贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试数学理试题含Word版含解析

黔东南州2018届高三第一次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，故，故选C．2. 对于复数，若，则（）A. 0B. 2C. -2D. -1【答案】C【解析】由得，解得，故选C．3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误．．的是（）A. 旅游总人数逐年增加B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C. 年份数与旅游总人数成正相关D. 从2014年起旅游总人数增长加快【答案】B【解析】从图表中看出，旅游的总人数逐年增加时正确的；年份数与旅游总人数成正相关，是正确的；从2014年起旅游总人数增长加快是正确的；其中选项明显错误，故选B．4. 在等差数列中，若，则（）A. 9B. 8C. 6D. 3【答案】A【解析】设的公差为，由得，所以，则，故选A．5. 某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为，故选D．6. 我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（）A. 3步B. 6步C. 4步D. 8步【答案】B【解析】由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为，设其内切圆半径为，则有 (等积法)，解得，故其直径为 (步)，故选B．7. 在展开式中存在常数项，则正整数可以是（）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】C【解析】由通项，依题意得，解得，故是的倍数，只有选项符合要求，故选C．8. 执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（）A. 355B. 354C. 353D. 352【答案】B【解析】由题意，①，则，，成立，，；②成立，，；③成立，，；④不成立，所以输出，故选．9. 给出函数，点，是其一条对称轴上距离为的两点，函数的图象关于点对称，则的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由是其一条对称轴上距离的零点，所以函数的最小正周期为，则点到直线距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选B．10. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则（）A. 40B. 30C. 25D. 20【答案】A【解析】由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为，..................则有，故，故选A．11. 已知、，如果函数的图象上存在点，使，则称是线段的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”则与直线有公共点，即函数有零点．利用导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选D．点睛：本题主要考查了函数的新定理的理解与应用问题，其中解答中正确理解函数的新定义，把线段的“和谐函数”，转化为函数与直线有公共点，得到函数有零点是解答点关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题．12. 在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意知分别是线段上的两个三等分点，则有，，则，而，则，得，由为钝角知，又，则有，故选．点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和三角形中正、余弦定理的应用，对于平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若实数，满足，则的最大值是__________．【答案】11【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，把目标函数化为，由，解得，当目标函数经过点时，取得最大值，此时最大值为．14. 已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】因为在上单调递增，因为函数的零点在区间内，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．15. 已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是________．【答案】【解析】依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．点睛：本题考查了空间几何体的结构特征以及组合体的结构问题，着重考查了空间想象能力和转化与化归思想的应用，对于多面体的外接球问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.16. 已知点是双曲线：右支上一点，的左、右顶点分别为、，的右焦点为，记，，当，且时，双曲线的离心率__________．【答案】【解析】由已知得，，则又，则有或（舍）．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程式解得关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(Ⅰ)设的公比为，由，，解得，即可求解数列的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，可得，利用等比数列的求和公式，即可求解数列的前项和．试题解析：(Ⅰ)设的公比为，由，得，于是，解得（不符合题意，舍去）故．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，则…．18. 为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率.（Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法，当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解事件发生的概率；(Ⅱ)由题意，得随机变量的所有可能取值为，求得随便取每个值的概率，列出分布列，利用公式求解随机变量的期望．试题解析：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则，所以事件发生的概率为.(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4．，，，．所以,随机变量的分布列为1[] 2 3 4则随机变量的数学期望（人）．19. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面，证得，再由为等腰直角三角形，得到，即可利用线面垂直的判定定理，证得平面．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，又平面的法向量可取，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．试题解析：(Ⅰ)证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故又，故平面．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，过作垂直于，易知又已知，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则则有，．设平面的法向量为，则有，可取；因为平面，所以平面的法向量可取．则．而二面角为锐二面角，故其余弦值为．20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆外，求实数的取值范围. 【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意德，在等腰直角和关系式，求得的值，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ) 设，，联立方程组，求得，又点在以线段为直径的圆外等价于，列出关于的不等式，求得实数的范围．试题解析：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，又是等腰直角三角形，所以所以故椭圆的标准方程为．(Ⅱ) 设，，将与联立消得．，点在以线段为直径的圆外等价于，，解得故实数的取值范围是．点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21. 函数在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数，的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数的减区间是，增区间是；（3）的取值范围是．.【解析】试题分析：(Ⅰ)求得，分别令，，即可求得的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)得和，由于在区间上为增函数，且，进而得到函数的单调区间；(Ⅲ)构造函数，由成立，等价于，再由(Ⅱ)知当时，，即（当且仅当时取等号），即可求解实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ)，依题意得，，则有．(Ⅱ)由(Ⅰ)得，，由于在区间上为增函数，且，则当时，；当时，，故函数的减区间是，增区间是．(Ⅲ) 因为，于是构造函数，，成立，等价于，由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．即（当且仅当时取等号）所以函数，又时，，所以．故的取值范围是．点睛：本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用．22. 在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.【答案】（1）直线的普通方程为，圆的直角坐标方程为；（2）见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)当时，消去得到直线的普通方程，由圆极坐标方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到原的直角坐标方程．(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的方程，，得，由的几何意义可求得的值．试题解析：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数），消去得．由圆极坐标方程为，得．故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为．(Ⅱ)将代入得，．设其两根分别为，则．由的几何意义知．故为定值(与无关) .23. 设.（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ），，求实数的取值范围.【答案】（1）解集为；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：(Ⅰ)去掉绝对值，得到分段函数，由，即可取得不等式的解集；(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质，求得区间上，的值，进而求得实数的取值范围．试题解析：(Ⅰ)，由解得，故不等式的解集为．(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：在区间为减函数，在区间上为增函数，而，故在区间上，，．由．所以且，于是且，故实数的取值范围是．。