高中数学史集黄金分割素材
黄金分割比的数学故事
黄金分割比的数学故事
黄金分割比的数学故事可以追溯到古希腊的数学家和哲学家毕达哥拉斯。
据说有一天，毕达哥拉斯走在街上，听到铁匠打铁时发出的有规律的、悦耳的敲击声。
他驻足倾听，伴随着铁锤的敲击，他发现敲击声与间隔产生的规律性的节奏恰好形成一个比例，这个比例可以用数学方程表达出来。
回到家后，他用一根被分成两段的绳子演示，绳子较短的那段与较长的那段之比等于较长的那段和整个绳子长度之比，符合这个比例的事物就显得较为美好。
这就是后来人们所称的“黄金分割比”或“黄金比率”，其数值约为0.618或1.618。
黄金分割比在艺术、建筑、自然等多个领域都有广泛的应用。
例如，在艺术创作中，按照黄金分割比来设计作品可以使作品更加美观和和谐；在建筑设计中，黄金分割比也被广泛应用，如古希腊的帕台农神庙和现代的建筑设计；在自然界中，黄金分割比也出现在许多生物和植物的形态中，如螺旋形的贝壳和植物的叶子排列等。
此外，关于黄金分割比还有一个著名的故事与断臂维纳斯有关。
断臂维纳斯的设计就充分遵守了黄金分割法则，成为最伟大的艺术作品之一。
她的身材比例符合黄金分割比，
从而创造出了一种独特的美感。
这些故事都表明了黄金分割比在数学、艺术和自然界中的广泛应用和重要性。
黄金分割知识点
黄金分割知识点【篇一：黄金分割知识点】黄金分割数：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:黄金分割线是一种古老的数学方法。
黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。
黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809 （2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618黄金分割点:无限不循环小数a，ba:b=(a+b):a黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。
我们所熟悉的黄金分割,在数学中的比例关系
我们所熟悉的黄金分割,在数学中的比例关系示例文章篇一：《黄金分割：数学里的奇妙比例》我呀，最近在数学的世界里发现了一个超级神奇的东西，那就是黄金分割。
你们知道吗？这可真是一个超级有趣的比例关系呢。
我先给你们讲个故事吧。
我们班有个画画特别厉害的同学叫小明。
有一次啊，他在画一幅风景画，画里面有个小房子。
我就发现啊，他画房子的时候，窗户的位置、门的大小，好像都有那么点特别的规律。
我就问他：“小明，你怎么画得这么好看呢？感觉每个部分都恰到好处。
”小明就特别神秘地跟我说：“这呀，和黄金分割有关呢。
”我当时就愣住了，黄金分割？这是什么神奇的东西呀？后来啊，我就自己去研究这个黄金分割了。
原来啊，黄金分割的比例大概是1:0.618。
这个数字可不得了。
你看我们的身体，很多地方都和这个比例有关系呢。
比如说，我们的肚脐呀，把人的身体大致分成上下两部分，这个比例就接近黄金分割比例。
这就好像是大自然给我们的一个完美设计一样。
如果把我们的身体比作一个艺术品，那这个黄金分割就像是艺术家精心构思的比例，让我们看起来协调又舒服。
这就好比是建房子的时候，每一块砖的摆放都有它的道理，这样房子才牢固又好看。
再看看我们周围的东西。
像我们教室里的黑板，长方形的黑板如果长和宽的比例接近黄金分割，看着就特别顺眼。
要是这个比例不对呢？就感觉这个黑板有点怪怪的，不是太长就是太宽了。
这就像穿衣服，如果衣服的大小不合适，要么太大像个麻袋，要么太小勒得慌。
我就想啊，这黄金分割是不是像一个隐藏在世界各个角落的小秘密呢？我还发现啊，在建筑里黄金分割也无处不在。
就拿埃及的金字塔来说吧。
金字塔那么宏伟壮观，它的底面边长和金字塔的高度之间的比例，就接近黄金分割呢。
我就想象啊，古代的埃及人是不是也知道这个神奇的比例关系呢？他们是不是就像我们班的小明一样，是隐藏的数学高手呢？如果没有这个黄金分割比例，金字塔还会有那种震撼人心的美吗？这就像做菜一样，如果没有放合适的调料，这道菜的味道肯定就不对了。
黄金分割
黄金分割（黄金比例）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。
这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。
据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来。
[2]外文名golden section提出者毕达哥拉斯提出时间公元前5世纪应用学科数学建筑绘图记载著作《几何原本》数学定义把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5-1）：2，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。
[1]附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436565特殊的数列设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144·····这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。
由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。
[5]黄金三角形所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，正是因为其腰与边的比为(√5-1)/2而被称为黄金三角形。
黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。
由五角形的顶角是36度可得出黄金分割的数值为2sin18度（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
【高中数学】黄金分割的发现历史
【高中数学】黄金分割的发现历史由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家奥德修斯首先系统地研究了这个问题，并建立了比例理论。
他认为所谓黄金分割是指将长度为l的线段分成两部分，使一部分与全部的比率等于另一部分与该部分的比率。
计算黄金分割的最简单方法是计算斐波那契序列1，1，2，3，5，8，13，21后两个数字的比率是2/3，3/5，5/8，8/13，13/21近似值。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。
这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。
公元前300年左右，欧几里德撰写了原始几何学，他吸收了奥多斯的研究成果，并进一步系统地讨论了黄金分割，这成为最早关于黄金分割的论文。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利将中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
事实上，中国有关于“黄金分割”的记录。
虽然不早于古希腊，但它是由古代中国数学家独立创造的，后来被引入印度。
经过考证。
欧洲的比例算法起源于中国，并通过印度从阿拉伯传入欧洲，而不是直接从古希腊传入。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。
黄金比例是≈ 1.618:1，与倒数正好相反。
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莱奥纳多·达·芬奇(1452-1519)黄金分割（浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。
（如图1）世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
他发现:在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比，那么这一比值就等于0.608…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。
几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。
欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。
欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。
如正五边形中，相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。
如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。
文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。
当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达?芬奇等人。
他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。
黄金分割--2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
黄金分割｜2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
下面我们来看看黄金分割在数学上是怎么定义的：
把一条线段分割为两部分，
使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，
则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5 - 1）：2，
近似值为0.618，
通常用希腊字母Ф表示这个值。
图文解析：
如下图，
线段AC：AB = BC：AC =（√5 - 1）/ 2，
则点C 就是线段AB 的黄金分割点。
尺规作图：
如下图，
在Rt△ABD 中，
∠ABD = 90°，AB = 1，BD = 1/2，
则AD = √5/2。
由图易知，
DE = DB = 1/2，
AC = AE =（√5 - 1）/2 ≈0.618。
所以，
点C 就是线段AB 的黄金分割点。
问题解决：
题目（2019 年普通高等学校招生全国统一考试全国I 卷理科数学）
【解析】
答案：B。
在图上标数据：
列出式子计算：
故最接近的答案是175 cm。
知识拓展：
世界名画《蒙娜丽莎》，
就是根据黄金分割的比例来构图的。
黄金分割
§4.2黄金分割
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黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
探索交流
什么是黄
五角星是我们常见的图形. 在图4-4中,度量点C到点 A A,B的距离.段AB分成两条线段AC和BC,
AC BC 与 相等吗 ? AB AC
独立 作业
知识的升华
习题4.3 1,2题. 祝你成功！
2 5 1 2 52 4 5 1
5 1 , 2
AC BC , 点C是线段AB的黄金分割点. AB AC
积累就是知识
请用所学知识回答上面的问题
解 : 1 BC AB AE AB , BC AE, , 点E是AB的黄金分割点; BE BC BE AE
AC BC 如果 或AC 2 AB BC , 那么点C黄金分割线段AB. AB AC 学习一元二次方程之后, 我们可以求得
AC BC AB AC
5 1 2 0.618. 1
例题 解题
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2
D
E 1 5 5 1 1 2 BD ; AD 1 , AC AE 2 2 2 2 2
AC BC 如果 ,那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割 点,AC与AB的比称为黄金比.
议一议
为什么叫做黄金分割? 其一是满足黄金分割的图形具有和谐美;其二是黄金分 割的应用价值不可估量,故冠以黄金二字.
领悟 黄金分割
其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊 线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段 BC的比例中项,也可写成AC2=AB· BC.
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黄金分割
（浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙
在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其
中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。
（如图1）
世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。
公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
他发现:
在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比，
那么这一比值就等于…，用式子表示就是:
618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们
从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。
几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。
欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。
欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。
如正五边形中，
Kheops (公元前Q
C P 图1
莱奥纳多·达·芬奇
相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。
如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。
文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。
当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。
他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。
1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。
(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则)
1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。
丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2
15 的矩形最美观。
因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个
正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是
一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种
“和谐”的感觉。
后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。
这一命名一直延用至今。
欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商
高定理”）；另外一个就是黄金分割。
前面那个可以比着金矿，而后面那一个可以比着珍贵的钻石矿。
希腊数学家把这个几何问题里的点C称为把线段黄金分割（Golden
section）。
C点叫“黄金分割点”。
可以证明，PC=
21
5-PQ，这个数
21
5-≈以往的数学家称为“黄金分割数”（Golden number）简称“黄金数”，“黄
金数”倒数
21
5+叫“黄金比”，顶角为36°的等腰三角形叫“黄金三角形”。
古时候的希腊人认为一个人有完美的（或理想的）体型是肚脐那一点把头到脚“黄金分割”。
因此一些艺术家画的人像以及古代雕塑像，大多数是以这个为比例。
人体相关各部分之间是符合黄金分割率的，在躯干部分，乳房位置的上下长度比；咽喉至头顶和至肚脐之比；膝盖至脚后跟和至肚脐之比等，都是黄金分割数的近似数。
如果人体上述部分比例均符合黄金律的话，就显得协调匀称。
古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全符合黄金律，美妙绝伦。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，据说毕达哥拉斯学派是一个秘密团体，为了保证了学派不被外人流入，他们以一个比较难画的几何图形——正五角星作为学派的会章，而画正五角星就是以黄金分割作依据的。
意大利数学家帕奇欧里(1445～1514)，首先把“中外比”称为“神圣比例”，并专门为此着书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行黄金分割数有许多有趣的性质，它的实际应用也很广泛。
最着名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广，取得很大成绩。
黄金分割是普遍存在的自然现象。
如作正五边形或正五角星时涉及到
黄金分割；舞台上的报幕员和独唱演员，通常不站在舞台前沿的中点而是在舞台宽度黄金分割点的位置时最美观，音响效果最佳；日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为，你会因此比例协调而赏心悦目。
甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守比值。
在音乐会上，二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的处。
最有趣的是，在消费领域中也可妙用这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。
据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以，即为挑选商品的首选价格。
科学家和艺术家普遍认为，黄金分割律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。
古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。