二次函数第三课时
二次函数的图象与性质第三课时
二次函数的图象与性质（3）学习目标：会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 学习重难点：探究形如2)(h x a y -=这类函数的图象特点和相对应的函数性质 学习过程：我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． 探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． 课后反思：今天学习的知识相对于昨天学习的有一点难度，学生可能容易混淆，就是上节课是图像沿y 轴上下平移，且移动方向与我们的正常学习相辅，加向上平移，减向下平移。
实际问题与二次函数_第三课时-课件
图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析 式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。 正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小 孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2 中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习：有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米， 把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系 式为__y_____21_5__x_2 __85__x__ 。
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
重点知识★
活动2 自学互研，生成能力。
完成下列填空：
1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直 角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_____y____a_x_2。
2.一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为___y____a_x_2_，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
n 4
解得
a
1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3， ∴ 当x=3时，y 1 9 25 9 （ 4） 3.6 25
第三课时 用二次函数解决实际问题
解：
3 1 x2
2
x2 6
解得 x1 6, x2 6
水面的宽度2x 2 6 m 水面下降1cm，水面宽度增加__2___6___4____m.
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 表示.
4
A.50 m B.100 m C.160 m D.200 m
探究3
图中是抛物线形拱桥，
当水面在l时，拱顶离水
2
面2m，水面宽4m，水
l
面下降1m，水面宽度增
加多少？
4
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当
的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，为解 题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴 建立直角坐标系．
如图建立如下直角坐标系
超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
y O
C A
h
DB x
20 m
例2 如图，悬挂桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，
其形状可以近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之 间用垂直钢索连接．若两端主塔之间水平距离为900m， 两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥 面的高度为0.5m.
4.利用待定系数法求出函数解析式；
5.根据函数解析式进一步分析，判断 并进行有关的计算；
◇ 练习：
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．
（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表
示的函数的解析式；
（2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往
船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
人教版九年级数学上册课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
13．有相同对称轴的两条抛物线的图象如图所示，则下列关系不正确的 是( C )
A.h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．(2020·兰州)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图 象上，则k＝__3__．
15．(2020·广安)已知二次函数 y＝a(x－3)2＋c(a，c 为常数，a＜0)，当
自变量 x 分别取 5 ，0，4 时，所对应的函数值分别为 y1，y2，y3，则 y1， y2，y3 的大小关系为_y__2＜__y_3_＜__y_1____(用“＜”连接).
点坐标为(1，－5)
(3)当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
9．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个 单位长度，所得到的拋物线为( D )
A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5 C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
10．函数y＝3(x－1)2＋2是由函数y＝3x2的图象先向_右___平移1个单位， 再向__上__平移__2__个单位得到的．
3．抛物线 y＝－ 2 (x－5)2＋3 的开口向__下__，对称轴是直线__x_＝__5__．
4．对于抛物线y＝－(x＋1)2－3，下列结论错误的是( B ) A．抛物线的开口向下 B．对称轴为直线x＝1 C．顶点坐标为(－1，－3) D．x＞1时，y随x的增大而减小
5．(兰州中考)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上， 则下列结论正确的是( A )
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
九年级数学《二次函数》第三课时教案
中学“自导式”育人设计方案(四）老师公布并讲解上面2题。
（五）小组讨论完成下面表格;（六）老师公布答案并答疑。
（七）小组内结对2人理解记忆上表格内容。
（八）探究练习：填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值y ＝2x 2＋2y ＝－5x 2－3y ＝15x 2＋1y ＝－12x 2－4(九)课堂小结：1二次函数y =ax 2+k 的性质2. 二次函数y =ax 2与y =ax 2+k 的平移规律：()022>+=→=k k ax y k ax y 个单位向上平移 ()022>-=→=k k ax y k ax y 个单位向下平移口决：上加下减四、课后拓展练习：（见复习巩固单）抛物线 开口方向对称轴顶点坐标最大（小）值 增减性 平移规律a>0 a<0 a>0 a<0 a>0 a<0y=ax 2y=ax 2+k课后作业 课后反思一、预学检测单1.在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2+1，y =2x 2-1，y =2x 2的图象.二、探究练习单1.画一画：在同一坐标系中画出函数y=-2x、y =-x 2+1、y= y =-x 2-2的图像3、小组内讨论完成下表;三、复习巩固单1．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）2．下列关于抛物线y ＝－x 2＋2的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．顶点坐标为（－1，2）C ．在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大D ．在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大3．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是（ ）A ．y ＝－45x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋14．抛物线y ＝2x 2－1在y 轴右侧的部分是 （填“上升”或“下降”）的．5．二次函数y ＝3x 2－3的图象开口向上，顶点坐标为 对称轴为 轴，当x>0时，y 随x 的增大而 ；当x<0时，y 随x 的增大而 ．因为a ＝3>0，所以y 有最 值，当x ＝ 时，y 的最小值是6．抛物线y ＝ax 2－1（a ＞0）上有两点A （1，y 1），B （3，y 2），则y 1 y 2.（填“＞”“＜”或“＝”）7．函数y ＝13x 2＋1与y ＝13x 2的图象的不同之处是（ ）A ．对称轴B ．开口方向C ．顶点D ．形状8．如果将抛物线y ＝－3x 2向上平移2个单位长度，那么得到的新抛物线的解析式为9．在同一平面直角坐标系中画出二次函数y ＝－2x 2，y ＝－2x 2＋3的图象． （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y ＝－2x 2＋3可由抛物线y ＝－2x 2向 平移 个单位长度得到． 易错点 求函数值的范围时忽视顶点处的取值10．对于二次函数y ＝－2x 2＋4，当－2＜x≤1时，y 的取值范围是 中档题11．已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y ＝x 2－1上，下列说法中正确的是（ ） A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2 B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2 C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2 D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 2 12．【数形结合思想】一次函数y ＝ax ＋b （a≠0，b≠0）的图象如图所示，则二次函数y ＝bx 2＋a 的大致图象是（ ）13、已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A （－3，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3），且y 2<y 3<y 1，则a的取值范围是（）A．a>0 B．a<0C．a≥0 D．a≤014．已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等．当x取x1＋x2时，函数值为（）A．a＋c B．a－cC．－c D．c。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
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2 2
新知导学
y ax 2 c (a 0)的图象与性质: 二次函数
【做一做】在同一坐标系中画出函数
y x 1,
2
y x 1,的图象.
2
... ...
10
８
５ ３
２ ０
１ ２
５ ３
2
【反思】若将抛物线 y 2 x 3 绕其顶点旋转180°, 2 则所得抛物线的解析式为___________. y 2 x 3
2
【拓展】若抛物线 y ax 轴对称,求a,c的值．
2
c 与 y 2 x 5 关于 x
2
巩固练习
向下 y 2 x 2 5 的开口方向＿＿＿，对称轴 (１)抛物线 y轴 (0,-5) ＿＿＿，顶点坐标＿＿＿＿．
2 2
类型二：求二次函数的解析式.
例题2：抛物线 y ax 该抛物线的解析式.
2
c 经过点(-1,2),(0,-4),求
y ax 2 c 向下平移2个单位后, 例题3：已知抛物线 2 所得抛物线为 y 3x 2 ,试求a,c的值．
总结反思,拓展升华
【总结】本节所学的数学知识:函数 y ax c的图象 2 y 特征与性质以及抛物线 ax 上下平移规律.
y ax 2 c
【思考】把抛物线 y 2 x 向上平移５个单位，会得到 哪条抛物线？向下平移３.4个单位呢?请写出它们的函数 解析式.
【练一练】教材第10页 练习
应用迁移，巩固提高
类型一：二次函数 y ax c的图象特征的应用。
2
例题1：抛物线 y ax c 与 y 5 x 的形状大小, 开口方向都相同,且其顶点坐标是(0,3),则其表达式为 2 2 上 3 y__________,它是抛物线 y 5 x 向____平移____个单 5 x 3 位得到的.
(4)下列各组抛物线中,能够互相平移而彼此得到对方 的是( D )
A. y 2 x 与 y 3x
2
2
C. y 2 x 2 与 y x 2 2
(5)若抛物线 y ax 抛物线的解析式.
2
1 2 1 2 B. y x 2 与 y 2 x 2 2 D. y x 2 2 与 y x 2 2
c 经过A(-3,2),B(0,-1),求该
(6)在同一坐标系中,一次函数 y ax c 与二次函数 2 y ax c 的图象大致为( B )
y
y
0
x
(A)
0
x
(B)
y
y
0
x
(C)
0
x
(D)
重复是学习之母。
——狄慈根
二次函数(三)
温故知新
二次函数
y ax (a 0) 的图象特征:
2
①二次函数
y ax 的图象是一条抛物线;
2
y ax 2的对称轴是 y 轴,顶点是原点, a 0 ②抛物线 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点, a 0时,
抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点. ③
10 ...
８ ...
1 ０
【想一想】抛物线
2
y x 1,
2 2
y x 1, y x 有哪些
相同点和不同点？ 相同点: ①形状大小相同； ②对称轴都相同,都是y轴. ③开口方向都相同,它们的 开口方向都是向上. 不同点:顶点的位置不同，抛物线的位置也不相同.
y x 2 1, y x 2 1, y x 2 这三个 【议一议】
函数的形状相同，从哪些方面可以看出？
【议一议】抛物线
y ax 与 y ax c有何联系？ 2 2 ①抛物线 y ax c 的形状与 y ax 的形状完
2 2
全相同，只是位置不同；
②抛物线y
ax ax
2
向上平移
c个单位
2
y ax c
2
向下平移 c个单位
2
抛物线 y
2
(２)抛物线 y ax c 与 y 3x 2的形状相同，且其 2 顶点坐标为（0,1）,则其表达式为_____________ y 3x 1 2 _________________. 或 y 3x 1
1 2 向下 10 (3)抛物线 y x 7 向＿＿平移____个单位后， 2 1 2 得到抛物线 y x 3 2
a 越大,抛物线 y形的长为 x(cm)，宽为 x(cm) ，则这 2 y (cm2 ) 与它的长 x(cm) 的关系 个长方形的面积
y x 2的图象有哪些区别？ 如何？这个图象与
1 2 答：y x ( x 0) ,它的图象只是抛物线的一部 2 y x 2的图象是一条抛物线． 分，而