初二下第10讲 相似形(三)
相似形的性质与判断
相似形的性质与判断相似形是几何学中的一个重要概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的图形。
在几何学中，相似形的性质与判断是一个基本而常见的问题，它对于解决与形状相关的几何问题具有重要的指导意义。
本文将探讨相似形的性质以及如何进行相似形的判断。
一、相似形的性质相似形的性质主要包括比例关系和对应角的相等。
1. 比例关系：如果两个图形的对应边的长度之比相等，并且对应边所成角的相等，则这两个图形是相似的。
具体而言，设三角形ABC与三角形DEF是相似的，可以表示为∆ABC ∽∆DEF。
则有以下比例关系成立：AB/DE = BC/EF = AC/DF也可以表示为a/b = c/d = e/f，其中a、b、c、d、e、f分别表示两个三角形对应边的长度。
2. 对应角的相等：在相似形中，对应角是相等的。
也就是说，两个相似形中的对应角的度数相等。
这一性质对于相似形的判断和证明非常重要。
二、相似形的判断方法相似形的判断方法主要包括“边比例法”和“角相等法”。
1. 边比例法：这是判断两个图形是否相似的常用方法。
相似形的边之比是相等的，因此我们可以通过比较两个图形中对应边的长度之比来判断它们是否相似。
如果对应边的长度之比相等，则可以确定这两个图形是相似的。
当然，判断相似形时还需要注意对应角的相等情况。
2. 角相等法：在相似形中，对应角是相等的。
所以，我们可以通过比较两个图形的对应角是否相等来判断它们是否相似。
如果两个图形中对应角的度数相等，则可以确定这两个图形是相似的。
三、相似形的应用相似形的性质与判断不仅仅是几何学中的一种概念，它还具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量：利用相似形的性质，我们可以通过测量一个图形的一些特定部分来计算其他部分的尺寸。
这对工程测量和设计具有重要的意义。
2. 运动：在运动学中，相似形的性质可以用来描述物体运动的几何特征。
例如，当两个物体运动的轨迹相似时，它们的相对位置和速度关系也是相似的。
初二数学最新课件-相似三角形的识别3[下学期]华师大版2 精品
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例题赏析
例1、在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝
8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24 cm，
A′C′＝30cm．试判定△ABC与△A′B′C′是否相似，
并说明理由。
解：∵
AB
6
1
=
A'B' 18 3
BC 8 1 B 'C ' 24 3
AC 10 1 A 'C ' 30 3
与你的同伴交流，大家的结论一样吗？
A
三边对应成 比例
A’
B
C
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
结论:
B’
C’
△ABC∽△A’B’C’
判定△ABC和△A′B′C′是否相似，
并说明理由 。
AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A’B’＝16cm，B’C’＝20cm，A’C’＝32cm
解：设另一个三角形的另两边的长分别为x、y。
因为这两个三角形相似，所以
①
2 4
xy = 5= 6
②
2 5
=
x 4
=
y 6
③
2 6
=
x 5
=
y 4
得 x = 2.5 y =3 得 x = 1.8 y =2.4 得 x ≈ 1.7 y ≈1.3
如图,已知BD、CE为⊿ ABC的高， 试说明⊿ADE与⊿ ABC是否相似？
§ 18.3 相似三角形的识别（三）
信息反馈
前面，我们已经学习了一些识别两个 三角形相似的方法，你知道有哪些吗？
方法1：利用定义：
北师大版学八年级下学期相似三角形教学课件
小结 拓展
你知道了吗？
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似 三角形(similar trianglec).
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！ 性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
∠C=∠E
P117
2. 已知等腰直角△ ABC与△A’ B ‘C ‘ 相似, 相似比为3∶1,
斜边AB=5cm.
（1）求△ A’B‘C’, 的斜边A’B ‘的长 ；
C
（2）求斜边AB上的高和 A’B’ 上的高 .
C’
A’ D’ B’ A
D
B
1 A 'B ' 5 c;m2 C 'D ' 5 (c)m C , 5 D (c)m
B
x A 22
20
D
33
C
3a
30 (1)
E
48
A
45°
C
n° 10
F 2a 55°y
80°B
45°
m° E
(2) D
则x=
，y=
，m=
，n= 。
动动手，练一练
1 如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中 一边的长是20m。在这个草坪的图纸上， 这条边长5cm,其它两边的长都是3.5cm。 求该草坪其它两边的实际长度。
AB AC BC DE DF EF
作业：习题4.6 1,2题.
祝你成功！
谢谢合作！
相似形的概念与判定
相似形的概念与判定相似形（similar figure）是几何学中的重要概念之一。
在平面几何中，当两个或多个图形具有相同的形状，但可能不同的大小时，我们称它们为相似形。
相似形是一种比例关系的体现，它们具有相同的形状，但是可以通过缩放（放大或缩小）来得到不同的大小。
在本文中，我们将探讨相似形的概念以及判定相似形的方法。
相似形的定义是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能具有不同的大小。
我们可以通过以下两个条件来定义相似形：1. 对应边比例相等：当两个图形相似时，它们的对应边的比例是相等的。
比如，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
2. 对应角相等：相似形还要求对应角相等。
也就是说，两个相似形的对应角度是相等的。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
在判定相似形时，我们可以使用以下几种方法：1. SSS 相似判定法：SSS 相似判定法是指当两个三角形的三边成比例时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的所有边长比例都相等，那么它们就是相似的。
2. SAS 相似判定法：SAS 相似判定法是指当两个三角形的某两边成比例，且包含这两边的夹角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两条边比例相等，并且它们之间的夹角相等，那么它们是相似的。
3. AA 相似判定法：AA 相似判定法是指当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。
通过上述三种相似判定法，我们可以方便地判断两个三角形是否相似。
除了三角形，其他几何图形如矩形、圆等也可以使用相似判定法进行判断。
相似形的概念在几何学和实际生活中都具有重要意义。
在几何学中，我们可以利用相似形的性质解决各种问题，比如计算长度、面积、体积等。
在实际生活中，相似形的概念也被广泛应用于建筑、城市规划、地图制作等领域。
通过相似形的变换，我们可以在不改变物体形状的基础上进行缩放和放大，从而满足实际需求。
初二数学几何相似三角形的判定与性质
初二数学几何相似三角形的判定与性质在初二数学的几何学习中，相似三角形是一个重要且有趣的部分。
相似三角形的知识不仅在数学领域有着广泛的应用，对于我们理解和解决现实生活中的许多问题也非常有帮助。
首先，我们来了解一下什么是相似三角形。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
简单来说，如果两个三角形的形状相同，但大小可能不同，那么它们就是相似三角形。
那么，如何判定两个三角形是否相似呢？这就需要我们掌握一些重要的判定方法。
第一种判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
比如说，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果角 A 等于角 A'，角 B 等于角 B'，那么这两个三角形就是相似的。
这是因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等，所以这两个三角形的形状就相同了。
第二种判定方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与A'C'的比值，并且角 A 等于角 A'，那么这两个三角形就是相似的。
第三种判定方法是“三边成比例的两个三角形相似”。
例如三角形ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形 A'B'C'的三条边分别为 a'、b'、c'，如果 a/a' ＝ b/b' ＝ c/c'，那么这两个三角形相似。
了解了相似三角形的判定方法，接下来我们看看相似三角形有哪些重要的性质。
相似三角形的对应边成比例。
这是相似三角形最基本的性质之一。
也就是说，如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C'。
八年级数学下册《相似三角形》课件
回顾与反思
A1 AB
F
C F1
各对应角相等、各对应边 E D 成比例的两个多边形叫做相似多边形
；E1
B1 C1
D1
记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应 的位置.
( 如：六边形∽六边形A1B1C1D1E1F1)
相似多边形对应边的比叫做相似比.(相似比与叙述的 顺序有关).
(2)若＝4，＝5，＝2 ，
求这两个相似三角形的相似比及的长；
解: ∵ △∽△
A
∴ k4:2=2
E D1
5 : = 2:1 ∴ = 2.5
B
C
(3)若∠B＝60°，求∠的度数。
解: ∵ △∽△
∴∠∠60°
∴ ∠ =180°- 60°= 120°
【例2】、如图，
有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长 是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5， 其他两边的长度都是3.5。求该草坪其他两边的 实际长度。
解: ∵ 20m = 2000 ㎝
5cm
草坪的实际形状和它在图纸上相 应的形状相似. 所以实际的三角形与3.5cm 3.5cm
图上的三角形相似.
∴它们的相似比为 2000 : 5 = 400 : 1.
即 它们的相似比为 2000 : 5 = 400 : 1.
5cm
3.5cm
3.5cm
如果设其它两边的实际长度都是
A
D
DE DF EF
B
CF
E
1.由 AB
DE
BC 得 3
EF DE
4 6
. DE 3 6 9 cm;
42
初二下第10讲-相似形(三)
第十讲 相似形（三）一、 知识梳理1、将实际问题抽象成几何图形，利用三角形相似，对应边成比例来求出不易测得的高度和宽度，你学习的测量旗杆的方法有① ；② ；③ ；2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 。
3、相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 。
4、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ，这时相似比又称为 。
5、位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 。
二、重难点高效突破例1如图所示，路边有两根相距4m 的电线杆AB ，CD ，分别在高为3m 的A 处和6m 的C 处用铁丝将两电线杆固定，（1）求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 离地面的高度NH 。
（2）若将BD=4米改为BD=a 米, 求高度NH ；（3）综合（1）（2）你有什么结论跟踪训练1、某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8m ，旗杆的影子长7m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为（ ）A ．8mB ．10mC ．12mD ．14m2、为了测量一棵大树的高度，准备如下测量工具：①镜子，②皮尺，③长为2米的标杆，④高为1.5米的测角仪。
请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具序号填写）_____________； （2）画出测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中哪些数据，并用a 、b 、c 、α、β等字母表示测得的数据_____________；（4）写出求树高的算式：AB=____________。
3、两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之和为78，则较大三角形的面积为（ ）A ．54B ．46.8C ．42D ．524、如果两个相似三角形的最大边上的中线分别是5厘米和2厘米，它们的周长差是60厘米，那么这两个三角形的周长分别为______________.5.（2009·济宁中考）如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ．22cmB ．24cmC ．28cmD ．216cm三、相似三角形的题型及证题技巧1平行截割法M EA CB D F H例1、（1）如图，已知直线XY 分别交△ABC 的AB 、AC 于F 、E ，交BC 延长线于D ， 求证：1AECE·CD BD ·=FB AF（2）、如图，过△ABC 的顶点C 任作一直线与边AB 及中线AD 分别交于F 、E 。
最新-八年级数学下册 10-3相似图形 课件 苏科版 精品
(3)
(4)
活动三
小组合作操作
各角对应相等、各边对应成比例的 两个三角形叫做相似三角形.
如图，A A', B B', C C';
AB BC CA k, A' B' B'C' C' A'
则△ABC与△A'B'C'相似,记作
△ABC∽△A'B'C' ,其中k叫做它们的相似比.
A
对应顶点的字母写
∴∠EDF=∠ A ，∠ DEF= ∠B， ∠ DFE= ∠ C.
∴ △DEF ∽ △ABC
：如图，△ABC ∽△A' B' C' ，求∠α的大
小和A' C'的长.
解：∵ △ABC ∽△A' B' C' ∴∠α= ∠A=60°；（对应角相等）
A
60°
10
8
AB AC
B
C
，（对应边成比例）
A' B' A'C'
在对应的位置上
B
C
B'
A' C'
下面每组都有两个三角形相似,请
把它们表示出来,并说出它们的相
似比.
①
②
D
A'
A
A
2
4
1.5
3
2
Hale Waihona Puke CB C'
B
C
B'
F
E
1.5
△ABC∽ △ A'B'C'
△ABC∽ △DEF
△ABC与 △ A'B'C' 的相似
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第十讲 相似形（三）一、 知识梳理1、将实际问题抽象成几何图形，利用三角形相似，对应边成比例来求出不易测得的高度和宽度，你学习的测量旗杆的方法有① ；② ；③ ；2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 。
3、相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 。
4、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ，这时相似比又称为 。
5、位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 。
二、重难点高效突破例1如图所示，路边有两根相距4m 的电线杆AB ，CD ，分别在高为3m 的A 处和6m 的C 处用铁丝将两电线杆固定，（1）求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 离地面的高度NH 。
（2）若将BD=4米改为BD=a 米, 求高度NH ；（3）综合（1）（2）你有什么结论跟踪训练1、某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8m ，旗杆的影子长7m ，已知他的身高为1.6m ，则旗杆的高度为（ ）A ．8mB ．10mC ．12mD ．14m2、为了测量一棵大树的高度，准备如下测量工具：①镜子，②皮尺，③长为2米的标杆，④高为1.5米的测角仪。
请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具序号填写）_____________； （2）画出测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中哪些数据，并用a 、b 、c 、α、β等字母表示测得的数据_____________；（4）写出求树高的算式：AB=____________。
3、两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之和为78，则较大三角形的面积为（ ）A ．54B ．46.8C ．42D ．52 4、如果两个相似三角形的最大边上的中线分别是5厘米和2厘米，它们的周长差是60厘米，那么这两个三角形的周长分别为______________.5.（2009·济宁中考）如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A ．22cmB ．24cmC ．28cmD ．216cmMEA CB D F H三、相似三角形的题型及证题技巧1平行截割法例1、（1）如图，已知直线XY 分别交△ABC 的AB 、AC 于F 、E ，交BC 延长线于D ， 求证：1AECE·CD BD ·=FB AF（2）、如图，过△ABC 的顶点C 任作一直线与边AB 及中线AD 分别交于F 、E 。
求证：FBAFED AE 2= 跟踪训练1、如图，已知AE ∥BC ，BD=DC 求证：PD ：PE=QD ：QE2、已知，如图，E 为△ABC 的边AC 的中点，过E 作FD 交AB 于D ，交BC 的延长线于F ，求证：AD ·BF=BD ·CFF AEBDXYCE DA BCFQDAPE CB E A BCFD2、用比例证明线段相等例2、如图，已知A 、C 、B 、D 是∠O 两边上的点，且CDABOC OA ， 延长AB 、CD 交于E 。
求证：BE=DE 跟踪训练1、如图，P 是△ABC 的BC 边三中线AD 上一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：BE=CF2、如图，已知△ABC 中，D 是BC 上一点，且BD ：DC=1：2，DE ∥AB 交AC 于E ，DF ∥AC 交AB 于F ，EF 的延长线交CB 的延长线于G 。
求证：EF=FG3、等线段代换法例3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°边AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，BG ⊥AB 交EF 于的G 。
求证：CF 是EF 与FG 的比例中项。
A BCD PE FF ABCGE DB DOEA CF EA CB G跟踪训练1、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 中点，BE ⊥AC 且交AC 与F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G ，求证：AG ²=AF ·FC2、如图，在正方形ABCD 中，F 是BC 上一点，EA ⊥AF 交CD 延长线于点E ，连接EF 交AD 于G 。
（1）求证：△ABF ≌△ADE（2）求证：BF ·FC=DG ·EC4、等比代换法，（即“中间比”转换法）例4、如图，正方形ABCD 中，BH=BQ ，BP ⊥HC 。
求证：DP ⊥PQ跟踪训练1、如图，已知△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，E 为AC 中点，延长ED 交AB 的延长线于F 。
求证：（2）AB ·AF=AC ·DFBD G A CE FDQ B A CH P CB EA F DC BF ED A G2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，M 是CD上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 、AC 的延长线交于E 。
求证：（1）△AED ∽△CBM ； （2）AE ·CM=AC ·CD5、利用相似三角形的性质解决三角形中内接正方形问题 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3.（1）如图1，正方形DEFG 为△ABC 的内接正方形，求正方形的边长。
（2）如图2，正方形DKHG,EKHF 组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长。
（3）如图3，三个正方形组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长。
（4）如图4，n 个正方形组成的矩形内接于△ABC ，求正方形边长。
（5）如图5，将3个正方形PQDS 、正方形DEFG 、正方形HENM 放置于Rt △ABC 内，其中点P 、 G 在边AC 上，点F 、M 在边BC 上，Q 、D 、E 、N 在边AB 上。
① 图中共有______对相似三角形； ② 证明：△PSG ≌△FHM ；③ 设正方形PQDS 、正方形DEFG 、正方形HENM 的面积分别为321S S 、、S 。
求1S ：2S ：3SE D 图1C AB GFE D SQ M 图5C AB GFPHN D 图2C AB GFE HK 图3CAB图4C ABB K HC A E DM6、动态中的相似题型（2009奉化保送题改编）等腰三角形ABC ，AB=AC=8，∠BAC=120°，P 为BC 的中点，小惠拿着含30°的透明三角板，使30°角的顶点落在点P 处，三角板绕点P 旋转。
（1）如图1-1，三角板的两边分别与AB 、AC 交于E 、F 时，求证：△BP E ～△CFP. （2）当三角板绕点P 旋转，使三角形的两边分别交于BA 的延长线及边AC 于E 、F 点，△BPE 与△CFP 还相似吗？（3）连接EF ，△BPE 与△PEF 相似吗？请说明理由。
（4）设EF=m ，△PEF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S 。
跟踪训练如图，在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，AB=12厘米，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒．（1）求边BC 的长； （2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分? （3）连接PQ ，设△PBQ 的面积为y, 探求y与t 的函数关系式，求当t 为何值时，y 有最大值? 最大值是多少？3 1-1图321FE P C B A C D ABQP望子成龙学校家庭作业校区_____ 科目_____ 第____次课 姓名________ 作业等级_____1、如图，四边形ABCD ∽四边形A ’B ’C ’D ’，则x=_____, y=_____, ∠C ’=_____.2、如下左图，已知三个边长为2、3、5的正方形按图排列，则图中阴影部分的面积为________.3、某班在布置“五、一”联欢会场时需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如下右图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30cm ，AB=50cm.依次裁下宽为1cm 的矩形纸条，若裁得的矩形纸条的长度都不小于5cm,则每张直角三角形彩纸裁成的矩形彩条的总条数是（ ）A 24条B 25条C 26条D 27条4、如图，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE 。
求证：△ABE ∽△ACD5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F 。
求证：BP ²=PE ·PF6、如图在边长为2的等边△ABC 中，AD ⊥BC ，点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF ∥AC 交线段BD 与点F ，作PG ⊥AB ，交线段ＡD 于点Ｅ，交线段ＣＤ于点Ｇ。
设BP=x ， （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系，并说明理由；②用x 的代数式表示线段DG 的长，并写出自变量x 的取值范围；（2）记△DEF 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
ADC B E G B CD F 5 3 2E C AB P A CB E DF y 77° 83° 6117° 4 7 18 xD A B C D'A'B'C'C ED A BPGF。