三角形的必备知识和典型例题及详解
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三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备：
1．直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝
c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b
a
。 2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
R C
c B b A a 2sin sin sin === （R 为外接圆半径） 公式的变形:______________________ ______________ _________________ （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：
（1）∆S ＝
21ah a ＝21bh b ＝21
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2
1
ac sin B ；
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+； （2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
6．求解三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；
（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解； （4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。 二、典例解析 题型1：正、余弦定理
例1．（1）已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆ （2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===
∆
解：（1）解：∵213
60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b
00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，
∴222=+=
c b a
（2）2
3
245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=a
A
c C C c A a
0012060,sin 或=∴< 1360 sin 75sin 6sin sin ,75600 +=====∴C B c b B C 时，当， 1360sin 15sin 6sin sin ,151200 -=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形； 题型2：三角形面积 例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=2 2 ，AC =2，3=AB ，求A ta n 的值和∆ABC 的面积。 解法一：先解三角方程，求出角A 的值。 . 2 1 )45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴= -=+ A A A A