2018版数学人教A版选修4-4课件：第一讲 坐标系 二
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
返回
[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
返回
互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极 坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替 较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形 的等价性．
返回
[例4]
已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标
返回
[解]
π (1)∵直线 l 过点 M(2， )和极点， 3
π ∴直线 l 的直角坐标方程是 θ＝ (ρ∈R)． 3 π ρ＝2 2sin(θ＋ )即 ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 4 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＝0.
返回
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程． 返回
高中数学人教A版选修4-4课件：平面直角坐标系 (共31张PPT)
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应 x 2 x 的图形经过伸缩变换: 后的图形。
y 3 y
x 2 x x 解：(1)由伸缩变换 y 3 y 得到 ； y
x (2)将 y 1 x 2 代入x2+y2=1， 1 y 3
例1 说出下 图中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4),
2
5 6
C E D O B A
4
4 3
X
(3.5, 5π/3)
F
G
所在位置。
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
四、课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
不能表示点M的坐标的是( C )
10 2 A、 (5, ) B、 ( 5, ) C、 (5, ) 3 3 3
8 D(5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A( 2, ), B( 2 , ), 2 4 O(0,0) ,则 ABO 为( D )
3 y tan , 4 x
。
即y x( y 0)
4 把极坐标方程 =sin+2cos 化为直角坐标方程。
解：因给定的不恒等于零, 得 ＝ sin 2 cos
2
化成直角坐标方程为 x2 y2 y 2x
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图 书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当 的极坐标系,写出各点的极坐标。
高中数学第一讲坐标系本讲整合课件新人教A版选修4_4
1234567
知识建构
综合应用
真题放送
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,
于是△OAB
面积
S=
1 2
|������������|·ρB·sin∠AOB
由直线与圆相切,可知
|1+0-������| 1+1
=
1,
即|1-a|= 2, 解得a=1± 2.
∵a>0,∴a= 2 + 1.
答案: 2 + 1
1234567
知识建构
综合应用
真题放送
3(2017·北京高考,理11)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin
θ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为
在直线 x− 3������ − 1 = 0 上,故|AB|=2.
答案:2
知识建构
综合应用
真题放送
1234567
6(2018·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为
y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的 射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅 有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点, 或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 本讲高效整合1 精品
5．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心 距为________．
解析： 两圆方程分别为 x2＋y2＝2x，x2＋y2＝y，
两圆圆心分别为 C1(1,0)，C20，12，
所以|C1C2|＝
答案：
5 2
12＋122＝
5 2.
6．已知点 M 的柱坐标为23π，23π，23π，则点 M 的直角坐 标为______，球坐标为________．
解析： 设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ， z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z，
x＝23πcos 23π＝－π3， 得y＝23πsin 23π＝ 33π，
z＝23π，
r＝ x2＋y2＋z2，
由 cos
φ＝zr，
r＝2 得
32π，
cos φ＝ 22，
4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极 点和圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系 和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选 择适当坐标系的意义．
5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬 度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方 法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会 它们的区别．
[命题探究]
本章知识在高考中主要以直角坐标系的应用为主，并且主 要以解答题为主，在历年的高考中均有体现，预测今后的高考 中，仍将会出现以建立直角坐标系来解决实际问题的类型，并 且还会有平移变换和直角坐标与极坐标、柱坐标、球坐标等的 互化问题．
热点考点例析
[热点题型]
平面直角坐标系
解析法解决几何问题 1．运用坐标方法研究曲线(含直线)的形状与性质是曲型的 数形结合思想的体现，坐标系的建立，在代数与几何之间架起 了一座桥梁，使直观的几何图形一些性质的证明通过数量运算 得以完美实现． 2．对于一些用纯平面几何知识难以证明的几何性质、定 理等，如果要用坐标法，转化为代数运算，往往给解决问题带 来极大的方便．
2018年数学(人教版选修4-4)课件：第1讲 2 极坐标系
• 2．点的极坐标 • 每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置． 其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角． • 平面上给定一点，可以写出这个点的无数多 个极坐标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对 于给定的点(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两 类，一类为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，另一类为(－ ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．
求点的极坐标
•
写出图中A、B、C、D、E、F、G各 点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)，最内层圆的半径 为1，且各圆半径相差1.
• [思路点拨 ]确定极径、极角即可． 解：对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，
因此这些点的极坐标为
π 3π 7π 7π A7，6， B4， 4 ， C5， 6 ， D6， 4 ，
• 在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时， 就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐 标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点． 但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一 的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上 的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是 极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ＞ 0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面上的点就与 它的极坐标构成一一对应的关系．
第一讲 坐标系
二
极坐标系
• 1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值 性．(难点、易错点) • 2．掌握极坐标与直角坐标的互化．(重点) • 3．掌握极坐标系的简单应用．(难点)
• 1．极坐标系的概念 • (1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O 极轴 ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox长度单位 ，叫做 ______；再选定一个________、一个角度单 位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)，这样就建立了一个极坐标系．
2018-2019学年高二数学人教A版选修4-4讲义：第一讲 一 平面直角坐标系.ppt
一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成几何结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[例1] |2)．[思路点拨] 首先在平行四边形ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A ，B ，C ，D 的坐标，再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明] 如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )， 所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， 所以|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则 (1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点； (2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，求证：|AC |＝|BD |.证明：取BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设A (－a ，h )，B (－b,0)， 则D (a ，h )，C (b,0)． ∴|AC |＝(b ＋a )2＋h 2， |BD |＝(a ＋b )2＋h 2.∴|AC |＝|BD |，即等腰梯形ABCD 中，|AC |＝|BD |.2．在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 求证：△ABC 为等腰三角形．证明：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)， 因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．因为d －b ≠0，所以－b －d ＝c －d ，即－b ＝c ， 所以O 为线段BC 的中点． 又因为OA ⊥BC ，所以|AB |＝|AC |. 所以△ABC 为等腰三角形．[例2] AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长．[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ACBD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝12×23×2＝2 3 km 2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图所示． 由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋1)，x 24＋y 23＝1得13x 2＋8x －32＝0，则x 1＋x 2＝－813，x 1x 2＝－3213，那么弦长L ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋⎝⎛⎭⎫332·⎝⎛⎭⎫－8132－4×⎝⎛⎭⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长为4813km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1 km 处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l ，但在A 村的西北方向400 m 处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问：埋设地下管线l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (－1 000,0)，由W 位于A 的西北方向及 |AW |＝400，得W (－2002，2002)．由直线l 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0. 于是点W 到直线l 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以埋设地下管线l 的计划可以不修改．4.如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x ，y )， 则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上． 因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)， 所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又因为|PB |－|PA |＝4，所以点P 必在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．②联立①②，解得x ＝8或x ＝－3211(舍去)，所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．[例3] 伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1，求曲线C 的方程．[解] 设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点．把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，将其代入4x 2－9y 2＝1，得4·⎝⎛⎭⎫12x ′2－9·⎝⎛⎭⎫13y ′2＝1. 整理得x ′2－y ′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x ′2－y ′2＝1.6．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入方程y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝0B ．25x 2＋9y 2＝1C ．9x 2＋25y 2＝0D ．9x 2＋25y 2＝1解析：选B 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入方程x ′2＋y ′2＝1，得25x 2＋9y 2＝1，∴曲线C 的方程为25x 2＋9y 2＝1.3．圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后所得图形的焦距为( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：选C 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3，代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1，该方程表示椭圆，∴椭圆的焦距为29－4＝2 5.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y ′＝sin x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x ′y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′ D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝2y 解析：选D 设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则μy ＝ sin λx ，即y ＝1μsin λx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ′＝3cos x ′2. 答案：y ′＝3cos x ′26．将点P (－2，2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝－2λ，1＝2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y 7．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝cos ωx (ω>0)，f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的，则ω为________．解析：函数f 2(x )＝cos ωx ，x ∈R(ω>0，ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的，所以13＝1ω，即ω＝3.答案：3 三、解答题8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.解：由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.①(1)将①代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0，表示一条直线．(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B (b,0)，C (0，c )， 则M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫b 2，c 2. 由于|BC |＝b 2＋c 2，|AM |＝b 24＋c 24＝12b 2＋c 2，故|AM |＝12|BC |.10．在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程．(1)曲线y ＝2sin x4变换为曲线y ＝sin 2x ；(2)圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程 y ＝sin 2x 改写为y ′＝sin 2x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入y ′＝sin 2x ′得μy ＝sin 2λx ， 即y ＝1μ sin 2λx ，与原曲线方程比较系数得⎩⎨⎧2λ＝14，1μ＝2，所以⎩⎨⎧λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝18x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x4上的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18，得到曲线y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤14(8x )＝2sin 2x ，再将其纵坐标缩短到原来的12，得到曲线y ＝sin 2x . (2)将变换后的椭圆方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入x ′29＋y ′24＝1得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即⎝⎛⎭⎫λ32x 2＋⎝⎛⎭⎫μ22y 2＝1，与x 2＋y 2＝1比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ32＝1，⎝⎛⎭⎫μ22＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.。
2018学年高中数学选修4-4课件：第1讲 坐标系 2 第1课时 精品
课标定位
1．了解极坐标系的意义． 2．理解点的极坐标的不唯一性． 3．能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
1．利用坐标法解决几何问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．点的极坐标不唯一是易混点，准确理解极坐标系的概 念并用于解题．(难点)
预习学案
直角 坐标 系
极坐 标系
点的表示方法 点与对应坐标
(x，y)，其中x 表示点的水平 位置，y表示点 的垂直高度
点与有序实数对， 即(x，y)是一一对 应的
(ρ，θ)，其中ρ 表示该点到原 点的距离，θ表 示从x轴正半轴 开始逆时针旋 转的角度
一个有序实数对 (ρ，θ)对应着一个 点，而一个点却可 与无数多个(ρ，θ) 对应
解题过程 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位 长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．
Байду номын сангаас
由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2， 得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m， 所以各点的极坐标分别为 O(0,0)，A(300 3，0)，C600，π6， D300，π2，E300 2，34π，F(300，π)，G150 2，34π.
又由 A、B 两舰发现动物信号的时间差为 4 秒， 知|PB|－|PA|＝4，于是知 P 应在双曲线x42－y52＝1 的右支上． 直线 l 与双曲线的交点 P(8,5 3)即为动物的位置，至此问 题便可获解．
据已知两点的斜率公式，得直线PA的倾斜角为60°.于是 舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公 式，可得|PA|＝10.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.极坐标与直角坐标的互化 (1)互化背景：把直角坐标系的原点作为 x轴的正半轴作为 , 极点
，并在两种坐标系中取相同的 极轴
，如图所示. 长度单位 (2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)， 极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ ) ρ 2＝
π 2 3 2 解 因为 ＝ ， y ＝ 3sin － ＝3× 2 2 4 3 2 3 2 2 3 － ＝－ .同理， ， 所以 A 点的直角坐标为 ，－ 2 2 2 2 2 3 B，C 两点的直角坐标分别为(－1， 3)，－ ，0. 2
规律方法 关键.
将点的极坐标(ρ，θ )化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正
弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是
跟踪演练2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
π (1)2， 6
π ；(2)3， 2
；(3)(π
x2＋y2
互化公式 tan θ ＝
y ( x 0) x
要点一 极坐标系的概念
π A2， 3 ，直线
例1
设点
l 为过极点且垂直于极轴的直线，
分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0，－π <θ ≤π ).
解
如图所示，关于极轴的对称点为
2 C2，3π . 2 D2，－3π .
. 一般地，不作特殊说明时，
2.点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与 的坐标为(0，θ)(θ∈R). 如果规定ρ>0, ，那么除 外，平面内的点可用 0≤θ<2π 极点 θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是 确定的. 唯一 唯一 的 极 坐 标 (ρ ， (ρ，θ＋2kπ)(k∈ Z) 表示同一个点，特别地，极点 O
3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？
提示 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的 极坐标与直角坐标的互化公式的纽带. y x 事实上，若 ρ>0，则 sin θ＝ ，cos θ＝ ，
ρ
ρ
y 所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ ＝x ＋y ，tan θ＝x(x≠0).
11 (k∈Z)，只有2， 6 π不满足.
答案 C
要点二 极坐标化为直角坐标
π A 3，－ 4 2π ， B 2， 3 ，
例 2
C
已知点的极坐标分别为
3 ，求它们的直角坐标. ， π 2
π x＝3cos － 4 ＝3×
要点三 直角坐标化为极坐标
例 3 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0， 0≤θ <π )：
(1)( － 2 ， 2 3 ) ； (2)( 6 ， － 2 ) ；
3π (3) 2
3π . ， 2
2 2 2 2
y 解 (1)∵ρ＝ x ＋y ＝ （－2） ＋（2 3） ＝4，tan θ ＝x＝ 2π － 3， θ ∈[0， 2π )， 由于点(－2， 2 3)在第二象限， ∴θ ＝ . 3 2 ∴点的直角坐标(－2，2 3)化为极坐标为4，3π .
2 2 2
[预习导引]
1.极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 叫做 ；再选定一个 ；自极点 O极点 引一条射线Ox，
、一个角度单位 (通常取弧度)及其 长度单位 极轴 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系. 正方向 (2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 ， 记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 对 叫做点M的极坐标，记为 . 极角 M(ρ，θ) 任意实数 (ρ，θ) 我们认为ρ≥0，θ可取 极径 ， 记 为 θ. 有 序 数
，π ).
π π 解 (1)∵x＝ρcos θ ＝2cos 6 ＝ 3，y＝ρsin θ ＝2sin 6 π ＝1.∴点的极坐标2， 化为直角坐标为( 3，1). 6 π π (2)∵x＝ρcos θ ＝3cos 2 ＝0，y＝ρsin θ ＝3sin 2 ＝3. π ∴点的极坐标3， 化为直角坐标为(0，3). 2 (3)∵x＝ρcos θ ＝π cos π ＝－π ，y＝ρsin θ ＝π sin π ＝0.∴点的极坐标(π ，π )化为直角坐标为(－π ，0).
π 在极坐标系中，下列各点中与2， 6
不表示同一个
)
13 B.2， 6 π 23 D.2，－ 6 π
11 A.2，－ 6 π 11 C.2， 6 π
解析
π π 与极坐标 2， 相同的点可以表示为 2， ＋2kπ 6 6
π B2，－ 3
.
关于直线 l 的对称点为
关于极点 O 的对称点为
规律方法
1.点的极坐标不是唯一的，但若限制 ρ>0，0≤θ
<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的. 2.写点的极坐标要注意顺序：极径 ρ 在前，极角 θ 在后，不 能颠倒顺序.
跟踪演练 1 点Biblioteka 是(提示直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点，
体现了数形结合思想.在这里，应该使用角和距离刻画点P位置更方便.
2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？
提示 平面上点的极坐标不是唯一的 .如果限定ρ>0，θ∈[0，2π)，平面上的
点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系.
二
极坐标系
[学习目标] 1.理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性. 2.掌握极坐标与直角坐标的互化. 3.掌握极坐标系的简单应用.
[知识链接] 1.在教材第2页思考中，我们以信息中心为基点，用角和距离刻画点P的位置，这种
刻画就是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？
你认为哪种方法更方便？