方程与不等式的实际应用
中考数学复习攻略 专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)
专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。
二次函数的方程与不等式的应用
二次函数的方程与不等式的应用在数学中，二次函数是一个常见且重要的函数类型。
它的方程和不等式在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数方程和不等式的一些常见应用。
一、最值问题二次函数的图像是一个抛物线，它通常有一个最值点，即极值点。
通过求解二次函数的方程，可以找到这个最值点的横坐标。
具体步骤如下：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 求解方程f'(x)=0，得到x的值；3. 将这个x代入原方程中，计算出对应的y的值。
例如，考虑二次函数f(x)=2x^2-3x+1。
首先，求解f'(x)=0，得到x=3/4。
然后，将x=3/4代入原方程，计算得到f(3/4)=5/8。
因此，二次函数f(x)的最小值为5/8。
二、零点问题在解决实际问题中，常常需要找到一个函数的零点，即使得函数等于零的横坐标。
对于二次函数，求解零点的方法是通过解方程f(x)=0来实现。
以下是具体步骤：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 求解方程f(x)=0，得到x的值。
例如，考虑二次函数f(x)=x^2-2x-3。
求解方程f(x)=0，可以分解成(x-3)(x+1)=0，得到x=3或x=-1。
因此，二次函数f(x)的零点为x=3和x=-1。
三、不等式问题除了求解方程，二次函数的方程和不等式还可以用来解决不等式问题。
通过找到二次函数的图像与x轴的交点，可以确定二次函数的零点，进而求解不等式。
具体步骤如下：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 将f(x)进行因式分解，得到f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)，其中x_1和x_2为函数的零点；3. 根据二次函数的图像特性，确定f(x)在x_1和x_2之间的正负变化情况；4. 根据不等式的符号，解决不等式问题。
例如，考虑二次函数f(x)=x^2-2x-3。
首先，找到函数的零点，即x=3和x=-1。
数学应用教案：解决实际问题的方程与不等式
数学应用教案：解决实际问题的方程与不等式一、引言数学应用是数学教育的重要组成部分，通过解决实际问题，将数学知识应用于现实生活中的各种场景，培养学生的实际问题解决能力。
在数学应用中，方程和不等式是常用的数学工具，可以帮助我们建立模型、预测结果、解决实际问题。
本文将针对解决实际问题的方程与不等式展开讨论。
二、方程与不等式的基本概念方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，我们需要找到未知数的值使得等式成立。
不等式是一个不等式关系，其中包含一个或多个未知数，我们需要确定未知数的取值范围使不等式成立。
三、方程与不等式在实际问题中的应用1. 使用方程解决实际问题方程在实际问题解决中起到了至关重要的作用。
以线性方程为例，我们可以通过建立方程表达式来解决与比例、速度、利润等相关的问题。
例如，在应用问题中，我们可以通过建立线性方程求解出商品折扣、速度、利润等信息，帮助我们做出合理决策。
2. 使用不等式解决实际问题不等式同样在实际问题解决中具有重要作用。
不等式可以帮助我们确定一些限制条件，通过将问题转化为不等式的形式，可以求解出符合条件的解集。
例如，在优化问题中，我们可以将问题转化为不等式约束条件，并通过求解不等式来获得最优解。
四、方程与不等式解决实际问题的步骤1. 理解问题并建立模型首先，我们需要仔细阅读问题，理解问题的背景和要求。
然后，针对问题中的未知量和条件，建立方程或不等式模型。
在建立模型时，需要将问题转化为数学语言。
2. 求解方程和不等式在建立好模型后，我们就可以求解方程和不等式来得到问题的解集。
这可以通过代数运算的方法进行，包括化简、配方、整理等操作。
3. 验证解集合的可行性求得解集后，我们需要验证解集合是否符合原始问题的要求。
这一步是非常重要的，可以避免由于数学计算上的错误而得到错误的解。
4. 给出问题的解释最后，我们需要将解释结果，将解集合转化为问题所需的具体值。
这样，我们就可以得到与实际问题相对应的答案。
方程与不等式的应用
方程与不等式的应用一、方程的应用方程是代数学中重要的概念，在实际生活和工作中有着广泛的应用。
方程可以描述不同变量之间的关系，通过求解方程，我们可以得到这些变量的具体取值，从而解决实际问题。
1. 物理学中的方程应用物理学中，方程的应用十分广泛。
以牛顿第二定律为例，力的大小与物体的质量和加速度之间满足方程F=ma。
通过求解这个方程，可以计算得到物体所受到的力的大小。
在工程实践中，通过方程的应用，可以预测建筑物在不同荷载下的变形情况，从而保证建筑物的结构安全性。
2. 经济学中的方程应用方程在经济学中也有着重要的应用。
例如，经济学家可以通过建立供求方程来预测市场的平衡价格和数量。
通过求解这些方程，可以了解市场供求关系的变化，从而制定相应的经济政策。
3. 生物学中的方程应用生物学中，方程的应用主要体现在数理生态学和生物统计学中。
通过方程的建立和求解，可以揭示生态系统中不同物种之间的相互关系，从而对生态系统的稳定性和可持续性进行评估与预测。
二、不等式的应用不等式是数学中另一个重要的概念，比方程更加灵活，可以描述变量之间的大小关系。
不等式的应用范围广泛，在各个领域都有实际的应用。
1. 经济学中的不等式应用在经济学中，不等式常常用于描述资源的分配关系。
例如，通过解决不等式组来确定生产要素的最佳分配方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
2. 最优化问题中的不等式应用最优化问题涉及到求解一个目标函数在给定约束条件下的最大值或最小值。
这些约束条件通常以不等式的形式存在，通过求解不等式约束下的目标函数，可以得到最优解。
3. 几何学中的不等式应用在几何学中，不等式经常用于描述图形的性质和关系。
例如，三角不等式可以描述三角形中任意两边之和大于第三边的关系。
通过求解不等式，可以判断一个三角形是否存在，从而解决与三角形相关的实际问题。
总结：方程和不等式作为数学中的重要概念，在实际生活和工作中都有着广泛的应用。
通过方程的求解，我们可以解决物理、经济、生物等领域中的实际问题；而不等式则可以帮助我们解决经济学中的资源分配问题、最优化问题以及几何学中的图形性质问题。
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题方程和不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用远不止于纸上的计算，更可以帮助我们解决实际生活中的问题。
通过运用方程和不等式，我们可以建立模型，分析问题，找到问题的解决方法。
本文将通过一些实际例子，来探讨方程与不等式的应用，以及如何利用它们解决实际问题。
一、方程的应用方程是用于表示两个量之间相等关系的数学表达式。
在实际中，我们常常会遇到各种各样需要求解的问题，而方程就是帮助我们求解这些问题的工具之一。
举例来说，假设小明有10个苹果，他和小红一起分享这些苹果。
如果小明和小红每人分得的苹果个数相同，我们可以建立如下方程来求解每人分得的苹果个数：10 = 2x其中，x代表每人分得的苹果个数。
解这个方程，我们可以得到x=5，表示每人分得5个苹果。
通过方程的求解，我们得到了问题的解决方法，即每人分得5个苹果，这样就能平均分享。
方程在实际问题中的应用是非常广泛的，无论是物理学、经济学还是工程学，方程都扮演着重要的角色。
通过建立合适的方程模型，我们可以分析问题，找到问题的解决方法。
二、不等式的应用不等式是用于表示两个量之间大小关系的数学表达式。
在实际问题中，有些情况不能简单地用等号表示，而是需要考虑大小关系，这时就需要使用不等式来解决问题。
比如，某公司每月的固定成本为5000元，每个产品的生产成本为10元，售价为20元。
公司希望通过卖出产品来覆盖固定成本，并获得利润。
为了求解该问题，我们可以建立以下不等式：20x ≥ 5000 + 10x其中，x代表销售的产品数量。
通过解这个不等式，我们可以得到销售的产品数量至少需要250个，才能覆盖固定成本并获得利润。
这样，我们就找到了问题的解决方法。
同样地，不等式在实际问题中的应用非常广泛。
比如在优化问题中，我们常常需要考虑资源的有限性和成本的限制，这时就需要使用不等式来求解问题。
三、方程与不等式在实际问题中的综合应用在实际生活中，方程和不等式往往是同时存在的，通过综合运用它们，我们可以更全面地分析问题并找到解决方法。
一元一次方程和不等式相结合的实际应用题
一元一次方程和不等式相结合的实际应用题
1.某高速公路收费站，有m（m＞0）辆汽车排队等候收费通过。
假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的。
若开放一个收费窗口，则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过。
(1)若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问至少要同时开放几个收费窗口？
(2)如果开放5个窗口，几分钟可以随到随走?
2. 某校饭堂在开晚餐前有a名学生在饭堂排队等候就餐，开始卖晚餐后，仍有学生前来排队买晚餐。
设学生前来排队买晚餐的人数按固定的速度增加，饭堂每个窗口卖晚餐的速度也是固定的。
若开放一个窗口，则需要40分钟才使排队等候的学生全部买到晚餐；若同时开放两个窗口，则需15分钟就可使排队等候的学生全部买到晚餐。
（1）写出开放一个窗口时，开始卖晚餐后窗口卖晚餐的速度y（人/分钟）与每分钟新增加的学生人数x（人）之间的关系式。
（2）饭堂为了提高服务质量，减少学生排队的时间，计划在8分钟内让排队等候的学生全部买到晚餐，以使后到的学生能随到随买，求至少要同时开放几个窗口？
3 . 山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？。
线性方程与不等式的解法总结与应用分析
线性方程与不等式的解法总结与应用分析线性方程和不等式是数学中常见的两种基本形式，它们在实际生活、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将总结线性方程和不等式的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、线性方程的解法1. 利用加减法消元解方程。
当线性方程中含有未知数的系数相等或相反时，可通过加减法消元将方程化简为一元一次方程。
例如，对于方程3x + 2 = 7x - 4，可通过将2移项并合并同类项得到5x = 6，进而解得x = 6/5。
2. 利用乘除法消元解方程。
当线性方程中含有未知数的系数相等或是一个是另一个的倍数时，可通过乘除法消元将方程化简为一元一次方程。
例如，对于方程2(x - 1) = 3(x + 2)，可通过将方程两边展开、移项并合并同类项得到2x - 2 = 3x + 6，进而解得x = -8。
3. 利用代入法解方程。
当线性方程是一个未知数的表达式等于另一个未知数的表达式时，可通过代入法将方程转化为一元一次方程。
例如，对于方程2x - 3 = x+ 2，将x + 2代入2x - 3中得到2(x + 2) - 3 = x + 2，进而解得x = 5。
二、线性不等式的解法1. 利用加减法解不等式。
对于一元一次线性不等式，可以使用加减法消元的方式来求解。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，可通过将3移项并合并同类项得到2x > 4，进而解得x > 2。
2. 利用乘除法解不等式。
当不等式中含有未知数的系数是负数时，需要将不等号方向反转。
例如，对于不等式-3x + 2 ≥ 5，可通过将2移项并合并同类项得到-3x ≥ 3，再除以-3，即可解得x ≤ -1。
3. 利用绝对值解不等式。
对于含有绝对值的线性不等式，可以根据绝对值的性质进行分类讨论，并分别解出不等式的解集。
例如，对于不等式|2x - 5| ≤ 3，可以分为两种情况来求解，即2x - 5 ≤ 3和2x - 5 ≥ -3，解得x ≤ 4和x ≥ 1。
简单方程与不等式的运用
简单方程与不等式的运用简单方程与不等式是数学中比较基础的知识点，但它在现实生活中的应用却是十分广泛的。
本文将以实际例子为基础，探讨简单方程与不等式的运用。
一、方程的运用方程是用符号表示的等式，在实际运用中，很多问题都可以用方程来描述和解决。
下面分别从几个生活中的例子进行探讨。
1、电费的计算电费的计算是我们生活中必不可少的一项费用，一般情况下，电费的计算是按照电表读数来计算的。
所以我们需要知道每个月的起始电表读数和终止电表读数，并且要知道电费的单价，才可以计算出电费。
电费的计算可以用以下的方程式进行计算：电费=（终止电表读数-起始电表读数）×单价。
如果我们现在知道了终止电表读数和起始电表读数分别是5000和4000，单价为0.5元/度，那么根据以上的公式，我们可以得出以下的简单方程式：电费= (5000-4000）×0.5 = 500元。
通过以上的方程，我们可以方便快捷的进行电费的计算。
2、速度的计算很多时候，我们需要知道一辆车的速度，那么如何计算车辆的速度呢？速度的计算公式是移动的路程÷用时。
例如，如果一辆车行驶了100公里，用时是2小时，那么根据上述公式，可以计算出该车的速度为 100 ÷ 2 = 50公里/小时。
在现代交通运输中，不仅有汽车，还有高铁、飞机等运输途径。
例如，一列高铁从北京到上海的总长度为1318公里，行驶时间为4小时40分钟，那么根据以上的公式，我们可以得出以下的简单方程式：速度= 1318 ÷（4*60 + 40）=393.65km/h。
通过以上的方程，我们可以方便快捷的计算高铁的速度。
二、不等式的运用不等式是数学中另一个重要的知识点，它和方程一样，在生活中也具有广泛的应用。
下面，我们同样以实例进行解释。
1、食品安全的保障在食品加工和储存过程中，温度的控制非常关键。
温度过高或过低都会影响食品的质量，甚至会导致食品变质。
因此，在食品储存或运输过程中，我们要通过不等式的方式来控制温度。
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答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的 单价为10万元；
（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得： 220a+190（8﹣a）≥1565， 解得：a≥1.5， ∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高， ∴A型污水处理设备买越少，越省钱， ∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最 省钱．
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购 买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案； （2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等 式求出答案．
【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型 污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：
中考专题
—方程与不等式的实际应用
——南薰九义校代昆宏
中
考
真
规
考
点
题
律
情
梳
演
探
报
理
练
究
结合近三年来资阳中考试题分析，方程与不等式的 实际应用有以下特点：
列方程或不等式解决生活中的实际问题是我
们资阳中考的必考点，且应用题材丰富，常与社会 热点、焦点问题相关联、命题形式以解答题为主， 通常出现在我们资阳中考数学解答题的19题，分值 为8分。近三年中考题，少有出现选择题和填空题 的考试形式。根据对近三年的中考数学成绩分析， 方程与不等式的实际应用的得分率较高，但是该考 点的满分率却不尽人意，往往学生在做题的过程过 程中会忽略不等式在实际生活中的应该有的取值范 围，从而产生不必要的的失误性丢分。
考点： 二次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 分析： （1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20－x） 台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据 空调台数是正整数确定进货方案； （2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W 与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出 最大值即可．
(资阳.2014）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空 调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1＝－20x1＋ 1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购 数量x2（台）满足y2＝－10x2＋1300（0＜x2≤20，x2为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空 调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰 箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最 大？并求最大利润．
解答： 解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采
购数量为（20－x）台，
由题意得
解不等式①得，x≥11，解不等式
②得，x≤15， 所以，不等式组的解集是11≤x≤15， ∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以， 该商家共有5种进货方案 （2）设总利润为W元，y2＝－10x2＋1300＝－10（20－x） ＋1300＝10x＋1100， 则W＝（1760－y1）x1＋（1700－y2）x2， ＝1760x－（－20x＋1500）x＋（1700－10x－1100）（20 －x）， ＝1760x＋20x2－1500x＋10x2－800x＋12000， ＝30x2－540x＋12000， ＝30（x－9）2＋9570， 当x＞9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15，∴当x＝15时，W最大值＝30（15－9）2＋ 9570＝10650（元）， 答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650元．
解题基本步骤
壹
陆
审 清
贰
检 验
题找伍Βιβλιοθήκη 答意出 关叁
肆
解
案
系
设
未
列
知
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出 答 案
数
式
子
（资阳.2016）19．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水 处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54 万，购买A型4台、B型2台需68万元． （1）求出A型、B型污水处理设备的单价； （2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可 处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业 设计一种最省钱的购买方案．
牛刀小试：
（资阳.2015）19．（本小题满分8分）学校需要购买一批篮球和足 球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足 球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价； （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球 购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的 资金最多为10500元.请问有几种购买方案？ （3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y （元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最 小值．
1、解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30） 元，由题意得： 2x+3（x﹣30）=510， 解得：x=120， ∴一个篮球120元，一个足球90元．
2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个， 由题意可得：， 解得：40≤x≤50， ∵x为正整数， ∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， ∴共有11种购买方案． （3）由题意可得y=120x+90（100﹣x）=30x+9000 （40≤x≤50） ∵k=30＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=40时，y有最小值，y最小=30×40+9000=10200 （元）， 所以当x=40时，y最小值为10200元．
规律探究：
1.列方程解应用题，应将应用题分类，熟练掌握各种类型的数 量关系，如行程问题、数字问题、打折营销问题、储蓄问题等 所包含的相等关系。
2.列不等式组解应用题应该特别注意题目中的不等关系，如不超 过、不少于、不足等
3.应用题是近几年中考的热点，因此取材相当的丰富，常常从 国情国策、生产生活、环保生态、市场营销、规划策略等取材， 平时应该加强训练，适应新的题型。