求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法
解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标〔x ，y 〕表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f 〔t 〕， y ＝g 〔t 〕，进而通过消参化为轨迹的普通方程F 〔x ，y 〕＝0。
4. 代入法〔相关点法〕：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，〔该点坐标满足某已知曲线方程〕，则可以设出P 〔x ，y 〕，用〔x ，y 〕表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程〕，该法经常与参数法并用。
一：用定义法求轨迹方程例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为〔-4，0〕，〔4，0〕，C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
例2： 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，假设b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.【变式】：已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
高中解析几何求轨迹方程的常用方法(精华-例题和练习)
sin B sin A
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4
【变式】 ：已知圆
的圆心为 M1，圆
的圆心为 M2，一动圆与
这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2： 一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动， 且 BM=a， AM=b， 求 AB 中点 M 的轨迹方程？
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4 5 5 【解析】由 sin B sin A sin C , 可知 b a c 10 ，即 | AC | | BC | 10 ，满足椭 4 4 sin B sin A
圆的定义。令椭圆方程为
x2 a
'2
y2 b
'2
1 ，则 a ' 5, c ' 4 b ' 3 ，则轨迹方程为
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特级教师 王新敞
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y
B
Q R A
o
P
x
五、用交轨法求轨迹方程 例 5.已知椭圆
x2 y 2 1（a＞b＞o）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直 a 2 b2
x 2 y 2 a, x 2 y 2 a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM=
1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下 2
列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】 : 动点 P （x,y） 到两定点 A （－3， 0） 和B （3， 0） 的距离的比等于 2 （即 求动点 P 的轨迹方程？ 【解答】∵|PA|= ( x 3) y , | PB |
求轨迹方程的方法
如果动点的轨迹满足已知曲线的定义，可 先设定方程，再确定其中的基本量。
方法2：直接法（也称直译法）
如果动点满足的几何条件本身就是一些 几何量的等量关系，或这些几何条件简 单明了易于表达，我们只需把这种关系 “翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨 迹方程。
方法3：相关点法（也称代入法）
方法5：交轨法（参数法的一种特例）
在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线 交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方 程组得出含参数的交点坐标，再消去参数 求出所求轨迹的方程，该法经常与参数法 并用。
有些问题中，其动点满足的条件不便用 等式列出，但动点随着另一动点（称之 为相关点）运动的.如果相关点所满足的 条件是明显的，这时我们可以用动点坐 标表示相关点坐标，根据相关点所满足 的方程即可求得动点的轨迹方程。
方法4：参பைடு நூலகம்法（也称中间量法）
当动点坐标x,y之间的直接关系难以找到 时，往往先寻找x,y与某一参变量（即中 间量）的关系，再消去该参变量得到动点 轨迹的普通方程，参变量的选取要注意它 的取值范围对坐标取值范围的影响。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程六种常用技法轨迹方程探求是解析几何中根本问题之一，也是近几年来高考中常见题型之一。
学生解这类问题时，不善于提醒问题内部规律及知识之间相互联系，动辄就是罗列一大堆坐标关系，进展无目大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结与归纳探求轨迹方程常用技法，对提高学生解题能力、优化学生解题思路很有帮助。
本文通过典型例子阐述探求轨迹方程常用技法。
1．直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式，点到直线距离公式，直线斜率公式等，直接列出动点满足等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．线段，直线相交于，且它们斜率之积是，求点轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，那么，设点坐标为，那么直线斜率，直线斜率由有化简，整理得点轨迹方程为练习：1．平面内动点到点距离与到直线距离之比为2，那么点轨迹方程是。
2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足点，求点轨迹方程。
3. 到两互相垂直异面直线距离相等点,在过其中一条直线且平行于另一条直线平面内轨迹是〔〕A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线2．定义法通过图形几何性质判断动点轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹定义，如线段垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何一些性质定理。
例2．假设为两顶点，与两边上中线长之与是，那么重心轨迹方程是_______________。
解：设重心为，那么由与两边上中线长之与是可得，而点为定点，所以点轨迹为以为焦点椭圆。
所以由可得故重心轨迹方程是练习：4．方程表示曲线是〔〕A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线3．点差法圆锥曲线中与弦中点有关问题可用点差法，其根本方法是把弦两端点坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦中点坐标满足，且直线斜率为，由此可求得弦中点轨迹方程。
例3．椭圆中,过弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_________________。
求轨迹方程的常用方法
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5
方法技能形成与突破
考点1 利用直接法求轨迹方程 例1：如图 12－4－1 所示，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1， l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程．
圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．
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2
(4)相关点法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而 变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x，y 的代数式 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程．
(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也 没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示， 得参数方程，再消去参数得普通方程．
C．双曲线 D．抛物线
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考点2 利用定义法求轨迹方程
例 2：(2011 年广东)设圆 C 与两圆(x＋ 5)2＋y2＝4，(x－ 5)2 ＋y2＝4 中的一个内切，另一个外切．
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程；
(2)已知点
M3
5
5，4
5
5，F(
5，0)，且 P 为 L 上动点，求
||MP|－|FP||的最大值及此时点 P 的坐标．
图 D21
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12
因为|MA|＝|MB|， 所以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2. 这表明动点 M 到两定点 C2，C1 的距离之差是常数 2. 根据双曲线的定义，动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距离大，到 C1 的距离小)． 这里 a＝1，c＝3，则 b2＝8. 设点 M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为 x2－y82＝1(x≤－1)．
求轨迹方程问题—6大常用方法
求轨迹方程问题—6大常用方法知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。
求轨迹方程常用方法
求轨迹方程常用方法一、知识提要1． 轨迹方程的实质：轨迹方程的概念是轨迹方程求法的基础，一般地，在直角坐标中，如果轨迹C 上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系：（1）轨迹上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在轨迹C 上．则这个方程叫做轨迹的方程，这条轨迹叫做方程的轨迹．求轨迹方程就是求轨迹上的动点的坐标所满足的二元关系式．2．由轨迹求方程是解析几何的一个基本课题，它往往需要涉及代数、三角、平面几何、立体几何乃至物理学等诸方面的知识．求轨迹方程的过程，既有把形转化为数的过程，又有探索轨迹的推理论证过程．虽然教材上为了突破这一难点，对求轨迹方程的过程给出了一般性的步骤，但在实际操作中还是应因题而异，或由静及动，或强行突破，或巧设参数，真可谓眼花缭乱，其乐无穷．3．求轨迹方程的方法一般可分直接法和间接法两大类．直接法一般包括：直译法、定．．．．．义法、待定系数法、几何法．．．．．．．．．．．．等；间接法一般包括：参数法、坐标转移法（相关点法）、交轨．．．．．．．．．．．．．．．．．．法、设而不求法．．．．．．．等．4．求轨迹的各种方法不是孤立的，同一个问题往往有几种不同的解法，所使用的方法又可以相辅相成，其中最主要的是如何把问题转化为我们所熟知的轨迹方程或突破“五步法”中的第二步．5．值得强调的是，由于求轨迹方程省略了“证明”这一步骤，所以在求出“轨迹方程”时必须注意轨迹方程的完备性和纯粹性．二、常用方法解析1．直译法直译法就是直接依据教材里总结的求曲线方程的五个步骤（建系设点、写集合（写关系）、代入坐标列方程、化简方程、证明作答）而求出轨迹方程的方法，故又俗称“五步法”．用此法的题型，要求其动点所适合的条件p （关系式），容易用坐标形式表达，其中证明这一步可省略，但要注意查漏除杂．[例1]（2005年江苏）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 为切点），使得PM =．试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程． 练习：1．（2006年江苏）已知两点(2,0),(2,0),M N P -点为坐标平面内的动点，满足0M N M P M N N P ⋅+⋅=，求动点(,)P x y 的轨迹方程．2．（2006年郑州）已知两点(2,0),(2,0),M N P -动点在y 轴上的射影为H ，且使PH PH ⋅与PM PN ⋅分别是公比为2的等比数列的第三、四项．求动点P 的轨迹方程．3．（2006年广州）设过点(,)M a b 能作抛物线2y x =的两条切线MA 、MB ，切点为A 、B ．（1）求MA MB ⋅ ；（2）若M A M B ⊥，求点M 的轨迹方程； （3）若A M B ∠为锐角，求点M 所在的区域．（提示：设切点为2(,)t t ，写出切线方程，点M 在切线上，得到两切点的参数t 所满足的关系式）2．定义法定义法就是把求轨迹方程中轨迹所满足的条件转化为符合某特殊曲线定义的条件，从而依该曲线的定义得出轨迹方程的方法． [例2]根据下列条件求动圆圆心M 的轨迹方程．（1）动圆M 与圆221:(3)1O x y -+=外切，与222:(3)81O x y ++=内切；（2）动圆M 与圆221:(3)1O x y -+=与222:(3)25O x y ++=都外切；（3）动圆M 与圆22(2)1x y -+=外切，与直线10x +=相切．练习：4．（2005年山东）已知动圆过定点（(,0)2p ，且与直线(0)2p x p =->相切．（1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）设A 、B 是曲线C 上异于原点O 的两个不同的点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．5．（2006年南京）在A B C 中，4BC =，且BC 在x 轴上，BC 的中点为坐标原点，如果1sin sin sin 2C B A -=，求顶点A 的轨迹．6．（2005年江苏）已知0)O A =，O 为坐标原点，点M 满足6O M O A O M O A ++-=． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在直线l 过点(0,2)P ，与轨迹C 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．3．待定系数法所求方程是直线、圆、椭圆、又曲线、抛物线等已知曲线时，可使用待定系数法．应用此法应先根据已知条件判断动点轨迹的类型，然后设出所求待定系数的曲线方程，最后根据其它条件确定方程的系数，从而求得轨迹方程．[例3]如图，在面积为18的A B C ∆中，AB=5，双曲线E 过点A ，且以B 、C 为焦点，已知27,54AB AC C A C B ⋅=⋅=．（1）建立适当的坐标系，求双曲线E 的方程；（2）是否存在过点(1,1)D 的直线l ，使l 线E 交于不同的两点M 、N ，且0DM DN +=如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．[例3´]设椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，已知点3(0,)2P 到这个椭圆上点的最短距离为P 练习7．已知(2,0),(2,0)A B -，过点A 作直线交以A ，B 为焦点的椭圆于M ，N 两点，线段MN的中点到y 轴的距离为45，且直线MN 与圆221x y +=相切，求椭圆的方程．8．已知OFQ ∆的面积为，且,,(1)4OF FQ m OFc m c ⋅===-，若以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q ，当O Q取得最小值时，求双曲线的方程．（提示：设11(,)Q x y ）9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，点(4,2)A 是抛物线内的一定点，点P 为抛物线上的一动点，且PA PF +的最小值为8． （1）求抛物线的方程；（2）若点O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过M 的动直线交抛物线于B ，C 不同两点，且0OB OC ⋅=，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．4．坐标转移法（代入法、相关点法）若动点(,)P x y 随已知曲线C 上的另一动点11(,)Q x y 而运动，则可用,x y 去表示出11,x y 即11(,),(,)x f x y y g x y ==，然后将点11(,)Q x y 代入曲线C 的方程中，即得点P 的轨迹方程．这种方法叫做坐标转移法．[例4]已知两点(4,0),(2,3)A B 和圆224x y +=的动点C ，求A B C ∆的重心G 的轨迹方程． 练习：10．（2001年上海）设P 为双曲线2214xy -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程． 11．（2006年武汉）P 是椭圆22221x y ab+=上的一动点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，若12OQ PF PF =+，求动点Q 的轨迹方程．12．已知抛物线C ：24y x =，F 为抛物线的焦点，过点(2,0)A 作直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，且O R FP FQ =+，求动点R 的轨迹方程．5．参数法当动点(,)P x y 的坐标,x y 之间的关系不易发现，而通过另一变数t 间接地表示,x y 之间的关系较为方便时，我们便设出这一变数t 以寻求关于,x y 的轨迹方程，这种通过第三个变量间接地表示动点两坐标之间的关系，进而得到动点轨迹方程的方法就是参数法．第三变量通常称为参变数，简称为参数．在具体问题中，往往以直线的斜率k ，倾斜角α，时间t 等作为参数．[例5]（2006年陕西）三定点(2,1),(0,1),(2,1)A B C --；三动点,,D E M 满足AD t AB = ，BE t BC = ，,[0,1]D M t D E t =∈．（1）求动直线DE 斜率的变化范围； （2）求动点M 的轨迹方程． 练习：13．（2006年全国）已知椭圆的焦点为12(0(0,F F -，离心率为2e =，设椭圆在第一象限内的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在P 处的切线与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+．求（1）动点M 的轨迹方程；（2）O M的最小值．14．（2005年江西）M 是抛物线2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB ．（1）若M 为定点，证明直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求EM F ∆的重心G 的轨迹方程．15．（2005年广东）抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同点A 、B 满足O A O B ⊥．（1）求O A B ∆重心G 的轨迹方程；（2）O A B ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．6．几何法几何法就是依据动点的几何性质寻求动点轨迹的方法，即根据动点满足的条件，利用平面几何的定理，或找出直译法中第二步所要写出的适合条件P （M ）——关系式，或直接判断出动点的轨迹类型是某种曲线，从而求出轨迹方程的方法． [例6]已知M 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上的一动点，F 1，F 2是双曲线的两焦点，过其中一焦点作12F M F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹方程． 练习：16．已知点(2,0)A 和圆224x y +=，在圆上另取点B 、C ，使3B AC π∠=，求A B C ∆的垂心M 的轨迹方程．17．（2006年黄冈）已知圆22:(1)8C x y ++=，定点(1,0)A ，M 为圆C 上一动点，点P在AM 上，点N 在CM 上，且满足2,0A M A P N P A M =⋅=，点N 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若过定点(0,2)F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在F 、H 之间），且满足FG FH λ=，求λ的取值范围．7．交轨法当动点是两条动曲线的交点时，可使用交轨法求出动点的轨迹方程，即写出含参数的已知两动曲线的方程或选定刻画两动曲线交点的同一参数，分别求出两动曲线的参数方程，然后消去参数得到所求动点的轨迹方程的方法．（不需解交点）[例7]（85年全国）已知两点(2,2),(0,2)P Q -以及一条直线:l y x =AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程． 练习： 18．作椭圆22221x y ab+=长轴的垂线交椭圆于,P Q 两点，12,A A 是椭圆的长轴的端点，求直线1PA 与直线2P A 交点M 的轨迹方程．19．（2000年春季全国）OA 、OB 是抛物线22(0)y px p =>过顶点的两条动弦，M 在线段AB 上，且满足0,0O A O B O M A B ⋅=⋅=．（1）求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标； （2）求点M 的轨迹方程．8．设而不求法（两点法）设而不求法可以看作是多参数法的一种特殊形式，它尤其在求与斜率、弦中点等有关的轨迹方程中经常采用．[例8]已知长为l 的线段的两端点A 、B 均在抛物线22y px =上移动． （1）求线段AB 的中点M 的轨迹方程； （2）求中点M 到y 轴的最小距离． 练习：20．过点(2,1)A -作圆229x y +=的弦AB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．21．已知长为(02)l l a <<线段的两端点在椭圆22221x y ab+=上移动，求线段AB 的中点P的轨迹方程． 22．求双曲线22221x y ab+=以k 为斜率的平行弦的中点M 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．。
求点的轨迹方程的六种常见方法
解：以AB所在直线为x轴,过o垂直AB 直线为y轴,建立如图直角坐标系.
DF
y
C
依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)
P
E
设 BE CF DG =k(0≤k≤1),由此有
G
BC CD DA
A
o
Bx
E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak) 直线OF的方程为 2ax+(2k-1)y=0……………①
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
使得P到两定点距离的和为定值.按题意有A(2, 0)，B(2, 0)，C(2, 4a)，D(, 2, 4a).
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
2
2
• 以下举一个例子说明：
1.定义法
【例1】在ΔABC中，已知BC=a，当动点A满足条件sinC-sinB= 1 sinA时， 2
求动点A的轨迹方程.
解：以BC边所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.
因为sinC-sinB= 1 sinA，由正弦定理得：AB - AC = 1 BC ，
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求轨迹方程的常用方法重点: 掌握常用求轨迹方法难点：轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论【自主学习】知识梳理：（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。
2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。
)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧=== 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。
3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。
（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。
检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。
4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。
在此不一一缀述。
课前热身：1. P 是椭圆5922y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为： （ ）A 、159422=+y xB 、154922=+y xC 、120922=+y x D 、53622y x +=1【答案】：B【解答】:令中点坐标为),(y x ,则点P 的坐标为()2,y x 代入椭圆方程得154922=+y x ,选B 2. 圆心在抛物线)0(22>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A 041222=---+y x y x B 01222=+-++y x y x C 01222=+--+y x y xD 041222=+--+y x y x 【答案】：D【解答】:令圆心坐标为(),22a a ,则由题意可得2122+=a a ,解得1=a ,则圆的方程为041222=+--+y x y x ,选D 3: 一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支 【答案】：D【解答】令动圆半径为R ，则有⎩⎨⎧-=+=1||1||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。
故选D 。
4: 点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=1上运动，则点M （2x 0，y 0）的轨迹是 （ ） A.焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在X 轴上的双曲线 【答案】：A【解答】:令M 的坐标为),,(y x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==y y x x y y x x 000022代入圆的方程中得1422=+y x ,选A【互动平台】名师点题一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。
例1：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为12'22'2=+by ax ，则34,5'''=⇒==b c a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （4）到定点与定直线距离相等。
【变式1】: 1:已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
解：设动圆的半径为R ，由两圆外切的条件可得：，。
∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。
故所求轨迹方程为2:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支【解答】令动圆半径为R ，则有⎩⎨⎧-=+=1||1||R MC R MO ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。
故选D 。
二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。
例2： 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？解 设M 点的坐标为),(y x 由平几的中线定理：在直角三角形AOB 中，OM=,22121a a AB =⨯= 22222,a y x a y x =+=+∴M 点的轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=AB 21这一等量关系是此题成功的关键所在。
一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。
2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。
3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】: 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？【解答】∵|P A |=2222)3(||,)3(y x PB y x +-=++代入2||||=PB PA 得222222224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++ 化简得（x －5）2+y 2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例3．过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。
【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。
解法1：设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０） )2(14221--=-⊥x ky l ，l l 的方程为则直线由 ，，A x l )0k 42(1-∴的坐标为轴交点与 ，k，B y l )240(2+的坐标为轴交点与∵M 为AB 的中点，)(1222421242为参数k k k y k k x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=∴消去k ，得x ＋2y －5＝0。
另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。
综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。
分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性： ||21||AB MP =解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ）， ∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形 ||21||AB MP ，=由直角三角形的性质 2222)2()2(·21)4()2(y x y x +=-+-∴ 化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。
分析3：：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。
事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。
解法3：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。
又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2 ∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1，02242204--=--=y，k x k PB PA 而 0521224·224=-+-=--∴y x yx ，化简，得 注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4） 中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。