方程与不等式的综合应用
专题学习--不等式与方程的综合应用
专题学习：不等式与方程的综合应用北京十二中王明文【写在前面】不等式（组）和方程（组）是探求不等和相等关系的基本工具，不等式（组）与方程（组）在相关概念，解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在等式与不等式的基本性质等方面；另外，解方程组，可以“统一思想”，即对几个方程通过代入或加减消元，解不等式时，只能“分而治之”，即分别求解，再确定公共部分.但在很多问题中，不等式与方程总是同时出现，借助于构造方程模型来解决不等式问题或者借助于构造不等式模型来解决方程问题，以及两者之间的灵活转换是常用的思想方法，而两个模型转换的关键是获取两者之间恰当的关联.【知识铺垫】1.不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法；2.方程组的概念，二元一次方程组的解法；3.含参数方程（组），不等式（组）的解法.【思想方法】方程模型与不等式模型的构建、互相转换.【例题精讲】一、构建方程或不等式模型解决求值或求范围问题例题1：关于x的方程4x-m+1=3x-1的根为负数，求m的取值范围.变式练习1：已知关于x的方程4x-m+1=3x-1，且2<m<4，求x的取值范围.变式练习2：当x为何值时，相应的关于x,y的二元一次方程4x-y+1=3x-1中y的值为正数.思路点拨：正确求解方程模型(一元一次方程)是前提，建立不等式模型并求解是落脚点，而联系二者的纽带是诸如“根是负数”、“2<m<4”、“y的值为正数”等从方程出发到不等式的关键词.注意：求解含参数方程的关键是将无关参数视为常数.例题2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y ？ 变式练习1：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x >y >0？变式练习2：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解⎩⎨⎧<>00y x ，求m 的取值范围. 变式练习3：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足条件 0<x+y <1,求m 的取值范围.变式练习4：已知关于x,y 的方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，且2<m <4，求x-y 的取值范围. 变式练习5：已知关于x,y的方程组：有非负整数解，求正整数m 的值.思路点拨：首先正确求解含参数方程组模型，由此建立不等式或不等式组模型，并求解，二者联系的纽带围绕前后模型的解或参数展开.注意：含参数方程组的求解要注意两种情况：一是，参数不是未知数的系数，视参数为常数求解即可；二是，参数是未知数的系数，要注意其取值范围，然后视其为常数求解.例题3：如果⎩⎨⎧==21y x 是关于y x 、的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax b x a x 的解集． 变式练习1：已知x 、y 满足()22210x y a x y a -++--+=且31x y -<-，求a 的取值范围．变式练习2：若单项式133m x y --与52n m n x y +能合并成一项，求关于x 的不等式n n x m 220<-<的整数解.思路点拨：首先构建方程模型，并正确求解，根据前后之间的联系，构建不等式模型，并求解. 注意：方程组的构造基于前面所学的知识，例如：几个非负数的和为零，同类项的定义等.例题4：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集为-1<x <1，求a •b 的值．变式练习1：若关于x 的不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩和⎩⎨⎧<-<-ax b b a x 536732解集相同，求(a+1)(b -1)的值.变式练习2：若关于x 的不等式组有两个整数解，求b 的取值范围.相关练习3：若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-132)3(21＜x x x ＞的整数解是关于x 的方程24x ax -=的根，求a 的值. 思路点拨：从正确求解不等式入手，落脚点还是构造不等式，中间联系的纽带是方程或方程组. 注意：含参数不等式的求解和含参数方程的求解类似，并且在不等式组中参数的位置一般不在系数位置.例题5：已知2mx+3>0的解集是x <3,求m 的值.变式练习1：已知a,b 为常数，若ax+b >0的解集是13x <,求不等式bx-a <0的解集. 变式练习2：关于x 的不等式()22a b x a b ->-的解是52x <，求关于x 的不等式0ax b +<的解集.思路点拨：从系数中含参数的不等式出发，结合所给解集确定参数的值或范围，并利用之进一步求解两一个不等式.注意：在求解系数中含参数的不等式时，一定结合所给解集进行恰当的讨论，建立有关参数的方程，并同时确定某个或某些参数的取值范围.二、构建方程与不等式模型解决实际问题例题6：星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析：先建立二元一次方程，再建立一元一次不等式组解决.例题7：某超市销售有甲、乙两种商品．甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．（1）若该超市同时一次购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价-进价）不少于600元，但又不超过610元．请你帮助该超市设计相应的进货方案．分析：先建立二元一次方程组，再建立一元一次不等式组解决.例题8：为迎接2002年世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则如下表：当比赛进行到第12轮结束（每队均需比赛12场）时，A 队共积19分.请通过计算，判断A 队胜、平、负各几场？分析：先建立不定方程组：设A 队胜x 场、平y 场、负z 场，则有x y z x y ++=+=⎧⎨⎩12319，把x 当成已知数，可解得y x z x =-=-⎧⎨⎩19327. 再建立一元一次不等式组：由题意，x y z x y z ≥≥≥000、、，且、、均为整数，所以x x x ≥-≥-≥⎧⎨⎪⎩⎪01930270，解得312613≤≤x ， 最后，获得满足题意的整数解：于是x 可取4、5、6，由此可得三组解（略）.思路点拨：解答这类题时，可先把题设中的方程（组）的解求出来，再根据题目中的限制条件列不等式（组）进行解答；或先求出题设不等式（组）的解集，再与已知解集进行比较，从而列方程（组）施行解答.注意：实际问题中通过一些关键词暗示该问题应建立不等式模型解决：诸如此类的关键词有： 大于，小于，至少，至多，不少于，不多于，超过，不到等.【巩固练习】1、x 取什么值时，4)1(2++-=x y 的值是正数？负数？非负数？2、当m 在什么范围内取值时,关于x 的方程()()x m x m --=-+4122有：（1）正数解；（2）不大于2的解.3、若方程组3133x y k x y +=++=⎧⎨⎩的解为x y 、，且24<<-k x y ，则的取值范围是（） A. 012<-<x y B. 01<-<x y C. -<-<-31x y D. -<-<11x y 4、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x y x 212.（1）求这个方程组的解；（2）当m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于1，y 不小于－1.5、已知：()121,23121-=+=x y x y ，如果1321-≤y y ，且1y 不小于2y ,求正整数x 的值． 6、已知方程组⎩⎨⎧+=---=+my x m y x 317的解满足x 为非正数，y 为负数.（1）求m 的取值范围；（2）化简：∣m －3∣－∣m ＋2∣；（3）在m 的取值范围内，当ｍ为何整数时，不等式2mx ＋x ＜2m ＋1的解为x ＞1.7、把若干个苹果分给几只猴子，若每只猴分3个，则余8个；每只猴分5个，则最后的一只猴分得的数不足5个，问共有多少只猴子？多少个苹果？8、某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.（1） 求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2） 若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？【思维拓展】1、 如果关于x 的不等式（2a －b ）x +a －5b ＞0的解为x ＜107 ，求关于x 的不等式ax ＞b 的解集．2、求方程组⎩⎨⎧=++=++3675352975z y x z y x 的正整数解.3、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值.。
如何解决实际问题中的方程与不等式
如何解决实际问题中的方程与不等式在现实生活中，我们经常会遇到许多实际问题，这些问题往往可以被转化为方程或者不等式来进行求解。
方程和不等式是数学中的重要工具，可以帮助我们得出问题的答案。
但是，在解决实际问题时，我们需要掌握一些方法和技巧，以确保我们能够正确地建立方程或者不等式，并成功地求解它们。
一、建立方程与不等式解决实际问题的第一步是正确地建立方程或者不等式。
这需要我们仔细分析问题，将问题中的关键信息转化为数学表达式。
以下是一些常见的情况和相应的建立方程或者不等式的方法。
1. 等量关系：当问题中涉及到两个量的等量关系时，我们可以将其中一个量表示为另一个量的函数，并建立相应的方程。
例如，如果问题中给出了一个正方形的边长是x，并且要求计算其面积，我们可以建立方程：面积 = 边长^2。
2. 比例关系：当问题中涉及到两个量的比例关系时，我们可以建立相应的比例方程。
例如，如果问题中给出了一个长方形的宽度是x，长度是2x，且要求计算其周长，我们可以建立方程：周长 = 2 * (宽度 + 长度)。
3. 条件限制：当问题中存在某些条件限制时，我们可以用不等式来表示这些条件。
例如，如果问题中给出了某个数的范围，我们可以建立相应的不等式。
例如，如果问题要求求解一个正数x，且该数小于10，我们可以建立不等式：x < 10。
二、解方程与不等式建立了方程或者不等式之后，接下来就是求解它们。
解方程和不等式需要我们运用一些技巧和方法，以得到问题的解。
1. 方程的解法：对于一元一次方程，我们可以通过逐步运算将未知数求解出来。
而对于高次方程，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。
需要注意的是，方程的解可能有一个或多个，还可能无解或者无穷个解。
2. 不等式的解法：对于一元一次不等式，我们可以通过将未知数求解出来，并根据条件判断解集的范围。
而对于一元二次不等式，我们可以通过求解其对应的方程，然后用图像或者表格来表示出不等式的解集。
方程与不等式的综合应用
方 程 与 不 等 式 的 综 合 应 用若关于X 的方程2x - m=x- 2的解为x=3，则m 的值为（ ）C. - 7 D . 710. _____________________________________________________ 如果不等式3x - mC 0的正整数解是1, 2, 3,那么m 的范围是 ____________________ . 11. 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是X 1和X 2,如果X 汁X 2 - X 1X 2V-1,且k 为整数，则k 的值为解答题1. A.2. 已知关于x 的二元一次方程组 3x+y=3ni-5 ,若x+y >3,则m 的取值范围是A.mv 2 C. m> 3 D. m> 53. 方程2x 2- 6x - 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ A. 6、2、5 B . 2、- 6、5 C. 2、- 6、- 5D. - 2、6、54. 关于X 的分式方程旦二I 的解为正数，贝U m 的取值范围是（ A.5. m> 2 B . m> 2 且 m^ 3 C. nv 2 D. m> 3 且 m^ 2 有解，则实数a的取值范围是（若不等式组A. a>- 2B. av — 2C. a<- 2D. a>- 2二.填空题K =y •7.已知（X - y+1） 2也旳=0，则x+y 的值为 ______ .8若关于X 的一元二次方程kx 2- 2x - 1=0有两个不相等的实数根，则6.已知3x=4y ,则 范围是9.若关于x 的分式方程 已=2的解为非负数，贝U m 的取值范围是H-1k 的取值12. 解分式方程: 13. 解不等式组:2亠s+L K-1 ^3K +3>2K +7,-①"空竺-<3-K …②，并把解集在数轴上表示出来.3某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4 14.元收费；超过50度的部分，每度以5 元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去） .（1）下表给出了今年3月份A, B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，电费（元）240合计90（2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？15.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0.1）当该方程的一个根为1 时，求a 的值及该方程的另一根；2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.16.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500 元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?2）在销售过程中，A 型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台, 在此基础上，售价每降低50 元，每天将多售出1 台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？参考答案与试题解析.选择题（共5 小题）1.（2017?江阴市一模）若关于x的方程2x- m=x- 2的解为x=3,则m的值为（）A.—5 B . 5 C - 7 D . 7解得：m=5 故选B去分母得：2m- 3- 1>6, 解得：m>5. 故选D3. （2017?红桥区模拟）方程2x 2- 6x - 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A. 6、2、5B. 2、- 6、5C. 2、- 6、- 5D.- 2、6、5【解答】解：方程2x 2- 6x - 5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 -6、- 5; 故选C.4. （2017?仁寿县模拟）关于x 的分式方程亠卄丄二I 的解为正数，贝U m 的取值K-1 11 辽范围是（）A. m> 2B. m>2 且 m^ 3C. m< 2D. m> 3 且 m^ 2【解答】解：分式方程去分母得：m- 3=x - 1, 解得：x=m- 2,根据题意得：m- 2>0,且m- 2工1, 解得：m>2且m^3.2. （2017?历城区二模） 已知关于 x 的二元一次方程组3x4y=3ni-5 ，若 x+y >3, 则m 的取值范围是（C. m> 3 A. m> 1 B. m< 2 【解答】解：P 心弘，①，,K-y=ni-l©①+②得：4x=4m — 6, 即卩X 丄旦D. m> 5①-②X 3得: 4y=- 2, 即卩 y=-丄, 根据x+y > 3得: 脸-3 —12、故选B有解，则实数a 的取值范围是（）4-2x>3r-2 A. a >- 2 B. a <- 2 C. a <- 2 D. a >- 2【解答】解：r 好空 ,4-2K >X -2■解不等式x+a >0得，x >- a ,由不等式4 - 2x >x - 2得，x <2,4-2K >X -2二 a >— 2, 故选D.二.填空题（共6小题）6. （2017?龙岗区一模）已知3x=4y ,则兰二2 .y —3 —【解答】解：根据等式性质2,等式3x=4y 两边同时除以3y , 得：兰旦y 3故答案为：解得：x+y — y 33&（ 2017?罗平县一模）若关于x 的一元二次方程kx 2 - 2x - 1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 k >-1且k 工0.【解答】解：V 关于x 的一元二次方程kx 2- 2x - 1=0有两个不相等的实数根,•••不等式组：不等式组 有解,i 317. （2017?邹城市模拟）已知（x - y+1） 2^+y =0,则x+y 的值为吕_【解答】解：由题意可知:s-y+l=05.（2017?日照模拟）若不等式组 故答案为:•••△ =b2- 4ac= （- 2）2- 4X kX （- 1） =4+4k> 0, •I k>- 1,2V x的一元二次方程kx - 2x- 1=0••• k 的取值范围是：k >- 1且kM0.故答案为：k >- 1且kM0.范围是 m $> - 1且mM 1【解答】解：去分母得，m- 1=2 （X - 1）, • X -昭 1 •-X 一〒,•••方程的解是非负数，••• m+1> 0 即 1又因为x — 1M 0, …X M 1 , •昭1 M 11,•• mM 1,则m 的取值范围是m>- 1且mM 1. 故选：mT>- 1 且 mM 1.10. （2017?仁寿县模拟）如果不等式 3x - mK0的正整数解是1, 2, 3,那么m的范围是 9K m< 12【解答】解：解不等式3X - mK 0得到：X K 詈, •••正整数解为1, 2, 3,解得 9< m< 12. 故答案为：9K m < 12.11. （2017?江西模拟）关于X 的一元二次方程X 2+2X+k+1=0的实数解是X 1和 沁,如果X 1+X 2 - X 1X 2<- 1,且k 为整数，则k 的值为 -1或0 .【解答】解：根据题意得X 1+X 2=-2, X 1?X 2=k+1,X 1+X 2 - X 1X 2<- 1,•••- 2-(k+1)<- 1,解得 k >- 2, •••△ =4- 4 ( k+1)>0,解得 kK0,9. （2017?夏津县一模）若关于x 的分式方程 己=2的解为非负数，贝U m 的取值 K-1•••整数k 为-1或0. 故答案为-1或0. 三.解答题（共5小题）12（2017?繁昌县模拟）解分式方程：备唸1【解答】解：方程的两边同乘（x+1） （x - 1）,得 2 (x - 1) =x (x+1)-( x+1) (x - 1),2 22x - 2=x +x - x +1, 2x - x=1+2.解得x=3.检验：把x=3代入（x+1） （x - 1） =8工0. •••原方程的解为：x=3.13. （2017?昆山市一模）解不等式组:■乐…②，并把解集在数轴上3表示出来.【解答】解：由①得x >4, 由②得xv 1, •原不等式组无解,14. （2017?瑞安市一模）某地区住宅用电之电费计算规则如下： 每月每户不超过 50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）（1）下表给出了今年3月份A , B 两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整,电费（元）240 128（2）若假定某月份C 用户比D 用户多缴电费38元，求C 用户该月可能缴的电费为多少?58 32合计90 368【解答】解：（1）设A 用户用电量为x 度，则4X 50+5 (x - 50) =240,解得x=58;B 用户的用电量：90 - 58=32 （度）. B 用户的电费：32X 4=128 （元） A 、B 用户的电费：240+128=368（元），故答案是:••• 38不能被4和5整除, ••• x >50, y <50, ••• 200+5 (x - 50)- 4y=38 •- 5x - 4y=88,•丨 5x-88 52••店-X EQ ,又••• x 是4的倍数,• x=52, 56 C 用户可能缴的缴电费为 210元或230元.15. （2017?博兴县模拟）已知关于x 的方程x 2+ax+a- 2=0. （1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根; （2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【解答】解：（1）设方程的另一个根为x , 则由根与系数的关系得：x+1 = - a , x?1=a- 2, a 4，即a g ,方程的另一个根为-(2)v^ =a 2- 4 (a-2) =a 2 - 4a+8=c i - 4a+4+4= (a-2) 2+4>0,•••不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.电量（度）电费（元）A 58 240 B32 128 合计90368（2）设3月份C 用户用电x度,D 用户用电y 度.解得：x=-16. (2017?云南模拟)随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A, B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?(2)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台, 在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?【解答】解：(1)设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为(x+300)元, 由题意得，&000=7500,K it+300解得：x=1200,经检验x=1200是原方程的根, 则x+300=1500,答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元; (2)设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；(x - 1200) (4凰归50=3200,解得：x=1600,答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元.。
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题方程和不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用远不止于纸上的计算，更可以帮助我们解决实际生活中的问题。
通过运用方程和不等式，我们可以建立模型，分析问题，找到问题的解决方法。
本文将通过一些实际例子，来探讨方程与不等式的应用，以及如何利用它们解决实际问题。
一、方程的应用方程是用于表示两个量之间相等关系的数学表达式。
在实际中，我们常常会遇到各种各样需要求解的问题，而方程就是帮助我们求解这些问题的工具之一。
举例来说，假设小明有10个苹果，他和小红一起分享这些苹果。
如果小明和小红每人分得的苹果个数相同，我们可以建立如下方程来求解每人分得的苹果个数：10 = 2x其中，x代表每人分得的苹果个数。
解这个方程，我们可以得到x=5，表示每人分得5个苹果。
通过方程的求解，我们得到了问题的解决方法，即每人分得5个苹果，这样就能平均分享。
方程在实际问题中的应用是非常广泛的，无论是物理学、经济学还是工程学，方程都扮演着重要的角色。
通过建立合适的方程模型，我们可以分析问题，找到问题的解决方法。
二、不等式的应用不等式是用于表示两个量之间大小关系的数学表达式。
在实际问题中，有些情况不能简单地用等号表示，而是需要考虑大小关系，这时就需要使用不等式来解决问题。
比如，某公司每月的固定成本为5000元，每个产品的生产成本为10元，售价为20元。
公司希望通过卖出产品来覆盖固定成本，并获得利润。
为了求解该问题，我们可以建立以下不等式：20x ≥ 5000 + 10x其中，x代表销售的产品数量。
通过解这个不等式，我们可以得到销售的产品数量至少需要250个，才能覆盖固定成本并获得利润。
这样，我们就找到了问题的解决方法。
同样地，不等式在实际问题中的应用非常广泛。
比如在优化问题中，我们常常需要考虑资源的有限性和成本的限制，这时就需要使用不等式来求解问题。
三、方程与不等式在实际问题中的综合应用在实际生活中，方程和不等式往往是同时存在的，通过综合运用它们，我们可以更全面地分析问题并找到解决方法。
2024年人教版数学九年级上册第10讲 有关方程与不等式的综合应用-课件
成
➢ Pure of heart， life is full of sweet and joy!
绩 ，
八
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下
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母
我们，还在路上……
第10讲 有关方程与不等式的 综合应用
C
B
【思路点拨】根据利润＝售价－进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结 论；根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费＋5个足球的花费＝435元，②篮球的单价 －足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
B 【思路点拨】根据题意可以得到甲、乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，得以解决．
【思路点拨】设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元，由题意 建立两个方程，构成方程组求出其解即可；设购进A种商品a件，则购进B种商品(34－a) 件，根据获得的利润不低于4 000元，建立不等式求出其解即可．
C
解析：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2(1＋x)万元，三月份销售额 为2(1＋x)2万元，由题意可得：2(1＋x)2＝4.5，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意舍 去)，即该店销售额平均每月的增长率为50%.故选C.
A
【思路点拨】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2(1＋x)2万元，依此等量关 系列出方程，求解即可；六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为x m，根据草 坪的面积是570 m2，即可列出方程．
都二
能分
运浇
用灌
好，
“八
二分
八等
定待
律；
”二
不等式(组)及分式方程综合应用
典例精解
考点： 分式方程,一元一次不等式（组）的应用
开明中学开学初在金利源商场购进A，B两种品牌的足球， 购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000 元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍， 已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元. （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
专题突破
旧知回顾
1、某产品进价120元，共有15件，为了使利润不低 于1000元，那么这件产品的定价至少在多少元？
解：设定价为x元
(x-120) ×15≥1000
2.某人骑一辆电动自行车，如果行驶速度增加5km/h ，那么2h所行驶的路程不少于原来速度2.5h所行驶 的路程.他原来行驶的速度最大是多少？
（3）【延伸题】在（2）条件下，若购买B品牌的足球数 不少于A品牌足球数的1.5倍，求有多少种购买方案？
变式训练
考点： 分式方程,一元一次不等式（组）的应用
为配合“一带一路”国家倡议,某铁路货运集装箱物流 园区正式启动了2期扩建工程.一项地基基础加固处理 工程由A、B两个工程公司承担建设,已知A工程公司 单独建设完成此项工程需要180天.A工程公司单独施 工45天后,B工程公司参与合作,两工程公司又共同施 工54天后完成了此项工程. (1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天?
（2）设未知数注意和题目中各个量关系都密切 的量，注意根据问题情况灵活选择设法，如直接 法，间接法，设多元等 （3）求分式方程的解，验根应从两个方面出发： 方程本身和实际意义
（2）开明中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决 定再次购进A，B两种品牌足球共50个.恰逢金利源商场对两 种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球的售价比第一次购 买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售. 如果这所中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过 3260元，那么开明中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
二次函数的方程与不等式的解法与应用
二次函数的方程与不等式的解法与应用一、二次函数的方程的解法二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
对于二次函数的方程，我们可以采取以下几种解法：1. 因式分解法当二次函数的方程可以通过因式分解的方式得到解时，我们可以尝试利用因式分解来求解。
具体步骤如下：（1）将二次函数方程转化为标准形式：f(x) = ax^2 + bx + c = 0；（2）对二次函数进行因式分解，将方程写成（px + q）（rx + s）= 0；（3）令px + q = 0和rx + s = 0，解得x的值。
2. 完全平方公式法对于形如f(x) = ax^2 + bx + c = 0的二次函数方程，当其可以通过完全平方公式的方式求解时，我们可以利用下面的公式进行计算：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个解。
通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。
3. 直接运用求根公式法对于任意二次函数方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接应用求根公式来求解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a通过代入给定的a、b、c的值，我们可以得到方程的解。
二、二次函数的不等式的解法与方程不同，二次函数的不等式的解法需要考虑到其图像在坐标轴上的位置。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以采用下列方法解二次函数的不等式：1. 利用图像法首先，我们需要画出二次函数的图像。
通过观察图像，我们可以判断二次函数在哪些区间满足不等式。
比如，当a > 0时，图像开口向上，二次函数在顶点上方满足大于零的不等式；当a < 0时，图像开口向下，二次函数在顶点下方满足小于零的不等式。
2. 利用解方程法我们可以先将二次函数的不等式转化为方程，然后求出方程的解，最后确定不等式的解的区间。
方程、不等式的实际应用问题
方程和不等式在实际应用中广泛用于解决各种问题。
以下是一些实际应用问题的示例，涉及方程和不等式的解决：1. 费用问题（线性方程）：问题：一家公司生产一种产品，每个产品的生产成本为100美元，销售价格为150美元。
公司希望知道需要卖多少个产品，才能达到盈亏平衡。
解决方法：设销售的产品数量为x，那么公司的总成本为100x美元，总收入为150x美元。
要实现盈亏平衡，总成本应等于总收入，即100x = 150x。
解这个线性方程可以得到x的值，即需要卖多少个产品才能盈亏平衡。
2. 距离、时间、速度问题（一元一次方程）：问题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，开了3小时后，它离起点多远？解决方法：使用速度=距离/时间的公式，我们可以得到距离=速度×时间。
将速度60公里/小时和时间3小时代入方程，计算出距离=60公里/小时×3小时= 180公里。
3. 增长与衰减问题（指数方程）：问题：一种细菌在每小时分裂成两倍，如果开始有100个细菌，多少小时后会有1000个细菌？解决方法：设t小时后有x个细菌，我们可以建立指数方程2^t = x，其中2表示细菌数量翻倍的速度。
解这个方程，我们可以得到t的值，即多少小时后会有1000个细菌。
4. 成本效益问题（不等式）：问题：一家工厂可以生产两种产品A和B，产品A的生产成本为5美元，产品B的生产成本为8美元。
如果工厂每天最多能生产100个产品，且希望最小化生产成本，应该生产多少个产品A和产品B？解决方法：设产品A的数量为x，产品B的数量为y。
我们可以建立以下不等式：5x + 8y ≤100（生产成本不超过100美元）x ≥0（产品A数量为非负数）y ≥0（产品B数量为非负数）通过解这组不等式，可以确定应该生产多少个产品A和产品B，以实现最小化生产成本的目标。
这些示例展示了方程和不等式在各种实际应用中的用途，从财务决策到物理问题和生产规划等。
方程和不等式是解决复杂问题的有力工具，可以用来优化决策、解决工程问题和预测趋势。
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方程与不等式的综合应用 一、知识要点 1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里kay y kbx x3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0） 解不等式的根据是不等式的同解原理。
4．不等式的基本性质和同解原理 1.不等式的基本性质(1) 互换性 如果a ＞b ，那么b ＜a(2) 传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3) 平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4) 伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）；一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax ＞b ，或ax ＜b ．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax ＞b ．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
7．解一元一次不等式组的方法和步骤： （1）分别求出这个不等式组中各不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分（这些不等式的解集在数轴上表示出来的各部分的重合部分），即求出这个不等式组的解集。
8．一元一次不等式组的基本类型由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简，最终可归纳为四种基本类型：设a ＜b ，则①⎩⎨⎧>>b x a x ；②⎩⎨⎧<<b x a x ；③⎩⎨⎧<>b x a x ；④⎩⎨⎧><bx ax 。
利用数轴可以确定它们的解集，也可以用口诀帮助分析：“同大（于）取大（数），同小（于）取小（数），小（于）大（数）大（于）小（数）取中间，大（于）大（数）小（于）小（数）是空集”。
9．带有绝对值的不等式有两种形式： 含有一个绝对值的不等式有两种形式： （1）b a <，可以变形为不等式组⎩⎨⎧-><ba ba ；注意：若b ＞0时才如此；若b ≤0时，本不等式无解。
（2）b a >，可以变形为a ＞b 或a ＜－b ，条件是b≥0，这里的解集是“或者”的关系，两个不等式的解集都是b a >的解集中的一部分。
若b ＜0时，a 可以取全体有理数。
含绝对值的不等式的性质：(2)｜a ｜-｜b ｜≤｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜； (3)｜a ｜-｜b ｜≤｜a -b ｜≤｜a ｜+｜b ｜．由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．题型一：一次方程组的解法 例1 解方程 ()()()()1211213113+--=--+x x x x 分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x+1)、(x-1)项，因而可将(x+1)、(x-1)看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。
解：移项，得()()()()1311212113-+-=+++x x x x 合并，得()()137127-=+x x 去括号，移项，可解得 x= -5评注：本题是整体处理思想的应用。
例2 解关于x 的方程()()m x n x m-=-413 解：原方程整理得：(4m-3)x=4mn-3m故 当4m-3≠0时，即343443--=≠m mmn x m 时， 当4m-3=0时，即，时，方程为4930 43-=⋅=n x m此时，若理数，故方程的解为任何有，则方程为00 43=⋅=x n 若，显然方程无解，43≠n 综上所述，当343443--=≠m m mn x m 时，； 当数时，方程解为任何有理43,43==n m ；当时，方程无解。
43,43≠=n m 评注：含参方程必须对参数进行讨论。
例3 解方程组 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==(2)5434(1)432z y x zy x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++(3) 201633(2)143163(1)103316z y x z y x z y x 分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k 法来解决。
第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z ，然后再用三式去分别减可得x 、y 、z 的值。
解：(1)设k z k y k x k zy x 4,3,2432======，则，代入(2)得k=5 ∴x=10，y=15，z=20∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===201510z y x(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所以3 (x+y+z)=6 (4) (1)-(4)得13x=4，则x=134 (2)-(4)得13y=8，则y=138 (3)-(4)得13z=14，则z=1314 所以原方程组的解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===1314138134z y x评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。
例4 当k 取何值时，关于x 的方程3(x+1)=5-kx分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解． 解 将原方程变形为(3+k)x=2．(1)当 3+k ＞0，即 k ＞-3时，方程有正数解．(2)当3+k ＜0，即k ＜-3时，方程有负数解． (3)当方程解不大于1时，有所以1+k ，3+k 应同号，即得解为 k ≥-1或k ＜-3．注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k 可以等于零，而分母是不能等于零的。
例5 已知方程｜x ｜=ax+1有一负根，且无正根，求a 的取值范围． 解 设x 为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a ＞-1．反之，a ＞-1时，原方程有负根． 设方程有正根x ，则x=ax ＋1，即所以a ＜1．反之，a ＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a ≥1．例6 已知关于x 的方程：17834-=-x m x ，当m 为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m 的最大值。
解：原方程化简整理得：12141214+=-=x m m x ，可得 因为m 为负整数，所以x 214必为小于-1的负整数 所以4154211214-<-<∴-<x x x ，即， 而要使x 214为负整数，x 必是21的倍数，所以x 的最大值为-21 因为当x 取最大值时，m 也取得最大值，所以m 的最大值为-3例7已知关于x ，y 的二元一次方程 (a-1) x+(a+2) y+5-2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。
你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？分析1：将已知方程按a 整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a 的取值无关，所以只须a 的系数x+y-2=0即可。
解法1：将方程按a 整理得：(x+y-2)a=x-2y-5， ∵这个关于a 的方程有无穷多个解，所以有⎩⎨⎧⎩⎨⎧-===-+=-+135202y x y x y x ，解得 由于x 、y 的值与a 的取值无关，所以对于任何的a 值，方程组有公共解⎩⎨⎧-==13y x分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a 取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组⎩⎨⎧=+-=+093033x y 的解。
解法2：令a=1，得：3y+3=0令a= -2，得：-3x+9=0解方程组⎩⎨⎧=+-=+093033x y 得⎩⎨⎧-==13y x ，则⎩⎨⎧-==13y x 就是所求的公共解。
将x=3，y= -1代入(a-1) x+(a+2) y+5-2a=0得：3 (a-1) -(a+2) +5-2a=0整理得0•a=0，说明无论a 取什么值，方程总是成立。
评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a 的形式，通过解与a 无关，得出关于x 、y 的方程组，从而求出公共解。
第二种是先探求公共解，再证明这个解与a 无关。
这两种解法的思路正好相反。
题型二：不等式例8 设a 、b 、c 、d 是四个正数，且满足下列条件：①d＞c ②a+b=c+d ③a+d＜b+c 试判断a 、b 、c 、d 的大小解：∵a+d＜b+c ，a+b=c+d ，∴d－b ＜b －d ，d ＜b ∴b－d=c －a ＞0，c ＞a又d ＞c ∴b＞d ＞c ＞a例9 解关于x 的不等式：k(x+3)＞x+4分析：先整理不等式成ax ＞b 的形式，再进行求解 解：去括号，得kx+3k ＞x+4移项，得kx －x ＞4－3k 合并同类项，得(k －1)x ＞4－3k 若k －1=0，即k=1时，0＞1不成立 ∴不等式无解若k －1＞0，即k ＞1时 134-->k k x 若k －1＜0，即k ＜1时 134--<k k x注：由（k －1）x ＞4－3k ，得出不等式的解集，必须对k －1的符号作出判断，如果不能肯定判断出，就应该讨论。