世界数学史
数学史
多边形数
多面体数
?
案例1 从多边形数到棱锥数
正方形数
案例1 从多边形数到棱锥数
问题2（2006广东数学高考题）
在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗 里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品， 其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4 堆最底 层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层 开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总 数，则 f (3) =______， f (n) =______。
2 2
2
毕氏学派百牛大祭
法 国——驴桥问题
中
国----商高定理
二
三 一
b 1
c 2 a “弦图” 欧几里得的证 明原图
1972年星际飞 船“先锋10号 ”带着 “出入 相补图”飞向
2002.8 国际数 学家大会会徽
二、毕达哥拉斯学派
3．多边形数
应用之妙 精神之美
（9）一般互反律在任意数域中的证明。 （10）能否通过有限步骤来判定不定方程是 否存在有理整数解？ （11）一般代数数域内的二次型论。 （12）类域的构成问题。 （13）一般七次代数方程以二变量连续函数 之组合求解的不可能性。 （14）某些完备函数系的有限的证明。 （15）建立代数几何学的基础。 （16）注一舒伯特（Schubert）计数演算的 严格基础。
6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公 理化方法推演出全部物理，首先是概率和 力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实 现了将概率论公理化。后来在量子力学、 量子场论方面取得了很大成功。但是物理 学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。 7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖 尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的 后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和 任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
数学史上的天才世纪十七世纪的数学(二)
数学史上的天才世纪——十七世纪的数学（二）数学学院2004级研刘海鹏根据西方国家数学的发展情况，通常人们把世界数学史划分以下五个阶段。
即：（1）数学的萌芽时期（约公元前3500年—公元前600年）这一时期，数学在人类文明的发源地埃及、巴比伦、古代中国、古代印度开始萌芽。
（2）初等数学时期（公元前600年—17世纪中叶）这一时期数学经历了希腊文明时期、东方数学的繁荣时期、中世纪及文艺复兴时期欧洲数学的发展时期。
（3）变量数学时期（17世纪中叶—19世纪20年代）思想和科学方法的变革，使得变量数学建立并取得长足的发展，微积分的发明及以极限理论为基础的微积分体系的确立。
（4）近代数学时期（19世纪20年代—1945年）这一时期崭新的数学思想开辟了数学的新天地，几何学上突破了传统欧氏几何体系，各种非欧几何相继出现；代数学上打破了以方程论为中心的古代代数学的牢笼，以群论为发端的近世代数诞生；分析学上经过几代人的努力，奠定了分析学严格的逻辑基础，并开拓了复变函数论、泛函分析论等新的数学分支。
（5）现代数学时期（1945年—）这一时期，计算科学形成；应用数学出现众多的分支；纯粹数学有了若干重大的突破。
就17世纪而言，17世纪的数学是沿着超越希腊传统的潮流而发展起来的。
数学发展到这时，希腊人的严格证明已被舍弃，这促进了直观推断的思想方式，人们逐渐认识到数的重要性要超过图形，开始积极的使用“无限”的概念，开始关注各种变化的量和它们之间那的依赖关系……等等，使得数学进入了一个崭新的历史时期—变量数学时期。
在变量数学的建立阶段，出现了很多引人注目的事件：创立了几门影响深远的数学分支学科如伽利略提出实验力学、笛卡儿和费马创立解析几何、费马和帕斯卡开拓概率论、牛顿和莱不尼茨发明微积分等，数学逐渐出现代数学的趋势并与其它学科联系日益紧密；创立了大量的抽象概念；数学教育的数学研究也逐步社会化，如帕斯卡提出数学归纳法等。
尽管17世纪有着长期的宗教战争，严重的谷物欠收、数次的瘟疫流行，但就科学和数学而言，17世纪却是史无前例的富于发现的时代，数学和其它自然科学迅速发展，硕果累累，因此有人称赞17世纪是“数学史上的天才世纪”。
数学史整理
1、数学起源手指计数（伊朗，1966）结绳计数（秘鲁，1972）数学起源与早期发展数的概念的形成大约是在30万年以前，记数是伴随着计数的发展而发展的，手指记数，亚里士多德：采用十进制是因为多数人生来具有十个手指。
石子记数，结绳记数，刻痕记数《周易·系辞下》：上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。
•《易·系辞》中载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。
结绳记数，是指在绳子上打一个结表示一个数或一件事，绳结的多少，根据事物多少而定。
而所谓的“书契”，就是刻划，“书”是划痕，“契”是刻痕。
古人常常在各种动物骨头、金属、泥版上刻痕记数。
如中国殷商时期常将文字刻划在牛的肩胛骨或龟甲上，故称甲骨文。
纸草书是研究古埃及数学的主要来源•莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏于伦敦大英博物馆．又称阿姆士纸草书，阿姆士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经流传了两个世纪的著作．含84个数学问题．•莱茵德纸草书第79题：•7座房，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。
•有人认为这是一个数谜：7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可产7赫卡特粮食，问房子、猫、老鼠、麦穗和粮食各数值总和。
•莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于莫斯科博物馆．产生于公元前1850年前后，含有25个数学问题．埃及纸草书，（民主德国, 1981）古代巴比伦的数学▪两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字－“楔形文字”。
▪古巴比伦王国：前1894－前729年。
汉穆拉比（在位前1792－前1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉穆拉比法典》。
▪亚述帝国：前8世纪－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。
世界数学史上的十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这 片天地装点得更加丰富多彩•下面择要介绍一些著名的不等式.一、平均不等式(均值不等式)当这：个实数非负时叫做这-•个非负数的几何平均数.当这：个实数均为正数时， • • •叫做这；个正数的调和平均数. 设'，—，•••，‘■•为'•个正数时，对如下的平均不等式: =—二，当且仅 当八 —J 时等号成立.平均不等式」；是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的 最大值和最小值即是其应用之一.设是'•个正的变数，贝U(1)当积是定值时，和I 】1 ■有最小值，且「是定值时，积有最大值，且设"，-是」个实数， ■ 叫做这」个实数的算术平均数.两者都是当且仅当：个变数彼此相等时，即J时，才能取得最大值或最小值.a i + a2 > rr-在」；中，当「时，分别有；’,—①=»•• = a =—平均不等式」二经常用到的几个特例是（下面出现的-时等号成立；（口］ + 十 * ・ * + + —卡.* * + 2 輕'（3）■■- ，当且仅当「卩〜…"<■时等号成立；^ + -1 > 2 _（4），当且仅当'「时等号成立.二、柯西不等式（柯西一许瓦兹不等式或柯西一布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数'，_，•••，「；；，•••，：：，有（◎禹+码為+…£ +昇+…*<）•（獰+衬+…+盯）其中等号当且仅当丑.鱼生啓切%时成立.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ''都表示实数）是：1磧席+…+盯=1贝*禹乜迟+-" + t3Al-1(1)(2) + 金尹了+a3cJ L£ E] + +（3）■-：「” -「・■-柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位.二、闵可夫斯基不等式设'，‘ ,•••,「；；，•••，：：是两组正数，；！…」，则[£他+駢]”空｛严+（£們・- 一.一（’，：.）.■-I .■-：.■-! （.-. 1）当且仅当「宀'时等号成立.闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当'…-时得平面上的三角形不等式：A右图给出了对上式的一个直观理解.若记厂心畧，则上式为a^b<a + H四、贝努利不等式（1）设 --- ”■' ,且同号，则（1十帀）（1+花）…（｝+耳）〉1十吗（2）设〔，则（i）当〔m 时，有1■ ■ r - ■ ;（n）当：「或1•时，有i ，上两式当且仅当：|时等号成立.不等式（1）的一个重要特例是|“ -腸（'—“—）. 五、赫尔德不等式已知；•；r ■■■ ）是•，个正实数，宀」，则+ +…吗＜（口】+心+…扌务产©十&厂…+耳尸上式中若令「:，"，二'，则此赫尔德不等式即为柯西不等式.六、契比雪夫不等式玄…■金和％•昭…殂则—(ah -^ab + -■ • + ab) 2」- ------- 」——(2)若” •.…二■、' ] "1 ■'■ ■■ ■■ ■ ■ ■：则詬”必7+呦J*勺十…叫F面给出一个，：时的契比雪夫不等式的直观理解.如图，矩形OPAQK ' 「，匸，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）•于是有（曲+也）（囱十右打 < 维角+色為）也即七、排序不等式设有两组数'，“，…，一；-，•，••;:满足：：「-…-亠二-二-' -■■■贝q有拆夜+的占皆1 +…+耳外冬轉如+心如"・・+皱码£%血卡砌妇+…+爲A，式中的,二…；,是1,2,…；的任意一个排列，式中的等号当且仅当—---------------- •或「厂…：时成立.以上排序不等式也可简记为：反序和二乱序和二同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解.八、含有绝对值的不等式':为复数，则I ' ’，左边的等号仅当’’的幅角差为『时成立，右边的等号仅当一…的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是同+①+…+叫卜|內卜忆|+…斗W也可记为ml j-1绝对值不等式在实数的条件下用得较多九、琴生不等式设’「是（-：）内的凸函数，贝U对于（-：）内任意的几个实数有/( _= --------- ) ■ -[f(X1) */(花)十…十了(耳)]等号当且仅当、时取得.琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。
中国传统数学在世界数学史上的地位 (1)
中国传统数学在世界数学史上的地位三、中国传统数学在世界数学史上的地位（中国数学史概述、2002年第24届国际数学家大会、华罗庚）人类进入文明社会五千余年来，世界数学中心发生了几次大的转移，在自公元前3-4世纪至14世纪初的一千七八百年间，中国数学是世界领先的，其间有三次大的高潮，之后又有三次不同程度的衰落。
经过一个世纪的努力，我们走出了六百年的低谷，重新成为数学大国，并正在为厕身数学强国的行列而奋斗。
大家知道，2002年8月20日-28日，在北京成功地举行了第24届国际数学家大会。
这是国际数学家大会首次在我国召开，也是第一次在发展中国家召开。
应该说，这是多年来在我国举行的最重要的一次国际学术会议。
世界数学联盟对会议地点的选择非常慎重，都是选择在数学发达的国家和地区。
过去的23次大会，大都在欧美举行，只有一次在日本，日本也是数学相当发达的国家。
因此，第24届国际数学家大会在召开，是国际数学界对我国当前数学发展成就的肯定和高度评价。
可以说，尽管我们的国家还属于第三世界，但是，经过近一个世纪的努力，我国的数学已经走出了近六百年的低谷，重新成为数学大国，并正为厕身于数学强国而奋斗。
我们说，我国数学走出了六百年的低谷。
六百年前，就是14世纪初，元朝中叶以前的情形如何呢？可以毫不夸张地说，这之前，我国数学在世界上领先了一千七八百年，就是说，从公元前3-4世纪至14世纪初，中国是当之无愧的世界数学强国。
第24届国际数学家大会会标我们从第24届国际数学家大会的会标说起。
大家知道，这是一个正方形，其中有4个一正方形的边长为弦的勾股形，而中心则是以勾股差为边长的小正方形。
这实际上是赵爽《周髀算经注》中的“弘图一”，刘徽《九章算术注》（公元263年）在证明《九章算术》的解勾股形公式时也用到这个图。
这个图产生于什么时候，不得而知。
刘徽注《九章算术》时曾“采其所见”。
稍前于刘徽的赵爽在《周髀算经注》的“勾股圆方图说”中使用这个图的文字叙述大体与刘徽相同，可见它们不是赵爽或刘徽个人的创造，而是数学界的共知。
世界数学名著
世界数学名著数学是一门奇妙的学科，它贯穿了整个人类历史，给人类文明发展带来了巨大贡献。
而在数学史上，也有不少经典著作，这些著作不仅是数学界的重要书籍，也是普通人了解数学发展史的重要参考。
1.《几何原本》《几何原本》是亚历山大大帝时期希腊数学家欧几里得所著的一本几何学巨著。
它是世界数学史上最重要的著作之一，对西方哲学、科学和数学发展产生了深远的影响。
在这本著作中，欧几里得通过简单的公理和证明，建立了几何学的基础，并阐明了几何学的许多原则和定理，这些内容至今仍被广泛使用。
2.《算盘书》《算盘书》是中国明代数学家杨辉所著的一部数学著作。
它是中国封建社会数学成就的一部代表作。
这本书主要介绍了算术、代数、几何学和三角学等方面的知识。
同时，它还介绍了中国古代算学家的发明和运用的算盘，是中国古代算盘使用和理论研究的权威著作。
3.《无穷公理》《无穷公理》是德国数学家乔治·康托尔于1895年发表的一篇学术论文。
这篇论文改写了人们对集合的认识，被认为是数学逻辑学中的重要里程碑。
康托尔的工作揭示了一个新的领域：现代集合论，并导致了其后发展过程中的核心概念，如无穷公理、连续统假设等。
4.《微积分原理》《微积分原理》是牛顿和莱布尼茨同时期出版的一本数学巨著，标志着数学的伟大时代的开始。
在这本书中，作者解释了微积分的核心概念，并给出了一些应用举例。
它不仅建立了微积分学的基础，而且是现代物理学、工程学和计算机科学的一部分。
5.《代数学引论》《代数学引论》是法国数学家高斯于1830年发表的一本代数学巨著，它详细介绍了代数学的基本概念、方法和应用。
这本书不仅是代数学的经典著作，而且对现代数学和物理学等领域产生了深远影响。
6.《实变函数与泛函分析》《实变函数与泛函分析》是法国数学家布皮尼于1966年出版的一部巨著。
这本书涵盖了现代实分析和泛函分析的各个领域，包括泛函空间、Hilbert空间、Banach函数空间等。
它不仅是现代数学的重要著作，而且在其他领域中的应用也是极为广泛。
数学史简介
古印度数学家对几何学也有所贡献，如研究图形的面积、体积等，但 相较于古希腊略显逊色。
古阿拉伯数学
阿拉伯数字系统
古阿拉伯人基于印度数字系统发展出了更为完善的阿拉伯数字， 广泛应用于数学计算。
代数学
阿拉伯数学家在代数学领域取得了重要突破，如解二次方程、三次 方程等，为现代代数学的发展奠定了基础。
培养学生的数学素养
通过学习数学史，学生可以了解数学在各个领域的应用和作用，从而培养他们的数学素 养和跨学科思维能力。
数学史对科学研究的价值
01
为科学研究提供历史 背景
数学史可以为科学研究提供重要的历 史背景，帮助科学家了解数学理论和 方法的起源和发展，从而更好地应用 它们进行科学研究。
02
揭示数学发展的内在 逻辑
牛顿与微积分学
创立微积分学
通过引入无穷小概念，建立微分学和积分学，为 数学和物理学的发展提供有力工具。
提出牛顿三定律
在物理学中，阐述物体运动的基本规律，为经典 力学奠定基础。
发展幂级数理论
对函数进行幂级数展开，为分析学的发展做出贡 献。
高斯与数论
对数论的贡献
提出同余理论、二次互 反律等重要概念，推动 数论的发展。
计算数学
研究数值计算方法和算法的数学理论，如数 值逼近、数值代数等。
计算数学的研究领域
数值逼近
研究用有限步运算得到数学问题的近 似解的方法，如插值法、迭代法等。
数值代数
研究线性代数方程组的数值解法，如 直接法、迭代法等。
数值优化
研究最优化问题的数值解法，如梯度 下降法、牛顿法等。
数值概率统计
研究概率统计问题的数值解法，如蒙 特卡罗方法、随机模拟等。
代数的发展
世界数学发展史
第一节数学发展的主要阶段2009—10-12 10：05：28 来源:中外数学网浏览：7次乔治·萨顿曾说过:“科学史是人类认识自然的经验的历史回顾.”数学史是数学发展历史的回顾，它研究数学产生发展的历史过程，探求其发展的规律。
研究数学史，可以通过历史留下的丰富材料，了解数学何时兴旺发达，何时停滞衰退，从中总结经验教训，以利于数学更进一步的发展。
关于数学发展史的分期，一般来说，可以按照数学本身由低级到高级分阶段进行，也就是分成四个本质不同的发展时期,每一新时期的开始都以卓越的科学成就作标志,这些成就确定了数学向本质上崭新的状态过渡．这里我们主要介绍世界数学史的发展。
一、数学的萌芽时期这一时期大体上从远古到公元前六世纪．根据目前考古学的成果,可以追溯到几十万年以前．这一时期可以分为两段，一是史前时期，从几十万年前到公元前大约五千年；二是从公元前五千年到公元前六世纪．数学萌芽时期的特点,是人类在长期的生产实践中,逐步形成了数的概念，并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识．由于土地丈量和天文观测的需要,几何知识初步兴起，但是这些知识是片断和零碎的，缺乏逻辑因素,基本上看不到命题的证明．这个时期的数学还未形成演绎的科学．这一时期对数学的发展作出贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度．从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了．在漫长的萌芽时期中,数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数;最简单的几何图形，如正方形、矩形、三角形、圆形等．一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等等．中小学数学中关于算术和几何的最简单的概念,就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的．总之，这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段．二、初等数学时期从公元前六世纪到公元十七世纪初,是数学发展的第二个时期,通常称为常量数学或初等数学时期．这一时期也可以分成两段,一是初等数学的开创时代，二是初等数学的交流和发展时代．1．初等数学的开创时代．这一时代主要是希腊数学．从泰勒斯(Thales，公元前636—前546)到公元641年亚历山大图书馆被焚，前后延续千余年之久，一般把它划分为以下几个阶段:（1)爱奥尼亚阶段(公元前600—前480年）;(2)雅典阶段(公元前480—前330年）;(3)希腊化阶段(公元前330—前200年）；（4)罗马阶段(公元前200—公元600年)．爱奥尼亚阶段的主要代表有米利都学派、毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572-前497)学派和巧辩学派．在这个阶段上数学取得了极为重要的成就，其中有：开始了命题的逻辑证明，发现了不可通约量，提出了几何作图的三大难题——三等分任意角、倍立方和化圆为方，并且试图用“穷竭法”去解决化圆为方的问题．所有这些成就,对数学后来的发展产生了深远的影响．雅典阶段的主要代表有柏拉图(Plato，公元前427—前347)学派、亚里斯多德（Aristotle，公元前384-前322）的吕园学派、埃利亚学派和原子学派．他们在数学上取得的成果，十分令人赞叹，如柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里斯多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具．所有这些成就把数学向前推进了一大步．上述两个阶段称为古典时期．这一时期的数学发展，在希腊化阶段上开花结果，取得了极其辉煌的成就,产生了三个名垂青史的大数学家欧几里得、阿基米德（Archimeds，公元前287—前212）和阿波罗尼(Apollonius，约公元前262—前190)．欧几里得的《几何原本》第一次把几何学建立为演绎体系，从而成为数学史乃至思想史上一部划时代的著作．阿基米德善于将抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来．他根据力学原理去探求几何图形的面积和体积，第一个播下了积分学的种子．阿波罗尼综合前人的成果，写出了有创见的《圆锥曲线》一书,它成为后来所有研究这一问题的基础和出发点．这三大数学家的丰功伟绩，把希腊数学推向光辉的顶点．随着罗马成为地中海一带的统治者，希腊数学也就转入到罗马阶段．在这个阶段也出现了许多有成就的数学家，其中特别值得一提的是托勒密（C·Ptolemy，公元90-168）结合天文学对三角学的研究、尼可马修斯(Nichomachus,公元100年左右）的《算术入门》和丢番图(Diophantus，约246-330）的《算术》．后两本著作把数学研究从形转向数，在希腊数学中独树一帜．尤其是《算术》一书，它对后来数学发展的影响，仅次于《几何原本》．总之，这一时代的特点是：数学已经开始发展成为一门独立科学，建立了真正意义上的数学理论；数学的两个分支——算术和几何，已经作为演绎系统建立起来；数学发生了非常明显的变化,即从经验形态上升为理论形态．特别要指出的是，关于数学研究的对象，当时已经比较明确地提了出来．古希腊数学家亚里斯多德在《形而上学》第十三篇第三章中说，数学的东西（例如点、线）是感性事物的抽象．他的这个思想直到现在仍然值得我们赞赏，因为它明确地、清楚地揭示出数学研究的特点,这就是把物体、现象、生活的一个方面抽象化．2．初等数学的交流和发展时代．从公元六世纪到十七世纪初，是初等数学在各个地区之间交流,并且取得了重大进展的时期．在亚洲地区,有中国数学、印度数学和日本数学．我国在数学上取得的成就将在后面专门叙述．印度数学的特点是受婆罗门教的影响很大，此外，它还受到中国、希腊和近东数学的影响，特别是中国的影响．印度数学的成就主要在算术和代数方面,最为人称道的是位值制记数法，现行的“阿拉伯数码”源于印度．七世纪以后，建立了以巴格达为中心的阿拉伯数学．它主要受希腊数学和印度数学的影响．这一时期产生了阿尔·花拉子模(AL-Khowarizmi，780—850）等一大批数学家，为世界数学宝库增添了光彩．代数是阿拉伯数学中最先进的部分,“代数”这个名词出自花拉子模的著作,它的研究对象被规定为方程论;几何从属于代数,不重视证明；三角学是他们的最大贡献，他们引入正切、余切、正割、余割等三角函数，制作精密的三角函数表,发现平面三角与球面三角若干重要的公式,使三角学脱离天文学独立出来．中世纪欧洲的数学家们基本上是引进，学习中国、印度、希腊和阿拉伯的数学,其中著名的数学家有意大利的斐波那契（L·Fibonacci，约1170-1250）、法国的奥雷斯姆（N·Oresme，约1323—1382)等．到了十五、十六世纪,意大利的数学家帕西奥里（L·Pacioli，1445—1509)、塔塔利亚（N·Tartaglia，1500—1557)等人在代数方程论方面作了一系列突破性的工作，并使用了虚数,欧洲人终于取得了超过前人的成就．法国的韦达(F·Vieta，1540—1603）改进了符号，使代数学大为改观．苏格兰的纳皮尔(J．Napi-er，1550—1617）发明了对数,使计算方法向前推进了一大步．这个时期的特点是初等数学的主体部分(算术、代数与几何)已全部形成，并且发展成熟了．例如在算术方面，除了继承原有的计算技术之外，还发明了对数,代数也有很大的发展，韦达建立了符号代数．在三角学方面，雷琼蒙塔努斯(J·Regiomontanus,1436—1476）著了《三角全书》，其中包括平面三角和球面三角．在几何方面，透视法满足了绘画的需要,投影法满足了绘制地图的需要，等等．3．中国在这一时期对数学的贡献．我们伟大的祖国是世界上公认的四大文明古国之一,有悠久的历史和灿烂的文化．上下五千年的中国文化丰富多采、为世界文明作出了不朽的贡献．中国数学的发展和成就，在世界数学史上占有非常重要的地位．在世界数学的宝库里，中国古代数学是影响深远、风格独特的体系．在初等数学时期，我国在数学领域取得了许多伟大成就,出现了许多闻名世界的数学家，如刘徽（公元三世纪）、祖冲之(429—500)、王孝通（公元六世纪—七世纪）、李冶（1192—1279）、秦九韶（1202-1261)、朱世杰(十三、四世纪）等人．出现了许多专门的数学著作，特别是《九章算术》的完成，标志着我国的初等数学已形成了体系．这部书不但在中国数学史上而且在世界数学史上都占有重要的地位,一直受到中外数学史家的重视．我国传统数学在线性方程组、同余式理论、有理数开方、开立方、高次方程数值解法、高阶等差级数以及圆周率计算等方面,都长期居世界领先地位．例如，1802年，一个意大利科学协会为了改进高次方程的解法，曾颁发一枚金质奖章，这枚奖章为意大利数学家鲁菲尼(P·Ruffini，1765-1822）所获得，1819年英国数学家霍纳(G·Horner，1786—1837）完全独立地发展了一个相同的方法．不过他们谁也不知道,早在十三世纪,秦九韶就已经发展了古代解数值高次方程的方法，他的方法与1819年霍纳重新发现的方法实质上是相同的．我国十一世纪杰出的数学家贾宪是最早得出关于二项式展开式的系数规律的(贾宪三角形），在欧洲称之为“巴斯卡”（B·Pascal，1623—1662)三角形，而巴斯卡是在十七世纪才得出这一结果的．由刘徽在公元三世纪根据《九章算术》推导的羡除公式,欧洲人却误认为是勒让德(A·M·Legendre，1752—1833)首创的．祖冲之把圆周率π计算到范围为 3.1415926＜π＜3.1415927,以及密率,保持世界记录千年以上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
世界数学史数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。
目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期：1．数学萌芽期（公元前600年以前）；2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；5．现代数学时期（20世纪40年代以来）。
序言本世纪初，法国著名科学家普恩凯莱(H．Poincare，1854—1912)就曾说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状．”而了解数学的历史，不仅对有志于数学研究的研究人员来说是十分重要的，就是对高、中、初级各类学校中的数学教育工作者以及更为广大的数学爱好者讲来，其重要意义都是极为显而易见的．长时期以来，我国的数学史工作者，他们的大部分工作，多是属于中国古代数学史方面的．而对于世界数学史的研究工作，相对讲来，起步较晚，数量较小．只到了最近，这种情况才稍有改变．七、八年前，本书的作者们有鉴于此，不揣冒昧，组织起来进行工作．其结果，就是呈现在读者面前的这部著作．在本书中，并没有把中国与外国并列，而是把中国数学放到世界数学之中去写的．宋元数学代表了当时世界数学的较高水平，所以列专章论述；清代数学相对落后，有价值可入史册者，也列入有关章节适当介绍．全书基本上按时间顺序编排，但也考虑到地区和学科．古代数学成果曾先后集中在几个地区，故以地区分章；而现代数学的发展多呈以学科为系统的发展形式，故现代数学多以学科分章或分节．本书的选题、组织的最初工作是由杜石然负责的．各章节的执笔分工如下：张贵新：第一、二、三章；孔国平：第四、八、九、十、十一章；杜瑞芝：第五、六、七章；张祖贵：第十二、十三章；胡作玄：第十四章中的第1—4节．全书的统纂工作，是由孔国平完成的．中国科学院数学研究所李文林教授协助审阅了本书的第九、十、十一章、中国科学院自然科学史研究所刘钝教授协助审阅了第四、八章．他们都提出了有益的修改意见．辽宁师范大学的梁宗巨教授、王青建副教授为本书提供了数学家的肖像和数学著作的书影．吉林教育出版社白国才等社领导以及编辑部的阙家栋、王铁义等先生都做了大量的工作．凡此种种，在此一并致谢．虽经各位作者尽心努力，由于资料、水平所限，疏漏谬误之处当在所难免，敬请各位读者批评指正．杜石然一九九五年二月，序于日本国京都市佛教大学第一章：埃及数学第一节埃及数学产生的背景及研究依据埃及是数学古国，被人们认为是数学产生的最早国家之一，因此，在研究数学历史的时候，必须提及埃及的数学．对埃及数学的产生，曾有过各种不同的看法，例如，希腊的逻辑学家亚里士多德(Aristotle，公元前384—约前322)在其《形而上学》一书中指出：“之所以在埃及能够产生数学，是受到上帝的恩赐．”对此，恩格斯在《反杜林论》中明确指出：“数学是人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的．”事实上，埃及的数学产生，符合恩格斯的精辟阐述．一、埃及数学产生的社会背景埃及位于尼罗河岸，在古代分为两个王国，夹在两个高原中间的狭长谷地，叫做上埃及．处于尼罗河三角洲的地带叫做下埃及．这两个王国经过长时期的斗争，在公元前3200年实现了统一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)．尼罗河经常泛滥，淹没良田．在地界被冲刷的情况下，统治者要按不同数量征粮征税，这样，必须重新丈量土地．实际上，埃及的几何学就起源于此．希腊的历史学家希罗多德(Herodo- tus，约公元前484—前424)在《历史》(Herodoti Historiae)一书中，明确指出：“塞索特拉斯(Sesostris)①在全体埃及居民中间把埃及的土地作了一次划分．他把同样大小的正方形土地分给所有的人，并要求土地持有者每年向他缴纳租金，作为他的主要税收．如果河水泛滥，国王便派人调查并测量损失地段的面积．这样，他的租金就要按照减少后的土地的面积来征收了．我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了几何学，而希腊人又从那里学到了它．”希腊数学家德谟克利特(Democritus，约公元前460—前357)也曾指出：“我不得不深信，几乎埃及人都会画证明各种直线的图形，每个人都是拉绳定界的先师．”所谓拉绳定界的先师(harpedonaptai)大概是指以拉绳为主要工具的测量师．埃及人为了发展农业生产，必须注意尼罗河的泛滥周期，在实践中，积累了许多天文知识和数学知识．譬如，他们注意到当天狼星和太阳同时出没之时，就是尼罗河洪水将至之兆．并把天狼星的两个清晨上升的间隔当作一年，它包含365天．把一年分成12个月，每个月是30个昼夜．并逐步摸索出用日晷来测量时间．大约在公元前1500年，埃及人就已经使用了水钟——漏壶，它是底部有洞的容器．把这个容器灌满水，水从下面的孔里流完的这段时间作为计算时间的单位．所有这些都蕴含了计算．建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事．根据对其结构、形状的研究，可推测古代埃及人掌握了一定的几何知识，致使底两个边与正北的偏差，一个仅仅是2'30''，一个是5'30''．这类的实际建筑，推动了埃及数学计算的发展．综上，社会的生产、生活的实际需要，促使埃及数学的产生与发展．二、研究埃及数学的依据古埃及人创造出了几套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”这个词源于希腊文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在纪念碑文和器皿上还刻有象形文字．自公元前2500年左右起，开始使用象形文字的缩写，称作僧侣文(hieraticwriting)．1．兰德纸草书埃及的数学原典就是由象形文字书写而成，其中，对考察古埃及数学有重要价值的是“兰德纸草书”，这部纸草书①是在埃及古都——底比斯(Thebes)的废墟中发现的．1858年由兰德(A．H．Rhind)购买，尔后，遗赠给伦敦大英博物馆．因此，叫做兰德纸草书．这种纸草书长约550厘米、宽33厘米，摹本出版于1898年．这部纸草书是根据底比斯人统治埃及时(约公元前1800年以后)写成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾写道，此书是根据埃及王国时代(公元前2000—前1800)的材料写成的②．这部纸草书的出现，对埃及的文化产生了重要影响，对数学的发展和传播起到了一定的作用．阿梅斯认为，这是一部“洞察一切事物的存在，彻底研究一切事物的变化，揭示一切秘密……”的经典．实际上，只是传授“数”的秘密和分数计算．全书分成三部分，一是算术；二是几何；三是杂题．共有85题．记载着埃及人在生产、生活中遇到的实际问题．例如，对劳动者酬金的分配；面积和体积的计算；不同谷物量的换算等等．其中，也含有纯数学知识问题．例如，分数的难题计算等等．2．莫斯科纸草书记载着古埃及数学的另一部古典书籍是莫斯科纸草书，此书是由俄罗斯收藏者于1893年获得的．约20年后，即1912年转藏于莫斯科图书馆①．这部纸草书长约550厘米、宽8厘米，共记载着25个问题．由于卷首遗失，书名无法考证．俄罗斯历史学家古拉叶夫(Б．А．Гураев，1868—1920)于1917年和斯特卢威(В．В．Струве，1891—1964)于1930年对莫斯科纸草书进行了研究，后-者完成了出版工作，对进一步研究埃及的数学提供了方便．总之，研究埃及数学主要是依据如上两部书，当然，也可能还有其它的有关资料，有待于进一步发现与考证．第二节埃及数学的主要内容根据埃及纸草书的记载，古埃及人对算术、代数、几何等数学知识已经有了初步认识，并能做简单地应用．现简要介绍如下：一、算术古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制，但是不知道位值制．古埃及人是用象形文字来表示数的，例如根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示107以前数．由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数．但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简便．乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加．例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着12×12的计算方法，是从右往左读的．右边用现代数字表示，这就是倍增法(duplatio)．由下表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么12×12为12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(现代阿拉伯数字在左侧)标记斜线，算得结果144．在更早的时期，埃及人也曾采用“减半法”来计算乘法．首先是将一乘数扩大10倍，然后再计算10倍的一半．例如纸草书(卡芬版)第6页，计算16×16，是按如下方法计算的，即减半法(mediatio)．/116/10160/580合计256这种乘法的计算方法是古代人计算技能的基础，是非常古老的方法．希腊时期的学校曾讲授过埃及人的计算方法，到了中世纪，还讲授“倍增法”和“减半法”．除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中．例如，计算1120÷80(见兰德纸草书第69页)．180/108002160/4320合计1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80．分数：古埃及人对分数的记法和计算都比现在复杂得多．例如，他分叫做“第三部分”．例如，这样，通过二个部分与第三部分；三个部分与第四部分的结合来表示出一个整体．现在的西欧，有时也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等语言来表达三分之一、四分之一这类分数的含义．按此规律理解，五分之一可认为与四个部分结合成一个整体的第五部分．从语言的角度，五分之二(twofifths)就无法表达了．随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用“单位分数”(分子是1的分数)来表示分数：对一般分数则拆成“单位分数”表示①．例如，(用现代符号表示)二、代数在兰德纸草书中，因为求含一个未知量的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”．“阿哈算法”实际上是求解一元一次方程式的方法．兰德纸草书第26题则是简单一例．用现代语言表达为：古埃及人是按照如下方法计算的：12，则12即是所求的量．这种求解方法也称“暂定前提”(false assumption)法，即：首先，根据所求的量而选择一个数．在兰德纸草书第26题中，选择了4．因为实际上，这个问题用列方程的方法很容易计算．设所求量为x，则：解之得：x＝12．在用“阿哈算法”求解的问题中，也含有求平方根的问题，柏林纸草书中有如下的问题：方形，两个正方形面积的和为100，试计算两个正方形的边长．”不妨从“暂定的前提”出发，首先取边长为1的正方形，那么另一方形的边长分别为8和6．如果列成现代的方程式求解，是很简单的．所以，两个正方形的边长分别为8和6．埃及人对“级数”也有了简单的认识，在纸草书中，用象形文字写出一列数7，49，343，2401，16807，并与之对应一列词：“图画”，“猫”，“老鼠”，“大麦”，“容器”，最后，给出和数为19607．实际上，这是公比为7的等比数列．对此，有的数学史家解释为：“有7个人，每人有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麦，每穗大麦种植后可以长出7容器大麦．”从这个题目中，可以写出怎样的一列数，它们的和是多少？这种题目就涉及到求数列和的问题．三、几何埃及人创建的几何以适用工具为特征，以求面积和体积为具体内容．他们曾提出计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、建筑中所用石料和其它材料多寡等法则．埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积．把三角形底边二等分，乘以高；同样，把梯形两平行边之和二等分，乘以高分别作为三角形和梯形的面积．另外，埃及人还能对不同的面积单位进行互相换算．在埃及埃特夫街的赫尔斯神殿的文书中，记载着很多关于三角形和四边形面积计算问题，如图1．1．但是，他们把四边形二对边之和的一半与另二对边和的一半之积作为其面积，这显然是不对的，只是长方形时，这才是正确的计算公式．埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圆的面积、d是圆的直径)来计算圆的面积．由此得到：能把π值精确到小数点后一位，在那个时代，应该说是一件了不起的事，巴比伦人在数学高度发展时期，还常常取π＝3．在计算体积方面，经考察兰德等纸草书发现，埃及人已经知道立方体、柱体等一些简单图形体积的计算方法，并指出立方体、直棱柱、圆柱的体积公式为“底面积乘以高”．有材料证实，在埃及几何中，最突出的一项工作是发现截棱锥体的体积公式，(锥体的底是正方形)，此公式若用现代数学符号表示为：其中h是高，a和b是下、上底的边长．像这样的公式，若认为是靠经验得到的，理由则是不够充分的．按当时埃及人已掌握的数学知识，我们可做如下理论推导：把正棱台分成4个部分，即1个长方体、2个棱柱、1个棱锥．如图1．2，假如棱锥的体积是已知的，可得公式：可推测，(1)式是由(2)式的代数变形得到的，但是，当时的埃及人比较擅长于具体数值的计算，还没掌握对一般量的推导．这里似乎埃及受巴比伦代数的影响，掌握了一定的数学推理方法．从公式(2)推出公式(1)，可考虑采用了如下方法：假定一个棱垂直于底面，把图1．2中的两个棱柱分别变为高是原是，最下层为a2，中间层为ab，最上层为b2．由此可得到其总体体积为：与(1)式相符．按如上方法推导公式(1)，是没有超越埃及当时的数学水平的，但是，也没有充分的依据来断定埃及人就使用了这种方法．对此有各种不同的猜是纸草书中提及的特殊情况)，埃及人才推导出公式(1)①．第三节埃及人对数学的应用及对数学发展的贡献一、埃及人对数学的应用埃及的数学是从生产和生活实际中产生的，反过来，他们又力争把所获得的数学知识应用于实践．埃及人把数学知识应用到管理国家和教会的事物中，譬如，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，征收按土地面积估出的地税，计算修造房屋和防御工程所需的砖数．把数学应用于酿酒等方面的计算．他们利用术语“比数”(pesu)，即一个单位谷物生产出酒的量或面包的个数，按下面方法计算：谷物的量×比数=酒量(或面包的个数)．在这些简单的计算中，常常需要进行单位的换算．把数学应用到天文的计算中．从第一朝代开始，尼罗河就是埃及人的生命源泉，他们日出而作，日落而息，必须掌握四季气候变迁的规律，力求准确预报洪水到来的日期，进行大量的计算．他们还把几何知识与天文知识结合起来，用于建造神庙，使一年里某些天的阳光能以特定方式照射到庙宇里．金字塔的方位也朝向天上特定的方向，而斯芬克斯(即狮面人身像)的面则是朝东的．金字塔代表了埃及人对几何的另一种用法，竭力使金字塔的底为有规则的形状，底和高的尺寸之比也是有特殊意义的．二、埃及人对数学发展的贡献当我们回顾埃及数学的产生与发展时，不难看出，埃及人推动了数学的产生和应用．其中，对数学发展产生很大影响的希腊数学，也曾借鉴过埃及数学．譬如，希腊人曾学习过埃及那种特定方式乘法和单位分数的计算，然后又发展了这种计算方法．另外，关于确定图形面积和体积的规则，可能希腊人也是从埃及人那里学来的，但是，对于这些规则的证明，是由希腊人完成的．埃及人没有把零散的数学知识系统化，使之成为一门独立学科，只是做为一种工具，把形式上没有联系的简单法则，用于解决人们在日常生活中所碰到的问题．埃及人对数学的主要贡献，我们做简略地归纳：(1)基本完成了特定方式的四则运算，并且把它们推广到分数上，已经有了求近似平方根的方法．(2)他们能够用算术方法处理一次方程和某些类型的二次方程问题．(3)他们已经有了算术级数和几何级数的知识．(4)在几何方面，得到了某些平面图形和立体图形的求积方法．(5)得到较好的圆周率值(在那个时期)，正确认识了把圆分为若干相等部分的问题．(6)他们已经熟悉了比例的基本原理，某些数学史家还认为埃及数学有三角函数的萌芽．。