第五章三角函数5.2三角函数的概念(新教材教师用书)

第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课时作业44 三角函数的概念知识点一 三角函数的定义 1.已知角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则cos α的值为( )A ．－32 B ．－12 C ．32 D ．12答案 A解析 由三角函数的定义可知cos α＝－32.2．若角α的终边上有一点P (－4a,3a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α的值是( ) A ．25 B ．25或－25C ．－25D ．与a 有关但不能确定 答案 B解析 当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当a <0时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25.3．已知角α的终边经过点P (5m,12)，且cos α＝－513，则m ＝________. 答案 －1解析 cos α＝－513<0，则α的终边在第二或第三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由5m 25m 2＋144＝－513，解得m ＝－1. 4．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值． 解 sin α＝y 3＋y 2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝34y ，解得y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－213，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝73. 知识点二 三角函数的符号5.若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 由sin θ·cos θ<0，可知sin θ，cos θ一正一负，又sin θ<cos θ，可知cos θ>0，sin θ<0，则θ为第四象限角，故选D ．6．α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析 因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以k π＋π2<α2<k π＋3π4，所以α2在第二、四象限．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cos α2<0，所以α2在第二象限．7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．－2 答案 C解析 ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg (cos α)有意义，则角α在第________象限． 答案 四解析 由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，所以α在第四象限.知识点三 三角函数求值 9.求下列各式的值． (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4；(2)sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解 (1)因为cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32.(2)因为sin420°＝sin(360°＋60°)＝sin60°＝32， cos750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos30°＝32， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin30°＝12， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos60°＝12，所以sin420°cos750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.一、选择题1．cos1110°的值为( ) A ．12 B ．32 C ．－12D ．－32答案 B解析 cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32. 2．若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0 D ．cos2α>0 答案 C解析因为tanα>0，所以α为第一或第三象限角，即2kπ<α<2kπ＋π2或2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，k∈Z.那么4kπ<2α<4kπ＋π或4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.所以2α为第一或第二象限角或终边在y轴的非负半轴上，从而sin2α>0.3．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于()A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2答案D解析因为r＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝yr＝－cos2.故选D．4．若点P(sinα，tanα)在第三象限，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案D解析因为点P(sinα，tanα)在第三象限，所以sinα<0，tanα<0，所以α是第四象限角，故选D．5．若角α的终边在直线y＝2x上，则sinα等于()A．±15B．±55C．±255D．±12答案C解析当角α的终边在第一象限时，可设直线上一点P(1,2)，sinα＝25＝255；当角α的终边在第三象限时，可设直线上一点P(－1，－2)，此时sinα＝－25＝－255，∴sinα＝±25 5.二、填空题6．如果角α的终边经过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα＝________.答案－3 2解析所给点的坐标为(1，－3)，故sinα＝－3 2.7．求值：cos 13π6＋tan⎝⎛⎭⎪⎫－5π3＝________.答案332解析 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－5π3＝cos π6＋tan π3＝32＋3＝332.8．已知α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________． 答案 (－2,3)解析 ∵α终边过(3a －9，a ＋2)，则 sin α＝a ＋2(3a －9)2＋(a ＋2)2>0， 且cos α＝3a －9(3a －9)2＋(a ＋2)2<0，即a ＋2>0且3a －9<0，解得－2<a <3. 三、解答题9．已知角α的终边落在直线y ＝x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P (1,1)，由r ＝2，得sin α＝22，cos α＝22，tan α＝1；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q (－1，－1)，由r ＝2，得sin α＝－22，cos α＝－22，tan α＝1.10．计算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋tanπ－2cos0°＋tan 9π4－sin 7π3.解 (1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°) ＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180° ＝12＋12＋3×1－(－1)＝5.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π2＋tanπ－2cos0°＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝sin π2＋tanπ－2cos0°＋tan π4－sin π3 ＝1＋0－2＋1－32＝－32.课时作业45 同角三角函数的基本关系知识点一 利用同角三角函数的基本关系求值 1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则cos α等于( ) A ．－35 B ．35 C ．±35 D ．±34答案 A解析 由α是第二象限角，得cos α＝－1－sin 2α＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35. 2．已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝________. 答案 －125解析 ∵sin α＋cos α＝713，∴(sin α＋cos α)2＝49169，即2sin αcos α＝－120169<0，又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713，可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125.3．已知sin α＝45，求cos α，tan α的值．解 因为sin α>0，sin α≠1，所以α是第一或第二象限角． 由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1－sin 2α＝925. 若α是第一象限角，则cos α>0，于是cos α＝35， 从而tan α＝sin αcos α＝43；若α是第二象限角，则cos α＝－35，tan α＝－43. 4．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，求下列各式的值． (1)sin x －cos x ； (2)1cos 2x －sin 2x.解 (1)∵sin x ＋cos x ＝15，∴(sin x ＋cos x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin x cos x ＝125，∴2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x ＝1－2sin x cos x ＝1＋2425＝4925， 又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0， ∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.(2)解法一：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴1cos 2x －sin 2x ＝11625－925＝257. 解法二：由已知条件及(1)，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，∴1cos 2x －sin 2x ＝1(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＝115×75＝257. 5．已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)sin 2α－2sin αcos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；(2)34sin 2α＋12cos 2α.解 (1)∵tan α＝3，∴cos α≠0.原式的分子、分母同除以cos 2α，得 原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223. (2)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.知识点二 三角函数式的化简与证明 6.化简：cos36°－1－cos 236°1－2sin36°cos36°.解 原式＝cos36°－sin36°sin 236°＋cos 236°－2sin36°cos36°＝cos36°－sin36°(cos36°－sin36°)2＝cos36°－sin36°|cos36°－sin36°|＝cos36°－sin36°cos36°－sin36°＝1.7．求证：1－2sin2x cos2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan2x1＋tan2x .证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin2x cos2xcos 22x －sin 22x＝(cos2x －sin2x )2(cos2x －sin2x )(cos2x ＋sin2x ) ＝cos2x －sin2x cos2x ＋sin2x ＝1－tan2x1＋tan2x＝右边．∴原等式成立．一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．±|cos160°| C ．±cos160° D ．－cos160°答案 D 解析1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos160°|＝－cos160°.2．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( ) A ．74 B ．－916 C ．－932 D ．932 答案 C解析 因为sin α－cos α＝－54，平方可得1－2sin αcos α＝2516，所以2sin αcos α＝－916，即sin αcos α＝－932.3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．34B ．±310C ．310D ．－310答案 C解析 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310.4．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A ．12B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 A解析 因1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12.5．若cos α＋2sin α＝5，则tan α＝( ) A ．12 B ．2 C ．－12 D ．－2 答案 B解析 解法一：由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝5，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255，cos α＝55，所以tan α＝sin αcos α＝2.解法二：∵cos α＋2sin α＝5，∴(cos α＋2sin α)2＝5，则(cos α＋2sin α)2sin 2α＋cos 2α＝5，即cos 2α＋4sin 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝5，∴1＋4tan 2α＋4tan α1＋tan 2α＝5，解得tan α＝2.解法三：设tan α＝sin αcos α＝t ，则sin α＝t cos α，代入题设cos α＋2sin α＝5，得sin α＝5t 2t ＋1，cos α＝52t ＋1，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以t ＝2. 解法四(秒杀解)：注意到本题中的勾股数为(1,2，5)，因此可以用⎝ ⎛⎭⎪⎫15，25代入条件式验证，注意到15＋2×25＝5，因此有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255，cos α＝55，所以tan α＝sin αcos α＝2.二、填空题6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.答案223解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 7．化简cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ的结果是________．答案 －2tan 2θ解析 原式＝cos θ－cos 2θ－cos θ－cos 2θ(1＋cos θ)(1－cos θ)＝－2cos 2θ1－cos 2θ＝－2cos 2θsin 2θ＝－2tan 2θ. 8．在△ABC 中，若tan A ＝23，则sin A ＝________. 答案 2211解析 由tan A ＝23>0且角A 是△ABC 的内角可得0<A <π2，又⎩⎨⎧sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A cos A ＝23，解得sin A ＝2211.三、解答题9．已知tan α＝2，求下列代数式的值： (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解(1)原式＝4tanα－25＋3tanα＝611.(2)原式＝14sin2α＋13sinαcosα＋12cos2αsin2α＋cos2α＝14tan2α＋13tanα＋12tan2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝13 30.10．求证：(1)1－cos2αsinα－cosα－sinα＋cosαtan2α－1＝sinα＋cosα；(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．证明(1)左边＝sin2αsinα－cosα－sinα＋cosαsin2αcos2α－1＝sin2αsinα－cosα－sinα＋cosαsin2α－cos2αcos2α＝sin2αsinα－cosα－cos2α(sinα＋cosα)sin2α－cos2α＝sin2αsinα－cosα－cos2αsinα－cosα＝sin2α－cos2αsinα－cosα＝sinα＋cosα＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α，右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α＝2＋2tan2α＋sin2α∴左边＝右边，∴原式成立．。