顶点坐标是(1,-2), 的顶点坐标是(1, (1,则 b = -4 c= 0 _____, _______.
【归纳】:一般地,因为抛物线 归纳】 一般地,
y = ax + bx + c
2 2
的顶点是最低( 的顶点是最低(高)点, 又: y = ax
+bx + c
b 4ac −b2 的顶点坐标为: 的顶点坐标为: (− , ) 2a 4a
b x =− 所以当: 所以当: 2a 2 二次函数 y = ax + bx + c 4ac −b2 有最小( 有最小(大)值 : 4a
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1 的图象. 画出二次函数 y = (x − 6)2 + 3 的图象. 2
【想一想】(1)列表取值应注意什么问题? 想一想】(1)列表取值应注意什么问题 列表取值应注意什么问题? (2)画函数 (2)画函数 点式? 点式?
y = ax +bx + c的图象为何先要将其化为顶
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... 15
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7 5 2
总结反思,拓展升华 总结反思 拓展升华
【总结】本节所学的数学知识: 总结】本节所学的数学知识: y = ax2 +bx + c的图象画法,其对称轴, (1)二次函数 的图象画法,其对称轴, (1)二次函数 顶点坐标公式. 顶点坐标公式. (2)利用函数的极值 解决实际问题,本节课所用的方法是: 利用函数的极值, (2)利用函数的极值,解决实际问题,本节课所用的方法是: 配方法,图象法. 配方法,图象法. 【反思】实际问题中,二次函数的最大(或最小)值一定在 反思】实际问题中,二次函数的最大(或最小) 抛物线的顶点取得吗? 抛物线的顶点取得吗?
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应用迁移， 应用迁移，巩固提高
类型一：用配方法求二次函数 y = ax + bx + c的图 类型一： 象顶点坐标。 象顶点坐标。
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y = a(x − h)2 + k 例题1 例题1：用配方法把下列函数写成
的形式,并写出它们的开口方向,对称轴和顶点坐标. 的形式,并写出它们的开口方向,对称轴和顶点坐标.
y = ax2 +bx + c 拓展】用待定系数法求解析式: 【拓展】用待定系数法求解析式:
已知一个二次函数的图象经过了点A(0, 已知一个二次函数的图象经过了点A(0,-1),B(1,0), A(0,C(-1,2),求其解析式 求其解析式. C(-1,2),求其解析式.
巩固练习
(1,(1,-4) (1)抛物线 (1)抛物线 y = x − 2x −3 的顶点坐标是________,对 的顶点坐标是________, ________,对 称 x =1 轴是_________. 轴是_________. 2 -1 (2)抛物线 (2)抛物线 y = 2x + 4x + 5的对称轴是 x = ________.
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y = ax2 +bx + c 的顶点与对称轴. 2.用配方法求抛物线 的顶点与对称轴. 2.用配方法求抛物线 b 2 2 解: y = ax + bx + c = a(x + x) + c a b b 2 b 2 2 = a[x + x + ( ) −( ) ] + c a 2a 2a 2 b b 2 b 2 = a[x + x + ( ) ] + c − a 2a 4a 2 2 b 2 4ac −b b 2 b = a(x + ) + c − = a(x + ) + 2a 4a 2a 4a b 2 ∴抛物线 y = ax + bx + c 的对称轴是 x = − ,顶点 2a 2 b 4ac −b , ) . 坐标为 (− 2a 4a