高中不等式学习中的数学思想
高中数学必修5第三章《不等式》内容分析
数学必修5第三章《不等式》内容分析同文中学高二数学备课组：陈劲一．教学内容分析：“不等式”是高中数学的传统内容，与高中数学中很多内容有密切关系。
同大纲教材相比，新课标（北师大版）教材在内容安排、编写思路、教材目标与要求上都有较大变化。
新课标教材中不等式主要包括：1.必修5第三章《不等式》中：不等关系、一元二次不等式、基本不等式及二元一次不等式组与简单的线性规划问题。
其结构是：第一节不等关系，讲不等关系、不等式的性质和用不等式来比较大小；第二节讲一元二次不等式；第三节讲基本不等式和用基本不等式求最大值、最小值；最后一节讲简单的线性规划。
线性规划也分几个层次，第一个层次是用二元一次不等式组来刻画平面区域，然后讲简单线性规划的问题，最后讨论简单线性规划的应用。
2.选修4—5《不等式选讲》中：不等式的性质、含绝对值的不等式、基本不等式、不等式的证明、不等式的应用及柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容。
大纲教材中“不等式”只有一章内容共五部分：不等式的基本性质及其证明、两个正数的算术平均数与几何平均数定理的证明与应用、不等式的证明、简单不等式的解法、含绝对值的不等式。
新课程教材的主要变化体现在：在必修5中删除了大纲教材中的“不等式的基本性质及其证明”，“不等式的证明”，“含绝对值的不等式”放在选修4—5中学习。
增加了“不等关系”，将“一元二次不等式”与“线性规划问题”从原来分散在其他章节整合到了本章中，增强了知识体系的整体性、逻辑性和严谨性。
同时还强调信息技术与课程内容的整合，还在“一元二次不等式”中融入了算法思想等。
二．教学目标与要求的分析：1.不等关系：通过具体情境，感受现实世界与生活中存在着大量的不等关系，包括：常量与常量之间的不等关系，常量与变量之间的不等关系，函数与函数之间的不等关系，一组变量之间的不等关系等。
通过了解不等式（组）的实际背景，经历由实际问题建立数学模型的过程，体会基本方法。
不等式问题中的数学思想
不等式问题中的数学思想不等式是数学中重要的概念之一，通过研究不等式，人们可以深入了解数学理论的精髓和数学思想的本质。
不等式在数学教育中具有重要的作用，能够帮助学生培养逻辑思维、提高解决问题的能力，同时也在实际生活中有很多应用。
在不等式问题中，数学思想是如何发挥作用的呢？接下来我们就来深入探讨一下。
不等式问题中的数学思想体现在问题的建模和解决过程中。
在解决不等式问题时，首先要将实际问题转化为数学语言，建立数学模型。
这个过程就需要运用抽象思维和逻辑推理，从复杂的问题中提取出关键信息，用数学符号和表达式来描述问题的特征和限制条件，建立数学关系。
这个过程需要学生具备良好的思维能力和数学素养，能够准确理解问题，抓住问题的本质，将实际问题转化为数学问题。
在建立数学模型的过程中，数学思想体现在对问题的分析和抽象能力上。
解决不等式问题，不是简单的机械操作，而是需要学生对问题有一个整体的把握，理清问题的逻辑关系，找到问题的症结所在。
只有这样，才能准确地建立数学模型，把问题转化为数学语言，为后续的解答和推理奠定基础。
不等式问题中的数学思想体现在解决问题的过程中。
解决不等式问题需要进行逻辑推理，从所建立的数学模型出发，运用数学知识和方法，进行推导和计算，最终得出问题的解答。
在这个过程中，学生需要灵活运用数学原理和方法，进行推理和计算，找到正确的解答。
这就需要学生具备较强的逻辑思维能力和数学运算技巧，同时也需要学生具备较强的数学审美和创新能力，能够巧妙地运用数学知识和方法，解决复杂的问题。
解决不等式问题时，数学思想体现在学生的创新和突破能力上。
有些不等式问题可能并不直接套用已有的知识和方法，需要学生在解题过程中，进行思维的跳跃和突破，找到新的解题思路。
这就需要学生具备勇于探索和创新的精神，能够挑战传统的解题方式，灵活运用数学知识和方法，找到解题的新途径。
不等式问题中的数学思想体现在问题的实际应用中。
不等式问题并不仅仅是数学理论中的抽象概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
不等式问题中的数学思想
不等式问题中的数学思想1. 引言1.1 引言不等式问题是数学中常见的一类问题，它涉及到数学中的基本概念、性质、解法及应用等方面。
不等式问题的研究对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题具有重要意义。
在学习不等式问题时，首先需要了解不等式的基本概念。
不等式是表示大小关系的数学式子，通过不等号（>、<、≥、≤）来表示数之间的大小关系。
在不等式中，比较的对象可以是数字、代数表达式或者函数等。
不等式具有一些特点和性质。
不等式在进行加减乘除等运算时有着一定的规则，同时不等式的解集合可能是无穷大的，并且不等式存在着传递性和对称性等特点。
解不等式是解决不等式问题的关键步骤，常见的解不等式的方法有代入法、分析法、递推法、换元法等。
在解不等式的过程中，需要灵活应用数学思想和方法，善于分析问题的本质和特点，找出解题的关键点。
不等式问题在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程技术等领域都可以看到不等式问题的身影。
数学思想在解不等式问题中扮演着重要的角色，可以帮助我们分析问题、寻找解题方法、提高解题效率。
不等式问题作为数学中重要的一部分，具有着丰富的内涵和广泛的应用价值。
通过学习不等式问题，我们可以提高数学思维能力，解决实际问题，拓展数学的应用领域。
【引言】。
2. 正文2.1 不等式的基本概念不等式是数学中一个非常重要的概念，它在表示数值的大小关系、描述变量之间的关系、以及解决各种实际问题中起着重要作用。
不等式的基本概念包括不等号和不等式的解。
不等式中的不等号通常有大于等于号（≥）、小于等于号（≤）、大于号（>）、小于号（<）四种。
大于等于号表示左边的数大于或等于右边的数，小于等于号表示左边的数小于或等于右边的数，大于号表示左边的数大于右边的数，小于号表示左边的数小于右边的数。
不等式的解是使不等式成立的所有实数的集合。
对于不等式3x + 2 ≥ 8，解集为{x | x ≥ 2}，表示x为所有大于或等于2的实数。
高中数学常见解题思想方法——思想篇(高三适用)九、分类讨论思想 含解析
分类讨论思想是高中重要数学思想之一,是历年高考数学的重点与难点.突出考察思维的逻辑性、全面严谨性，比如在不等式、数列、导数应用相关的习题中，分类讨论思想很常见。
一、什么是分类讨论思想：每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结果不能唯一确定,有些问题的结论不能以统一的形式进行研究，还有些含参数的问题,参数的取值不同也会影响问题的结果，那么就要根据题目的要求，将题目分成若干类型，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再对分好的每类逐一研究、解决问题的数学思想，就是分类讨论思想。
二、分类讨论的一般步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的取值范围；第二,确定分类标准，进行合理分类，不重不漏;第三，对分好的每类进行讨论,获得阶段性结果；第四,归纳总结，得出结论。
三、分类讨论的常见情形：1.由数学概念引起的分类：有的概念本身就是分类给出的,在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、指数与对数函数、直线和平面所成的角等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）,由a的正负而导致开口方向不确定；等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.3。
由某些数学运算要求引起的分类讨论：如解不等式ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0,a＞0解法是不同的；除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数时不等号的方向，三角函数的定义域等．4。
由图形引的不确定性起的分类：有的图形的类型、位置需要分类，比如角的终边所在象限;立体几何中点、线、面的位置关系等。
5.由实际意义引起的分类：此类问题在实际应用题中常见.特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．6。
由参数变化引起的分类:如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以必须对参数的不同取值进行分类讨论；或对于不同的参数值运用不同的求解或证明方法．四、下面我们通过几种具体问题来看看常见的分类讨论情形：1。
高中的数学思想方法介绍
高中的数学思想方法介绍1.函数函数题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.方程或不等式如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.初等函数面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中的不等式选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.参数的取值范围求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线问题圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.曲线方程求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.离心率求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列问题数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何问题立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.换元法遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成；16.二项分布注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；17.绝对值问题绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；18.平移与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；19.中心对称关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
不等式中蕴含的数学思想
不等式（组）中蕴含的数学思想不等式（组）是初中数学的重要内容，其中蕴含了很多数学思想，在解答与不等式（组）相关的问题时，要重视相关数学思想方法的把握与提炼。
其中主要有：一、整体思想根据不同的需要把问题中的某个部分看作一个整体，从而解决问题，就是整体思想。
例1：若方程组⎩⎨⎧=++=+3y 3x 2k y x 3 的解为x 、y ，且2＜k ＜4，求y x -的取值范围。
解：①—②，得1k y x 2-=-）（， 所以 1y x 2k +-=）（ ， 因为 2＜k ＜4，所以 2＜2（x - y ）+1＜4， 解得21＜x - y ＜23。
二、消元思想根据未知数系数的特点，将未知数的个数由多化少，逐一解决的方法，就是消元思想。
例2：在关于x 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+313232121nx x n x x n x x 中，已知n 1＞n 2＞n 3，那么将x 1、x 2、x 3从大到小排列起来应该是 。
①② ① ② ③解：由①—②得2131n n x x -=-， 因为n 1＞n 2 ，所以n 1 －n 2＞0， 所以31x x -＞0，即x 1＞x 3 。
同理，②—③得，x 2＞x 1 ，故x 2＞x 1＞x 3 。
三、数形结合思想借助数轴直观表示出不等式（组）的解集，所体现的就是数形结合思想，往往可化难为易，化繁为简。
例3：若不等式组⎩⎨⎧--≤+-1m x9x 1x 36）（的解集是x ≥3，则m 的取值范围是 。
解：解不等式6－3（x+1）≤x －9，得x ≥3，又因为⎩⎨⎧-≥1m x 3x 的解集是x ≥3，如图（1）可知： m －1＜3，所以m ＜4.四、转化思想由难化易，由繁化简，由未知转化为已知，所体现出的就是转化的数学思想。
例4：先阅读理解下面例题，再按要求完成作业。
例：解一元二次不等式6x 2－x －2＞0.解：因为6x 2－x －2 = （3x-2）（2x+1）＞0，所以由有理数乘法法则“两数向乘，同号得正”得（1）⎩⎨⎧+-1x 22x 3 或（2）⎩⎨⎧+-1x 22x 3 解不等式组（1），得x ＞32，＞ ＞＜0＜0 ＞0 ＞0图（1）解不等式组（2），得x ＜21- 。
高中不等式学习中的数学思想
√ 十 ＝
＜ｃｎ＋ｃ ｂ＋ ｂ
＜ ｂ＋ ｄ ＋ ２ｃ ２ｂ ２
三 统 ＋的 聚
四、 总结
通过 比较 、 总结 、 归纳 ， 在学习过程 中进 一步发现由特殊到一 般的思维
将数学思想在解题中进行了运用。对不等式 的解题过程 和解题思路 础 知 识 不 求甚 解 ， 基 ： －ｌ 不 感 兴 趣 。 衷 于 大 量 做 题 ， 善 于 （ 的是 方式 ， 对 ｉ Ｏ练 Ｓｉ 热 不 有 提高 了学 生分析 问题 和解 决问题 的能力 。 增加 了对 不愿意） 自己的思路进 行检验 ， 对 自己的思 考过程 进行 反思 。 会分 有了更加深刻的理解 。 对 不 不 数学学 习的兴趣。
教师讲概念 ， 推导公式 、 定理 ， 分析解 题思路 ， 后完 成作业 。被 动的学 习 面 。 课 通过图象法等 的运用 ， 渗透抽象与具体 、 联系与转化等辩证 唯物 主义的 方式 。 缺乏 自主探 索、 合作学 习、 立获取 知识 的机 会 ， 通过解题 练 习为 观 点 和 方 法 。 独 仅 主要形式 ， 学习效率低下 ， 抑制 了创造性思维能力 的发展。 ２ 学生数学学 习能力的提高 ． 数学学习为了达到素质教育 的 目标 ， 不仅要学 会数学 ， 具备一 般的数 学能力 ， 而且要“ 会学” 数学 ， 掌握科学 的学习方式 ， 学会 学 习， 发展 思维能
＃ ２ √
＋√ ２： ＋ √ ２
ｆ ＋ｃ ２ ｂ “＞ ｃ ｛ ＋ ＞ ２ Ｉｅ ａ ＞ ＋ｃ ２ ｂ
高中数学：基本不等式知识点总结
一命题趋势基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．二知识网络三数学思想在不等式问题中的体现1、分类讨论思想例1.已知不等式，（1）求该不等式中x的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围。
解：（1）当k>1时，解集为当时，解集为当k<1时，解集为（2）所以小结：当一次项系数为0时，不等式成为两个常数比较大小的形式，与x取值无关。
因此，不等式的解集为R（不等式成立时）或（不等式不成立时）。
2、转化与化归思想例2.已知a，b，c为正整数，且，求的值。
解：因为不等式两边均为正整数，所以不等式与不等式等价，这个等价不等式又可转化为。
∴∴即a=2，b=3，c=6小结：将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题的常用且非常有效的手段。
3、换元思想例3.解不等式解：若令则∵，且∴∴不等式化为即∴解得从而即∴不等式的解集是4、数形结合思想例4.设a<0为常数，解不等式。
解：不等式转化为令函数和其图象如图所示由解得（舍去）∴两个函数图象的交点为由图知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方∴不等式的解集是小结：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。
通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。
对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标准更加明晰。
5、方程思想例5. 已知，求证分析：结论可以转化为，恰好是一元二次方程有实根的必要条件。
解：由已知可化为，这表明二次方程有实根，从而需要判别式，即成立。
6、构造思想例6. 解不等式分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。
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万方数据
高中不等式学习中的数学思想
作者：罗天祺， 郭运江
作者单位：沈阳市第二中学
刊名：
中国校外教育（基教版）
英文刊名：EDUCATION FOR CHINESE AFTER-SCHOOL
年，卷(期)：2010(10)
1.郭运江高中教学有效教学研究[学位论文] 2005
2.付育章培养学生学习数学的情感开启学生学习数学的心智[期刊论文]-教育实践与研究 2001(02)
1.李小惠将数学思想应用到班级管理中[期刊论文]-考试周刊2011(12)
2.李剑评浅析高中数学思想在高考考查中的渗透[期刊论文]-海峡科学2010(9)
3.王益青让学生思维动起来让数学思想活起来[期刊论文]-职业2010(21)
4.郭继华巧用数学思想提高课堂教学效率[期刊论文]-金色年华(教学参考)2010(10)
5.孙凯在探究活动中内化数学思想[期刊论文]-新课程学习(学术教育)2010(2)
6.陈晓岚浅谈中考解题中数学思想的运用[期刊论文]-中国科教创新导刊2010(9)
7.李克大高中课程标准下不等式性质教学内容安排的思考[期刊论文]-数学通报2009,48(12)
8.程冲试论课堂教学中数学思想的引入[期刊论文]-湖北成人教育学院学报2010,16(1)
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10.马凤云让数学思想智慧的灵光在新课改中闪耀[期刊论文]-都市家教(下半月)2010(12)
本文链接：/Periodical_zgxwjy-jj201010120.aspx。