第一课时 用一元二次方程解决传播问题、增长率问题
一元二次方程的实际运用(传播,变化率,单双循环,面积)
一元二次方程的实际运用一、本讲内容的教材地位一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。
其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型二、教学目标知识与技能：学会利用一元二次方程的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型。
过程与方法：经历由实际问题转化为一元二次方程的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
情感、态度与价值观：通过合作交流进一步感知方程的应用价值，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
同时让学生在学习活动中培养合作精神和克服困难的勇气，从而使学生获得成功的体验，建立自信心。
三、重点：培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
难点：将同类题对比探究，培养学习分析、鉴别的能力。
四、课时2小时五、教学环节安排（一）复习旧知，导入新课（二）师生合作，探究新知（三）自编自创，提升自我（四）课堂练习，巩固新知（五）归纳总结，知识升华（六）作业设计，延伸拓展六、教学过程（一）、复习旧知，导入新课俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能帮助学生复习旧知识，并起到激发兴趣的作用。
因此我们用学生已学的知识提出问题：列方程解应用题的一般步骤有几步？哪几步？（二）、师生合作，探究新知1、传播问题传播问题虽学生常见，但数量关系较为抽象，所以从谚语入手，让学生有感性认识：“一传十、十传百、百传千千万”在此基础上以学案为载体出示一下问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设计意图：让学生计算三轮后患流感的人数，使学生认识到传染病的危害性。
体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
问题：1、开始有一人患了流感，第一轮设他传染了x人，则第一轮后，共有个人患了流感。
九年级数学一元二次方程――握手问题传染病问题,增长率问题练习...
九年级数学一元二次方程――握手问题传染病问题,增长率问题练习...九年级数学一元二次方程――握手问题、传染病问题,增长率问题练习...第一部分：一元二次方程的应用（竞争和握手问题）师生共用讲学稿(5-13班)年级：9年级科目：数学写作：丁翠颖复习：9年级备课小组内容：单变量二次方程式（竞赛综合）课程类型的应用：新教学时间：2022年9月22日学习目标：1．继续探索实际问题中的数量关系，列一元二次方程解应用题的步骤.2.进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。
学习重点：学会用列方程的方法解决有比赛、握手、及其它问题学习困难：结合竞争和握手定律，灵活运用一元二次方程的应用题课前准备你们组有学生。
如果组长想握手一次，那么他应该和其他人握手。
如果小组中的每个人都想和其他人握手一次，那么每个人总共握手几次。
一．探究活动：（一）独立思考，解决问题例1.参加一次联欢会的每两人都握了一次手，所有人共握了10次，有多少人参加联欢会？分析：设一共有＿＿＿＿＿人参加联欢会。
每个人都应该和别人握手。
列方程得______________________________________通过解方程：答：___________________________。
实践1.应组织排球邀请赛。
每两队应该有一场比赛。
根据场地、时间等情况，赛程安排为7天，每天4场。
竞赛组织者应邀请多少队参赛？变式1：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？2.参加足球联赛的每两支球队有两场比赛，总共90场。
有多少队参加比赛？(二)师生探究合作交流＊1. 如何用40米长的绳子形成面积为75米的矩形？你能形成一个面积为1012米的矩形吗？如果可能，解释封闭方法；如果没有，请说明确切原因。
（可选）2．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：h?vt?212gt，其22.H为上升高度，V为初速度，G为重力加速度（为方便起见，本课题中G取10m/s），t是抛出后所经历的时间，如果将一物体以v?25m/s的初速度向上抛，物体何时离抛出点20m高的地方？三、学习经历：1．在本节课中，你能说出比赛问题中比赛一场与比赛两场之间的区别了吗？这和握手问题一样吗？2.你对其他一元二次方程的应用有何看法？一元二次方程的应用（比赛综合）小测班别姓名学号聚会上每两个人握手一次。
一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程增长率问题公式
一元二次方程平均增长率问题公式：a(1+x)n=b。
(a为起始量，b 为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）
平均增长率中的数量关系：若增长的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1+x)；第二次增长是以a(1+x)为基数的，增长率也为x，故第二次增长后的数量为a(1+x)2。
同样的道理，平均降低率中的数量关系：若降低的基数为a，平均降低率为x，则第一次降低后的数量为a(1-x)；第二次降低是以a(1-x)为基数的，降低率也为x，故第二次降低后的数量为a(1-x) 2。
在解决增长（降低）率的问题时，常用的方法技巧是：
通常是利用公式建立方程。
平均增长率公式：a(1+x)n=b。
(a为起始量，b为终止量，n为增长的次数，x为平均增长率）；平均降低率公式：a(1-x) n =b。
(a为起始量，b为终止量，n为降低的次数，x为平均降低率）。
解析：本题中考察的是增长率的问题，（1）中设这两年该校植树
棵数的年平均增长率为x，根据第一年及第三年的植树棵数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论。
列出的方程为500（1+x）=720，得：x=0.2=20%，x=﹣2.2（不合题意，舍去）；（2）中根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×（1+增长率），即可求出结论。
720×（1+20%）=864（棵）。
严格套用增长率的公式求解即可，但是一定要明确n是多少，也就是一定要确定好年份之间的关系。
解题的关键和所有的方程解应用题是相同的：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算。
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播类问题知识要点基础练知识点1传播类问题1.有一个人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人,则下列方程正确的是(C)A.1+x2=100B.x2=100C.(1+x)+x(1+x)=100D.(1+x)+(1+x)2=1002.今年冬天病毒性流感严重,巢湖一中的学生在一天中一个学生就能传染x个学生同时患上流感.若先有2人同时患上流感,2天后就有128个学生患上流感,则x的值为(C) A.11 B.6C.7D.8【变式拓展】有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,按此传染速度若最初有4人患了流感,则第一轮传染后患上流感的总人数是44人.3.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n=10.知识点2握手问题4.合肥市第十五中学的同学毕业聚会时,每两个同学都握手一次,全班共握手36次,则参加这次同学聚会的有(C) A.7人 B.8人C.9人D.10人5.(天津中考)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据时间和场地等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的解析式为(B)A.x(x+1)=28B.x(x-1)=28C.x(x+1)=28D.x(x-1)=28知识点3数字问题6.两个连续奇数的积是195,则这两个连续奇数的和是(C)A.28B.24C.±28D.±247.两数之差为3,这两数的平方和为117,求这两数的积.解:根据题意列方程得x2+(x+3)2=117,解得x1=6,x2=-9.当x=6时,x+3=9;当x=-9时,x+3=-6.因此这两数的积为6×9=54,(-6)×(-9)=54.所以这两个数的积是54.综合能力提升练8.某班同学毕业时都向全班其他同学各送一张自己的照片表示留念,全班共送2070张照片.如果全班共有x名同学,根据题意,列出方程为(A)A.x(x-1)=2070B.x(x-1)=2070×2C.x(x+1)=2070D.2x(x+1)=20709.一个小组有若干人,新年互相打一个电话祝福,已知全组共打电话36次,则这个小组共有人数为(B) A.12 B.9C.16D.1810.鸡瘟是一种传播速度很强的传染病,一轮传染为一天时间,红发养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同,则每只病鸡传染健康鸡的只数为(C) A.10 B.11C.12D.1311.新年当天,安徽屯溪中学的小明收到了一条祝福的短信,他准备发送给其他同学,每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信,此时收到这条短信的人共有157人,则小明发送短信的个数为(C) A.10 B.11C.12D.1312.某种植物的主干长出a个支干,每个支干又长出同样数量的小分支,则主干、支干和小分支的总数为1+a+a2.13.小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数,任意两数相乘后,再求和,得194,则这三个日期分别是2,9,16.14.中新网4月26日电,据法新社26日最新消息,墨西哥卫生部长称,可能已有81人死于猪流感(又称甲型H1N1流感).若有一人患某种流感,经过两轮传染后共有81人患流感,则每轮传染中平均一人传染了8人,若不加以控制,以这样的速度传播下去,经三轮传播,将有729人被传染.15.在一次象棋比赛中,实行单循环制(即每位选手都与其他选手比赛一局),每局赢者记2分,输者记0分,如果平局,两位选手各记1分.比赛结束后,统计比赛中全部选手的得分总和为90分,请求出这次比赛中共有多少名选手参加.解:设这次比赛中共有x名选手参加.则2×x(x-1)=90,解得x=10或x=-9(舍去),答:共有10名选手参加.16.太湖中学机房有150台学生电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,这种电脑病毒传播速度非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有49台电脑被感染.那么每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?解:设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得1+x+(1+x)x=49,整理得(1+x)2=49,则x+1=7或x+1=-7,解得x1=6,x2=-8(舍去).答:每轮感染中平均一台电脑会感染6台电脑.拓展探究突破练17.(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L,第一次倒出若干升后,用水加满;第二次又倒出同样体积的溶液,这时容器里只剩下纯药液10 L,则每次倒出的液体是20 L.18.某市计划举办青少年足球比赛,赛制采取双循环形式(即每两队之间都要打两场比赛),一共组织30场比赛.计分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.(1)该市举办方应该邀请多少支球队参赛?(2)此次比赛结束后,如果其中一支参赛球队共平了4场,负了2场,则该球队此次比赛的总积分是多少?解:(1)设该市举办方应邀请x支球队参赛,依题意得x(x-1)=30,解方程得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去).答:该市举办方应邀请6支球队参赛.(2)(10-4-2)×3+4×1+2×0=16.答:该球队的总积分为16分.第2课时用一元二次方程解决增降类问题知识要点基础练知识点1变化类问题1.(六盘水中考)2016年某市仅教育费附加就投入7200万元,用于发展本市的教育,预计到2018年投入将达到9800万元,若每年增长率都为x,根据题意列方程为(B)A.7200(1+x)=9800B.7200(1+x)2=9800C.7200(1+x)+7200(1+x)2=9800D.7200x2=9800【变式拓展】为执行“两免一补”政策,某地区2016年投入教育经费2500万元,预计2017年,2018年两年共投入5775万元.设这两年投入教育经费的年平均增长率为x,那么下面列出的方程正确的是(D)A.2500x2=5775B.2500(1+x%)2=5775C.2500(1+x)2=5775D.2500(1+x)+2500(1+x)2=57752.为积极响应国家提出的“大众创业,万众创新”号召,黄山市加大了对“双创”工作的支持力度,据悉,2015年黄山市对这项拨款为1.5亿元,2017元的拨款达到2.16亿元,这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为20%.3.吴山镇2015年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2017年达到82.8公顷.(1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率;(2)若年增长率保持不变,2018年该镇绿地面积能否达到100公顷?解:(1)设绿地面积的年平均增长率为x,根据意,得57.5(1+x)2=82.8,解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意,舍去),答:增长率为20%.(2)由题意,得82.8(1+0.2)=99.36公顷.答:2018年该镇绿地面积不能达到100公顷.知识点2利润类问题4.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元,若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元,要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是(A)A.(x+3)(4-0.5x)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15D.(x+1)(4-0.5x)=155.(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定为多少元?解:降价x元,则售价为(60-x)元,销售量为(300+20x)件,根据题意得(60-x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1,x2=4,又顾客得实惠,故取x=4,即定价为56元.答:应将销售单价定价56元.综合能力提升练6.某文具店三月份销售铅笔100支,四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是(B) A.100(1+x) B.100(1+x)2C.100(1+x2)D.100(1+2x)7.某商品的进价为每件20元.当售价为每件30元时,每天可卖出100件,现需降价处理,且经市场调查:每降价1元,每天可多卖出10件.现在要使每天利润为750元,每件商品应降价(D) A.2元 B.2.5元C.3元D.5元8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了(D) A.2x% B.1+2x%C.(1+x%)x%D.(2+x%)x%【变式拓展】某种商品原价50元.因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4,5月份两个月的月平均涨价率为20%.9.某企业今年第四季度中的12月份产值是10月份的1.44倍,为保证该季度的月产值增长率相同,12月产值是11月的1.2倍.10.安徽省某区某农户2014年的年收入为6万元,由于党的惠农政策的落实,2016年的年收入增加到9万元,2015与2016年的年平均增长率相同,如果按这样的增长率,该农户2018年的年收入为13.5万元.11.水果店销售某种水果,每千克可以获利20元,平均每天可售出100千克,若每千克的售价每降低2元,平均每天的销售量可增加20千克,水果店要确保平均每天获利2240元,且尽快减少水果的库存量,每千克的售价应降低6元.12.(巴中中考)某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,销售定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,销售量净减少10个;定价每减少1元,销售量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数不得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?解:设每个商品的定价是x元,由题意,得(x-40)[180-10(x-52)]=2000,整理,得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60.当x=50时,进货180-10(50-52)=200个>180个,不符合题意,舍去;当x=60时,进货180-10(60-52)=100个<180个,符合题意.答:该商品每个定价应为60元,进货为100个.13.为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度.2016年市政府共投资2亿元人民币建设了8万平方米廉租房,预计到2018年年底,三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同.(1)求每年该市市政府投资的增长率;(2)若这三年内的建设成本不变,求2017,2018这两年可以建设多少万平方米的廉租房?解:(1)设每年该市市政府投资的增长率为x,根据题意,得2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5,整理得x2+3x-1.75=0,解得x1=0.5,x2=-3.5(舍去),答:每年该市市政府投资的增长率为50%.(2)2017,2018这两年共建廉租房面积为(9.5-2)÷=30(万平方米).答:2017,2018这两年可以建设30万平方米的廉租房.拓展探究突破练14.(朝阳中考)为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子,根据市场预测,该品牌粽子每个售价4元时,每天能出售500个,并且售价每上涨0.1元,其销售量将减少10个,为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌粽子售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识,帮助超市给该品牌粽子定价,使超市每天的销售利润为800元.解:设每个粽子的定价为x元时,每天的利润为800元.根据题意,得(x-3)--=800,解得x1=7,x2=5.∵售价不能超过进价的200%,∴x≤3×200%,即x≤6,∴x=5.答:每个粽子的定价为5元时,每天的销售利润为800元.15.随着人们环保意识的不断增强,黄山市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统计,某小区2014年年底拥有家庭电动自行车125辆,2016年年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.(1)若该小区2014年年底到2017年年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同,则该小区到2017年年底电动自行车将达到多少辆?(2)为了缓解停车矛盾,该小区决定投资3万元再建若干个停车位,据测算,建造费用分别为室内车位1000元/个,露天车位200元/个.考虑到实际因素,计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍,但不超过室内车位的2.5倍,则该小区最多可建两种车位各多少个?试写出所有可能的方案.解:(1)设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为x,则125(1+x)2=180,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).∴180(1+20%)=216(辆).答:该小区到2017年年底家庭电动自行车将达到216辆.(2)设该小区可建室内车位a个,露天车位b个,则①②由①得b=150-5a,代入②得20≤a≤,∵a是正整数,∴a=20或21.当a=20时,b=50;当a=21时,b=45.∴方案一:建室内车位20个,露天车位50个;方案二:建室内车位21个,露天车位45个.第3课时用一元二次方程解决几何图形问题知识要点基础练知识点1一般图形问题1.(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(B) A.x(x-10)=900 B.x(x+10)=900C.10(x+10)=900D.2[x+(x+10)]=9002.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为75 cm2的矩形,问矩形的长和宽各是多少?解:设矩形的长为x cm,则矩形的宽为(20-x)cm,∵x>20-x,∴x>10.由题意得x(20-x)=75,整理得x2-20x+75=0,解得x1=5(舍去),x2=15,∴20-x=5.答:矩形的长为15 cm,宽为5 cm.知识点2边框与甬道问题3.如图,要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条即图中的阴影部分,横竖彩条的宽度比为2∶1.如果要使阴影所占面积是图案面积的,则竖彩条宽度为(A)A.1 cmB.2 cmC.19 cmD.1 cm或19 cm4.如图,在宽为40 m,长为70 m的矩形地面上修筑宽度相等的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.如果设道路的宽为x,根据题意,所列方程为(40-x)(70-x)=540.【变式拓展】某小区的一块长为26米,宽为15米的草坪内要修一条如图所示的宽度相同的甬道,使绿地的面积是甬道面积的4倍,则甬道的宽度为2米.5.如图所示,有一块矩形的广场,长为32米、宽20米,要在上面修筑同样宽的三条石子路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),这样把矩形广场分成大小不等的六块小矩形,并且总面积为570平方米,求道路的宽是多少米?解:设道路为x米宽,由题意得(32-2x)(20-x)=570,整理得x2-36x+35=0,解得x1=1,x2=35(舍去),答:道路为1米宽.综合能力提升练6.(哈尔滨中考)今年我市计划扩大城区绿地面积,现有一块长方形绿地,它的短边长为60 m,若将短边增大到与长边相等(长边不变),使扩大后的绿地的形状是正方形,则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m,下面所列方程正确的是(A) A.x(x-60)=1600 B.x(x+60)=1600C.60(x+60)=1600D.60(x-60)=16007.安徽合肥市民为响应市委市政府提出的建设“绿色合肥”的号召,我市某单位准备将院内一块长30米,宽20米的长方形空地,建成一个矩形草坪,要求在草坪中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)(D) A.1.2米 B.3米C.2米D.1米8.如图,在△ABC中,AC=50 m,BC=40 m,∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以2 m/s 的速度匀速移动,同时另一点Q由C点开始以3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动,当△PCQ 的面积等于300 m2时运动时间为(A)A.5秒B.20秒C.5秒或20秒D.不确定9.如图,在长为10,宽为8的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,则所截去小正方形的边长是2.10.如图,EF是一面长为18米的墙,用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD,中间用栅栏隔成同样三块.若围成的矩形ABCD的面积为60平方米,则AB的长为12米.11.如图,要设计一个形状为等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,高80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上、下底之间有两条纵向甬道,各甬道宽度相等,设甬道的宽为x米.(1)用含x的式子表示甬道的面积;(2)根据设计要求,甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度(米)成正比,比例系数为5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么甬道宽度为多少米时,所建花坛费用为239万元?解:(1)甬道的面积为(120+180)÷2×x+2×80×x-2x2=(-2x2+310x)平方米.(2)根据题意,得0.02××80-(-2x2+310x)+5.7x=239.整理,得2x2-25x+50=0,即(x-10)(2x-5)=0,解得x1=10,x2=2.5.∵x=10>6(舍去),∴x=2.5.答:甬道的宽度为2.5米时,所建花坛费用为239万元.12.(百色中考)在直角墙角AOB(OA⊥OB,且OA,OB长度不限)中,要砌20 m长的墙,与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓,且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求该地面矩形的长;(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位:m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少? 解:(1)设该地面矩形的长是x m,依题意得x(20-x)=96,解得x1=12,x2=8(舍去).答:该地面矩形的长是12米.(2)采用规格为0.80×0.80的地板砖所需的费用:[96÷(0.80×0.80)]×55=8250(元).采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用:[96÷(1.00×1.00)]×80=7680(元).因为8250>7680,所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少.拓展探究突破练13.小明是一位动手能力很强的同学,他用橡皮泥做成一个棱长为4 cm的正方体.(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(2)如果在第(1)题打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为平方厘米;(3)如果把(1)(2)中的边长为1 cm的通孔均改为边长为a cm(a≠1)的通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2?如果能,求出a,如果不能,请说明理由.解:(1)110.(2)118.(3)能使橡皮泥块的表面积为118平方厘米.∵S1=96-2a2+4a×4,S2=S1-4a2+4×4a-4a2,∴96-2a2+16a-8a2+16a=118,整理得5a2-16a+11=0,∴a1=,a2=1.∵a≠1,<4,∴当边长改为cm时,表面积为118 cm2.。
九年级一元二次方程实际问题
九年级一元二次方程实际问题一、传播问题例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人。
第一轮传染后，有x + 1个人患流感；第二轮传染后，有x(x + 1) + x + 1个人患流感。
则可列方程：1 + x + x(1 + x) = 1211 + x + x + x^2 = 121x^2 + 2x - 120 = 0(x + 12)(x - 10) = 0解得x_1 = 10，x_2 = -12（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了 10 个人。
二、增长率问题例：某工厂第一年的利润为 20 万元，第三年的利润为 y 万元。
假设每年的平均增长率为x，则 y 与 x 之间的函数关系式为？解析：第二年的利润为20(1 + x)万元，第三年的利润为20(1 + x)^2万元。
所以y = 20(1 + x)^2三、销售问题例：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。
为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。
若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？解析：设每件衬衫应降价x元。
每件利润为(40 - x)元，每天销售量为(20 + 2x)件。
则可列方程：(40 - x)(20 + 2x) = 1200800 + 80x - 20x - 2x^2 = 1200-2x^2 + 60x - 400 = 0x^2 - 30x + 200 = 0(x - 10)(x - 20) = 0解得x_1 = 10，x_2 = 20因为要尽快减少库存，所以x越大越好，故x = 20答：每件衬衫应降价 20 元。
四、面积问题例：用一块长 80cm，宽 60cm 的矩形薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为x cm 的小正方形，然后做成底面积为 1500cm²的没有盖的长方体盒子，求x的值。
人教版九年级数学上册(云南地区)习题训练：21.3 实际问题与一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 用一元二次方程解决传播问题01 基础题知识点1 倍数传播问题1．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每只病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为(C )A ．10只B ．11只C ．12只D ．13只2．某种植物的主干长出a 个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为1＋a ＋a 2．3．(贺州中考)某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌，根据题意，得 60(1＋x)2＝24 000.解得x 1＝19，x 2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌． (2)经过三轮培植后，得60(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)．答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．知识点2 握手问题4．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是(B )A ．x(x －1)＝15B .x （x －1）2＝15C ．x(x ＋1)＝15D .x （x ＋1）2＝155．(南宁中考)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有(C )A ．7队B ．6队C ．5队D ．4队知识点3 数字问题6．两个连续偶数的积为8，则这两个连续偶数是2和4． 7．两个连续奇数的积是323，求这两个奇数．解：设较小的一个奇数为x ，则另一个为x ＋2， 根据题意，得x(x ＋2)＝323.解得x 1＝17，x 2＝－19(不合题意，舍去)．x ＋2＝19.答：这两个奇数是17，19.8．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为(x －3)，由题意，得 x 2＝10(x －3)＋x.解得x 1＝6，x 2＝5.当x ＝6时，x －3＝3；当x ＝5时，x －3＝2.答：这个两位数是36或25.02 中档题9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了21条航线，则这个航空公司共有飞机场(D )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个10．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数．解：设原来的两位数的个位数字为x ，则十位数字为(x ＋2)．根据题意，得(10x ＋x ＋2)2＝10(x ＋2)＋x ＋138. 解得x 1＝－1411(舍去)，x 2＝1.答：原来的两位数为31.11．某剧场共有1 161个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少16，求这个剧场每行有多少个座位？解：设每行的座位数为x 个，根据题意，得 x(x ＋16)＝1 161，解这个方程，得x 1＝27，x 2＝－43(舍去)．答：这个剧场每行有27个座位．12．(襄阳中考)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：(1)设每轮传染中平均每人传染了x 人，则 1＋x ＋x(x ＋1)＝64.解得x 1＝7，x 2＝－9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． (2)64×7＝448(人)．答：第三轮将又有448人被传染．03 综合题13．(1)n 边形(n ＞3)其中一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．解：(2)设这个凸多边形是n 边形，由题意，得n （n －3）2＝14. 解得n 1＝7，n 2＝－4(不合题意，舍去)．答：这个凸多边形是七边形． (3)不存在．理由：假设存在n 边形有21条对角线．由题意，得 n （n －3）2＝21.解得n ＝3±1772. ∵多边形的边数为正整数，但3±1772不是正整数，故不合题意．∴不存在有21条对角线的凸多边形．第2课时用一元二次方程解决增降率问题01基础题知识点1平均变化率问题1．(巴中中考)某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(B)A．560(1＋x)2＝315B．560(1－x)2＝315C．560(1－2x)2＝315D．560(1－x2)＝3152．(遵义中考)2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1 585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2 180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为1_585(1＋x)2＝2_180．3．(天水中考)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%．4．(红河期末)“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？解：设前4个月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意，得64(1＋x)2＝100，解得x1＝－225%(不合题意，舍去)，x2＝25%.100×(1＋25%)＝125(辆)．答：该商城4月份卖出125辆自行车．知识点2商品销售问题5．(泰安中考)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是(A)A．(x＋3)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝156．某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖(350－10a)件，但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？解：由题意，得(a－21)(350－10a)＝400，解得a1＝25，a2＝31.∵物价局限定每件加价不能超过进价的20%，∴商品的售价不超过25.2元．∴a ＝31不合题意，舍去．∴350－10a ＝300－10×25＝100.答：每件商品的售价为25元，需要卖出100件．7．(淮安中考)小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元．请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x 件这种服装，根据题意，得[80－2(x －10)]x ＝1 200. 解得x 1＝20，x 2＝30.当x ＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去． ∴x ＝20.答：她购买了20件这种服装．02 中档题8．(曲靖期中)泗水县龙城中学去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元．若设该校今明两年在实验器材投资上年平均增长率是x ，根据题意，下面所列方程正确的是(A )A ．2(1＋x)2＝8B ．8(1＋x)2＝2C ．2(1－x)2＝8D ．2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝89．(兰州中考)股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是(B )A ．(1＋x)2＝1110B ．(1＋x)2＝109C ．1＋2x ＝1110D ．1＋2x ＝10910．(昆明中考改编)云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为我省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2014年花卉的产值是640万元，2016年产值达到1 000万元．(1)求2015年、2016年花卉产值的年平均增长率是多少？(2)若2017年花卉产值继续稳步增长(即年增长率与前两年的年增长率相同)，那么请你估计2017年这个乡的花卉产值将达到多少万元？解：(1)设2015年，2016年花卉产值的年平均增长率为x ，依题意得 640(1＋x)2＝1 000，解得x 1＝14＝25%，x 2＝－94(不合题意，舍去)．答：2015年，2016年花卉产值的年平均增长率为25%.(2)∵2017年花卉产值继续稳步增长(即年增长率与前两年的年增长率相同)，∴2017年这个乡的花卉产值将达到640×(1＋0.25)3＝1 250(万元)．11．(来宾中考)某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：(1)由题意，得60(360－280)＝4 800(元)．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4 800元．(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x 元，由题意，得(360－x －280)(5x ＋60)＝7 200，解得x 1＝8，x 2＝60. ∵有利于减少库存，∴x ＝60.答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7 200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．03 综合题12．2014年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2016年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．(1)求2014年底至2016年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2017年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆．预计2017年底报废的汽车数量是2016年底汽车拥有量的10%，求2016年底至2017年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．解：(1)设2014年底至2016年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得100(1＋x)2＝144.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：2014年底至2016年底该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.(2)设2016年底至2017年底该市汽车拥有量的年增长率为y ，根据题意，得 144(1＋y)－144×10%≤155.52. 解得y ≤0.18.答：2016年底至2017年底该市汽车拥有量的年增长率不能超过18%才能达到要求．第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题01 基础题知识点1 一般图形的问题1．(黔西南中考)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x 米，则可列方程为(C )A ．x(x －11)＝180B ．2x ＋2(x －11)＝180C ．x(x ＋11)＝180D ．2x ＋2(x ＋11)＝180 2．有一个面积为16 cm 2的梯形，它的一条底边长为3 cm ，另一条底边长比它的高线长1 cm ，若设这条底边长为x cm ，依据题意，列出方程整理后得(A )A ．x 2＋2x －35＝0B ．x 2＋2x －70＝0C ．x 2－2x －35＝0D ．x 2－2x ＋70＝0 3．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m 2，如果它的长减少2 m ，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m .4．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm ，面积是7 cm 2，这两条直角边长分别为2_cm 、7_cm ．5．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m )，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2.解：设AB ＝x m ，则BC ＝(50－2x)m .根据题意，得x(50－2x)＝300.解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10，BC ＝50－2×10＝30＞25，故x 1＝10不合题意，舍去．∴x ＝15. 答：可以围成AB 为15 m ，BC 为20 m 的矩形．知识点2 边框与甬道问题6．如图，在长70 m ，宽40 m 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(如阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x 应满足的方程是(B )A ．(40－x)(70－x)＝350B ．(40－2x)(70－3x)＝2 450C ．(40－2x)(70－3x)＝350D ．(40－x)(70－x)＝2 4507．(兰州中考)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为(22－x)(17－x)＝300．8．如图所示，某小区计划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB垂直，另一条与AB平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽度．解：设甬路的宽度为x米．依题意，得(40－2x)(26－x)＝144×6.解得x1＝2，x2＝44(不合题意，舍去)．答：甬路的宽度为2米．02中档题9．如图所示，在一块正方形空地上，修建一个正方形休闲广场，其余部分铺设草坪，已知休闲广场的边长是正方形空地边长的一半，草坪的面积为147 m2，则休闲广场的边长是7m.10．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?解：设矩形温室的宽为x m，则长为2x m．根据题意，得(x－2)·(2x－4)＝288.解得x1＝－10(不合题意，舍去)，x2＝14.所以x＝14，2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m，宽为14 m时，蔬菜种植区域的面积是288 m2.11．已知一个包装盒的表面展开图如图．(1)若此包装盒的容积为1 125 cm3，请列出关于x的方程，并求出x的值；(2)是否存在这样的x的值，使得此包装盒的容积为1 800 cm3？若存在，请求出相应的x的值；若不存在，请说明理由．解：(1)根据题意，得15x(20－x)＝1 125，整理，得x2－20x＋75＝0.解得x＝15(舍去)或x＝5.(2)根据题意，得15x(20－x)＝1 800，即x2－20x＋120＝0.∵Δ＝(－20)2－4×1×120＝－80＜0，∴此方程无解，即不存在这样的x的值，使得包装盒的体积为1 800 cm3.03综合题12．已知如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2.根据题意得x(5－x)＝4.解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时，2x＝8>7，不合题意，舍去，∴x＝1.(2)设x秒后，PQ＝5 cm，则(5－x)2＋(2x)2＝25.解得x1＝0(舍去)，x2＝2.∴x＝2.(3)不能，理由：设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2.根据题意，得x(5－x)＝7.此方程无解．所以不能．。
.应用一(传播问题、增长率问题)
九年级数学课堂学习纲要课题：22.3应用（1）传播问题（2）增长率问题课型：新授课审核人：刘红芳授课人：刘红芳牟利梅时间：一．目标定向1.能列一元二次方程解决两轮传播和增长率等问题；2.学会将实际问题转化为数学模型，进一步规范解题步骤。
二．学生先学1.引入：某地区有一人患了感冒，患者每天传染6人，那你能算出3天后有多少人患流感吗？你猜这个数会有多大？2.传播中的数量关系：（1）传染源数量为1，每个传染源都传给x个人，经过一轮传染后共有人感染，经过两轮传染后共有人感染；若经过两轮传染后共有121人感染，则可列方程为。
练习：如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列方程为，化为一般形式为.（2）同学们还要注意第1个传染源是否参与了第二轮传播：例如：如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，若该传销公司要求每人发展x名下家，则可列方程为，化为一般形式为.三．合作探究1. 某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则2月份总产量为吨；3月份总产量为吨。
（填具体数字）2. 某厂今年1月份的总产量为100吨，设平均每月增长率是x ，则2月份总产量为吨；3月份总产量为吨。
（填含有X的式子），若3月份的总产量是121吨，则可列方程为。
（2）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降到81元，已知两次降价的百分率均为x，则可列方程为。
四．点拨拓展点拨1. .要明确传播源是否参与第二轮的传播。
像学生先学中的（1），属于传播源参与第二轮的传播，而（2）则是属于传播源不参与第二轮的传播。
2.增长率（或减少率）问题要注意时间是否是经历了两轮，增长率是否相同.3.列方程解应用题的步骤：审→设→列→解→验→答即：（1）审清题意，明确题目中的已知量和；（2）设未知数，可直接设也可设；（3）找出适当的关系，列出方程；（4）选择适当的方法解方程；（5）检验并写出答案，检验是看方程的解是否与相符合，若不符合的在后面括号中写上：不合题意，舍去。
九年级上册数学用一元二次方程解决增长率问题
巩
固
训
练
1.（《名校课堂》21.3第2课时习题）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第 一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多 440辆．设该公司 第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ A ） A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440 C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440 2.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过 严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后， 现在仅卖 98 元 / 瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分 率． 解：设该种药品平均每场降价的百分率是x. 由题意,得200（1-x）2=98. 解得x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
名
校
讲
坛
【方法归纳】销售利润问题中常见的公式： ①利润=售价-成本； ②利润率= ×100%.
名
校
讲
坛
跟踪训练2:一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司 规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过 60棵，每 增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0.5元，但每棵树苗最低售价不得少 于100元，该校最终向园林公司支付树苗款 8800元，请问该校共购买了多少棵树 苗？ 解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元， 所以该校购买树苗超过60棵. 设该校共购买了x棵树苗. 由题意,得x[120-0.5（x-60）]=8800. 解得x1=220，x2=80． 当x=220时，120-0.5×（220-60）=40＜100，∴x=220（不合题意，舍去）； 当x=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，∴x=80． 答：该校共购买了80棵树苗．