广东省江门市2017-2018学年高一数学下学期叁月月考试题含答案
广东省江门市2017-2018学年高一数学下学期3月月考试题
V)(V BB俯视图1图广东省江门市第二中学2017-2018学年高一数学下学期3月月考试题注意事项：1、全卷共三大题，22小题。
满分共150分，测试时间120分钟。
2、答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。
3、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其它答案标号。
4、答非选择题时，用圆珠笔或黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上。
5、所有题目必须在规定的答题卡上作答，在试卷上作答无效。
参考公式：方差公式])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=Λ． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}21|<<-=x x A ，{}31|<<=x x B ，则=B A IA ．{}31|<<-x xB ．{}21|<<x xC ．{}11|<<-x xD ．{}32|<<x x 2. 某单位有职工750人，其中，青年职工350人，中年职工300人，为了解单位职工健康情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本中的中年职工人数为A ．5B ．15C ．6D ．353. 已知不等式n m 3.03.0log log <，则m 、n 的大小满足A ．0>>n mB ．0<<n mC ．0>>m nD ．0<<m n4. 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张，事件“甲分得黑牌”与事件“乙分得黑牌”是A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对 5. 如图1，已知三棱锥ABC V -及其6. 已知α是第三象限角，则2α是 A ．第三象限角 B ．第四象限角 C ．第二或第四象限角 D ．第一或第三象限角7. 某校计划用系统抽样方法从高一年级500名学生中抽取25名进行调查。
广东省江门市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x |0≤x ＜4}，B={x ∈N |1≤x ≤3}，则A ∩B=（ ） A ．{x |1≤x ≤3} B ．{x |0≤x ＜4} C ．{1，2，3} D ．{0，1，2，3}2．若函数f （x ）与g （x ）的定义域均为R ，且g （x ）为偶函数，则下列函数为偶函数的是（ ）A ．f （x ）+g （x ）B ．|f （x ）+g （x ）|C ．|f （x ）|+g （x ）D ．f （|x |）+g （x ） 3．经过点A （﹣2，1）且与x 轴垂直的直线的方程是（ ） A ．x=﹣2 B ．y=1 C ．y=﹣2 D ．x=1 4．在平面直角坐标系中，﹣1445°是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．146．若向量=（n ，1）与=（4，n ）共线且方向相反，则n=（ ） A ．0 B ．2 C ．﹣2 D ．±27．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积S=（ ）A ．17πB ．20πC ．22πD ．8．某赛季甲队每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4．下列说法中，错误的是（ ） A ．平均说来甲队比乙队防守技术好 B ．甲队比乙队技术水平更稳定C ．甲队有时表现比较差，有时表现又比较好D ．乙队很少不失球9．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=4，则输出的S=（ ）A ．15B ．16C ．31D ．3210．由函数y=sin （5x +）的图象得到y=sinx 的图象，下列操作正确的是（ ）A ．将y=sin （5x +）的图象向右平移；再将所有点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变B ．将y=sin （5x +）的图象向左平移；再将所有点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变C ．将y=sin （5x +）的图象向右平移；再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变D ．将y=sin （5x +）的图象向左平移；再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变11．在区间[0，1]任取两个数x 、y ，则满足x +2y ≤1的概率P=（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，以矩形ABCD 的一边AB 为直径的半圆与对边CD 相切，E 为BC 的中点，P 为半圆弧上任意一点．若=λ+μ，则λ﹣μ的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的倍数是．14．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是．15．若tanα=﹣，则=．16．已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，5）．则cosA=；△ABC的边AC上的高h=．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知函数f（x）=cos（2x+），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）函数f（x）的图象是由函数y=cos（x+）的图象经过怎样变换得到的？18．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39．（Ⅰ）用十位数作茎，画出原始数据的茎叶图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场的得分大于40分的概率．19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=3a．（Ⅰ）求证：平面A1BC1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点B1到平面A1BC1的距离．20．某公司为合理定价，在试销期间得到单价x（单位：元）与销售量y（单位：件）的数据y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是75元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？最大利润是多少？（利润=销售收入﹣成本）21．已知圆C：x2+（y﹣b）2=r2（r＞0）与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点M（﹣2，﹣2），点Q为圆C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线与圆C相交于点A、B，且直线PA、PB的倾斜角互补，试判断直线CP与直线AB是否平行？并说明理由．2017-2018学年广东省江门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|0≤x＜4}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∩B=（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x＜4}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|0≤x＜4}，B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，故选：C．2．若函数f（x）与g（x）的定义域均为R，且g（x）为偶函数，则下列函数为偶函数的是（）A．f（x）+g（x）B．|f（x）+g（x）|C．|f（x）|+g（x）D．f（|x|）+g（x）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用偶函数的定义以及判断方法，判断各个选项中的函数是否满足偶函数的定义，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）与g（x）的定义域均为R，且g（x）为偶函数，故对于f（x）+g（x），f（﹣x）+g（﹣x）=f（﹣x）+g（x），不一定等于f（x）+g（x），故f （x）+g（x）不一定是偶函数，故排除A；对于|f（x）+g（x）|，|f（﹣x）+g（﹣x）|=|f（﹣x）+g（x）|，不一定等于|f（x）+g（x）|，故|f（x）+g（x）|不一定是偶函数，故排除B；对于|f（x）|+g（x），|f（﹣x）|+g（﹣x）=|f（﹣x）|+g（x），不一定等于|f（x）|+g（x），故|f（x）|+g（x）不一定是偶函数，故排除C；则根据f（|x|）+g（x），可得f（|﹣x|）+g（﹣x）=f（|x|）+g（x），故f（|x|）+g（x），为偶函数，故选：D．3．经过点A（﹣2，1）且与x轴垂直的直线的方程是（）A．x=﹣2 B．y=1 C．y=﹣2 D．x=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得直线的斜率不存在，即可得到过A（﹣2，1）的直线方程．【解答】解：经过点A（﹣2，1）且与x轴垂直，则直线的斜率不存在，可得直线的方程为x=﹣2．故选：A．4．在平面直角坐标系中，﹣1445°是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】象限角、轴线角．【分析】直接利用终边相同的角的表示化简求解即可．【解答】解：﹣1445°=﹣1800°+355°，﹣1445°与355°终边相同，是第四象限角．故选：D．5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．6．若向量=（n，1）与=（4，n）共线且方向相反，则n=（）A．0 B．2 C．﹣2 D．±2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线真假求解即可．【解答】解：向量=（n，1）与=（4，n）共线且方向相反，可得n2=4，n＜0，解得n=﹣2．故选：C．7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积S=（）A．17πB．20πC．22πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是半球、下面是圆台，由三视图求出几何元素的长度，由圆台的侧面积公式、下底面积，半球的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球、下面是圆台，且圆台的底面圆的上半径是2、下半径为：3，高为，4，则母线长，∴该几何体的表面积S=2π×22+π×32+π×（2+3）×=17π+5π，故选：D8．某赛季甲队每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4．下列说法中，错误的是（）A．平均说来甲队比乙队防守技术好B．甲队比乙队技术水平更稳定C．甲队有时表现比较差，有时表现又比较好D．乙队很少不失球【考点】极差、方差与标准差．【分析】甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少，说明甲队的技术比乙队的防守技术好；甲队全年的比赛失球个数的标准差较大，说明甲队的表现时好时坏，起伏较大；乙队的平均失球数多，全年比赛失球个数的标准差很小，说明乙队的表现较稳定，经常失球．【解答】解：对于A，甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，∴平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确；对于B，甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴乙队比甲队技术水平更稳定，故B错误；对于C，甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1，乙队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴甲队有时表现很差，有时表现又非常好，故C正确；对于D，乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴乙队很少不失球，故D正确，故选：B．9．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=4，则输出的S=（）A．15 B．16 C．31 D．32【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，k=4，执行循环体，S=1+2×0=1，i=2，不满足条件i＞k，执行循环体，S=1+2×1=3，i=3，不满足条件i＞k，执行循环体，S=1+2×3=7，i=4，不满足条件i＞k，执行循环体，S=1+2×7=15，i=5，满足条件i＞k，退出循环，输出S=15．故选：A．10．由函数y=sin（5x+）的图象得到y=sinx的图象，下列操作正确的是（）A．将y=sin（5x+）的图象向右平移；再将所有点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变B．将y=sin（5x+）的图象向左平移；再将所有点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变C．将y=sin（5x+）的图象向右平移；再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变D．将y=sin（5x+）的图象向左平移；再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，将y=sin（5x+）的图象向右平移，再将所有点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变，可得y=sinx的图象．【解答】解：∵y=sin（5x+）=sin[5（x+）]，∴将y=sin（5x+）的图象向右平移；可得y=sin5x的图象；再将所有点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变，可得y=sinx的图象．故选：A．11．在区间[0，1]任取两个数x、y，则满足x+2y≤1的概率P=（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，本题满足几何概型的概率，利用变量对应的区域面积比求概率即可．【解答】解：在区间[0，1]任取两个数x、y，对应的区域为边长是1的正方形，面积为1，则满足x+2y≤1的区域为三角形，如图，由几何概型的个数得到概率P=；故选C．12．如图，以矩形ABCD的一边AB为直径的半圆与对边CD相切，E为BC的中点，P为半圆弧上任意一点．若=λ+μ，则λ﹣μ的最大值为（）A．1 B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】建立直角坐标系，求得，，，根据向量=λ+μ，求得，设2μ﹣1=cosθ，λ+μ=cosθ，θ∈[0，π]，分别求得λ和μ，表示出λ﹣μ，根据正弦函数图象及性质，即可求得λ﹣μ的最大值．【解答】解：以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，设圆的半径为1，则点D（0，1），E（2，），P（x，y），则（x﹣1）2+y2=1，=（0，1），=（2，），=（x，y），=λ+μ，即（x，y）=λ（0，1）+μ（2，），整理得：（x，y）=（2μ，λ+μ），∴，设：2μ﹣1=cosθ，λ+μ=cosθ，θ∈[0，π]，∴，λ﹣μ=sinθ﹣cosθ﹣﹣cosθ﹣，=sinθ﹣cosθ﹣，=sin（θ﹣φ）﹣，tanφ=，由正弦函数的性质可知，当θ﹣φ=时取最大值，最大值为﹣=，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的倍数是8．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出气球的半径，求出体积，求出气球的半径扩大1倍，它的体积，即可得到结果．【解答】解：设气球的半径为1，它的体积：=．气球的半径扩大1倍，它的体积为=．它的体积扩大到原来的倍数是．故答案为：8．14．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由题意2人总的下法功36种结果，2人在同一层下共6种，故先求该事件的概率，再由对立事件的概率可得．【解答】解：由题意总的基本事件为：两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，而两人在同一层下，共有6种结果，∴两个人在同一层离开电梯的概率是：所以2个人在不同层离开的概率为：1﹣=故答案为：15．若tanα=﹣，则=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=﹣，则═===，故答案为：．16．已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，5）．则cosA=；△ABC的边AC上的高h=．【考点】直线的两点式方程；两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式．【分析】首先利用两点间的距离公式求出AB=3，BC=4，AC=5，然后根据余弦定理的公式求出答案；由A，C点的坐标求出直线AC的斜率，再进一步求出AC的直线方程，由点到直线的距离公式，即可求出△ABC的边AC上的高．【解答】解：∵△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，1）、C（4，5），∴AB=3，BC=4，AC=5；根据余弦定理得cosA==；∵直线AC的斜率为，∴AC的直线方程为y﹣1=（x﹣1）即4x﹣3y﹣1=0．∴△ABC的边AC上的高h=．故答案为：；．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知函数f（x）=cos（2x+），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）函数f（x）的图象是由函数y=cos（x+）的图象经过怎样变换得到的？【考点】余弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】有条件利用余弦函数的周期性，单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x+）的最小正周期．（Ⅱ）由，求得，可得函数f（x）的单调递减区间为．（Ⅲ）将函数图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到函数f（x）的图象．18．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39．（Ⅰ）用十位数作茎，画出原始数据的茎叶图；（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为5的样本，从该样本中随机抽取2场，求其中恰有1场的得分大于40分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录作出茎叶图，（Ⅱ）根据题意列举出基本事件的个数，求出相应的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得茎叶图如图：，（Ⅱ）用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为2、3、4的比赛中抽取一个容量为5的样本，则得分十位数为2、3、别应该抽取1，3，1场，所抽取的赛场记为A，B1，B2，B3，C，从中随机抽取2场的基本事件有：（A，B1），（A，B2），（A，B3），（A，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）共10个，记“其中恰有1场的得分大于4”为事件A，则事件A中包含的基本事件有：（A，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C）共4个，∴，答：其中恰有1场的得分大于4的概率为．19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=3a．（Ⅰ）求证：平面A1BC1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点B1到平面A1BC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明A1C1⊥平面BB1D1D，再证明：平面A1BC1⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）由，求点B1到平面A1BC1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1…又AB=BC=2a，A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1…∵B1D1∩BB1=B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D…∵A1C1⊂平面A1BC1，∴平面A1BC1⊥平面BDD1B1…（Ⅱ）解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2a，AA1=3a，则，…于是△A1BC1的面积S=…记“点B1到平面A1BC1的距离”为h，由，得…，解得…20．某公司为合理定价，在试销期间得到单价x（单位：元）与销售量y（单位：件）的数据（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法求y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是75元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？最大利润是多少？（利润=销售收入﹣成本）【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求得的样本中心点（，），利用最小二乘法求的及，即可求得线性回归方程；（Ⅱ）将线性回归方程代入求得利润公式，把所给的x的值代入利润公式z，根据二次函数的性质即可求得答案．【解答】解（I）…=（90+84+83+80+75+68）=80…==﹣2，…，则=﹣=250，…∴线性回归方程为=﹣2x+250．…（II）预计公司获得利润z=（x﹣75）•y=﹣2x2+400x﹣18750…当x=100时，函数取最大值为1250（元）．…答：当该产品定价为100元/件时，利润最大为1250元．…21．已知圆C：x2+（y﹣b）2=r2（r＞0）与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点M（﹣2，﹣2），点Q为圆C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线与圆C相交于点A、B，且直线PA、PB的倾斜角互补，试判断直线CP与直线AB是否平行？并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意得，解出即可得出．（Ⅱ）设Q（x，y），则，利用数量积运算性质及其圆的方程即可得出．=x+y﹣2，记x+y=t，则y=﹣x+t，联立，得2x2﹣2tx+t2﹣2=0，利用△≥0，解出即可得出．（Ⅲ）由过点P可以作两条不同直线AP，BP，且两条直线的倾斜角互补，可得两条直线的斜率存在且不为0．设直线AP：y﹣1=k（x﹣1），则直线BP：y﹣1=﹣k（x﹣1），设点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2）．联立得（k2+1）x2﹣2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，利用根与系数的关系可得坐标，再利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得，∴圆C的方程为x2+y2=2．（Ⅱ）设Q（x，y），则，∴=（x﹣1）（x+2）+（y﹣1）（y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，记x+y=t，则y=﹣x+t，由，得2x2﹣2tx+t2﹣2=0，∵方程有实根，∴△=4t2﹣4×2×（t2﹣2）=4（4﹣t2）≥0，解不等式得﹣2≤t≤2，∴当t=﹣2时，x+y取最小值﹣2，∴的最小值为﹣4．（Ⅲ）∵过点P可以作两条不同直线AP，BP，且两条直线的倾斜角互补，∴两条直线的斜率存在且不为0．设直线AP：y﹣1=k（x﹣1），则直线BP：y﹣1=﹣k（x﹣1），设点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2）．由，得（k2+1）x2﹣2k（k﹣1）x+k2﹣2k﹣1=0，方程的解是点A、P的横坐标，于是1+，则；同理得，于是，．∴直线AB的斜率，又直线CP的斜率也为1，所以CP∥AB．2018年8月26日。
2017-2018学年广东省江门市普通高中下学期高二数学3月月考试题 08 Word版含答案
下学期高二数学3月月考试题08全卷共150分。
时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =( )A ． B. D. 2.下列说法正确的是( )A ．a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，c ＞d ，则 a c ＞b dC ．a ，b ∈R ，且ab ≠0，则 a b ＋b a≥2 D ．a ，b ∈R ，且a ＞|b |，则a n ＞b n (n ∈N *) 3．若∆ABC 中，sin A :sin B :sin C = 2:3:4，那么cos C =（ ） A.41- B. 41 C. 32- D. 32 4. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．95．在∆ABC 中，B b A a cos cos =，则三角形的形状为（ ）A .直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D. 等腰三角形6．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是11(,)23-，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．－14 D ．147.设0>a ，0>b 1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为 （ ） A . 8 B . 4 C. 1 D. 148．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A. π6B. π3C. π6 或 5π6D. π3 或 2π39.等比数列{}n a 的各项均为正数，且187465=+a a a a ，则13log a +23log a +…+103log a =A . 12B .10 C. 8 D. 2+5log 310. 已知点（n ，a n ）都在直线0243=--y x 上，那么在数列{a n }中有（ ）A. a 7+a 9＞0B. a 7+a 9＜0C. a 7+a 9=0D. a 7·a 9=011.在∆ABC 中，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则a b =（ ） A .32 B . 22 C. 3 D. 2A CB 12．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 012的值是( )A ．2 0122B ．2 010×2 009C ．2 012×2 013D ．2 011×2 012第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为}20|{<<x x ，则m 的值为 . 14.如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于 .15. 已知∆ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则∆ABC 的面积为 .16．在等差数列{}n a 中，若234,9,S S ≥≤则4a 的最大值为 .三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（本小题满分12分）在△ABC 中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==. （Ⅰ）若△ABC,a b ；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求△ABC 的面积.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .19. （本小题满分12分）中新社亚丁湾2011年2月5日电，中国海军第七批护航编队采取直升机低空查证、发射爆震弹示警等措施，成功驱离多艘小艇，如图，当甲船位于A 处时，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘货船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，求sin θ的值.20.（本小题满分12分）已知 0a >，解关于x 的不等式()()[]0313>+--x a x .21．(（本小题满分13分）)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素22.（本小题满分13分）已知数列{}n a 中,1a a =,2a t =(常数0t >),n S 是其前n 项和,且1()2n n n a a S -=. (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)试确定数列{}n a 是否是等差数列,若是,求出其通项公式；若不是，说明理由； （Ⅲ）令2112n n n n n S S b S S ++++=+，求证：12223n n b b b n <+++<+.()n N *∈.参考答案。
广东省江门市普通高中2017-2018学年高二数学下学期3月月考试题02
下学期高二数学3月月考试题02时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．复数iiz ++-=23的共轭复数是 （ ） A ．i +2 B ．i -2 C ．i +-1 D ．i --12．()x f 在0x 处可导,a 为常数,则()()=∆∆--∆+→∆xx a x f x a x f x 000lim（ ）A ．()0'x fB . ()0'2x afC ．()0'x afD ． 03．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲必须站在乙的右边（甲、乙可以不相邻）那么不同的排法共有 （ ） A.24种 B.60种 C.90种 D.120种4．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生， 则不同的选法共有 ( )A ．140种B ． 120种C ． 35种D ． 34种5．函数()1ln 212+++=ax x x x f 在()+∞,0上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞,2 B ．[)+∞-,2 C ．(]2,-∞- D ．()+∞-,26.设R b a ∈,，i 是虚数单位，则“0=ab ”是“复数iba +为纯虚数”的 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件7．⎰-22cos ππxdx x 的值为 （ ）A .0B .πC .2 D. -28．设函数()1-=x ex f ，则该函数曲线在1=x 处的切线与曲线x y =围成的封闭图形的面积是 （ ）A. 61-B. 61C. 31D. 219．用5种不同颜色给图中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为（ ）A.120B.160C. 180D.10. 若不等式72212111mn n n >+++++ 对于大于1的一切正整数n 都成立，则正整数m 的最大值为 （ ）A.43B.42C.41D.4011. 设i 是虚数单位，在复平面上，满足2211=--+++i z i z 的复数z 对应的点Z 的集合是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D. 线段12.一个平面将空间分成两部分，两个平面将空间最多分成四部分，三个平面最多将空间分成八部分，…，由此猜测n (+∈N n )个平面最多将空间分成 （ ） A.n 2部分 B. 2n 部分C. n2部分 D.1653++nn 部分第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省江门市普通高中2017-2018学年下学期高二数学3月
下学期高二数学3月月考试题07一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒D. 8米/秒 2.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）A . 74y x =+B. 72y x =+C. 4y x =-D. 2y x =-3．设函数x xe x f =)(，则（ ）A ．1=x 为)(x f 的极大值点B ．1=x 为)(x f 的极小值点C ．1-=x 为)(x f 的极大值点D ．1-=x 为)(x f 的极小值点 4．下列求导运算正确的是（ ）A. 2/31)3(xx x +=+B ．2ln 1)(log /2x x =C ．e x x 3/log 3)3(=D ．x x x x sin 2)cos (/2-=5. 已知()f x =3x ·sin x ，则(1)f '=（ ）A .31+ cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 6．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）A. 1，－1B. 3，-17C. 1，－17D. 9，－197.已知函数)()(),,()(x f x f x f 为的定义域为'+∞-∞的导函数， 函数)(x f y '=的图象如右图所示，且1)3(,1)2(==-f f ， 则不等式1)6(2>-x f 的解集为（ ） A ．)2,3()3,2(--⋃ B ．)2,2(-C ．)3,2(D ．),2()2,(+∞⋃--∞8.已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点9．()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）10.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，0)()()()(//>+x g x f x g x f ，且0)3(=-g ，则0)()(<x g x f 的解集是（ ）A. (－3，0)∪(3，+∞)B. (－3，0)∪(0，3)C. (－∞，－3)∪(3，+∞)D. (－∞，－3)∪(0，3) 11.已知函数x x x x f 2721)(23--=，则)(2a f -与)4(f 的大小关系为（ ） A ．)4()(2f a f ≤- B ．)4()(2f a f <-C ．)4((2f a f ≥-D )(2a f -与)4(f 的大小关系不确定12.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）A.20092008 B. 20102009 C. 20112010 D. 20122011二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 14.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ .15.函数32()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-， 上的最小值为_____16.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a = .三.解答题：本大题共6小题，共70分.17. (本小题满分10分) 已知曲线 32y x x =+- 在点 0p 处的切线 1l 平行直线ABCD014=--y x ，且点0p 在第三象限.（1）求0p 的坐标；（2）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点0p ,求直线l 的方程. 18.（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f 22131)(23+-=，讨论()f x 的单调性.．19．（本小题满分12分）将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？20.(本小题满分12分)已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --= （1）求导数)(x f '；（2）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； （3）若)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 21.(本小题满分12分)已知函数()ln(1)f x x x =+-．（1）求函数)(x f 的单调递减区间； （2）若1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+． 22．(本小题满分12分)若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2eln (e x x ϕ=为自然对数的底数)． （1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；（2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．答案一、选择题 CDDBB BAADD AD 二.填空题13.2 14.2a > 或1a <- 15. 37- 16. 3 三．解答题17.解： （1）由132'+=x y =4得1=x 或1-=x 又因为点0p 在第三象限，所以1-=x ，所以4-=y所以(-1,-4)0p ……………………………………………………5分 （2）因为1l l ⊥，所以41-=k ,所以l 方程为：)1(41-4+=+x y 化简得417-41-x y =…………………………………………………10分 18.解：2a -)('2+=x x x f ，……………………………………………2分①当08-2≤=∆a 即2222-≤≤a 时x ax x x f 22131)(23+-=在R 内单调递增， ②当08-2>=∆a 即22<a 或22>a 时解0)('=x f 得28--21a a x =，28-22a a x +=…………………8分函数的增区间为），（28---2a a ∞和），（∞++28-2a a …………………10分 减区间为,28--[2a a 28-2a a +]……………………………………12分 19.解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ，∴方盒的体积2(2)((0,)),2aV x a x x =-∈……………………………………4分121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226a a a a aV a x a x V x x x x V =--====∉∈>令则由且对于 (,),'0,62a ax V ∈<……………………………………10分∴函数V 在点x ＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V (a6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a6．…………………12分20.解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f ……………3分⑵由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)(='x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-…………………8分 ⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{480840a a +≥-≥ ∴－2≤a≤2.所以a 的取值范围为[－2,2]. ……………………………………12分解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: 1,212()3a x x x =<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当2x -…或2x …时, )(x f '≥0, 从而12x -…, 22x …,即⎩⎨⎧+≤+-≤+612.61222a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2. ∴a 的取值范围是[2,2]-.21.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）．… 4分 ⑵证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2(1)xx +．……………8分 ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0．∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+．……………………………………12分 22.解(1) ()()()F x h x x ϕ=-= 22eln (0)x x x ->，2e 2(()2x x F x x x x'∴=-=．当x =()0F x '=．当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；当x >()0F x '>，此时函数()F x 递增；∴当x =()F x 取极小值，其极小值为0． …………………………………6分(2)解法一：由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在x =)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为e (y k x -=，即e y kx =+-．由()e R)h x kx x ≥+-∈，可得2e 0x kx --+当R x ∈时恒成立．2(k ∆=- ，∴由0≤∆，得k =．下面证明()e x φ≤-当0>x 时恒成立．令()()e G x x ϕ=-+2eln e x =-+，则2e()G x x '=-=，当x =()0G x '=．当0x <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；当x >()0G x '<，此时函数()G x 递减；∴当x =()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2eln e 0G x x =-+≤，即()e(0)x x φ≤->恒成立．∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线e y =-．……………12分解法二： 由(1)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且仅当x =) ．若存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，令x =e b ≥且e b ≤e b ∴=，即e b =-。
广东省江门市第一中学2017届高三下学期数学3月月考试
江门市第一中学2017届高三下学期数学3月月考试题共150分．考试时间长120分钟． 第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,2 2．在复平面内，复数21ii-对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=．在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-4．设函数()22,0log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）2（B ）1（C ）2-（D ）1-5．一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是（A）16+（B）12+（C）8+D）4+正（主）视图 侧（左）视图俯视图6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）5122-（B ）5022-（C ）5121-（D ）5021-7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 （A）5（B ）2 （C ）115 （D ）3第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9．如图，已知5AD =，8DB =，AO =O 的半径OC 的长为 ．10．已知,x y 满足约束条件24,2400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，则z x y =+的最大值为 ．11．若10x +>，则11x x ++的最小值为 ． 12．在边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是 ． 13．奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是 ．14．对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,,,.x x x max x x x x x ≥⎧=⎨<⎩若()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为 ．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点． （Ⅰ）求证：BC ⊥AM ； （Ⅱ）若N 是AB 上一点，且1AN CMAB CC =，求证： CN //平面AB 1M ； （Ⅲ）若52CM =，求二面角A -MB 1-C 的大小． 17．（本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定； （Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两ABCA 1B 1C 1MN 2 1 2 4 4 3 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲 乙件样品重量之差不超过2克的概率．18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．19.（本小题满分13分）已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈ （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =． 记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =()011n n y a a a T=+++()0,1,2,3,4,5n =，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线． （Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系； （Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．答案第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题二、填空题9． 5 10． 83 11． 112．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ 14．1-三、解答题 15．解：（Ⅰ）由已知，得()11sin 2cos222f x x x =+ ……………………2分 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………………4分 所以 22T ππ==， 即 ()f x 的最小正周期为π； ……………………6分（Ⅱ）因为 82x ππ-≤≤，所以 50244x ππ≤+≤． ……………… 7分 于是，当242x ππ+=时，即8x π=时，()f x ；…… 10分 当5244xππ+=时，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．……………13分16．证明：（Ⅰ）因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，所以 CC 1⊥BC ． ……………………1分 因为 AC =BC =2，AB =所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ，所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………3分因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，所以 BC ⊥AM ． ……………………4分（Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则NP ∥CC 1，且ANP ∆∽1ABB ∆． ……………5分 于是有1NP AN BB AB=．由已知1AN CM AB CC =，有11NP CMBB CC =． 因为 BB 1=CC 1． 所以 NP =CM ．所以 四边形MCNP 是平行四边形． ……………………6分 所以 CN //MP ． ……………………7分 因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………8分 所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………9分（Ⅲ）因为 BC ⊥AC ，且CC 1⊥平面ABC ，所以 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C -xyz ．…………………10分 因为 52CM =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． ……………………11分设平面1AMB 的法向量(,,)x y z =n ，则0AM ⋅=n ，10B M ⋅=n ．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-． ……………………12分 又平面MB 1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA ， 所以 2c o s ,2||||n n >=n CA CA CA ⋅<=． ……………………13分 MP C 1B 1A 1N CBA由图可知二面角A -MB 1-C 为锐角， 所以 二面角A -MB 1-C 的大小为4π． ……………………14分17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲 、X 乙，方差分别为2s 甲 、2s 乙，则1221141131111111071136X +++++==甲， ……………………1分1241101121151081091136X +++++==乙， ……………………2分()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=， ……………………4分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙 ()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=， ……………………6分由于 22s s <甲乙，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分 （Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109 ．………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． ………………11分所以 ()415P A =． ………………13分18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，…………………… 1分则 a =2c =． …………………………………………2分所以 b == …………………………………3分所以 椭圆方程为221106x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分 于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 21222035k x x k +=+， ………………………………………… 9分所以 1221235ky y k+=-+． ……………………………………… 10分 因为 四边形AOBC 为平行四边形，所以 OA OB OC +=， ……………………………………… 11分所以 点C 的坐标为2222012,3535k k kk ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分 所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， ……………………………13分解得21k =，所以1k =±． ………………………………14分19．解：（Ⅰ）()232f x x ax b '=++， ……………………………… 1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩ 解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩……………………3分当411a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+>，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分 当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点．……………5分所以 11b =-．………………………………………………………………6分（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分所以 ()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立…8分 因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分 所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立 …10分 即 ()2max38b x x≥-+. …………………………………………11分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以 当43x =时，()2max 16383x x -+=，………………………………12分 所以 163b ≥， 所以 b 的最小值为163． ………………………………13分 法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立， ……………7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max32b x ax≥--． …………………………………………8分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，………………………………9分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；…………………………10分 当40a -≤<时，()2max33a aF x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．………11分 又 2max 1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以 163b ≥． ………………………………12分综上，b 的最小值为163． ………………………………13分 20．（Ⅰ）解：()001234500a f a a a a a a ==+++++， ………………………………2分()01234501234511a a a a a a f a a a a a a +++++==+++++； ………………………………4分（Ⅱ）解：115n n n n n n y y k a x x T---==-，1,2,3,4,5n =． ………………………………6分因为 012345a a a a a a <<<<<，所以 12345k k k k k <<<<． ………………………………8分（Ⅲ）证：由于()f x 的图象是连接各点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线，要证明()f x x <()01x <<，只需证明()n n f x x <()1,2,3,4n =． …………9分事实上，当()1,n n x x x -∈时，()()()()()1111n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=⋅-+-()()1111n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=+--1111n n n n n n n n x x x x x x x x x x ------<+--x =．下面证明()n n f x x <． 法一：对任何n ()1,2,3,4n =，()()()121255n n a a a n n a a a +++=+-+++⎡⎤⎣⎦………………10分()()()12125n n n a a a n a a a =++++-+++()()125n n n a a a n na ≤++++-……………………………………11分()125n n n a a a n a =++++-⎡⎤⎣⎦()1215n n n a a a a a nT +<++++++= …………………………12分 所以 ()125n n n a a a n f x x T +++=<=．…………………………13分 法二：对任何n ()1,2,3,4n =， 当1n k <时，()()()10211n n n y y y y y y y -=-+-++- ()12155n n n k k k x =+++<=；………………………………………10分 当1n k ≥时，()55n n y y y y =--()()()121541n n n n y y y y y y +++=--+-++-⎡⎤⎣⎦()125115n n k k k ++=-+++ ()115.55n n n x <--== 综上，()n n f x x <． ………………………………………13分。
广东省江门市普通高中2017_2018学年高一数学下学期期中模拟试题05
下学期高一数学期中模拟试题05一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的） 1．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，则下列关系正确的是 （ ） A.222cos C a b c =+-B.222cos C a b c =-+C.222cos 2a b c C ab+-=D.222cos a b c C ab+-=2. 已知α是第二象限的角，且135sin =α，则tan α的值是（ ） A. 1312 B. 1312- C. 125 D. 125-3. 若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 4. ABC Δ中，若C B A sin cos sin 2=⋅，则ABC Δ的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形 5．31)6sin(=+απ，则)3cos(απ-的值为 （ ）A ．12B ．1-C ．1D ． 13-6.已知α为第二象限角，则 （ ） A ．3D ．-17．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(,4Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛-πππ B ．)(8,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππC ．)(8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛+-ππππD ．)(83,8Z k k k ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛++ππππ8．为了得到函数x y sin =的图像，需要把函数)332sin(π+=x y 图像上的所有点（ ）A.横坐标缩短到原来的32倍，再向右平移3π个单位长度B.横坐标伸长到原来的23倍，再向右平移3π个单位长度C. 横坐标缩短到原来的32倍，再向左平移3π个单位长度D. 横坐标伸长到原来的23倍，再向左平移3π个单位长度9. ABC Δ中，若3=AB ，1=AC ，30=∠B ，则ABC Δ的面积为（ ）A.23 B. 43 C. 23或3 D. 23或4310．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，2811a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ ） A ．7S B ．8S C ．13S D ．15S 11. 等差数列{}n a 中，若90121064=+++a a a a ，则141031a a -=（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 6012. 在等差数列}{n a 中，0,01110><a a ，且||1011a a >，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则使0>n S 的n 的最小值为（ ）A. 10B. 11C. 20D. 21 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 若222,b c a bc +=+且4,AC AB ⋅=则ABC ∆的面积等于________．14．若,43x ππ-≤≤则函数cos()cos()44y x x ππ=+-的值域为________．15．一船以每小时15km 的速度向东航行．船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60,︒行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15,︒这时船与灯塔的距离为 km ．16．某学生对函数()2cos f x x x =⋅的性质进行研究，得出如下的结论：①函数()f x 在[],0π-上单调递增，在[]0,π上单调递减； ②点,02π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心；③函数()y f x = 图像关于直线x π=对称；④存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立． 其中正确的结论是 .三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
2017-2018年广东省江门一中高一(下)3月月考数学试卷(解析版)
6． （5 分）袋中有 2 个白球，2 个黑球，从中任意摸出 2 个（每个小球被摸到是等可能的） ， 则至少摸出 1 个黑球的概率是（ A． B． ） C． ） C．191 ） D．201 D．
7． （5 分）1337 与 382 的最大公约数为（ A．3 B．382
8． （5 分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
11． （5 分）某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出 100 名司机， 已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频 率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中 位数大约是（ ）
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A．31.6 岁
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xi＝80，
yi＝20，
xiyi＝184，
（附：对于线性回归方程
＝
x+
，其中
＝
，
＝ ﹣
）
19． （12 分）已知函数 f（x）＝ax+b，x∈（﹣1，1） ，a、b∈R 是常数． （1）若 a 是从﹣2、﹣1、0、1、2 五个数中任取的一个数，b 是从 0、1、2 三个数中任取的 一个数，求函数 y＝f（x）为奇函数的概率． （2）若 a 是从区间[﹣2，2]中任取的一个数，b 是从区间[0，2]中任取的一个数，求函数 y ＝f（x）有零点的概率． 20． （12 分）如图，在四棱锥 S﹣ABCD 中，SA＝AB＝2，SB＝SD＝2 形，且∠ABC＝60°，E 为 CD 的中点． （1）求四棱锥 S﹣ABCD 的体积； （2）证明：CD⊥平面 SAE； （3）侧棱 SB 上是否存在 F，使得 CF∥平面 SAE？并证明你的结论． ，底面 ABCD 是菱
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V)(A V BBCCA 俯视图1图广东省江门市第二中学2017-2018学年高一数学下学期3月月考试题注意事项：1、全卷共三大题，22小题。
满分共150分，测试时间120分钟。
2、答题前，务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。
3、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果改动，用橡皮擦擦干净后，再选择其它答案标号。
4、答非选择题时，用圆珠笔或黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上。
5、所有题目必须在规定的答题卡上作答，在试卷上作答无效。
参考公式：方差公式])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}21|<<-=x x A ，{}31|<<=x x B ，则=B AA ．{}31|<<-x xB ．{}21|<<x xC ．{}11|<<-x xD ．{}32|<<x x 2. 某单位有职工750人，其中，青年职工350人，中年职工300人，为了解单位职工健康情况，现用分层抽样的方法抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本中的中年职工人数为A ．5B ．15C ．6D ．353. 已知不等式n m 3.03.0loglog<，则m 、n 的大小满足A ．0>>n mB ．0<<n mC ．0>>m nD ．0<<m n4. 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张，事件“甲分得黑牌”与事件“乙分得黑牌”是A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件D ．以上都不对 5. 如图1，已知三棱锥ABC V -及其6. 已知α是第三象限角，则2α是A ．第三象限角B ．第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一或第三象限角7. 某校计划用系统抽样方法从高一年级500名学生中抽取25名进行调查。
首先将这500名学生编号，号码为1～500；接着随机抽取一个号码，抽到的是8号，则本次抽样还将抽到的学生号码是A ．25B ．26C ．27D ．288. 我国古代“五行”学说认为：世间万物分属金、木、水、火、土五行，五行相生相克，其中相克关系是：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．据此学说，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，这两种物质不相克的概率是 A ．53 B ．103 C ．52 D ．219. 图2是一个计算2016321++++ 的程序框图，则 框图的判断框内应填写的条件是 A ．2016≤i B ．2016≥i C ．2016<i D ．2015>i10. 右图是某车间2020名工人年龄的平均数为30，则这20名工人年龄的方差是 A ．0.12 B ．2.12 C ．5.12 D ．6.1211. 已知半径为1的扇形面积为316π，则扇形的圆心角为A.316π B.38π C.34π D.32π 12. 甲、乙两人各自独立随机地从区间] 1 , 0 [任取一数，分别记为x 、y ，则122>+y x 的概率=P A ．41 B ．21 C ．4πD ．41π-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13. 以点)2 , 1(C 为圆心，且与直线01534=-+y x 相切的圆的标准方程是______。
14. 将样本容量为100的数据分为[2，6）、[6，10）、 [10，14）、[14，18）、[18，22]五个小组，得到 频率分布直方图如图3所示，则样本数据落在 [2，14）的频率=a ．221111110999********15. “五·一”期间，商业部门对城区4家超市某商品一天的销售量与价格进行随机调查，统计数据如下表．由表中数据算出回归方程a x by ˆˆ+=中的5ˆ-=b ，则=aˆ ．16. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如下图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1, 0.3, 0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；（2分）(2)参加这次测试的学生有多少人；（3分）(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．（5分） 18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x ＋1x，（1）求函数f (x )的定义域；（2分） （2）判断函数f (x )的奇偶性；（4分）（3）证明f (x )在区间(0,1)上是减函数。
（6分）19. （本小题满分12分）（1）判断直线x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0是相切、相离还是相交；（6分）（2）求直线3x ＋4y +3＝0被圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0所截的弦长。
（6分）20．（本小题满分12分）如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；（6分） (2) 证明：CQ ⊥平面ABE . （6分）21．（本小题满分12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：22．（本小题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．(1)求这组数据的平均数M；（4分）(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．（8分）参考答案13、(x －1)2＋(y －2)2＝1 14、0.76 15、8816、121三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分10分）为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如下图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；（2分）(2)参加这次测试的学生有多少人；（3分）(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．（5分）解：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为 1－0.1－0.3－0.4＝0.2. ，……2分(2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， ∴x ＝50.即参加这次测试的学生有50人．，……5分(3)达标人数为50×(0.3＋0.4＋0.2)＝45，达标率为4550＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%. ，……10分 18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x ＋1x，（1）求函数f (x )的定义域；（2分） （2）判断函数f (x )的奇偶性；（4分）（3）证明f (x )在区间(0,1)上是减函数。
（6分） 解：(1) 函数f (x )的定义域为{}0≠x x ，……2分 (2)函数f (x )为奇函数，理由如下：函数f (x )定义域为{}0≠x x ，对于定义域内任意一个x ，……3分 都有)()1(1)(x f xx xx x f -=+-=-+-=-，……5分所以函数f (x )为奇函数。
……6分(3)证明：任取x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2，则……7分f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝x 1－x 2＋1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2.212121)1)((x x x x x x --=……9分∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0, 0,012121><-x x x x ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．……11分∴f (x )在区间(0,1)上是减函数。
……12分19. （本小题满分12分）（1）判断直线x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0是相切、相离还是相交；（6分）（2）求直线3x ＋4y +3＝0被圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0所截的弦长。
（6分）（1）解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，消去y ，并整理可得，x 2－6x ＋9＝0. ……3分Δ＝(－6)2－4×9＝0，……5分 ∴直线与圆相切．……6分 解法2：将已知圆配方得 (x －2)2＋(y ＋1)2＝2，…… 2分∴圆心(2，－1)到直线的距离d ＝|2－1－3|12＋12＝ 2.……5分 ∴d ＝r ＝2，故直线与圆相切．……6分 （2）将已知圆配方得(x －2)2＋(y ＋1)2＝2， ∴圆心(2，－1)到直线的距离d ＝22433)1(423++-⨯+⨯＝1. ……10分∴弦长=212-=2。
……12分20．（本小题满分12分）如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． (1)证明：PQ ∥平面ACD ；（6分）(2) 证明：CQ ⊥平面ABE . （6分） (1)证明：因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ，……3分 又PQ ⊄平面ACD ，DC 平面ACD ， 从而PQ ∥平面ACD . ……6分(2) 证明：因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，所以CQ ⊥AB . ……7分 因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . ……10分 因为AB 、EB 是平面ABE 内的两条相交直线， 故CQ ⊥平面ABE . ……12分21．（本小题满分12分）对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：解：x 甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，……2分x 乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73；……4分s 甲2＝15×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，……7分 s 乙2＝15×(72＋132＋32＋72＋22)＝56. ……10分∵x 甲>x 乙，s 甲2>s 乙2.∴甲的平均成绩高，乙的各门功课发展较平衡．……12分 22．（本小题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．(1)求这组数据的平均数M ；（4分）(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．（8分）解：设90～140分之间的人数为n，由130～140分数段的人数为2，可知0.005×10×n ＝2，得n＝40.(1)平均数M＝95×0.1＋105×0.25＋115×0.45＋125×0.15＋135×0.05＝113. (4)分(2)依题意，第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1，A2，A3，A4；第五组共有2人，记作B1，B2.从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，{B1，B2}．……8分设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自第一组和第五组，共有8种选法：{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A4，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{A4，B2}，……10分故P(A)＝815.……12分。