函数的放缩能力的提升
函数极值问题中的放缩法
函数极值问题中的放缩法简介函数极值问题是数学中经常遇到的问题之一。
在解决函数的极值问题时，放缩法是一种常用且有效的策略。
本文将介绍函数极值问题中的放缩法，并探讨其应用。
放缩法的基本原理放缩法的基本思想是通过对函数进行合理的放缩和约束，限制函数取值范围，进而推导出函数的极值点。
其核心是选择合适的放缩因子，使得函数的极值问题转化为更易于求解的问题。
放缩法的步骤放缩法的步骤主要包括以下几个方面：1. 定义放缩因子：根据具体问题的特点，选择适当的放缩因子。
2. 对函数进行放缩：将函数根据放缩因子进行放缩，得到一个新的函数表达式。
3. 约束函数取值范围：根据放缩后的函数表达式，确定函数的取值范围。
4. 求解极值点：在限制条件下，求解函数的极值点。
5. 检验解的有效性：将求得的极值点代入原函数，验证解的有效性。
放缩法的应用范围放缩法在函数极值问题的求解中具有广泛的应用。
它适用于各种类型的函数，包括连续函数、可微函数以及一些特殊函数等。
通过合理选择放缩因子，可以有效地简化问题的求解过程。
示例以下是一个简单示例，展示了放缩法在函数极值问题中的应用：给定函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求函数的极值点。
步骤：1. 定义放缩因子：选择放缩因子 k = 3。
2. 对函数进行放缩：将函数 f(x) 放缩为 g(x) = k * f(x) = 9x^2 -6x + 3。
3. 约束函数取值范围：函数 g(x) 的取值范围为[3, +∞)。
4. 求解极值点：根据函数 g(x) 的取值范围，求得极值点为 x = 0。
5. 检验解的有效性：代入原函数 f(x)，验证得到的极值点 x = 0 是否为函数 f(x) 的极值点。
总结放缩法是解决函数极值问题的一种有效策略。
通过合理放缩和约束函数取值范围，可以简化问题的求解过程。
放缩法的应用范围广泛，而且应用灵活，适用于不同类型的函数。
在实际问题中，可以根据具体情况选择合适的放缩因子，以得到准确的极值点。
导数与函数之放缩技巧
1,x x e x e ex ≥+≥变形有法之放缩有度一：引例1()ln 1()02018x f x ae x f x e=--≥≥已知函数。
证明：当a 时（年全国卷文），11ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 以上两题主要利用两个常见的放缩：1x e x ≥+（1）：ln 1x x ≤-（2）： 本讲座主要讲述四个方面：1.对放缩法的认识2.为什么要放缩？3.怎么放缩？了解几种常见的放缩，从而解决不等式证明与恒成立问题。
4.对放缩法的进一步认识（泰勒展开式）。
一．指数、对数的放缩常见指数放缩：11-ln -1x x x ≤≤常见对数放缩：2201813()x ax x f x e +-=已知函例1：（年全数国卷） 1()0a f x e ≥+≥（2）证明：当时，212+1221+1+1+(x+2)x+1()=0x x x x x x ax x e x x e x x f x e e e e e ++-+-+-+=≥≥≥（）证毕。
221()(ln 22,01)6x f x a x x a R x-=-+∈例：（年山东理）已知1()0a f x ≥≥证明：（1）先证：时，恒成立1()0a f x <≥再证：时，不恒成立1()ln 1(1)10a f x x x x x ≥≥--≥---=时，1(1)=10,()0a f a f x <-<≥时，故不恒成立1a ≥综上得3()'()[1,2]2f x f x x >+∈求证：当a=1时，对任意恒成立233125[1,2]ln 02x x x x x x ∈-++-->即证：当时，g(x)=恒成立4324326'(1)x x x x g x x---+=常规方法：，思路简单，过程复杂繁琐。
数列及函数不等式放缩如何一步到位
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常 出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和 技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行 合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类 问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见 的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到 的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、 对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、 等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6
函数与导数——同构新天地,放缩大舞台
同构新天地，放缩大舞台在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[ℎ(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥ℎ(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！1.地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移.（1）f(x1)−f(x2)x1−x2>k(x1<x2)⟺f(x1)−f(x2)<kx1−kx2⟺f(x1)−kx1<f(x2)−kx2⟺y=f(x)−kx为增函数.（2）f(x1)−f(x2)x1−x2<kx1x2(x1<x2)⟺f(x1)−f(x2)>k(x1−x2)x1x2=kx2−kx1⟺f(x1)+kx1>f(x2)+kx2⟺y=f(x)+kx为减函数.含有地位同等的两个变量x1,x2，或p,q等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.2.指对跨阶想同构，同左同右取对数.同构基本模式：（1）积型：ae a≤b ln b三种同构方式→{同右:e a ln e a≤b ln b−− −−−−−−−→f(x)=x ln x 同左:ae a≤(ln b)e ln b−−−−−−−−−→f(x)=xe x取对：a+ln a≤ln b+ln(ln b)−−−−− →f(x)=x+ln x.如：2x3ln x≥me m x⟺x2ln x2≥mx e m x⟺x2ln x2≥mxe m x，后面的转化同（1）.说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．（2）商型：e aa <bln b三种同构方式→{同左:e aa<e ln bln b−−−−−−−−−−−−−−→f(x)=e xx同右: e aln e a<bln b−−−−−−−−−−−−−→f(x)=xln x取对：a−ln a<ln b−ln(ln b)−−−−−− →f(x)=x−ln x.（3）和差型：e a±a>b±ln b 两种同构方式→{同左:e a±a>e ln b±ln b−−−−−→f(x)=e x±x同右:e a±ln e a>b±ln b−−−−− →f(x)=x±ln x.如：e ax+ax>ln(x+1)+x+1⟺e ax+ax>e ln(x+1)+ln(x+1)⟺ax>ln(x+1).3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.（1）ae ax>ln x同乘x(无中生有)→ axe ax>x ln x，后面的转化同2.（1）（2）e x>a ln(ax−a)−a⟺1ae x>ln a(x−1)−1⟺e x−ln a−ln a>ln(x−1)−1同加x(无中生有)→ e x−ln a+x−ln a>ln(x−1)+x−1=e ln(x−1)+ln(x−1)⟺x−ln a>ln(x−1).（3）a x>lo g a x⟺e x ln a>ln xln a⟺(x ln a)e x ln a>x ln x，后面的转化同2.（1）.说明：由于a x>lo g a x两边互为反函数，所以还可以这样转化a x>lo g a x⇒a x>x⇒ln a>ln xx. 对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣.如：1a e x+1>ln a(x−1)，左右两边互为反函数，所以只需1ae x+1>x，即1a>x−1e x，可得1a>1e2.4.同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）（1）e x≥x+1⇒e x−1≥x⇒e x≥ex⇒e x≥e24x2，e x≥1+x+x22，e x≤2+x2−x(0≤x<2)，e x≥ax+1(x≥0,0<a≤1).【变形：xe x=e x+ln x≥x+ln x+1，e xx =e x−ln x≥x−ln x+1；xe x=e ln x−x≥ln x−x+1；x2e x=e x+2ln x≥x+2ln x+1，x2e x=e x+2ln x≥e(x+2ln x).】（2）ln x≤x−1⇒ln ex≤x⇒ln x≤xe ，ln x≤x−1⇒ln x≤ex−2，ln x≥1−1x⇒x ln x≥x−1，ln x≤12(x−1x)(x≥1)，ln x≥2(x−1)x+1(x≥1)；ln x≤a(x−1)(x≥1,a≥1)【变形：x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e xx.】说明：xe x=e x+ln x，e xx =e x−ln x，xe x=e ln x−x，x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e xx等，这些变形新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的．对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利．当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。
放缩法技巧全总结
2011高考数学备考之 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以3532112112151312111=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3211+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++nn n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.2ααα例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e <+⋅⋅++)311()8111)(911( .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a nn a )2111(21⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
高考导数解答题中常见的放缩大法
For personal use only in study and research; not forcommercial use(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥->（放缩成类反比例函数）1ln 1x x ≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x =-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
；放缩技巧（高考数学备考资料）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk …奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n…(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n nn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n {(2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，>所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
高中数学如何放缩教程
高中数学如何放缩教程一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高中学生进行“放缩法”在数学解题中的应用教程。
放缩法是高中数学中一种重要的解题技巧，尤其在处理函数值域、不等式证明等问题上有着广泛的应用。
通过本教程，学生将理解放缩法的原理，掌握其在不同数学问题中的运用方法，并能够灵活运用放缩法解决复杂问题。
2、教学对象本教程的教学对象为高中二年级的学生。
他们已经掌握了基本的数学知识和解题技能，能够进行初等函数的运算和不等式的简单证明，但对于放缩法这一高级解题技巧的应用还不够熟练。
这部分学生通常对数学有较高的兴趣，也有一定的探究和挑战精神，但需要通过系统的教学来启发思维，提高解题能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解放缩法的概念及其在数学解题中的重要性。
（2）掌握放缩法的基本原理，包括但不限于同向放缩、反向放缩、夹逼放缩等。
（3）能够运用放缩法解决高中数学中的函数值域问题、不等式证明问题以及相关数学竞赛题目。
（4）培养学生在面对复杂问题时，能够分析问题特点，选择合适的放缩策略，提高解题效率。
（5）通过放缩法的实践运用，提高学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
2、过程与方法（1）通过典型案例分析，让学生体验放缩法的思维过程，学会如何在实际问题中发现放缩的线索。
（2）引导学生通过小组讨论、合作探究的方式，总结放缩法在不同类型题目中的应用方法，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
（3）采用启发式教学，鼓励学生提出问题，引导学生自主探索，培养学生的独立思考能力和创新意识。
（4）通过课堂讲解、课后作业、实践活动等多种教学方式，让学生在实践中掌握放缩法，提高解决问题的方法多样性。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的热情，使其形成积极向上的学习态度。
（2）通过放缩法的学习，让学生体会到数学的严谨性和美感，提高学生对数学价值的认识。
（3）鼓励学生在面对困难时保持坚持不懈的精神，培养学生克服挫折、勇于挑战的意志品质。
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1
新教材下函数的放缩能力的提升
石室中学：
与导数结合的函数放缩题是近几年各种大型考试的热点，一诊、二诊、三诊以及高考的
压轴题都常常选这一背景进行命题。如何构造函数是这一类题的精髓所在！在新教材体系下，
这一种能力在学生中如何有效突破，如何有效提升成为了一个很关键的课题。现在就我对教
学中的一些做法与想法与大家共同探讨一下，让大家看看我其中的得与失，力争让每一个到
会的朋友都能有一定的收获。
一、“抓手一”
从我个人的经验看，在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是lnx，如何摆脱lnx，
把对数背景的数列转变为普通数列，成了突破函数放缩能力的第一“抓手”，关于不等式：
1ln1xxxx
（1x）成为了这一类题的最好素材。（为了让学生加强记忆，有所沉
淀，我把上一不等式常常戏称为“定海神针”，以达到强化记忆的目的。）所以刚开始时，我
就集中选练这一方面的很多小题，如：
例1．求证21+31+41+„+11n)1ln(n1+21+31+41+„+n1
例2．已知nN，求证：111111ln2122121nnnnnn
例3．证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．
例4．求证:212131211nn
例5．已知,4nNn.求证：11117123210nnnn.
例6．求证:213121111nnn
例7．数列na中，1nnan，求证12ln2ln2naaann。
例8．求证:en)!11()!311)(!211(
2
例9．（2012一诊22）已知函数21()ln1222fxxmxmxm，0m。
（1）当1m时，求函数()3xyfx的单调区间；
（2）已知2em，（其中e是自然对数的底数），若存在实数011,22ex，使
0
()1fxe
成立，证明210me；
（3）证明：2183(1)(2)ln32nkknnk（nN）
二、“抓手二”
这是我让学生过的第一道关，这一道关其实学生很好就能把握的。
但在学习的过程中，又常常会遇到很多不能用1ln1xxxx（1x）放缩成功的，比
如说：以下几例中所渗透出来的不等式，就比1ln1xxxx（1x）要求还要高一些，
这是我教学中的第二个“抓手” 11ln()12xxxx （1x），定海神针的内涵也被
拓宽成了下列不等式111ln()12xxxxxx（1x）。
例10．（2010四川理科22题（2））对任意正整数证明不等式2(1)2ln022(1)nnnnnn。
例11．证明：1111ln(1)(1)232(1)nnnnn。
例12．证明：11111ln(21)()3521221nnnNnn
三、“抓手三”
在教学过程中，我还遇到了这样一个题：
例13．（全国二理22，有改动）
（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xfxxx，证明：当x＞0时，()fx＞0；
（Ⅱ）证明： 199()10＜21e.
在做完这一个题以后，我给一lnx的逼近函数，12(1)ln11xxxxxx，就把上面这
3
一个题反复研究，学生对定海神针的内涵又进了一层。
四、“抓手四”
在教学过程中，要善于抓住考题中的“乌龙”， 从而提升破题速度。而这一类题通过
1ln1xxxx
（1x）的图象可以看得一清二楚。
例15．证明:)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn
例16．
求证：
)1(2nn
nln4ln3ln2ln
)2(n
例17．
求证
nnn1ln44ln33ln2
2ln
)2(n
例18．2222222ln2ln3ln21(,2).232(1)nnnnnnnN
例19．求证:)2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn
例20．求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.
例21．求证:32)]1(1[)321()211(nenn
例22.（二诊22题）已知函数axaxgxxf(.23)(,ln)(为实常数）．
(I)当1a时，求函数)()()(xgxfx在),4[x上的最小值；
(Ⅱ)若方程)()(2xgexf（其中71828.2e）在区间]1,21[上有解，求实数a的取值范
围；
(Ⅲ)证明：*,12)]1()()12(2[601451Nnnkfkfkfnnk
（参考数据：6931.02ln）
五、“抓手五”
既然在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是lnx，那么对e的理解我认为也是一种
必需的知识储备，1lim(1)nnen，做为数学分析中的一种最基本最重要的极限，在导数的
公式推导中，我也给学生讲了一下。但最重要的是：我让学生通过这一个结论的记忆，知道
一些常见的不等式：
如（1）nN时，1(1)nen ；
4
（2）数列1(1)nnan为一个单调递增数列；
（3） 1(1)2nen
（4）31(1)3nen
（5）22(1)nen
有一个晚自习时，我曾经让班上的学生做了两个题，其中的一个题是高三的三诊模拟题，
例23.（四中三诊模拟22题）
已知数列}{na满足).2(22,111nnaaann（I）求数列}{na的通项公式；
（II）若数列}{nb中24b，前n项和为nS，且
4()(*).nnSnbnannN
证明：1215(1).3nbnb
很多学生在做最后一个不等式证明时，用15(1)23nen，很快得证。
在教学过程中，还曾经遇到过这样两个题，都是学生问我的，我觉得有一类用贝努里不
等式能处理的问题，用定海神针来做，也行。如：
例24．求证：23423433334(,2)313131313nnnNn
例25．求证：nN时，
21)411()411)(4
1
1(2
n
六、“抓手六”
我个人习惯在讲一种难题时，首先要尽可能多地给学生以铺垫，让学生在成功的体验中学习，
更有趣一些。让学生能自主地找到突破口，是最重要的。
例26．已知：数列na满足：11a，11122nnnnaa，nN
（1）求数列na的通项公式；
（2）证明：1112nna；
（3）设224nnnTann，且21ln(1)2nnnKTT。证明：22nnnTTK。
例27． 已知函数()ln1fxxx,数列na满足101a,
1nnafa; 数列
n
b
满足1111,(1)22nnbbnb, *nN.
求证:（Ⅰ）101;nnaa
5
（Ⅱ）21;2nnaa
（Ⅲ）若12,2a则当n≥2时,!nnban.
例28．已知112111,(1).2nnnaaann证明2nae.
例29．(1)证明: ln1(0)xxx
(2)数列na中. 11a,且11211122nnnaann;
①证明: 724nan
②21naen
七、“抓手七”
当然学生既使学会了这些，也只是具备了一定的能力而已，在未来的高三提升中，还需要更
多的磨砺与积累。