陕西省西安市铁一中学2016_2017学年高一数学下学期期中试题理(含解析)

2016-2017学年陕西省西安市铁一中学高一（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．已知集合{}1|3M x x -=<<，{}223|0N x x x =+-<，则集合MN 等于（ ）．A ．{}1|3x x -<<B ．{}3|1x x -<<C ．{}1|1x x -<<D ．{}3|3x x -<<【解答】解：∵集合{}1|3M x x -=<<，{}{}223031||N x x x x x =+-<<-=<，∴集合{}11|MN x x -=<<．故选：C ．2．如图所示，在三棱台A B C ABC '''-中，沿A BC '截去三棱锥A ABC '-，则剩余的部分是（ ）．CAA'B'C'A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体 【解答】解：如图所示，三棱台A B C ABC '''-中，沿A BC '截去三棱锥A ABC '-， 剩余部分是四棱锥A BCC B '''-． 故选：B ．A'B'C'C3．在ABC △中，π3A =，ab C =（ ）． A ．π4 B ．π2 C ．7π12 D ．5π12【解答】解：由60A =︒，a b 则A B >． 由正弦定理sin sin a bA B=，，得：sin B = ∵A B >， ∴π4B =． 则ππ5ππ4312C =--=， 故选：D ．4．在等比数列{}n a 中，116a =-，48a =，则7a =（ ）．A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±【解答】解：由等比数列的性质可得，2174a a a =⋅，247164416a a a ===--，故选：A ．5．（4分）若a ，b ，c 为实数，则下列命题错误的是（ ）．A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<，0c d >>，则ac bd <【解答】解：对于A ：若22ac bc >，则a b >，故正确，对于B ：根据不等式的性质，若0a b <<，则22a b >，故B 错误， 对于C ：若0a b >>，则a bab ab>，即11b a >，故正确， 对于D ：若0a b <<，0c d >>，则ac bd <，故正确． 故选：B ．6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（ ）A．12+B．1+C．1 D．2【解答】解：把直观图还原出原平面图形，如图所示: ∴这个平面图形是直角梯形， 它的面积为:1(1122S =⨯+⨯2=故选：D ．7．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）．A ．12B ．11C ．10D ．9【解答】解：111(1)1n a n n n n ==-++，*()n ∈N ，前n 项的和11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1011n S =时解得10n =， 故选C ．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．2111正视图侧视图俯视图A ．1B ．32 C ．12 D ．34【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积13(12)122S =⨯+⨯=，高1h =，故棱锥的体积1132V Sh ==，故选：C ．9．函数1()2(0,1)x f x a a a -=>≠-的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数1mx y n-=的图象上，其中0m >，0n >，则12m n +的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D．3+【解答】解：1()2x f x a --=恒经过点(1,1)A -， ∴1m n -=-，即1m n +=．∴1222233m n m n n mm n m n m n+++=+=+++≥2n m m n =时取等号）． 故选D ．10．在ABC △中，若cos 1cos 2A bB a ==，c =ABC △的面积等于（ ）．A ．1B ．2CD ．4【解答】解：解：∵cos cos A b B a =，由正弦定理可得：cos sin cos sin A BB A=， 即sin cos sin cos A A B B =，可得sin 2sin 2A B =，解得22A B =或22πA B +=， 即A B =或π2C =． 又∵12b a =，∴π2C =， 在Rt ABC △中，由22220a b c +==，12b a =， 解得：4a =，2b =，则ABC △的面积等于142ab =．故选：D ．11．公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：设数列的公差为d 则： 13513a d +=①，∵1a 、2a 、5a 成等比数列， ∴2111()(4)a d a a d +=+②， ①②联立求得2d =， 故选B ．12．定义算式⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．11a -<<B ．02a <<C ．3122a -<<D ．1322a -<<【解答】解：∵(1)x y x y ⊗=-，∴若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 都成立， 则()(1)10x a x a -⋅---<恒成立， 即2210x x a a --++-<恒成立，则2214(1)4430a a a a ∆=+-=--<-恒成立，解得1322a -<<，故选D ．二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）函数()f x =的定义域是__________．（用区间表示） 【答案】(1,2] 【解答】解：由1101x --≥，得1101x x -+-≥，即201x x --≤，解得12x <≤．∴函数()f x 的定义域是(1,2]． 故答案为：(1,2]．14．（4分）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为__________． 【答案】3q =【解答】解：∵5423a S =+，6523a S =+， 若1q =，则111183103a a a a =+⎧⎨=+⎩，不符合题意，若1q ≠，∴44115511(1)231(1)231a q a q q a q a q q ⎧-=⨯+⎪-⎪⎨-⎪=⨯+⎪-⎩， 两式相减整理可得，44112(1)(1)1a a q q q q q-=--， ∴211q-=-， ∴3q =， 故答案为：3．法二：∵5423a S =+，6523a S =+， 两式相减可得，655452()2a a s s a --==， 即653a a =，∴3q =， 故答案为：3．15．如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得15BCD ∠=︒，30BDC ∠=︒，30m CD =，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60︒，塔高AB 为__________．DABC【答案】【解答】解：在BCD △中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒， 由正弦定理，得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以30sin30sin135BC ︒==︒．在Rt ABC △中，tan AB BC ACB =⋅∠=︒=． 所以塔高AB为．ABC16．（4分）已知向量(1,2)a x =-，(4,)b y =，若a b ⊥，则93x y +的最小值为__________． 【答案】6【解答】解：由已知0(1,2)(4,)022a b a b x y x y ⇒⋅=⇒-⋅=⇒+=⊥，则293336x y x y +=+≥， 当且仅当233x y =，即12x =，1y =时取得等号． 故答案为：6．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共5小题，共56分） 17．（10分）已知a ∈R ，解关于x 的不等式2()220x a x a +-+≥． 【解答】解：不等式2()220x a x a +-+≥． 因式分解：(2)()0x x a --≥，由方程：(2)()0x x a --=，可得12x =，2x a =． 当2a =时，得2(20)x -≥，不等式的解集为R ．当2a >时，得12x x <，不等式的解集为{2|x x ≤或}x a ≥． 当2a <时，得12x x >，不等式的解集为{|x x a ≤或2}x ≥．18．（10分）如图，圆内接四边形ABCD 中，22AD DC BC ===，3AB =． （1）求角A 和BD ．（2）求四边形ABCD 的面积．【解答】解：（1）分别在ABD △与BCD △中，由余弦定理可得：22223223c o s B D B A D =+⨯⨯⨯∠-，22221221cos BD BCD =+⨯⨯⨯∠-，又cos cos(π)cos BAD BCD BCD ∠=-∠=-∠．∴1cos 2BAD ∠=． ∴π3BAD ∠=． 21131272BD =-⨯=，解得BD（2）四边形ABCD 的面积1π12π23sin 21sin 2323ABD BCD S S S =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=△△19．（12分）已知a b c >>且21ma b b c a c+---≥恒成立，求实数m 的最大值． 【解答】解：法一：由题意，a b c >>，0a b p -=>，0b c q -=>，则0a c p q -=+>，那么不等式转化为21m p q q p++≥， 21m p q q p ++≥不等式转化为2q p m qp q p++≥， 可得：2223q pq p m pq++≥，即2333q p p q ++++≥p =时取等号）∴实数m 的最大值为3+法二：由题意，0a b ->，0b c ->，0a c ->， ∴21m a b b c a c +---≥转化为：2()a c a cm a b b c--+--≥．可得：2()a b b c a b b cm a b b c-+--+-+--≥．分离：2()213b c a ba b b c--++++--≥（当且仅当())a b b c --时取等号）∴实数m 的最大值为3+20．（12分）已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6． （1）求正四棱台的表面积． （2）求正四棱台的体积． 【解答】解：如图，FH G EC 1D 1A 1B 1D ABC1111ABCD A B C D -为正四棱台，4AB =，1110A B =，16AA =．在等腰梯形11A B BA 中，过A 作11AE A B ⊥，可得110432A E -==，求得AE 连接AC ，11A C，可得AC =，11AC = 过A 作11AG AC ⊥，可得1AG=∴AG = （1）正四棱台的表面积2214104(410)1162S =++⨯+⨯=+（2）111111003ABCD A B C D V -=⨯+=21．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为221n S n =-，数列{}n b 的前n 项和为22n n Q b =-． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为221n S n =-，∴2n ≥时，221212(1)142n n n a S S n n n -⎡⎤==--=⎣⎦----．1n =时，111a S ==．∴1,142,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥．数列{}n b 的前n 项和为22n n Q b =-．2n ≥时，1122n n Q b --=-，可得122n n n b b b --=，化为：12n n b b -=． 1n =时，11122b Q b ==-，解得12b =．- 11 - ∴数列{}n b 是等比数列，首项与公比都为2．∴2n n b =．（2）nn na cb =，1n =时，112c =，2n ≥时，1422122n n n n n c ---==． ∴1n =时，1112T c ==．2n ≥时，21135212222n n n T --=++++．223111352321222222n n n n n T ---=+++++．∴2231111421711121721222422224212n n n n n n n T --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭--⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭-．∴1112322n n n T -+=-．。