北京市西城区2013—2014学年度高一年级第一学期期末数学试卷(基础薄弱校试题)
北京市西城区2014届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．（A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.侧(左)视图16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.甲组 乙组 891a822 F BCEAHD19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- (8)分1sin 222x x =+ πsin(2)3x =+， (10)分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． (12)分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能． (6)分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A==． (7)分（Ⅲ）解：当2a=时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，..................9分则这两名同学成绩之差的绝对值X的所有取值为0,1,2,3,4. (10)分因此2(0)9P X==，2(1)9P X==，1(2)3P X==，1(3)9P X==，1(4)9P X==. (11)分所以随机变量X的分布列为： (12)分所以X的数学期望221115()01234993993E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC BD⊥. (1)分因为平面BDEF⊥平面ABCD，且四边形BDEF是矩形，所以ED⊥平面ABCD， (2)分又因为AC⊂平面ABCD，所以ED AC⊥. (3)分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分（Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以 (0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F ，C ，13()222H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由 33()22DH =， 得 32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===所以直线DH 与平面BDEF . ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13(,)222BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n (10)分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为ex ax -=. 设函数()e x a F x x -=-，则()e 1x a F x -'=-， 令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=， 由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =- (10)分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==，所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． (13)分由3125y k k =-=-，得15k =，验证知符合题意.所以当k =OD有最小值. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. .................. 1分 所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N *Î，q N *Î，所以11n n a a q N -*=?，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =. 由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， (10)分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a qr++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾. 所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分高考资源网版权所有！投稿可联系QQ ：1084591801。
(整理)北京西城北区高一数学上期末试题目含标准答案
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ） A.3π B. 23π C. 43πD.53π2. α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ）A. 3-B. 3C. 13-D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(2,=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6π B.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. πD. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.B.C.D. -10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅的值为（ ） A ．3B ．2C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）C已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+.（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值； （Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________. 2. lg 2lg 5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______. 4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________. 5. 已知集合{1,2,,}U n =，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x =-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1xg a +>恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x --，设12x x <<21n n x x --<<，令0,ns x t x ==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P .试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()ni i n n i m x m x m x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑）。
北京市西城区2014年7月高一数学期末试卷
北京市西城区（北区）2013— 2014学年度第二学期学业测试高一数学 2014.7试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号 一 二三本卷总分1718 19 20 21 22 分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 不等式3)2(<+x x 的解集是（ ） （A ）{13<<-x x }（B ）{31<<-x x } （C ）{,3-<x x 或1>x }（D ）{,1-<x x 或3>x }2. 在等比数列{n a }中，若=321a a a —8，则2a 等于（ ） （A ）—38 （B ）—2（C ）38±（D ）2±3. 总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成。
利用下面的随机数表选取4个个体。
选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（ ）7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800 3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481（A ）02（B ）14（C ）18（D ）294. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）5（C ）14（D ）305. 在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）无法确定6. 已知不等式015<+-x x 的解集为P 。
若P x ∈0，则“10<x ”的概率为（ ） （A ）41 （B ）31 （C ）21 （D ）327. 设0,0>>b a ，则下列不等式中不．恒成立的是（ ） （A ）aa 1+≥2 （B ）22b a +≥2（1-+b a ） （C ）b a -≥b a -（D ）33b a +≥22ab8. 已知数列A ：1a ，2a ，…，n a （<<≤210a a …3,≥<n a n ）具有性质P ：对任意)1(,n j i j i ≤≤≤,i j i j a a a a -+与两数中至少有一个是该数列中的一项。
北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题含答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（ ）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -5．函数2(sin cos )y x x =-的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）3π2（C ）π（D ）π26．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ）（A ）6π （B ）6π-（C ）3π （D ）3π-7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（ ）（A ）4（B ）2（C （D ）18．当[0,π]x ∈时，函数()cos f x x x =的值域是（ ）（A ）[2,1]-（B ）[1,2]-（C ）[1,1]-（D ）[-9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ） （A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位（C ）向左平移2π3个单位 （D ）向右平移2π3个单位10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（ ）（A （B ）1（C ）||m（D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_____． 14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()sin sin cos f x x x x =+⋅的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，其中(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,)22=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ； （Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．19．（本小题满分10分）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a ∈Z ，b ∈Z ．设集合{|()0}A x f x ==，{|(())0}B x f f x ==，且A B =．（Ⅰ）证明：0b =； （Ⅱ）求a 的最大值．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．已知集合{,}A a b =，则满足{,,}AB a b c =的不同集合B 的个数是_____．2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则 实数m 的取值范围是_____．5．已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得M =成立，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M ．已知函数()31([0,1])g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,1]上的几何平均数为_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值． 7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+； （Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.B ；3.B ；4.A ；5.C ；6.A ；7.B ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12-； 12.1213-； 13. (,)42ππ；14.32； 1516. ① ② ③. 注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ， 【 1分】所以 11(,)22+a b =， 【 2分】所以 ||+=a b 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(2=-b ，得 1(cos ,sin 2+=-+ααa b ，1(cos ,sin 2-=+ααa b ， 由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 7分】 所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒， 所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-+=αα， 即 π1sin()62-=α. 【12分】 因为 π02<<α， 所以 πππ663-<-<α， 【13分】 所以 ππ66-=α， 即3π=α. 【14分】19.（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：显然集合A ≠∅．设 0x A ∈，则0()0f x =． 【 1分】 因为 A B =，所以 0x B ∈， 即 0(())0f f x =，所以 (0)0f =， 【 3分】 所以 0b =． 【 4分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得()sin f x a x =，a ∈Z ．① 当0a =时，显然满足A B =． 【 5分】 ② 当0a ≠时，此时{|sin 0}A x a x ==；{|sin(sin )0}B x a a x ==， 即{|sin ,}B x a x k k ==π∈Z ． 【 6分】因为 A B =，所以对于任意x ∈R ，必有sin a x k ≠π (k ∈Z ，且0)k ≠成立． 【 7分】所以对于任意x ∈R ，sin k x a π≠，所以 1k aπ>， 【 8分】 即 ||||a k <⋅π，其中k ∈Z ，且0k ≠．所以 ||a <π， 【 9分】 所以整数a 的最大值是3． 【10分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 4；2.12； 3. 2-，1； 4. (2,2)-； 5. 2. 注：3题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】 ② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<， 解得32log ()2ax b<-. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=； ③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+． （Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥． 【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤． 【 7分】 所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数． 【 8分】·11· 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=． 【 9分】 所以(2014)(2014)20142015f g =+=． 【10分】。
北京师大附中2013-2014学年上学期高一年级期末考试数学试卷 后有答案
北京师大附中2013-2014学年上学期高一年级期末考试数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。
一、选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 角α的终边上有一点（1，－2），则cos α＝（ ）A.5B.C. 5-D. 2. 已知1sin(),tan 023+=<παα，则sin α的值是（ ）A. 13-B. C.13D.3. 设∈x R ，向量(1,1)=-a x ，(1,3)=+b x ，若a ∥b ，则实数x 等于（ ） A. 2B. －2C. 2或－2D.124. 设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )==-a x x b x x ，函数()=⋅f x a b ，则函数()f x 是（ ） A. 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数5. 已知向量(1(==-a b ，则a 与b 的夹角是（ ） A.6πB.4π C.3π D.2π 6. 下列直线中，是函数5sin(2)2=+y x π的对称轴的是（ ） A. 2=-x πB. 4=-x πC. 8=x πD. 54=x π 7. 函数sin(2)(062=+≤≤y x x ππ）的值域是（ ）A. 1[,1]2B. 1[,1]2-C. 11[,]22-D. [2-8. 已知△ABC 中，D 是BC 边上的中点，则32++AB BC CA 等于（ ） A. ADB. BCC. 0D. 2AD9. 已知函数3sin(2)5=+y x π的图象为C ，为了得到函数3sin(2)5=-y x π的图象，只需把C 上所有的点（ ）A. 向左平行移动5π个单位 B. 向右平行移动5π个单位 C. 向左平行移动25π个单位 D. 向右平行移动25π个单位 10. 设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312=A A A A λ（∈R λ），1412()=∈A A A A R μμ，且112+=λμ，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是（ ）A. C 可能是线段AB 的中点B. D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D. C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题（4＇×5＝20分）：11. 若向量a ，b 满足||||1a b ==，a 与b 的夹角为120°，则()a a b ⋅+＝__________。
北京市西城区2013—2014学年度高一年级第一学期期末数学试卷(基础薄弱校试题)
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学 2014.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知[0,2)∈πα，且角α与角π6-终边相同，则=α（ ） （A ）11π6（B ）7π6 （C ）5π6（D ）π62．若sin 0<α，且cos 0>α，则角α是（ ） （A ）第一象限的角 （B ）第二象限的角 （C ）第三象限的角（D ）第四象限的角3．已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么向量122+e e 的坐标是（ ） （A ）(1,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)--（D ）(1,2)4．若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan =α（ ）（A ）5（B ）5-（C ）2- （D ）12-5．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅=（ ）（A ）2（B ）1（C（D ）26．在平面直角坐标系xOy 中，函数sin y x =的图象（ ） （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称（D ）关于点(,0)2π对称7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则向量AD =（ ）（A ）1122AB AC +（B ）AB AC +（C ）1122AB AC -（D ）AB AC -8．已知函数1()cos 22f x x x =+，则()12f π=（ ）（A ）2 （B （C ）1（D9．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ） （A ）120︒（B ）90︒（C ）60︒（D ）30︒10．已知函数()sin cos f x x x =ωω在区间[,]63ππ-上单调递增，则正数ω的最大值是（ ） （A ）32（B ）43（C ）34 （D ）23二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin()3π-=______. 12. 若1cos 2=-α，且(0,)∈πα，则α=______. 13. 已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =_____. 14. 若tan 2=α，且32π∈(π,)α，则sin()2π+=α______. 15. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.若(1)2f -=，则(3)f =_____.16. 已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ．若π,3〈〉=a b ，则c o s ()-=αβ_____.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知3tan 4=-α. （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求2sin 3cos 3sin 2cos --αααα的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()(sin 2cos 2)1f x x x =++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若[,]124x ππ∈，求()f x 的最大值与最小值．19.（本小题满分12分）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，O 为其中心，,M N 分别是,BC DE 上的动点，且BM DN = .（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求OM ON ⋅的值；（Ⅱ）求OM ON ⋅的取值范围.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合2{|430}A x x x =-+>，{|02}B x x =<≤，那么A B = _____. 2. 已知2log 3a =，3log 2b =，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 3. 函数()121()2xf x x =-的零点个数为_____.4. 若函数2()2f x x x =-在区间(,)a +∞上是增函数，则a 的取值范围是_____.5. 给定数集A .若对于任意,a b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合.给出如下三个结论：① 集合{4,2,0,2,4}A =--为闭集合； ② 集合{|2,}A n n k k ==∈Z 为闭集合； ③ 若集合12,A A 为闭集合，则12A A 为闭集合. 其中，全部正确结论的序号是_____.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分10分）已知函数21()x f x x-=.（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数.7.（本小题满分10分）已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.8.（本小题满分10分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设0a >，求()f x 在区间[0,]a 上的最大值.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2014.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A ；2. D ；3. D ；4. C ；5. B ；6. C ；7.A ；8. A ；9. B ； 10. C . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12. 32π； 13.6-； 14.5-15.2； 16. 12. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 3tan 4=-α， 所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 7=-. 【 6分】（Ⅱ）解：因为3tan 4=-α， 所以2sin 3cos 2tan 33sin 2cos 3tan 2--=--αααααα 【 9分】 1817=. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2()(sin 2cos 2)1f x x x =++22sin 22sin 2cos 2cos 21x x x x =+⋅++ 【 2分】 sin 42x =+．【 4分】因为 242T ππ==， 所以()f x 的最小正周期是2π． 【 6分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，()sin 42f x x =+．因为124x ππ≤≤， 所以 43x π≤≤π， 【 8分】所以 0sin 41x ≤≤，所以 2sin 423x ≤+≤． 【10分】 所以，当8x π=时，()f x 取得最大值3；当4x π=时，()f x 取得最小值2．【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，O 为其中心，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以 2OM ON == ，120MON ︒∠=， 【 2分】所以 3cos1208OM ON OM ON ︒⋅==- . 【 4分】（Ⅱ）解：因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，O 为其中心，BM DN =，所以 △DON ≌△BOM . 【 6分】所以 OM ON =，且DON BOM ∠=∠，即 OM ON = ，且120MON ︒∠=. 【 8分】所以 21cos1202OM ON OM ON ON ︒⋅==- . 【10分】当点N 重合于点D 或E 时，ON 取得最大值1，OM ON ⋅取得最小值12-；【11分】当点N 是DE 的中点时，ON 取得最小值2，OM ON⋅取得最大值38-.【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|01}x x <<；2.c b a <<；3. 1；4. [1,)+∞；5.②. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . 【 1分】设x D ∈，则x D -∈，22()11()()x x f x f x x x----==-=--. 【 3分】所以函数()f x 为奇函数. 【 4分】 （Ⅱ）证明：设12,x x 是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->.2221212111()()x x y f x f x x x --∆=-=- 【 6分】22122121121212(1)(1)()(1)x x x x x x x x x x x x ----+==. 【 8分】因为 120x x <<， 所以 120x x >，210x x ->，1210x x +>，所以 0y ∆>， 【 9分】 所以 ()f x 在(0,)+∞上是增函数. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞. 【 1分】因为 1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数. 【 2分】 所以 ()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-.【 4分】 依题意，得 log 31(log 21)a a -=--， 【 5分】 解得a =. 【 6分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数. 【 7分】在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-， 所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -. 【 8分】 依题意，得(0)log 210a f =-≤， 【 9分】 解得 2a ≥. 【10分】8.（本小题满分10分） （Ⅰ）解：原不等式可化为22230x x x ≥⎧⎨--<⎩，，（1） 或22230.x x x <⎧⎨-+>⎩，（2） 【 1分】解不等式组（1），得 23x ≤<；解不等式组（2），得2x <. 【 3分】 所以原不等式的解集为{|3}x x <. 【 4分】（Ⅱ）解：222,2,()|2|2, 2.x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ 【 5分】① 当01a <<时，()f x 是[0,]a 上的增函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-+. 【 6分】 ② 当12a ≤≤时，()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,]a 上是减函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =. 【 7分】③ 当2a >时，令()(1)(2)10f a f a a -=-->，解得1a >. 所以，当21a <≤此时()(1)f a f ≤，()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =；当1a >时，此时()(1)f a f >，()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-.【 9分】 记()f x 在区间[0,]a 上的最大值为()g a ，所以222,01,()1,112,1a a a g a a a a a ⎧-+<<⎪⎪=≤≤+⎨⎪->+⎪⎩ 【10分】。
北京市西城区2012-2013年高一期末数学
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2013.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 在0到2π范围内，与角3π-终边相同的角是（ ）A. 3π B.23π C.43π D.53π 2.α是一个任意角，则α的终边与3α+π的终边（ ）A. 关于坐标原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称3. 已知向量(1,2)=-a ，(1,0)=b ，那么向量3-b a 的坐标是（ ）A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-4. 若向量(13)=，a 与向量(1,)λ=-b 共线，则λ的值为（ ） A. 3-B. 3C. 13-D.135. 函数()f x 的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是π(0)2，，那么()f x 的解 析式可以是（ ） A. sin xB. cos xC. sin 1x +D. cos 1x +6. 已知向量(1,=a ，(=-b ，则a 与b 的夹角是（ ）A. 6π B.4π C.3π D.2π7. 为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度8. 函数212cos y x =- 的最小正周期是（ ）A.4π B.2π C. π D. 2π9. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πcos()4θ+的值等于（ ）A.10B. 10-C.10D. 10-10. 在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（ ） A ．3B ．2CD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11. sin34π=______. 12. 若1cos , (0,)2αα=-∈π，则α=______.13. 已知向量(1,3)=-a ，(3,)x =-b ，且⊥a b ，则x =_____. 14.已知sin cos αα-=，则sin 2α=______.15. 函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为______,最小值为______. 16. 已知函数()sin f x x x =，对于ππ[]22-，上的任意12x x ，，有如下条件：①2212x x >；②12x x >；③12x x >，且1202x x +>． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是_______．（写出所有满足条件的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知2απ<<π，4cos 5α=-. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos 2αα+的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()sin 12xf x x =+-. （Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.19.（本小题满分12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧 AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合{11}P x x =-<<，{}M a =. 若M P ⊆，则a 的取值范围是________. 2. lg2lg5+-=________. 3. 满足不等式122x>的x 的取值范围是_______. 4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在(0,)+∞上是减函数，且2是函数()f x 的一个零点，则满足()0x f x >的x 的取值范围是________.5. 已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件： ①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉； ③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是________；（写出一个即可） （2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）已知函数21()1f x x =-. （Ⅰ）证明函数()f x 为偶函数；（Ⅱ）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.7. （本小题满分10分）设函数(2)(4)2()(2)()2x x x f x x x a x -+≤⎧=⎨-->⎩. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅱ）设函数()f x 在区间[4,6]-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式.8. （本小题满分10分）已知函数()log a g x x =，其中1a >.（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）设()m x 是定义在[,]s t 上的函数，在(,)s t 内任取1n -个数1221,,,,n n x x x x -- ，设12x x << 21n n x x --<<，令0,ns x t x ==，如果存在一个常数0M >，使得11()()nii i m xm x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[,]s t 上的具有性质P . 试判断函数()()f x g x =在区间21[,]a a上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由.（注：1102111()()()()()()()()nii n n i m x m xm x m x m x m x m x m x --=-=-+-++-∑ ）北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2013.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D;2.A;3.D;4.A;5.B;6.C;7.B;8.C;9.C; 10.B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. -12.32π; 13. 1-; 14. 1-; 15. 2,1-; 16. ①③.注：一题两空的试题每空2分；16题，选出一个正确的序号得2分，错选得0分. 三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.解：（Ⅰ）因为4cos 5α=-,2απ<<π,所以3sin 5α=, …………………3分 所以sin 3tan cos 4ααα==-. …………………5分 （Ⅱ）24sin 22sin cos 25ααα==-， …………………8分27cos 22cos 125αα=-=， …………………11分所以24717sin 2cos 2252525αα+=-+=-. …………………12分18.解：（Ⅰ）由已知2()sin 1363f πππ=+ …………………2分11==. …………………4分（Ⅱ）()cos )sin 1f x x x =-+ …………………6分sin 1x x =+2sin()13x π=-+. …………………7分函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k πππ-π+∈Z ， …………………8分 由 22232k x k ππππ-≤-≤π+，得2266k x k π5ππ-≤≤π+.所以()f x 的单调递增区间为[2,2]()66k k k π5ππ-π+∈Z . …………………9分（Ⅲ）()f x 在[,]33π7π上的图象如图所示. …………………12分19.解：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P 是弧AB 靠近点B 的三等分点， 连接OP ，则3BOP π∠=， …………………1分 点P 坐标为1()2a . …………………2分又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，所以3()2AP a = ，(2,0)AB a =， …………………3分所以23AP AB a ⋅=. …………………4分 （Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'-所以(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. …………所以22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+- (222119)2(cos cos )2168a a θθ=++- 222192(cos )48a a θ=+-. …………当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅ 有最小值298a -当cos 1θ=时，AP OP '⋅ 有最大值22a . …………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {11}a a -<<;2.12; 3. {1}x x >-; 4. (2,0)(0,2)- ; 5. {2}，或{1,4}，或{2,3}，或{1,3,4}；16. 注：一题两空的试题每空2分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6. 证明：（Ⅰ）由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . …………………1分设x D ∈，则x D -∈，2211()11()()f x f x x x-=-=-=-. …………………3分 所以函数()f x 为偶函数. …………………4分 （Ⅱ）设12x x ，是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，21222111()()1(1)y f x f x x x ∆=-=--- …………………6分 22212121222222121212()()11=x x x x x x x x x x x x --+=-=. …………………8分 因为120x x <<， 所以210x x +>，210x x ->，所以0y ∆>， …………………9分 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. …………………10分 7.解：（Ⅰ）在区间[2,2]-上，()(2)(4)f x x x =-+.所以()f x 在区间[2,1]--上单调递增，在区间[1,2]-上单调递减， ……………1分 所以()f x 在区间[2,2]-上的最大值为(1)9f -=， …………………3分 最小值为(2)0f =. …………………4分 （Ⅱ）当2a ≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,6]-上单调递减，所以()f x 的最大值为9. …………………5分 当28a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减， 此时(1)9f -=，222()()922a a f +-=≤，所以()f x 的最大值为9. ……………7分当810a <≤时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在2[2,]2a +单调递增，在2[,6]2a +上单调递减. 此时222()()(1)22a a f f +-=>-，所以()f x 的最大值为2(2)4a -.………………8分 当10a >时，()f x 在[4,1]--上单调递增，在[1,2]-上单调递减，在[2,6]单调递增， 此时(6)4(6)(1)f a f =->-，所以()f x 的最大值为4(6)a -. …………………9分综上，298,(2)()810,44(6)10.a a g a a a a ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎩ …………………10分 8.解：（Ⅰ）当[0,1]x ∈时，(2)1x g a +>恒成立，即[0,1]x ∈时，log (2)1x a a +>恒成立， …………………1分 因为1a >，所以2xa a +>恒成立， …………………2分 即2xa a -<在区间[0,1]上恒成立，所以21a -<，即3a <， …………………4分 所以13a <<. 即a 的取值范围是(1,3). …………………5分 （Ⅱ）由已知()f x =log a x，可知()f x 在2[1,]a 上单调递增，在1[,1]a上单调递减，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<= ， 当存在某一个整数{1,2,3,,1}k n ∈- ，使得1k x =时，1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211[()()][()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-21()(1)()(1)123f f f a f a=-+-=+=. …………………7分当对于任意的{0,1,2,3,,1}k n ∈-，1k x ≠时，则存在一个实数k 使得11k k x x +<<，此时1011211()()[()()][()()][()()]ni i k k i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑1211()()[()()][()()]k k k k n n f x f x f x f x f x f x +++-+-+-++-011()()()()()()k k k n k f x f x f x f x f x f x ++=-+-+-……（*） 当1()()k k f x f x +>时，（*）式01()()2()3n k f x f x f x +=+-<， 当1()()k k f x f x +<时，（*）式0()()2()3n k f x f x f x =+-<，当1()()k k f x f x +=时，（*）式01()()()()3n k k f x f x f x f x +=+--<.……………9分 综上，对于21(,)a a内的任意一个取数方法201211n n x x x x x a a-=<<<<<= ， 均有11()()3ni i i f x f x -=-≤∑.所以存在常数3M ≥，使11()()nii i f x f xM -=-≤∑恒成立，所以函数()f x 在区间21[,]a a上具有性质P .此时M 的最小值为3. …………………10分。
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学 2014.1（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号 一 二三本卷总分1718 19 20 21 22 分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆2221x y y ++=的半径为( ) A. 1B.2C. 2D. 42．双曲线1922=-y x 的实轴长为( ) A. 4B. 3C. 2D. 13．若(,1,3)x =-a ，(2,,6)y =b ，且//a b ，则( ) A. 1,2x y ==- B. 1,2x y == C. 1,22x y ==- D. 1,2x y =-=-4．命题“x ∀∈R ,20x ≥”的否定为( ) A. x ∀∈R ，20x < B. x ∀∈R ，20x ≤ C. x ∃∈R ，20x ≥D. x ∃∈R ，20x <5． “n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6．关于直线,a b 以及平面,M N ,下列命题中正确的是( )A. 若//a M ，//b M ，则//a bB. 若//a M ，b a ⊥，则b M ⊥C. 若b M ⊂，且a b ⊥，则a M ⊥D. 若a M ⊥，//a N ，则M N ⊥7．已知12,F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，8AB =，则22AF BF +=( ) A. 2B. 10C. 12D. 148．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A. 8B. 6C. 4D.839．已知平面内两个定点(1,0),(1,0)A B -，过动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN BN =⋅，则动点M 的轨迹是（ ）A. 圆B. 抛物线C. 椭圆D. 双曲线10. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别 是线段B B 1，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1DG ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ，则其标准方程为_______.12. 命题“若x y >，则x y >”的否命题是：__________________.222俯视图侧视图正视图F DA BC A 1B 1C 1D 1E G13. 双曲线221412x y -=的离心率为_______；渐近线方程为_______.14. 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为_______.15. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是边长为1的正方形，1D B 与平面ABCD 所成的角为45， 则棱1AA 的长为_______；二面角1B DD C --的 大小为_______.16. 已知M 为椭圆22143x y +=上一点，N 为椭圆长轴上一点，O 为坐标原点. 给出下列结论：① 存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形； ② ②不存在点,M N ，使得OMN ∆为等边三角形；③存在点,M N ，使得90OMN ∠=；④不存在点,M N ，使得90OMN ∠=. 其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面PAD ； （Ⅱ）求证：MN AB ⊥.18.（本小题满分13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点(2,2)，且圆心在x 轴上.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点(1,2)，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.ABCDNPMD ABCA 1B 1C 1D 119.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A CE ；（Ⅱ）求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.20.（本小题满分14分）如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（Ⅰ）求证：AB ⊥DE ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在ABE ∆内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ，如果存在，求PQ 的长；如果不存在，说明理由． BECDP·ABCA 1B 1C 1E21.（本小题满分13分）已知抛物线2:12C y x =，点(1,0)M -，过M 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标等于2，求直线l 的斜率； （Ⅱ）设点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.22.（本小题满分14分）已知,,A B C 为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若,A C 所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.D 10. B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. x y 42= 12. 若x y ≤，则x y ≤. 13. 2，3y x =±14. π:2 15. 2,45 16. ①④注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出①或④得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.17. 证明：（Ⅰ）取PD 中点Q ，连结AQ,NQ .因为 N 是PC 中点， 所以 1//2NQ DC . ………………2分 又M 是AB 中点，1//2AM DC , 所以 //AM NQ ，四边形AQNM 是平行四边形. ………4分 所以 //MN AQ . ………………5分 因为 MN Ë平面PAD ，AQ Ì平面PAD ， 所以 //MN 平面PAD . ………………7分（Ⅱ）因为 PA ^平面ABCD ,所以 PA AB ^. ………………8分又 ABCD 是矩形，所以 AB AD ^. ………………9分 所以 AB ^平面PAD , ………………10分 所以 AB AQ ^. ………………11分 又 //AQ MN ,所以 AB MN ^. ………………13分18. 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ，ABCDNPM Q依题意，有22(2)2a a =-+， ………………2分即2248a a a =-+，解得2a =， ………………4分 所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=. ………………6分 （Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， ………………8分所以直线1x =符合题意. ………………9分 另，设直线l 方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=， 则2211k k +=+， ………………11分解得34k =-， ………………12分 所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=. ………………13分综上，直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.（Ⅰ）证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以11CC AC ,CC BC ^^，又90ACB?o，即AC BC ^. ………………2分 如图所示，建立空间直角坐标系C xyz -.(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,， 所以 1=(222)AB ,,-uuu r ，=(110)CE ,,uur ， 1=(202)CA ,,uuu r. ………………4分 又因为 10AB CE ?uuu r uur ，110AB CA ?uuu r uuu r， ………………6分 所以 1AB CE ^，11AB CA ^，1AB ^平面1ACE . ………………7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1=(222)AB ,,-uuu r是平面1ACE 的法向量， ………………9分 11==(200)C A CA ,,uuu r uu r， ………………10分则 111111111cos C A AB C A ,AB C A AB ×狁=uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r 33=. ………………12分 设直线11A C 与平面1ACE 所成的角为q ， 则111sin =cos C A ,AB 狁uuu u r uuu rq 33=. 所以直线11A C 与平面1ACE 所成角的正弦值为33. ………………13分 20. （Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结OD,OE ， ………………1分 A BC A 1B 1C 1E x y z因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ^. 因为 四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，AB //CD ， 所以 四边形OBCD 是平行四边形，OD //BC ， 又 AB BC ^，所以 AB OD ^. 所以 AB ^平面ODE ，………………3分 所以 AB DE ^. ………………4分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ^，所以OE ^平面ABCD ，所以 OE OD ⊥. ………………5分 如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系.则 (100)A ,,，(100)B ,,-，(001)D ,,，(101)C ,,-，(030)E ,,.所以 =(101)AD ,,-uuu r ,=(031)DE ,,-uuu r， ………………6分设平面ADE 的法向量为1n 111=()x ,y ,z ，则1100DE ADìï?ïíï?ïïîuuu r uuu r n n 1111300y z x z ìï-=ïÛíï-+=ïî， ………………7分 令11z =，则11x =,133y =.所以1n 3=(11)3,,. ………………8分 同理求得平面BCE 的法向量为2n =(310),,-， ………………9分设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212×=n n n n 77=.所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. ………………10分 （Ⅲ）解：设22(0)Q x ,y ,，因为131()222P ,,-， 所以22131()222PQ x ,y ,=+--uu u r ，=(100)CD ,,uu u r ,=(031)DE ,,-uuu r . 依题意00PQ CD PQ DEìï?ïíï?ïïîuu u r uu u ruu u r uuu r，， 即22102313()022x ,y ,ìïï+=ïïïíïï-+=ïïïî………………11分 A B E CDP·yxz O解得 212x =-，233y =. ………………12分符合点Q 在三角形ABE 内的条件. ………………13分 所以，存在点13(0)23Q ,,-，使PQ ^平面CDE ，此时33PQ =.…………14分 21.解：（Ⅰ）设过点(1,0)M -的直线方程为(1)y k x =+，由 2(1),12,y k x y x =+⎧⎨=⎩ 得2222(212)0k x k x k +-+=. ………………2分因为 20k ≠，且2242(212)4144480k k k ∆=--=->，所以，(3,0)(0,3)k ∈- . ………………3分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122122k x x k -+=，121x x =. ………………5分 因为线段AB 中点的横坐标等于2，所以2122622x x k k+-==， ………………6分 解得2k =±，符合题意. ………………7分 （Ⅱ）依题意11(,)A x y '-，直线212221:()y y A B y y x x x x +'-=--， ………………8分又 21112y x =，22212y x =， 所以 222112()y x x y y y =-+-， ………………9分12212112y y x y y y y =--- ………………10分因为 221212144144y y x x ==， 且12,y y 同号，所以1212y y =， ………………11分 所以 2112(1)y x y y =--， ………………12分所以，直线A B '恒过定点(1,0). ………………13分22. 解：（Ⅰ）由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=，解得0x =或43x =-， ………………2分 所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41(,)33--， ………………4分所以423AC =. ………………5分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则(2,0)B ， 因为3OB OP =，P 在线段OB 上，所以2(,0)3P ，求得423AC =，……6分 所以OAC ∆的面积等于4224=23391⨯⨯. ………………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分 122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+， 所以，AC 的中点P 的坐标为222(,)2121km mk k -++， ………………9分所以2263(,)2121km mB k k -++，代入椭圆方程，化简得22219k m +=. ……………10分 计算 AC 2212121()4kx x x x =++-22222212121k k m k ++-=+…………11分281=9k m+. ………………12分因为点O 到AC 的距离O AC d -=21m k+. ………………13分所以，OAC ∆的面积2OAC O AC S AC d ∆-1=⋅228142991m k m k 1+=⨯⋅=+. 综上，OAC ∆面积为常数49. ………………14分。
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北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学 2014.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知[0,2)∈πα，且角α与角π6-终边相同，则=α（ ） （A ）11π6（B ）7π6 （C ）5π6（D ）π62．若sin 0<α，且cos 0>α，则角α是（ ） （A ）第一象限的角 （B ）第二象限的角 （C ）第三象限的角（D ）第四象限的角3．已知向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，那么向量122+e e 的坐标是（ ） （A ）(1,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)--（D ）(1,2)4．若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan =α（ ）（A （B ）（C ）2- （D ）12-5．已知正方形ABCD 的边长为1，则AB AC ⋅= （ ）（A ）2（B ）1（C （D ）26．在平面直角坐标系xOy 中，函数sin y x =的图象（ ） （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称（D ）关于点(,0)2π对称7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则向量AD =（ ）（A ）1122AB AC +（B ）AB AC +（C ）1122AB AC -（D ）AB AC -8．已知函数1()cos 2f x x x =+，则()12f π=（ ）（A ）2 （B ）2（C ）1（D 9．设a ，b 是两个非零向量，且+=-a b a b ，则a 与b 夹角的大小为（ ） （A ）120︒（B ）90︒（C ）60︒（D ）30︒10．已知函数()sin cos f x x x =ωω在区间[,]63ππ-上单调递增，则正数ω的最大值是（ ） （A ）32（B ）43（C ）34 （D ）23二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin()3π-=______. 12. 若1cos 2=-α，且(0,)∈πα，则α=______. 13. 已知向量(1,3)=a ，(2,)k =-b ．若向量a 与b 共线，则实数k =_____. 14. 若tan 2=α，且32π∈(π,)α，则sin()2π+=α______. 15. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.若(1)2f -=，则(3)f =_____.16. 已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ．若π,3〈〉=a b ，则cos()-=αβ_____.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知3tan 4=-α. （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求2sin 3cos 3sin 2cos --αααα的值.18.（本小题满分12分）已知函数2()(sin 2cos2)1f x x x =++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若[,]124x ππ∈，求()f x 的最大值与最小值．19.（本小题满分12分）如图，正六边形A B C D E F 的边长为1，O 为其中心，,M N 分别是,BC DE 上的动点，且BM DN = .（Ⅰ）若,M N 分别是,BC DE 的中点，求OM ON ⋅的值；（Ⅱ）求OM ON ⋅的取值范围.B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 已知集合2{|430}A x x x =-+>，{|02}B x x =<≤，那么A B = _____. 2. 已知2log 3a =，3log 2b =，21log 3c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____. 3. 函数()121()2xf x x =-的零点个数为_____.4. 若函数2()2f x x x =-在区间(,)a +∞上是增函数，则a 的取值范围是_____.5. 给定数集A .若对于任意,a b A ∈，有a b A +∈，且a b A -∈，则称集合A 为闭集合.给出如下三个结论：① 集合{4,2,0,2,4}A =--为闭集合； ② 集合{|2,}A n n k k ==∈Z 为闭集合；③ 若集合12,A A 为闭集合，则12A A 为闭集合.其中，全部正确结论的序号是_____.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6.（本小题满分10分）已知函数21()x f x x-=.（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数.7.（本小题满分10分）已知函数()log (2)1a f x x =+-，其中1a >.（Ⅰ）若()f x 在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数，求a 的值； （Ⅱ）若()f x 的图象不经过第二象限，求a 的取值范围.8.（本小题满分10分）已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；（Ⅱ）设0a >，求()f x 在区间[0,]a 上的最大值.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2014.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A ；2. D ；3. D ；4. C ；5. B ；6. C ；7.A ；8. A ；9. B ； 10. C . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 12. 32π； 13.6-；14.15.2； 16. 12.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 3tan 4=-α， 所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】 7=-. 【 6分】（Ⅱ）解：因为3tan 4=-α， 所以2sin 3cos 2tan 33sin 2cos 3tan 2--=--αααααα 【 9分】1817=. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：2()(sin 2cos2)1f x x x =++22sin 22sin 2cos 2cos 21x x x x =+⋅++ 【 2分】 sin 42x =+． 【 4分】因为 242T ππ==， 所以()f x 的最小正周期是2π． 【 6分】 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，()sin 42f x x =+．因为124x ππ≤≤， 所以 43x π≤≤π， 【 8分】所以 0sin 41x ≤≤，所以 2sin 423x ≤+≤． 【10分】 所以，当8x π=时，()f x 取得最大值3；当4x π=时，()f x 取得最小值2．【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，O 为其中心，且,M N 分别是,BC DE 的中点，所以 2OM ON == ，120MON ︒∠=， 【 2分】所以 3cos1208OM ON OM ON ︒⋅==- . 【 4分】（Ⅱ）解：因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，O 为其中心，BM DN =，所以 △DON ≌△BOM . 【 6分】所以 OM ON =，且DON BOM ∠=∠，即 OM ON = ，且120MON ︒∠=. 【 8分】 所以 21cos1202OM ON OM ON ON ︒⋅==- . 【10分】当点N 重合于点D 或E 时，ON 取得最大值1，OM ON ⋅取得最小值12-；【11分】当点N 是DE 的中点时，ON 取得最小值2，OM ON⋅取得最大值38-.【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|01}x x <<；2.c b a <<；3. 1；4. [1,)+∞；5.②. 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：由已知，函数()f x 的定义域为{0}D x x =∈≠R . 【 1分】设x D ∈，则x D -∈，22()11()()x x f x f x x x----==-=--. 【 3分】所以函数()f x 为奇函数. 【 4分】 （Ⅱ）证明：设12,x x 是(0,)+∞上的两个任意实数，且12x x <，则210x x x ∆=->.2221212111()()x x y f x f x x x --∆=-=-【 6分】 22122121121212(1)(1)()(1)x x x x x x x x x x x x ----+==. 【 8分】 因为 120x x <<， 所以 120x x >，210x x ->，1210x x +>，所以 0y ∆>， 【 9分】 所以 ()f x 在(0,)+∞上是增函数. 【10分】7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()log (2)1a f x x =+-的定义域是(2,)-+∞. 【 1分】因为 1a >，所以 ()log (2)1a f x x =+-是[0,1]上的增函数. 【 2分】 所以 ()f x 在[0,1]上的最大值是(1)log 31a f =-；最小值是(0)log 21a f =-. 【 4分】依题意，得 log 31(log 21)a a -=--， 【 5分】 解得a =【 6分】（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，()log (2)1a f x x =+-是(2,)-+∞上的增函数. 【 7分】在()f x 的解析式中，令0x =，得(0)log 21a f =-，所以，()f x 的图象与y 轴交于点(0,log 21)a -. 【 8分】 依题意，得(0)log 210a f =-≤， 【 9分】 解得 2a ≥. 【10分】8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：原不等式可化为22230x x x ≥⎧⎨--<⎩，， （1） 或22230.x x x <⎧⎨-+>⎩，（2） 【 1分】解不等式组（1），得 23x ≤<；解不等式组（2），得2x <. 【 3分】 所以原不等式的解集为{|3}x x <. 【 4分】（Ⅱ）解：222,2,()|2|2, 2.x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩ 【 5分】① 当01a <<时，()f x 是[0,]a 上的增函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-+. 【 6分】 ② 当12a ≤≤时，()f x 在[0,1]上是增函数，在[1,]a 上是减函数，此时()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =. 【 7分】③ 当2a >时，令()(1)(2)10f a f a a -=-->，解得1a >.所以，当21a <≤()(1)f a f ≤，()f x 在[0,]a 上的最大值是(1)1f =；当1a >+()(1)f a f >，()f x 在[0,]a 上的最大值是2()2f a a a =-.【 9分】记()f x 在区间[0,]a 上的最大值为()g a ，所以222,01,()1,112,1a a a g a a a a a ⎧-+<<⎪⎪=≤≤+⎨⎪->+⎪⎩ 【10分】。