王高雄《常微分方程》(第3版)(名校考研真题 一阶微分方程的初等解法)【圣才出品】
王高雄《常微分方程》(第3版)(章节题库 一阶线性偏微分方程)【圣才出品】
第7章 一阶线性偏微分方程一、填空题与曲面族z＝axy（a为任意常数）正交的曲面为______．【答案】F（x2＋z2，x2－y2）＝0，其中F（u，v）为任意连续可微函数．【解析】与曲面族z＝axy正交的曲面z＝z（x，y）满足偏微分方程；其特征方程组为二．判断题1．偏微分方程的通解可表示为其中是其变元的任意连续可微函数．（）【答案】√2．偏微分方程的特征方程为．（）【答案】×【解析】偏微分方程的特征方程应为．三、解答题1．求下列方程组的通积分及满足指定条件的解．（1）；（2）；当t＝0时，x＝y＝1；（3）解：（1）将方程组的两式相加，得；将x＋y视为未知函数，则上方程为一阶线性方程，解之得即得一个首次积分为方程组的两式相减，得解之得另一个首次积分为易验证．因此，Φ1（t，x，y）＝C1和Φ2（t，x，y）＝C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为从中可解得通解为其中.（2）方程组的两式相比得，变形得恰当方程xdx＋2ydy－ydx－xdy＝0解之得一个首次积分为x2＋2y2－2xy＝C21，即Φ1（t，x，y）＝（x－y）2＋y2＝C21给方程组第一式乘以y，第二式乘以x，再相减得两边积分，得另一个首次积分为易验证Φ1（t，x，y）＝C21和Φ2（t，x，y）＝C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为（x－y）2＋y2＝C21，，通解为其中'1C＝C1sinC2，'2C＝C1cosC2．容易得满足t＝0时，x＝y＝1的解为（3）三个分式相加，得则得一个首次积分为x＋y＋z＝C1．给三个分式的分子分母分别乘以x，y，z，再相加，得又得另一个首次积分为x 2＋y 2＋z 2＝C2．容易验证x ＋y ＋z ＝C 1，x 2＋y 2＋z 2＝C 2是两个独立的首次积分，所以方程组的通积分为x ＋y ＋z ＝C 1，x 2＋y 2＋z2＝C 2．2．求解下列微分方程（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）特征方程组为由可得一个首次积分为 x 2z ＝C 1再由得x d y ＋y d x －xy 2ln x d x＝0即两边积分，有，得另一个首次积分容易验证这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为其中 为任意二元连续可微函数．（2）方程的特征方程组为利用比例性质，有由以上三式分别得再积分，得到三个首次积分容易验证它们是独立的，且它们的个数等于原方程未知函数自变量的个数，故所求方程的通解为其中F （v 1，v 2，v 3）为v 1，v 2，v 3的任意连续可微函数．（3）方程的特征方程组为对于方程分离变量后积分得到一个首次积分t （ln t －1）＋x 2＝C 1．再利用比例的性质有从而有d （tx ＋y ）＝0，由此得到另一个首次积分tx ＋y ＝C 2．容易验证这两个首次积分相互独立，故原方程的通解为u ＝φt （ln t －1）＋x 2，tz ＋y ]其中F 为任意的二元连续可微函数．（4）由原方程组可得即d （x 2＋y 2）＝2（x 2＋y 2）（x 2＋y 2－1）dt 令x 2＋y 2＝z ，则上式可变为积分得因此易求得原方程组的一个首次积分再由原方程组得即有由此得到原方程组的另一个首次积分由于，雅可比矩阵为而，所以这两个首次积分是相互独立的，它们构成方程组的通积分．如果要得到显式通解，考虑到首次积分的具体形式，采用极坐标变换x ＝rcosθ，y ＝rsinθ得，由此解得．因此微分方程组的通解为．另外，方程组有零解x ＝0，y ＝0．（5）把原方程组写为。
常微分方程(王高雄)第三版 2.1教学教材
（I）齐次方程
ddyxg(yx)
(II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
X
40 求解
50 变量还原
dx
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
(y)f(x)d xc (2.2)
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
由 (2.2)所确定 y的 (x,c)就 函 (2 为 .数 1)的.解
例：
分离变量:
常微分方程(王高雄)第三版
1 积分曲线 一阶微分方程
dy f (x, y) dx
的解 y(x所 ) 表x示 y平面上的一,条曲
称为微分方程的积分曲线.
而其通 y解 (x,c对 ) 应 xy平面上的一, 族
称这族曲线为族 积 . 分曲线
.
2 方向场
设函 f(x数 ,y)的定义 D,在 域 D内 为每(一 x,y)处 点 ,都画 上一f个 (x,y以 )的值为 ,中 斜心 率 (x,在 y)点的,线 称段 带 有这种直线 D为 段方 的 d程 y 区 f(x域 ,y)
dt
yn1
fn1(t;
y1,L
yn)
yn
fn(t;y1,L yn)
.
dx
Lorenz方程
dt dy
dt
a(y xz
x) cx
y
dz d t
y bz
Volterra两种种群竞争模型
dx d t
x(a bx cy )
dy
d t
y (d ex
fy )
c1
c2 cn
(,, ,(n1)) (c1,c2, ,cn)
c1
c2 cn 0
(n1) c1
(n1) c2
(n1) cn
其中 (k)表示ddkxk .
.
例3 验证 yc1exc2exc3e2x3是微分方
y'"2y"y' 2y6 的通. 解 证明: 由于 y' c1 exc2ex2c3e2x
七、驻定与非驻定
dyf(y),yDRn dt
与t无关，驻定系统
dyf(t,y),yDRn dt
与t有关，非驻定系统
.
八 相空间与轨线
2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.52．ydy x xdy ydx 2=- 。
解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
王高雄《常微分方程》精讲网课
31
第5章线性微分方程组（8）
01:18:37
32
第6章非线性微分方程（1）
01:03:40
33
第6章非线性微分方程（2）
00:56:21
34
第6章非线性微分方程（3）
00:57:27
35
第7章一阶线性偏微分方程
00:34:11
1．精讲教材章节内容
按照教材篇章结构，辅导老师精讲教材章节内容，并在此基础上分析重难点以及各个知识点需掌握的程度。通过梳理各章知识点，将各个知识点的经络编制清晰，使知识点形成一个框架网络，强化基础知识的基础上分析教材的考点，归纳难点、重点。
17
第4章高阶微分方程（5）
00:55:05
18
第4章高阶微分方程（6）
01:18:0219第4章高阶微源自方程（7）01:22:14
20
第4章高阶微分方程（8）
01:09:17
21
第4章高阶微分方程（9）
01:07:43
22
第4章高阶微分方程（10）
00:43:25
23
第4章高阶微分方程（11）
01:15:57
00:55:35
4
第1章绪论（4）
00:54:27
5
第1章绪论（5）
00:54:01
6
第2章一阶微分方程的初等解法（1）
00:46:01
7
第2章一阶微分方程的初等解法（2）
01:11:48
8
第2章一阶微分方程的初等解法（3）
01:03:04
9
第2章一阶微分方程的初等解法（4）
01:04:55
10
第2章一阶微分方程的初等解法（5）
常微分方程.第3版
常微分方程.第3版
出版社高等教育出版社
《常微分方程（第三版）》是由王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编，朱思铭、王寿松、李艳会修订，高等教育出版社2006年出版的“十一五”国家级规划教材、“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。
该书可作综合大学和师范院校数学与应用数学专业，以及师范专科学校数学系常微分方程课程的教材和各高校数学模型课程的参考资料。
全书共分七章，主要包括一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程、一阶线性偏微分方程、边值问题等内容。
《常微分方程》(王高雄)第三版课后
y= 1 。 1 + ln1 + x
3
dy = 1 + y2 dx xy + x3 y
解：原式可化为：
dy = 1 + y2 •
1
1+ 显然
y2
≠
0, 故分离变量得
y
dy =
1
dx
dx y x + x3
y
1+ y2
x + x3
两边积分得 1 ln1 + 2
y2
=
ln
x
−
1 ln1 + 2
x2
+ ln c (c
c x2 , y
=
0也包含在此通解中。
故原方程的解为原
x2
y2 y2 +
2
=
c
x2,
x
=
0.
解 (2)令xy = u，则原方程化为 du = 1 (u 2 + u 2 + u) = 1 4u
dx x 2 − u 2
x 2−u2
分离变量得 2 − u 2 du = 1 dx，两边积分得 ln y = x 2 y 2 + c，这也就是方程的解。
dx dx
dx t 2
变量分离
t
t2 2 +1
dt
=
dx，两边积分t
−
arctgt
=
x
+
c，代回变量
x + y − arctg(x + y) = x + c
13. dy = 2x − y − 1 dx x − 2 y + 1
解：方程组2x − y −1 = 0, x − 2 y + 1 = 0;的解为x = − 1 , y = 1 33
《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案
4u
x
x4
x
19. 已知 f(x) ∫ f (x)dt = 1, x ≠ 0,试求函数f (x)的一般表达式 . 0
解：设 f(x)=y,
则原方程化为
x
∫
0
f
( x)dt
=
1 y
两边求导得
y
=
−
1 y2
y'
−
y3
=
dy ;;;;;;;;;; dx dx
=
−
y
1 3 dy
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
两边积分得x
17. dy = 2x3 + 3xy + x
dx 3x2 y + 2 y3 − y
解：原方程化为 dy = x(2x2 + 3y 2 + 1) ;;;;; dy 2 = 2x2 + 3y 2 + 1
dx y(3x 2 + 2 y 2 −1) dx 2 3x 2 + 2 y 2 −1
令 y 2 = u,;;;;; x2 = v;;;;;;;则 du = 2v + 3u + 1.......(1)
≠
0),即(1 +
y2)(1 +
x2)
=
c x2
故原方程的解为（1 + y2）(1 + x2) = c x2
4：(1 + x) ydx + (1 − y)xdy = 0
解：由y = 0或x = 0是方程的解，当xy ≠ 0时，变量分离1 + x dx = 1 − y dy = 0
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U x, y x2 cos y x3 y 1 y3 C ，（C 为任意常数）．
3
3．求微分方程
，满足条件
解：
dy y x5 dx x
①是一个非齐次线性微分方程．
的特解．[华南理工大学 2014 研] ①
相应的齐次方程为
dy y ，即 dy dx ， dx x y x 两边积分得 y C ，（C 为任意常数）． x
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台
第 2 章 一阶微分方程的初等解法
一、选择题
1．微分方程 dy 3y x 2 的通解是（ dx
A． y ce3x 1 x 5 39
B． y ce3x 1 x 5 39
C． y ce3x 1 x 5 39
化简得
du eu
dx x
，
两边积分得
eu ln x C ，（C 为任意常数）．
把 u y 代入①得 x
y
e x ln x C ，（C 为任意常数）．
y
即方程的解为 e x ln x C ，其中 C 为任意常数．
（2）原方程变形为
dy y3
y
dx x
，
即
1 2
1 y 1
1 2y
1
y
exdx eydy
①
①是一个变量分离方程，对①两边同时积分得方程的通解为
ex C ey ，即 y ln ex C ，（C 为任意常数）．
（3）由题知
M x, y 2x cos y 3x2 y ， N x, y x2 sin y x3 y2 ，
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应用常数变易法，令 y C x ，则
x
dy C' xx C x
dx
x2
②
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将②代入①，得
C'
x
x6
台
，所以
C
x
1 7
x7
C1
，所以方程①的通解
为 y 1 x6 C1 ． 7x
又已知
y 1
1 ，所以 C1
dx
将②代入①，得
(u2 2u 1) du dx
(u 1)(u2 1)
x
③
又
(u2 2u 1) 1 2 (u 1)(u2 1) u 1 u2 1
且
u
1
du 1
ln
|
u
1
|
C1
，
2
du u2 1
2
arctan
u
C2
，
dx
x
ln
|
x
|
C3
，
其中 Ci，i＝1,2,3 是任意常数．
所以③的解为 ln | u 1| 2 arctan u ln | x | C ，
③
③两边对 y 求导，得
u y
6x2 y
(y)
，
又由②得
6x2 y (y) 6x2 y 4 y3 ， 所以(y) 4 y3 ，故(y) y4 ．
将(y) 代入③式，得 u x3 3x2 y2 x y4 ，
因此，方程的通解为 x3 3x2 y2 x y4 C ，（C 为任意常数）．
台
则
M y
N x
，
因此原微分方程是一个恰当方程．
设 dU x, y＝( 2x cos y 3x2 y )dx＋( x2 sin y x3 y2 )dy
从而有
U x, y x2 cos y x3 y y，
U y
x,
y
x2
sin
y
x3
'
y
N
x,
y，
则 ' y y2 ，故 ' y 1 y3 ，因此方程的通解为
故原微分方程的通解为
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ln
|
y x
1|
2
台
arctan(
y )
x
ln
|
x
|
C
，（C
为任意常数）．
5．解方程： y 1 xydx xdy 0 ．[南京大学 2002 研]
M y
12xy
N x
，
所以原微分方程为恰当方程．
现在求 u，使它 du＝ (3x2 6xy2 1)dx (6x2 y 4 y3 )dy ,则 u 同时满足如下两个方
程：
u 3x2 6xy2 1
①
x
u 6x2 y 4 y3 y
②
①两边对 x 积分，得
u x3 3x2 y2 x (y)
．[华南理工大学 2014 研] ①
M N
由于
y x M
2
仅与
y
有关，从而方程有积分因子
e
2 y
dy
y
2 y2
，
用 乘方程①，得到
2
x y
dx
x2 y2
1 dy
0
②
②是一个恰当方微分方程，且有
d
x2 y
y
0
，
所以原微分方程的通解为
x2 y C ，（Ｃ为任意常数）． y （2）将 y' ex y 变形为
1
dy
dx x
，
这是一个变量分离方程，两边积分得
1 ln
2
y 1
2 ln
y
ln
y 1
ln
x
C1 ，
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整理得方程的解为：
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y2 1 Cx2 y2 ，（C 为任意常数）．
（3）令 M 3x2 6xy2 1, N 6x2 y 4 y3 ，因为
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2．求解如下微分方程:
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（1）
；
（2）
；
（3）
解：（1）将 x2 y2 y' 2xy 变形为
2xydx x2 y2 dy 0
则 M x, y 2xy ， N x, y x2 y2 ，
【解析】由微分方程为恰当方程的充分必要条件是
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二、解答题
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1．求解如下微分方程：
（1）
；
（2）
；
（3）
．[华南理工大学 2013 研]
解：（1）令 u y ，则方程化为 x
xdu udx eu u
①dxຫໍສະໝຸດ 6 7，故满足条件的特解为
y
1 7
x6
6 7x
．
dy y2 2xy-x2 4．求通解： dx = y2 2xy-x2 ．[华中科技大学 2002 研]
解：将原微分方程等价变形，得
dy
(
y )2 x
2
y x
1
dx ( y )2 2 y 1
①
xx
令 u y ，则 dy u x du
②
x dx
D． y ce3x 1 x 5 39
【答案】B
）．[上海交通大学 2002 研]
【解析】将选项从 A 到 D 分别代入验证，当试到 B 时知其满足微分方程，故选项 B
为微分方程的解，后面的无需再试．
2．微分方程 2006 研]
A． B． C． D． 【答案】B
是恰当的，当且仅当（ ）．[四川大学