北师大版数学高二必修5 第一章2.1第一课时 等差数列的概念及通项公式 作业
高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳
等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。
等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。
—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。
≤d＜3 D.＜d≤36、。
在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。
必修5——等差数列(第一课时),自己做的
18，15.5，13，10.5， 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 5.5.
③
二、（一）等差数列的定义 、（一 等差数列的定义 • 1、定义：一般地，如果一个数列{an},从第2项 从第2 定义：一般地，如果一个数列 从第 起每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 起每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差。 表示。 等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 那么对于以上四组等差数列，它们的公差 依次是 5，5，-2.5，72。 (1)从第2 从第 注: (1)从第2项起
（要求：写出解题过程） 要求：写出解题过程）
数字 量
编号
a1 a
1
d
2 4
n n
15
ann
解方程： 解方程： 方程思 想
(1) －8 (2) 5 (3) －45 (4) 5.2
20
105 45 9.2
26
31
11
3
0.4
思考：解题过程中体现了什么样的思想？ 思考：解题过程中体现了什么样的思想？
思 考？
a1 = 48 a 2 = 53 = 48 + 5 × 1
a 3 = 58 = 53 + 5 = 48 + 5 × 2
a4 = 63 = 58 + 5 = 48 + 5 × 3
a n = 48 + 5 × ( n − 1)
二、（二）等差数列的通项公式 、（二
• １、导入： 导入： • （２）问题２：类比上面的方法，根据等差数列的定义， 问题２ 类比上面的方法，根据等差数列的定义， 如果任意给一个等差数列的首项a1和公差 和公差d,那么它的通 如果任意给一个等差数列的首项 和公差 那么它的通 项公式是什么？ 项公式是什么？
2020_2021学年高中数学第一章数列2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式练习(含解析)北师大版必修5
等差数列的概念及通项公式A 级 基础巩固一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18[解析] 该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d . 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.∴a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.2．等差数列3,1，－1，－3，…，－97的项为( B ) A ．52 B ．51 C ．49D ．50[解析] ∵a 1＝3，a 2＝1，∴d ＝1－3＝－2， ∴a n ＝3＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋5， 由－97＝－2n ＋5，得n ＝51.3．(2019·威海检测)已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( B )A ．2B ．3C ．6D ．9 [解析] 由题意2m ＋n ＝10,2n ＋m ＝8，两式相加得3m ＋3n ＝18，∴m ＋n ＝6，∴m ＋n2＝3.4．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( B ) A ．－9 B ．－8 C ．－7D ．－4[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－5a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8. 5．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( A ) A ． 3 B ． 2 C ．33D ．22[解析]a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.6．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( C ) A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0[解析] 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b2，x 2＝a 2－b 22，∴a 2－b 22＝(a ＋b2)2，即a 2－2ab －3b 2＝0.故a ＝－b 或a ＝3b . 二、填空题7．lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是 0 .[解析] lg(3＋2)＋lg(3－2)＝lg(3－2)＝0，所以lg(3＋2)与lg(3－2)的等差中项是0.8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为6766升． [解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.三、解答题9．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.[解析] 方法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋14d ＝25.解这个方程组，得a 1＝4，d ＝32.∴这个数列的通项公式为a n ＝4＋32×(n －1)，即a n ＝32n ＋52.∴a 25＝32×25＋52＝40.方法二：由题意可知：a 15＝a 5＋10d ，即25＝10＋10d ， ∴10d ＝15.又∵a 25＝a 15＋10d ，∴a 25＝25＋15＝40. 10．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， (1)数列{1a n}是否为等差数列？说明理由．(2)求a n .[解析] (1)数列{1a n}是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n， ∴1a n ＋1－1a n ＝12，即{1a n }是首项为1a 1＝12， 公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n2，∴a n ＝2n.(n ∈N ＋)B 级 素养提升一、选择题1．{a n }是首项为a 1＝4，公差d ＝2的等差数列，如果a n ＝2 020，则序号n 等于( A ) A ．1 009 B ．1 012 C ．1 008D ．1 010[解析] ∵a 1＝4，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2， ∴2n ＋2＝2 020，∴n ＝1 009.2．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( D ) A ．49 B ．50 C ．51D ．52 [解析] 由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12，∴{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，∴a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，∴a 101＝101＋32＝52.3．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( C ) A ．第11项 B ．第12项 C ．第13项D ．第14项[解析] 由a n ＝a 1＋(n －1)d 得a n ＝－7n ＋88， 令a n ≥0，解得n ≤887＝1247.而a 12＝4，a 13＝－3， 故a 13的值最接近零．4．等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1125＋8d ≤1，∴875<d ≤325. 二、填空题5．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝ 13 . [解析] 由a 5＝a 2＋6得a 5－a 2＝6， 故3d ＝6，d ＝2.∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋3×2＝13.6．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝ 54.[解析] 设这两个等差数列的公差分别为d 1，d 2. 则a 2－a 1b 3－b 2＝d 1d 2.由等差数列的性质，是y －x ＝4d 1＝5d 2，∴d 1d 2＝54. 三、解答题7．等差数列{a n }中， a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.[解析] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2 ＝24. 8．已知f (x )＝2x x ＋2，在数列{x n }中，x 1＝13，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)，试说明数列{1x n}是等差数列，并求x 95的值．[解析] 因为当n ≥2时，x n ＝f (x n －1)， 所以x n ＝2x n －1x n －1＋2(n ≥2)，即x n x n －1＋2x n ＝2x n －1(n ≥2)， 得2x n －1－2x n x n x n －1＝1(n ≥2)，即1x n －1x n －1＝12(n ≥2)．又1x 1＝3，所以数列{1x n }是以3为首项，12为公差的等差数列，所以1x n ＝3＋(n －1)×12＝n ＋52，所以x n ＝2n ＋5，所以x 95＝295＋5＝150.。
北师大版高二数学上册必修5第一章数列第一课数列的概念课件(共21张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
2020-2021学年数学北师大版必修5：1-2-1 第1课时 等差数列的概念和通项公式
类型一 等差数列的判定
【例 1】 判断下列各数列是否为等差数列． (1)1,2,4,6,8； (2)7,7,7,7,7； (3)m，m＋n，m＋2n,2m＋n； (4)a－d，a，a＋d. 【思路探究】 根据等差数列的定义进行判断，即判断从第 2 项开始每一项与它前一项的差是否等于同一个常数．
【解】 (1)因为 2－1＝1,4－2＝2,6－4＝2,8－6＝2,1≠2， 所以该数列不是等差数列． (2)因为 7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0， 所以该数列是等差数列． (3)因为(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， (2m＋n)－(m＋2n)＝m－n， 所以当 n＝m－n，即 m＝2n 时，该数列是等差数列； 当 m≠2n 时，该数列不是等差数列． (4)因为 a－(a－d)＝(a＋d)－a＝d， 所以该数列是等差数列．
规律方法 要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任 意的正整数 n，an＋1－an 是不是等于同一个常数，切记不可通过 计算 a2－a1，a3－a2，a4－a3 等几个有限的式子的值后，根据它 们的值都是同一个常数，就得出该数列为等差数列的结论．因为 由特殊到一般得出的结论不一定正确．
判断下列数列是否为等差数列： (1)an＝3n－1； (2)an＝1n，－n1＝，1n，≥2； (3)an＝n2＋n.
类型二 等差数列的证明
【例 2】 已知函数 f(x)＝x＋3x3，数列{xn}的通项由 xn＝f(xn －1)(n≥2，且 n∈N＋)确定．
(1)求证：x1n是等差数列； (2)当 x1＝12时，求 x100.
【思路探究】 (1)利用条件 xn＝f(xn－1)可以确定数列{xn}中 相邻两项的递推关系，要证明x1n是等差数列，按照定义，只需 证明xn1＋1－x1n或x1n－xn1－1(n≥2)是常数即可；
2022版高中数学第一章数列1、1数列的概念1、2数列的函数特性基础训练北师大版必修5
数列的概念 数列的函数特性基础过关练题组一 对数列概念的理解1.下列说法正确的是 ( ) A.1,2,3,4,…,n 是无穷数列B.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C.同一个数在数列中不能重复出现D.数列{2n +1}的第6项是13 2.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n })上的函数; ②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点; ③数列的项数是无限的; ④数列的通项公式是唯一的.其中正确的是 ( ) A.①② B.①②③ C.②④ D.①②③④ 题组二 数列的通项公式3.数列23,45,67,89,…的第10项是 ( )A.1617B.1819C.2021D.22234.(2019山东菏泽高二期末)设a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),则a 2= ( )A.12B.12+13C.12+13+14D.12+13+14+155.(2020河南南阳高二下期中)已知数列√2,2,2√2,4,…,则16√2是这个数列的(深度解析) A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项6.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的通项公式为 ( )A.a n =19(10n-1) B.a n =29(10n-1)C.a n =13(1-110n )D.a n =310(10n-1)7.如图是关于星星的图案,每个图案中的星星数可构成一个数列,则该数列的一个通项公式是 ( )A.a n =n 2-n +1 B.a n =n (n -1)2C.a n =n (n +1)2D.a n =n (n +2)28.下列各数中,是数列{n (n +1)}中的一项的是 ( ) A .380 B .29 C .32 D .239.设a n =1n +1+1n +2+1n +3+…+12n (n ∈N +),那么a n +1-a n 等于 ( ) A.12n +1 B.12n +2C.12n +1+12n +2D.12n +1-12n +210.数列4,6,8,10,…的一个通项公式为 . 题组三 数列的性质11.已知数列{a n }的通项公式是a n =n3n +1,那么这个数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列12.设函数f (x )={(3-n )n -3,n ≤7,n n -6,n >7,数列{a n }满足a n =f (n ),n ∈N +,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是 ( )A.(94,3)B.[94,3) C.(1,3) D.(2,3)13.若数列{a n }为递减数列,则{a n }的通项公式可能为 (填序号). ①a n =-2n +1;②a n =-n 2+3n +1;③a n =12n;④a n =(-1)n.能力提升练一、选择题 1.()给出以下通项公式:①a n =√22[1-(-1)n];②a n =√1-(-1)n;③a n ={√2,n 为奇数,0,n 为偶数.其中可以作为数列√2,0,√2,0,√2,0,…的通项公式的是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③2.(2021陕西西安一中高二上第一次月考,)已知数列{a n }中,a 1=1,(n +1)a n =na n +1,则a 12=( )A.11B.12C.13D.14 3.()把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图),则第7个三角形数是( )A.28B.29C.32D.36 4.()已知数列{a n }中,a 1=3,a n +1=-1nn +1(n ∈N +),能使a n =3的n 可以为 ( )A.17B.16C.15D.14 5.(2019山东烟台招远一中高二月考,)已知a n =n -√79n -√80(n ∈N +),则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是 ( ) A.a 1,a 50 B.a 1,a 8 C.a 8,a 9 D.a 9,a 50 6.()在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +lg (1+1n),则a n =( )A.2+lg nB.2+(n -1)lg nC.2+n lg nD.1+n lg n 二、填空题 7.()斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(LeonardodaFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第12项为 .8.(2020安徽宣城高一下期末,)已知a n =n 2-tn +2020(n ∈N +,t ∈R),若数列{a n }中的最小项为第3项,则t 的取值范围为 .易错 9.()某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图形包含f (n )个小正方形,则f (6)= .……10.()在数列{a n }中,a 1=a ,a 2=b ,a n +1+a n -1=a n (n ≥2且n ∈N +),则a 2020= .三、解答题 11.()写出下列数列的一个通项公式.(1)-11+1,14+1,-19+1,116+1,…; (2)2,3,5,9,17,33,…; (3)12,25,310,417,…;(4)-13,18,-115,124,….12.()在数列{a n }中,a n =(n +1)(1011)n.(1)讨论数列{a n }的单调性; (2)求数列{a n }的最大项.答案全解全析 第一章 数列 §1 数列 1.1 数列的概念1.2 数列的函数特性基础过关练1.D 数列1,2,3,4,…,n ,共n 项,是有穷数列,A 错误;数列中的项是有次序的,B 错误; 数列中的数可以重复出现,C 错误;当n =6时,2×6+1=13,D 正确.2.A 易知①②正确;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,③错;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项公式可以是a n =sinn π2,也可以是a n =cos(n +3)π2,④错.故选A .3.C 由题意知数列的通项公式是a n =2n2n +1(n ∈N +),所以a 10=2×102×10+1=2021.故选C . 4.C ∵a n =1n +1n +1+1n +2+1n +3+…+1n 2(n ∈N +),∴a 2=12+13+14.故选C .5.B 可将数列改写为√2,(√2)2,(√2)3,(√2)4,…,由此可归纳出该数列的通项公式为a n =(√2)n ,又16√2=(√2)9,所以其为该数列的第9项. 方法总结要判断某一个数是不是数列中的项,其实就是看相应方程有没有正整数解.6.C 数列0.9,0.99,0.999,0.9999,…的通项公式为1-110n ,而数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的每一项都是上面数列对应项的13,故选C .7.C 从题图中可观察星星的构成规律,当n =1时,有1个;当n =2时,有3个;当n =3时,有6个;当n =4时,有10个;……, ∴a n =n (n +1)2.故选C .8.A 令380=n (n +1),即n 2+n -380=0, 解得n =19或n =-20(舍去), 所以380是{n (n +1)}中的第19项. 同理,可检验B 、C 、D 不是该数列中的项.9.D 由题意知a n +1=1n +2+1n +3+…+12n +12n +1+12n +2,所以a n +1-a n =12n +1-12n +2. 10.答案 a n =2n +2解析 各项是从4开始的偶数,所以a n =2n +2. 11.A 因为a n =n 3n +1=13(3n +1)-133n +1=13-13(3n +1)是关于n 的增函数,所以数列{a n }是递增数列.12.D 由a n =f (n ),n ∈N +是递增数列可得{3-n >0,n >1,n (8)>n (7),即{3-n >0,n >1,n 2>18-7n ,解得2<a <3.13.答案 ①③解析 分别作出函数y =-2n +1和y =12n的图像(图略),由图像可知①③中的数列{a n }为递减数列.②中第1项和第2项相等,故不是递减数列.④是摆动数列.能力提升练一、选择题1.D 经代入检验,①②③均可作为已知数列的通项公式.2.B ∵(n +1)a n =na n +1,∴n n n =nn +1n +1, ∴数列{n n n }是常数列,nn n =n 11=1,∴a n =n ,∴a 12=12.故选B.3.D 设3,6,10,15,21,…为数列{a n },则a n =(n +1)(n +2)2,当n =7时,a 7=8×92=36.4.B 由a 1=3,a n +1=-1n n+1,得a 2=-14,a 3=-43,a 4=3,所以数列{a n }是周期为3的周期数列,则由选项知a 16=3,故选B . 5.C 因为y =√79n -√80=1+√80-√79n -√80在(-∞,√80)上单调递减,在(√80,+∞)上单调递减,所以当x ∈(-∞,√80)时y ∈(-∞,1),此时a n ∈[a 8,a 1]⊆(-∞,1),当x ∈(√80,+∞)时y ∈(1,+∞),此时a n ∈[a 50,a 9]⊆(1,+∞),因此数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别为a 8,a 9. 6.A 解法一:由已知得a n +1-a n =lgn +1n, 所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =lgn n -1+lg n -1n -2+lg n -2n -3+…+lg 21+2 =lg (nn -1×n -1n -2×n -2n -3×…×32×21)+2 =2+lg n.解法二:由a n +1=a n +lg (1+1n )得a n +1=a n +lg(n +1)-lg n ,所以a n +1-lg(n +1)=a n -lg n =a 1-lg1=2,即数列{a n -lg n }是常数列,且a n -lg n =2,所以a n =2+lg n. 二、填空题 7.答案 89信息提取 ①该数列的前9项分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21;②求该数列的第12项.数学建模 本题为涉及数学文化的情境题,从“兔子数列”的前几项入手,挖掘出其内在规律:从第3项起,每1项均等于前面两项之和,便可求得其第12项.解析 记“兔子数列”为{a n },则a 10=a 8+a 9=13+21=34,a 11=a 9+a 10=21+34=55,a 12=a 10+a 11=34+55=89,即第12项为89.8.答案 (5,7)解析 函数y =x 2-tx +2020的图像是开口向上的抛物线,其对称轴为直线x =n2,因为数列{a n }中最小项为第3项, 所以52<n 2<72,解得5<t <7. 易错警示将数列的通项a n 看作是关于n 的函数时,要特别注意以下两点:一是其相应的函数图像是由一群离散的点组成的,二是其定义域为正整数集或正整数集的子集. 9.答案 61解析 f (1)=1=2×1×0+1,f (2)=1+3+1=2×2×1+1, f (3)=1+3+5+3+1=2×3×2+1, f (4)=1+3+5+7+5+3+1=2×4×3+1,故f (n )=2n (n -1)+1.当n =6时,f (6)=2×6×5+1=61. 10.答案 -a解析 由已知得a n +1=a n -a n -1,所以a 3=a 2-a 1=b -a ,a 4=a 3-a 2=-a ,a 5=a 4-a 3=-b ,a 6=a 5-a 4=a -b ,a 7=a 6-a 5=a ,……, 所以数列{a n }是以6为周期的周期数列,而2020=336×6+4,所以a 2020=a 4=-a. 三、解答题11.解析 (1)∵第n 项的符号为(-1)n ,分子都是1,分母是n 2+1, ∴a n =(-1)n·1n 2+1.(2)∵a 1=2=1+1,a 2=3=2+1,a 3=5=22+1,a 4=9=23+1,a 5=17=24+1,a 6=33=25+1,……,∴a n =2n -1+1. (3)∵a 1=12=112+1,a 2=25=222+1,a 3=310=332+1,a 4=417=442+1,……,∴a n =n n 2+1.(4)∵a 1=-13=-11×3,a 2=18=12×4,a 3=-115=-13×5,a 4=124=14×6,……,∴a n =(-1)n·1n (n +2).12.解析 (1)由题意知a n >0,令n nn n -1>1(n ≥2), 即(n +1)(1011)n n (1011)n -1>1(n ≥2),解得2≤n <10,即a 9>a 8>…>a 1. 令n nnn +1>1,即(n +1)(1011)n (n +2)(1011)n +1>1,整理,得n +1n +2>1011,解得n >9,即a 10>a 11>….又n 9n 10=1,所以数列{a n }从第1项到第9项递增,从第10项起递减.(2)由(1)知a 9=a 10=1010119最大.。
高中数学第一章数列2.1.2等差数列的性质课时素养评价含解析北师大版必修5
等差数列的性质(20分钟35分)1.在等差数列{a n}中,a10=30,a20=50,则a40等于( )A.40B.70C.80D.90【解析】选D.方法一:设公差为d.因为a20=a10+10d,所以50=30+10d,所以d=2,a40=a20+20d=50+20×2=90.方法二:因为2a20=a10+a30,所以2×50=30+a30,所以a30=70,又因为2a30=a20+a40,所以2×70=50+a40,所以a40=90.2.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )A.40B.42C.43D.45【解析】选B.因为a2+a3=13,所以2a1+3d=13.因为a1=2,所以d=3.所以a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d)=42.3.在等差数列{a n}中,首项a1=0,公差d≠0.若a k=a1+a2+a3+…+a7,则k= ( )A.22B.23C.24D.25【解题指南】利用等差数列的性质得:a1+a2+a3+…+a7=7a4.【解析】选A.因为数列{a n}为等差数列,首项a1=0,公差d≠0,所以a k=a1+(k-1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d.解得k=22.4.设{a n}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于 ( )A.120B.105C.90D.75【解析】选B.设公差为d.因为a1+a2+a3=3a2=15,所以a2=5,又因为a1a2a3=80,所以a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16,因为d>0,所以d=3.则a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=105.5.(2020·重庆高一检测)等差数列中a2+a4+a6+a8=20,则a3+a7= .【解析】a2+a4+a6+a8=2=20,所以a3+a7=10.答案:106.(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24,求这三个数;(2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】(1)方法一:设等差数列的等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,化简得d2=16,于是d=±4,所以这三个数为-2,2,6或6,2,-2.方法二:设首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知,3a+3d=6,且a(a+d)(a+2d)=-24,所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,得2(2-d)(2+d)=-24,整理得4-d2=-12,即d2=16,于是d=±4,所以,这三个数为-2,2,6或6,2,-2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),由已知,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,所以所求的四个数为-2,0,2,4.方法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),由已知,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 把a=1-d代入a(a+3d)=-8,得=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,所以所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】设数列{a n}是等差数列,b n=,又因为b1+b2+b3=,b1b2b3=,求通项a n.【解析】因为b1b2b3=,又因为b n=,所以··=.所以=,所以a1+a2+a3=3,又因为{a n}成等差数列,所以a2=1,a1+a3=2,所以b1b3=,b1+b3=,所以或即或所以a n=2n-3或a n=-2n+5.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·石嘴山高一检测)在等差数列中,若a1+a2=4,a3+a4=12,则a5+a6= ( )A.8B.16C.20D.28【解析】选C.因为为等差数列,则a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等差数列,公差为12-4=8.所以a5+a6=a3+a4+8=12+8=20.2.在数列中,已知a n+1-a n=a n+2-a n+1,a1 011=1,则该数列中a1+a2 021= ( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】根据条件判断出为等差数列,利用等差数列的等差中项得到答案.【解析】选B.因为a n+1-a n=a n+2-a n+1,所以2a n+1=a n+a n+2,所以为等差数列,因为a1 011=1,所以a1+a2 021=2a1 011=2.【光速解题】选B.根据题意,可以让a1=a2=…=a2 021=1求解.3.(2020·邢台高一检测)在等差数列{a n}中,若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9的值为( )A.30B.27C.24D.21【解题指南】首先由等差中项的性质知:a4=13,a5=11,由d=a5-a4,a3+a6+a9=3a6,计算a6代入即可. 【解析】选B.因为a1+a4+a7=3a4=39,所以a4=13.因为a2+a5+a8=3a5=33,所以a5=11.所以d=a5-a4=-2.又a6=a5+d=9,所以a3+a6+a9=3a6=27.4.(2020·福州高三检测)在等差数列中,已知a1=3,公差d=2,若a m=a1+a2+a3+a4+a5(m∈N*),则m= ( )A.19B.18C.17D.16【解题指南】依题意a n=2n+1,且a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35,令a m=35解方程即可.【解析】选C.根据题意,数列{a n}是等差数列,且a1=3,公差d=2,所以a n=a1+(n-1)d=3+2n-2=2n+1,又因为a m=2m+1=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=35(m∈N*),所以m=17.5.设等差数列满足a3+a7=36,a4a6=275,且a n a n+1有最小值,则这个最小值为( )A.-10B.-12C.-14D.-16【解题指南】设该等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,分析可得(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解可得a1与d的值,即可得数列的通项,将其代入a n a n+1中,结合二次函数的性质分析可得答案.【解析】选B.根据题意,设该等差数列的首项为a1,公差为d,若a3+a7=36,a4a6=275,则有(a1+2d)+(a1+6d)=36,(a1+3d)(a1+5d)=275,解得或,则数列的通项为a n=7n-17或a n=-7n+53,当a n=7n-17时,a n a n+1=(7n-17)(7n-10)=49=49-,分析可得当n=2时,a n a n+1有最小值,且其最小值为-12;当a n=-7n+53时,a n a n+1=(-7n+53)(-7n+46)=(7n-53)(7n-46)=49,因为=≈7.07,分析可得当n=7时,a n a n+1有最小值,且其最小值为-12;即a n a n+1有最小值-12.【误区警示】本题因为d有两个解,所以求解a n易错,最后在计算a n a n+1的最值时由于计算量较大,也容易出错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(5分)已知{a n}为等差数列,且a6=4,则a4a7的最大值为.【解析】设等差数列的公差为d,则a4a7=(a6-2d)(a6+d)=(4-2d)(4+d)=-2(d+1)2+18,即a4a7的最大值为18.答案:187.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为.【解析】由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,所以a7=.所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-.答案:-8.在△ABC中,若lgsin A,lgsin B,lgsin C成等差数列,且三个内角A,B,C也成等差数列,则△ABC的形状为.【解析】因为lgsin A,lgsin B,lgsin C成等差数列,得lgsin A+lgsin C=2lgsin B,即sin2 B=sin Asin C①,又三内角A,B,C也成等差数列,所以B=60°,代入①得sin Asin C=②,设A=60°-α,C=60°+α,代入②得sin(60°+α)sin(60°-α)=,⇒cos2α-sin2α=,即cos2α=1,所以α=0°,所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.答案:等边三角形三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知无穷等差数列{a n},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n}.(1)求b1和b2;(2)求数列{b n}的通项公式;(3)数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第几项?【解析】(1)由题意,等差数列{a n}的通项公式为a n=3+(n-1)(-5)=8-5n,设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项,则需满足m=4n-1,n∈N+,所以b1=a3=8-5×3=-7,b2=a7=8-5×7=-27.(2)由(1)知b n+1-b n=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20,所以新数列{b n}也为等差数列,且首项为b1=-7,公差为d′=-20,所以b n=b1+(n-1)d′=-7+(n-1)×(-20)=13-20n.(3)因为m=4n-1,n∈N+,所以当n=110时,m=4×110-1=439,所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.10.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)=n(n+1)(2n-1)吨,但如果月产量超过96吨,将会给环境造成危害.(1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期.(2)若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳a万元环保税,已知每吨售价0.6万元,第n个月的工人工资为g(n)=n2-n-1万元,若每月都赢利,求出a的范围?【解析】(1)设化工厂每个月的产量构成数列{a n},则a n=f(n)-f(n-1)=n(n+1)(2n-1)-(n-1)n(2n-3)=3n2-2n,所以产量逐月递增.当3n2-2n≤96时,解得n≤6,所以环保部门给厂拟定最长的生产周期为6个月.(2)若每月都赢利,则(3n2-2n)--a>0恒成立,所以a<,当n=2时,=,所以a<.又因为a>0,所以0<a<.1.在数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行 1 2 3 …第2行 2 4 6 …第3行 3 6 9 ………………那么位于表中的第n行第n+1列的数是.【解析】观察可知,第n行的数构成以n为首项,n为公差的等差数列,所以第n行第n+1列的数是n+[(n+1)-1]×n=n2+n.答案:n2+n2.已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列. 【证明】因为,,成等差数列,所以=+,即2ac=b(a+c).因为+=====,所以,,成等差数列.。
第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
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[学业水平训练]
1．等差数列1，－1，－3，…中，－89的项数是( )
A ．45
B ．46
C ．47
D ．92
解析：选B.∵a 1＝1，d ＝－2，
∴a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋3，
令－2n ＋3＝－89，解得n ＝46.故选B.
2．等差数列{a n }的前三项分别是a －1，a ＋1，a ＋3，则该数列的通项公式为( )
A ．a n ＝2n －5
B ．a n ＝2n －1
C ．a n ＝a ＋2n －3
D ．a n ＝a ＋2n －1
解析：选C.公差d ＝(a ＋1)－(a －1)＝2，首项a 1＝a －1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a －1＋2(n －1)＝a ＋2n －3.
3．等差数列{a n }中，已知a 1＝13
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( ) A ．51
B ．50
C ．49
D ．48
解析：选B.由a 1＝13，a 2＋a 5＝4，可求得公差d ＝23.所以a n ＝13＋23
(n －1)＝33，解得n ＝50.
4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )．
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－6
解析：选C.设该数列的公差为d ，∵a n ＝23＋(n －1)d ，且⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞0，
a 7＜0，
得－435＜d ＜－356
，又d ∈Z ，∴d ＝－4. 5．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125
，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( )
A ．d ＞825
B ．d ＜825
C.875＜d ＜325
D.875＜d ≤325
解析：选D.设{a n }的通项公式为a n ＝125
＋(n －1)d ， 由题意得⎩⎨⎧a 10＞1，a 9≤1，即⎩
⎨⎧125＋9d ＞1，125＋8d ≤1，解得875＜d ≤325. 6．在数列{a n }中，a 1＝12
，2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 014＝________． 解析：由已知得a n ＋1－a n ＝12，则数列{a n }是首项a 1＝12，公差为12
的等差数列，∴a 2 014＝12＋12
×2 013＝1 007. 答案：1 007
7．已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5＝________．
解析：∵a 2＋a 8＝2a 5＝12，∴a 5＝6，或由a 2＋a 8＝2a 1＋8d ＝12，∴a 1＋4d ＝6，∴a 5＝a 1＋4d ＝6.
答案：6
8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________．
解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项，得2a 25＝a 15＋a 35，
∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.
答案：99
9．在等差数列{a n }中：
(1)已知a 1＝8，a 9＝－2，求d 与a 14；
(2)已知a 3＋a 5＝18，a 4＋a 8＝24，求d .
解：(1)由a 9＝a 1＋8d ＝－2，a 1＝8，解得d ＝－54
. ∴a 14＝a 1＋13d ＝8＋13×(－54)＝－334
. (2)由(a 4＋a 8)－(a 3＋a 5)＝4d ＝6，得d ＝32
. 10．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列．这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n (n ∈N ＋)．
(2)假设a n ＝2 012，由2 012＝1 892＋4n ，得n ＝30.
假设a n ＝2 050，但2 050＝1 892＋4n 无正整数解．
所以2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050年不举行奥运会．
[高考水平训练]
1．在数列{a n }中，a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2，则该数列中相邻两项乘积为负值的项是( )
A ．a 21和a 22
B ．a 22和a 23
C ．a 23和a 24
D ．a 24和a 25
解析：选C.因为a n ＋1＝a n －23
， 所以{a n }是以－23
为公差的等差数列． 所以a n ＝15＋(n －1)·(－23)．验证可知a 23＝13
， a 24＝－13，即a 23·a 24＝－19
＜0. 2．若x ≠y ，且x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1
＝________． 解析：设数列x ，a 1，a 2，y 的公差为d 1，数列x ，b 1，b 2，b 3，y 的公差为d 2，则a 2－
a 1＝d 1，
b 2－b 1＝d 2，而y ＝x ＋3d 1，所以d 1＝y －x 3
. 又y ＝x ＋4d 2，所以d 2＝y －x 4
. 因此d 1d 2＝43.故a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝43
. 答案：43
3．已知点P n (a n ，b n )都在直线l ：y ＝2x ＋2上，P 1为直线l 与x 轴的交点，数列{a n }成等差数列，公差为1(n ∈N ＋)，分别求数列{a n }，{b n }的通项公式．
解：由题意，得P 1(－1，0)，∴a 1＝－1.
又∵d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1＋(n －1)·1＝n －2.
又∵点P n (a n ，b n )都在直线y ＝2x ＋2上，
∴b n ＝2a n ＋2＝2(n －2)＋2＝2n －2.
故a n ＝n －2，b n ＝2n －2.
4．某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从第几年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n＜0时，该公司会出现亏损．
设从第1年起，第n年的利润为a n万元，则a1＝200，a n－a n－1＝－20，n≥2，n∈N＋，所以每年的利润a n可构成一个首项为200，公差为－20的等差数列{a n}，从而a n＝220－20n.
若a n＜0，则该公司经销这一产品将亏损，
所以由a n＝220－20n＜0，得n＞11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．。