第13讲 图论模型

顶点的次数
定义 （１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次） 称为 v 的次数，记为 d(v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度， 记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)， d(v)=d+(v)+d-(v) 称为 v 的次数．
wij aij 0
若(vi , v j ) E , 且wij为其权 若i j 若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1 v2 v3 v4 0 2 7 v1 A= 2 0 8 3 v2 8 0 5 v 3 7 3 5 0 v 4
若vi 与e j 相关联 若vi 与e j 不关联
注：假设图为简单图
e1 1 M= 1 0 0
e 2 e3 e 4 e 5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝(mij ) ，其中：
vk 到
Wv 0 v k 的通路，记为
Tv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Pv 0 v k （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为
通路 W v1v4 v1 e 4 v 4 e5 v 2 e1 v1 e 4 v 4 道路 Tv1v4 v1 e1 v 2 e5 v 4 e 6 v 2 e 2 v 3 e3 v 4 路径 Pv1v4 v1 e1 v 2 e5 v 4
v1 v2 v3 v4 0 1 0 1 v1 1 0 1 1 v2 0 1 0 1 v3 1 1 1 0 v4
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
1 aij 0
若（ vi，v j） E 若（ vi，v j） E
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij ) ，其中：
例 求下图中加权图的任意两点间的距离与路径．
TO MATLAB (road2(floyd))
0 7 D 5 3 9 7 0 2 4 6 5 2 0 2 4 3 4 2 0 6 9 1 6 3 4 , R 4 6 1 4 0 4 2 2 3 3 4 3 3 3 3 4 3 4 4 3 4 3 5 3 5
( 0)
（2）D(2)= (d ij ) ，其中 d ij …
( 2)
( 2)
(1) 1) (1) min{ d ij , d i(2 d2 j}
( 2) d ij 是从 vi 到 vj 的只允许以 v1 、 v2 作为中间点的路径中最短路的长度．
( ) （ ）D = ( d ij ) ，其中 d ij
e E1 时，1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图． V，E (1) 若 V1 E,且当 1 特别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的 (2) 设 V1 图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1].
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１
vV (G )
d (v) 2 (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数。
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(k ) ij
k r ( k 1) ij
( k 1) ( k 1) ( k 1) 若d ij d ik d kj 否则
即当vk被插入任何两点间的最 短路径时，被记录在R(k)中，依 次求D( ) 时求得 R( ) ，可由 R( ) 来查 找任何点对之间最短路的路 径．
算法原理—— 求距离矩阵的方法
(dij ) =W 把带权邻接矩阵 W 作为距离矩阵的初值，即 D(0)=
(1) (1) (0) (0) (0) （１）D(1)= ( d ij ) ，其中 d ij min{d ij , d i1 d1 j } (1) d ij 是从 vi 到 vj 的只允许以 v1 作为中间点的路径中最短路的长度．
d51 9 ，故从 v5 到 v1 的最短路为９． 由 v4 向 v5 追朔： r54 3, r53 3 ; r51 ＝４． 由 v4 向 v1 追朔：r41 1 所以从 v5 到 v1 的最短路径为： 5 3 4 1 .
行 遍 性 问 题
一、欧拉图
二、哈密尔顿图
欧 拉 图
( )
( )
( 1) 1) min{d ij , d i( d(j 1) }
( ) v d ij 是从 vi 到 vj 的只允许以 v1 、 v2、… 、
作为中间点的路径中最短路
的长度．即是从 vi 到 vj 中间可插入任何顶点的路径中最短路的长，因此 D( )即是距离矩阵．
定义１ 设 G=(V,E)是连通无向图 （１）经过 G 的每边至少一次的闭通路称为巡回． （２）经过 G 的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回． （３）存在欧拉巡回的图称为欧拉图． （４）经过 G 的每边正好一次的道路称为欧拉道路．
v1 e4 v4
e1 e5 e3
v2 e2 v3
v1
e1
v2 e2
v4
e4 e e5 6 e图的顶点数和边数. 规定用记号
常用术语： （１） 端点相同的边称为环． （２） 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３） 有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边． （４） 边和它的端点称为互相关联的． （５） 既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６） 任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图，记为 Kn，其中 n 为顶点的数目． ( 7)若 V=X Y，X Y= ，X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，称 G 为二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 相邻，称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
G 的图解如图.
定义 在图 G 中，与 V 中的有序偶(vi， vj)对应的边 e，称为图的有向
边（或弧） ，而与 V 中顶点的无序偶 vivj 相对应的边 e，称为图 的无向边 .每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是 有向边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混 合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
v3
欧拉道路：v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3 巡回：v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3e5v1
欧拉巡回： v1e1v2e2v3e5v1e4v4e3v3e6v1
定理１ 对于非空连通图 G，下列命题等价： （１）G 是欧拉图． （２）G 无奇次顶点． （３）G 的边集能划分为圈．
（１）赋初值： j, k 1 对所有 i,j, d(i,j) w(i,j), r(i,j)
(2) 更新 d(i,j), r(i,j) d(i,k)+d(k,j), r(i,j) 对所有 i,j，若 d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)，则 d(i,j) k
，停止．否则 k k+1，转（２） (3) 若 k= ．
算法原理—— 求路径矩阵的方法
在建立距离矩阵的同时可建立路径矩阵R．
R= (rij ) , rij 的含义是从 vi 到 vj 的最短路要经过点号为 rij 的点．
R(0) (rij(0) ) , rij(0) j
每求得一个 D(k)时，按下列方式产生相应的新的 R(k)
r
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u,v)是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径， 则称 w( P )
eE ( P )
w(e) 为路径 P 的权．
(2)
在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
算法原理—— 查找最短路路径的方法
( ) 若 rij p1 ，则点 p1 是点 i 到点 j 的最短路的中间点.
然后用同样的方法再分头查找．若：
( ) ( ) ( ) rip p r （１）向点 i 追朔得：rip1 p 2 , , … , 3 ipk p k 2 ( ) ( ) ( ) r q r q r （２）向点 j 追朔得： p1 j 1 , q1 j 2 ,…, q m j j
最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念
二、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
基 本 概 念
定义１ 在无向图 G=(V,E, )中： （１） 顶点与边相互交错且 (ei ) v i 1 v i (i=1,2,…k)的有限非空序列
w (v 0 e1 v1 e 2 v k 1 e k v k ) 称为一条从 v0
则由点i到j的最短路的路径为： i, pk ,, p2 , p1, q1 , q2 ,, qm , j
i
pk
p3
p2
p1
q1
q2
qm
j
算法步骤
Floyd 算法：求任意两点间的最短路．
D(i,j)：i 到 j 的距离． R(i,j)：i 到 j 之间的插入点． 输入: 带权邻接矩阵 w(i,j)
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G