浙江省宁波市2017-2018学年高一统考试数学试题

宁波市2017学年第一学期期末考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{1,3,4,7}A =，{1,2,4,6,7}B =，则()U C A B = （ ） A ．{3,6} B ．{5} C ．{2,3,5,6} D ．{1,2,3,4,5,6,7}
2.下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）
A ．0.5log y x =
B ．sin y x =
C ．2x y =
D ．tan y x = 3.若幂函数()f x x α=的图像过点(4,2)，则(9)f 的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．3± D ．3 4.若角α的终边经过点(1,1)P --，则（ ） A ．tan 1α= B ．sin 1α=-
C.cos α=
．sin α=5.在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，则向量CD = （ ）
A ．12BA BC -
B ．12
BA BC --
C.12BA BC -+ D ．12
BA BC +
6.下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线6
x π
=对称的是（ ）
A ．1sin()212y x π=-
B ．sin(2)6y x π
=+
C.1cos()26y x π=+ D ．cos(2)6y x π
=+
7.函数||cos x x
y e
=的图像大致是（ ）
A ．
B ． C.
D ．
8.已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()x e f x g x =+，则()f x =（ ）
A ．2x x e e --
B ．2x x e e -+ C.2x x e e -- D ．2x x e e ---
9.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：||||s i n m n m n θ⨯
=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c
为非零向量，则下列说法错误．．
的是（ ） A ．a b b a ⨯=⨯ B ．()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯ C.若0a b ⨯=，则//a b D ．()a b a b ⨯=-⨯
10.已知[,]22ππα∈-，[,0]2π
β∈-，且211sin cos 2()()24παβαβ--=-，则sin()2
α
β-=（ ）
A ．1
2
- B ．0 C.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11.已知2log 3a =，则2log 9= （用a 表示），2a = ．
12.已知(1,1)A -，(3,3)B ，(1,)a m =，且//AB a ，则||AB =
，m = ．
13.已知函数()=2sin()f x x ωϕ+(0,0)2
π
ωω><<
一部分图像如图所示，则
ω= ，函数()f x 的图像可以由()2sin g x x ω=的图像向左平移至少
个单位得到．
14.()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x =，且关于x 的方程
2[()]4f x -()0f x a +=在R 上有三个不同的实数根，则(1)f -= ，
a = ．
15.弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提
出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是 ． 16.已知向量,a b 的夹角为
3
π
，(0,1)a =，||2b =，则|2|a b -= ．
17.函数65,1
()2,1x x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩
．若存在12x x <，使得12()()f x f x =，则12()x f x ⋅的最大值
为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知集合={|3}A x x a -≤≤，a R ∈，{|34,}B y y x x A ==+∈，2{|,}C z z x x A ==∈. （Ⅰ）若0a =，求A B ；
（Ⅱ）若3a ≥，且B C B = ，求a 的取值范围.
19.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若(0,)2
x π
∈，求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的值.
20.如图所示，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3
BAD π
∠=
.
（Ⅰ）求AB AC ⋅
的值；
（Ⅱ）若点P 在线段AB 及BC 上运动，求()AB AC AP +⋅
的最大值.
21.已知,(0,)
2
π
αβ∈，sin α=
sin β=. （Ⅰ）求cos()αβ+的值；
（Ⅱ）是否存在,(0,)2
x y π
∈，使得下列两个式子：①
2x y αβ+=+；②t a n t a n 22
x
y ⋅=-同时成立？若存在，求出,x y 的值；若不存在，请说明理由. 22.已知函数2()log (1)f x x =+，()||g x x x a =-.
（Ⅰ）若()g x 为奇函数，求a 的值并判断()g x 的单调性（单调性不需证明）；
（Ⅱ）对任意1[1,)x ∈+∞，总存在唯一的2[2,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求正实数．．．a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:CCDAA 6-10:BDABC
二、填空题
11.2a ，3 12.2 13.2，6
π
14.2，3
15.1 16.2 17.
25
24
三、解答题
18.解：（Ⅰ）由题可得0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤. ∴{|30}A B x x =-≤≤ .
（Ⅱ）∵B C B = ，∴C B ⊆，{|534}B y y a =-≤≤+.
3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤. ∴234a a ≤+，14a -≤≤. ∴34a ≤≤.
19.解：（Ⅰ）()2cos2f x x x +2sin(2)6
x π
=+.
∴函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
=. （Ⅱ）∵(0,)2
x π∈，()2sin(2)6
f x x π
=+
，∴72(,)666
x π
ππ
+
∈∴max ()2f x =. 此时26
2
x π
π
+
=
，∴6
x π
=
.
20.解：（Ⅰ）以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，
∴(2,0)B
，C ，(2,0)AB =
，AC =
.∴6AB AC ⋅= .
（Ⅱ）AB AC +=
，
设(,)P x y
，∴()5AB AC AP x +⋅=
.
所以当点P 在点C 处时，()AB AC AP +⋅
的值最大，最大值为18.
21.解：（Ⅰ）∵,(0,)2
π
αβ∈
，sin α=
sin β=，
∴cos α=
cos β=
∴1cos()cos cos sin sin 2
αβαβαβ+=-= （Ⅱ）∵(0,)αβπ+∈，∴3
π
αβ+=
，∴
23
x y παβ+=+=.
∴tan tan 2tan()21tan tan 2
x
y
x y x y ++==-⋅
∵tan tan 22x y ⋅=
tan tan 32x
y +=
∴tan 2
x
，tan y
是方程2(320t t -+的两个根.
∵,(0,)2x y π∈，∴0tan 12x <<
，∴tan 22
x
=tan 1y =.
∴4
y π
=
，6
x π
=
.即存在6
x π
=
，4
y π
=
满足①②两式成立的条件.
22.解：（Ⅰ）∵()g x 为奇函数，∴()()(||||)0g x g x x x a x a +-=--+=恒成立. ∴0a =.此时()||g x x x =，在R 上单调递增.
（Ⅱ）1[1,)x ∈+∞，2()log (1)f x x =+，∴1()[1,)f x ∈+∞
2
2
,(),x ax x a
g x x ax x a
⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩. ①当2a ≤时，2()g x 在[2,)+∞上单调递增，∴(2)421g a =-≤，32
a ≥，∴3
22a ≤≤
②当24a <<时，2()g x 在[2,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增. ∴(2)421g a =-+<，52
a <
，∴5
22a <<
③当4a ≥时，2()g x 在[2,]2a 上单调递增，在[,]2
a a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增.
∴2
2()()1222
a a a g =-+
<，22a -<<，不成立. 综上可知，35
22
a ≤<.。